Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet 6. fejezet: Vasbeton gerenda vizsgálata 6.1. Határnyomatéki ábra előállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerő ábra előállítása. V [kN] pd=125 kN/m φ 6φ25 6φ16 VSd.red VSd K - K K Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: B60.50 Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm Megoldás: 2. A határnyomatéki-ábra meghatározása: 2.1. A mértékadó nyomatéki ábra meghatározása: 2.1.1. A megoszló p teherbõl származó nyomaték: M k p d L 2 ⋅ 2 := M k 390.625 m kN m ⋅ = 61
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
6. fejezet: Vasbeton gerenda vizsgálata
6.1. Határnyomatéki ábra előállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróerő ábra előállítása.
V [kN]
pd=125 kN/m
φ
6φ25
6φ16
VSd.red VSd
K - K
K Anyagok :
Beton: C25/30Betonacél: B60.50
Betonfedés:20 mmKedv.elm.: 10 mm
Megoldás:
2. A határnyomatéki-ábra meghatározása:
2.1. A mértékadó nyomatéki ábra meghatározása:
2.1.1. A megoszló p teherbõl származó nyomaték:
Mkpd L2
⋅
2:=
Mk 390.625 m kN m⋅=
61
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
L 2.5m:=d 390 mm=d h a−( ):=
b 250mm:=h 450mm:=a 60mm:=
Geometriai jellemzõk:
3.1. Adatok
Tegyük fel, hogy 2 helyen szeretnénk vaselhagyást végezni.
3. Vaselhagyás tervezése a mértékadó nyomatéki ábra alapján:
A hajlítás során eddig feltételeztük, hogy a gerenda a rúdtengelyre merõlegesen reped be.Ez azonban csak akkor van így, ha a tartóban nincs számottevõ nyíróerõ. Ha a nyírás jelentõs,a tartó ferdén reped be, és ezt a nyomatéki méretezés során figyelembe kell venni, mégpedig úgy, hogy a húzott vasalást a tiszta hajlításból számolt értéknél nagyobbra kell méreteznünk.Ez megoldható úgy is, hogy a nyomatéki ábrát a kedvezõtlen irányban a1 távolsággal eltoljuk, ahol a1:
62
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
Beton:C25/30 : fcdfck1.5
:= fcd 16.667N
mm2=
Beronacél: B60.50 : fydfyk1.15
:= fyd 434.783N
mm2=
A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: ( 6 db φ 16-os nyomott, 6.db φ.25-ös húzott vas)
Asl.66 φ
2⋅ π⋅
4:= Asl.6 2.945 103
× mm2=
Asl.ny.66 φny
2⋅ π⋅
4:= Asl.ny.6 1.206 103
× mm2=
Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.6 fyd⋅+ Asl.6 fyd⋅−( ) 0=
Ebbõl: xc- t kifejezve:
fyd−Asl.ny.6 Asl.6−( )
α fcd b⋅⋅( )⋅ 181.447 mm=
Asl.66 φ
2⋅ π⋅
4:= Asl.6 2.945 103
× mm2= : 1. szakasz
Asl.44 φ
2⋅ π⋅
4:= Asl.4 1.963 103
× mm2= : 2. szakasz
Asl.22 φ
2⋅ π⋅
4:= Asl.2 981.748 mm2
= : 3. szakasz
(a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)
Asl.ny6 φny
2⋅ π⋅
4:= Asl.ny 1.206 103
× mm2=
Asl.min maxAsl.6
4Asl.2,
⎛⎜⎝
⎞⎠
:=
Asw2 φk
2⋅ π⋅
4:= Asw 157.08 mm2
= Asl.min Asl.2:=
Anyagjellemzõk:
63
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
fyd−Asl.ny.2 Asl.4−( )
α fcd b⋅⋅( )⋅ 162.926 mm=
- t kifejezve:xcEbbõl:
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.ny.2 fyd⋅+ Asl.4 fyd⋅−( ) 0=
Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:
Asl.ny.2 402.124 mm2=Asl.ny.2
2 φny2
⋅ π⋅
4:=
Asl.4 1.963 103× mm2
=Asl.44 φ
2⋅ π⋅
4:=
A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon: ( 2 db φ 16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas)
Tehát a keresztmetszet hajlításra megfelel!
MR.d.1 MSd>MSd 390.625kN m⋅:=
MRd.1 405.644 kN m⋅=MRd.1 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2
−⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅ Asl.ny.6 fyd⋅ d dny−( )⋅+:=
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
Tehát mind ahúzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak!
ξc.ny ξco.ny>ξc ξco<
ξco.ny 2.111=ξco.ny560
700 fyd−:=ξco 0.493=ξco
560fyd 700+
:=
A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:
ξc.ny 3.78=ξc.nyxcdny
:=ξc 0.465=ξcxcd
:=
A nyomott zóna relatív magassága:
xc 181.447mm:=
64
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
xc 102.443mm:=
fydAsl.2
α fcd b⋅⋅( )⋅ 102.443 mm=
- t kifejezve:xcEbbõl:
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.2 fyd⋅−( ) 0=
Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:
Asl.2 981.748 mm2=Asl.2
2 φ2
⋅ π⋅
4:=
Megj: ugyan végigvisszük a2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelembe.
A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,)
MRd.2 269.247 kN m⋅=MRd.2 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2
−⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅ Asl.ny.2 fyd⋅ d dny−( )⋅+:=
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
Tehát mind ahúzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak!
ξc.ny ξco.ny>ξc ξco<
ξco.ny 2.111=ξco.ny560
700 fyd−:=ξco 0.493=ξco
560fyd 700+
:=
A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:
ξc.ny 3.394=ξc.nyxcdny
:=ξc 0.418=ξcxcd
:=
A nyomott zóna relatív magassága:
xc 162.926mm:=
65
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk kiαa 0.7=
Határozzuk meg a tényleges hosszvasalás segítségével a beton által felvehetõ nyíróerõk nagyságát:
1. szakaszon:
VRd.1.1 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=
ahol k:
k max 1.6m d− 1.0m,( ):=
68
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
ahol k:
k max 1.6m d− 1.0m,( ):= ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.39m− 1.21 m=k 1.21 m=
és ρl :
ρl minAsl.2b d⋅
0.02,⎛⎜⎝
⎞⎠
:= ahol: Asl.2b d⋅
= 981.75250 390⋅
0.01=
ρl 0.01=
VRd.1.3 56.726 kN=
A tényleges kengyelkiosztás felhasználásával, a hosszvasalás figyelembevételével az egyes szakaszokhoz tartozó határnyíróerõk ismeretében a tartó határnyíróerõ ábrája egyszerûen megszerkeszthetõ:
VSd.red 263.75kN:=
ahol k:
k max 1.6m d− 1.0m,( ):= ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.39m− 1.21 m=k 1.21 m=
és ρl :
ρl minAsl.4b d⋅
0.02,⎛⎜⎝
⎞⎠
:= ahol: Asl.4b d⋅
= 1963250 390⋅
0.02=
ρl 0.02=
VRd.1.2 70.785 kN=
3.szakaszon:
VRd.1.3 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=
69
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
Hat
árny
íróer
õáb
ra
Mér
téka
dóny
íróer
õáb
ra
A
1
BC
2
D
3
VR
d.1.
3=56
.726
kN
VRd
.3.A
B=27
0.54
9kN
VRd
.3=1
70.8
77kN
VRd
.3=1
36.6
22kN
VSd
.Red
=263
.75k
N
12
3
Até
nyle
gesh
ossz
vasa
lási
"sza
kasz
ok"
VR
d.1.
2=70
.785
kNV
Rd.1
.1=7
0.78
5kN
VRd
.3=2
70.5
49kN
VR
d.3=
184.
936k
N
70
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
τRd 0.26N
mm2:=
fcd 13.333N
mm2=fcd
fck1.5
:=
Beton: C20/25
Anyagjellemzők:
c 320mm:=φk 10mm:=h 600mm:=
lnet 3.80m:=φ 20mm:=b 450mm:=
Alapadatok:
Betonfedés:25 mmKedv.elm.: 10 mm
Terhek:
g=80 kN γG=1.35 q=100kN γQ=1.5
Anyagok :
Beton: C20/25Betonacél: B60.50Kengyel: B38.24
Elméleti támaszvonal
φ
φ
7.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén.
1.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása:
1. A határnyomatéki ábra elõállítása:
leff 3.99 m=
lnet c+ 4.12 m=
1.05 lnet⋅ 3.99 m=ahol:leff min 1.05 lnet⋅ lnet c+,( ):=
Az elméleti támaszköz:
zs 510 mm=zs h 2 25 10+202
+⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅ mm−:=
A felsõ és az alsó vasak közötti távolság:
d 545 mm=d h 25 10+202
+ 10+⎛⎜⎝
⎞⎠
mm−:=
A hasznos magasság:
Asw 157.08 mm2=Asw
2 φk2
⋅ π⋅
4:=
Asl 2.827 103× mm2
=Asl9 φ
2⋅ π⋅
4:=
Geometriai jellemzõk:
fyd.w 208.696N
mm2=fyd.w
fyk.w1.15
:=
Kengyel acél: B38.24
fyd 434.783N
mm2=fyd
fyk1.15
:=
Betonacél: B60.50
72
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
al12
z⋅:=
al 245.25 mm=
A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:
MS.d.maxγG g⋅ γQ q⋅+( ) leff
2⋅
8:= MS.d.max 513.423 kN m⋅=
így az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:
M.sd=514.71
1 2 3
1.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felvehetõ max. nyomatékok
A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak,elvileg megjelenik +1 db A.s.ny a felhajlított vas miatt, de ennek hatását elhanyagoljuk)
Asl.77 φ
2⋅ π⋅
4:= Asl.7 2.199 103
× mm2=
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.7 fyd⋅−( ) 0=
Ebbõl: xc- t kifejezve:Asl.7
fydα fcd b⋅⋅( )
⋅ 159.356 mm=
73
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
ξc 0.334=ξcxcd
:=
A nyomott zóna relatív magassága:
xc 182.121mm:=
Asl.8fyd
α fcd b⋅⋅( )⋅ 182.121 mm=
- t kifejezve:xcEbbõl:
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.8 fyd⋅−( ) 0=
Asl.8 2.513 103× mm2
=Asl.88 φ
2⋅ π⋅
4:=
A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak)
MRd.1 444.911 kN m⋅=MRd.1 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2
−⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅:=
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
Tehát a húzott acélbetétek megfolynak !
ξc ξco<
ξco 0.493=ξco560
fyd 700+:=
A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:
ξc 0.292=ξcxcd
:=
A nyomott zóna relatív magassága:
xc 159.356mm:=
74
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
ξc ξco<
ξco 0.493=ξco560
fyd 700+:=
A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:
ξc 0.376=ξcxcd
:=
A nyomott zóna relatív magassága:
xc 204.886mm:=
Asl.9fyd
α fcd b⋅⋅( )⋅ 204.886 mm=
- t kifejezve:xcEbbõl:
α fcd⋅ xc⋅ b⋅ Asl.9 fyd⋅−( ) 0=
Asl.9 2.827 103× mm2
=Asl.99 φ
2⋅ π⋅
4:=
A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon: (feltéve, hogy a húzott ac.betétek folynak)
MRd.2 496.031 kN m⋅=MRd.2 xc b⋅ α⋅ fcd⋅ dxc2
−⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅:=
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
Tehát a húzott acélbetétek megfolynak !
ξc ξco<
ξco 0.493=ξco560
fyd 700+:=
A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:
75
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
lb.h.net αa lb.h⋅:=
ahol :
αa 1.0= ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk
αa 0.7= ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki
mm2:= : bordás acélbetét, C20/25-as bet.szil.1. Húzott vas (φ 25):
teljes lehorgonyzási hossz:
lb.hφ fyd⋅
4 fbd⋅:= lb.h 905.797 mm=
nettó lehorgonyzási hossz:
76
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
1.4 Tehát a határnyomatéki ábra:
M.RD.2=496.031kNm
M.RD.1=444.911kNm
1 2
M.RD.3=544.042kNm
M.sd=514.71
3
Kinagyítva a legfontosabb részletet:
elm. támaszvonal
2. A határnyíróerõ ábra elõállítása
2.1 A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása:
A tartó szélén akkor kapunk max. nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terheka tartó egészén hatnak.
77
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
VS.d.AγG g⋅ γQ q⋅+( ) leff⋅
2:= VS.d.A 514.71 kN=
A középsõ keresztmetszetben akkor kapunk max. nyíróerõt, ha a teher csak a tartó felén hat.Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a nyíróerõ a tartóközepén csak a tartó felén ható hasznos teherbõl keletkezik:
VS.d.K γQ q⋅leff8
⋅:= VS.d.K 74.813 kN=
A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. A biztonság javára történõ közelítésselezt most lineárisnak vesszük fel.
Mivel az elméleti megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy közvetlenüla támaszra adódik át, így a redukált nyíróerõábra maximuma:
VSd.red VS.d.A γG g⋅ γQ q⋅+( ) d⋅−:=
VSd.red 374.1 kN=
így a mértékadó nyíróerõ ábra:
VSd.RED=374.10
VSd.K=74.813
78
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
k 1.055 m=1.6m 0.545m− 1.055 m==1.6m d−ahol :k max 1.6m d− 1.0m,( ):=
ahol k:
VRd.1.1 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=
s.1 szakaszra:
Határozzuk meg a tényleges hosszvasalás segítségével a beton által felvehetõ nyíróerõk nagyságát:
sk.b 120mm:=
A középsõ szakaszon:
sk.sz 70mm:=
A függõleges kengyelek távolsága a tartó szélsõ 1440mm-es szakaszán:
s4 780mm:=
s3 280 mm=s3leff2
s1− s2− 780mm−:=
s2 390mm:=
s1 545mm:=
Így a geometriából:
1. tartó középvonalának megszerk.2. a felh. vasak és a közép- vonal metszéspontjának meghat.3. a metszéspontok közötti szakasz felezõpontjának meghat.
kb.= z*ctgα
A felhajlított vasak hatástávolságának határai:
2.2. a határnyíróerõ ábra tervezési értékének meghatározása:
79
Vasbetonszerkezetek I VI.fejezet
Asl.7b d⋅
= 2199450 545⋅
8.966 10 3−×=
ρl 0.01=
VRd.1.2 108.302 kN=
s.3 szakaszra:
VRd.1.3 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=
ahol k:
k max 1.6m d− 1.0m,( ):= ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.545m− 1.055 m=k 1.055 m=
és ρl :
ρl minAsl.9b d⋅
0.02,⎛⎜⎝
⎞⎠
:= ahol: Asl.9b d⋅
= 2827450 545⋅
0.012=
ρl 0.012=
VRd.1.3 111.749 kN=
és ρl :
ρl minAsl.7b d⋅
0.02,⎛⎜⎝
⎞⎠
:= ahol: Asl.7b d⋅
= 2199450 545⋅
8.966 10 3−×=
ρl 8.967 10 3−×=
VRd.1.1 104.855 kN=
s.2 szakaszra:
VRd.1.2 τRd k⋅ 1.2 40 ρl⋅+( )⋅ b⋅ d⋅:=
ahol k:
k max 1.6m d− 1.0m,( ):= ahol : 1.6m d− = 1.6m 0.545m− 1.055 m=k 1.055 m=
VRd.3 2 Vwd.kengyel⋅:= Megj : EC2 előírás, hogy amennyiben nyírási vasalást alkalmazunk, a gerendára ható nyíróerő legalább felét függőleges kengyelekkel kell felvenni!