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57(F) et:! (EL

e. C’S axiomes I.2 et 1.3(b) entraiwnt pour uw fe

rw pzrrtie P de E est un dstfau sup~rieur si tz t seulernent

t .Y dii E ;t un plus it’tit majcwnt dans P. Pic?l.lS notons cet

ualit6 on ckfind fes rkeaux inf6rieurs de E.

[ 253. L’.agplicatian qui ;i une fermeturc sup&kure dt: E AAe de ses invarian s est un antimorphisme de 3 tE

de E, not6 C@ I;‘E).

2. UC? ‘une neture

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tkifk Ies conditions 24a) et 2(b) du th&x*me ne SOM pas co.,nparables rieure dans E. Cependant

ent pas 2(a). Soit Sensemble ordorm E lica tiow rMinies

omes 1 et Z(a) mais pas 1’akiome = LQ, q et ~~ ne sent yz comparabks et

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tion [ 141. Ssit E un ensemble ordonne. eile nkoran ts et;sentiek de Q Ies min

nnent B toNut rkeau sup$rieur de E cant

~bndirkw nkc~~,w~r~. Soit Q urw partie de E. L’ensemble des rkxaux rs cwtenant {j Test pas wide car il contient E. 11 admet done

wth&es, can plus etit &!ment P it .x un minor-ant de Q dam E. s-up% est un mbwrant de Q dans P. x .rrppartknt A tout r6!s~;~u sup& cur de E xWenan

ti:& rt%wu sup6rieur de E C<i:R t nant Q: supps est

me d’_Iutre pijrt SU~*~~.V majt~e S. in en &!duit ‘1 e I’ensemhle des inorants eswtt iek de Q else cofinal 3 i’ensembk des mninsran

nre. So:l,t {Pi f i E I) une famil]e de r+ u x superieurs re et dkignens par Q une partie de k Q d;ins E est inf6rieur par hypothPsc :3 un minorant

wstief de Q, y. Cet Gmcnt y appartient par dtifinitiwt Q taus les Pi minorsnt de Q dans E est done inf&kwt 2 un minu-

nt de D’aprb (3. I), P est un r&au sup&=ic~~r de E. q(E) est en+treillis complet de 9 (E ); i coon “lkrrn t un &%nent

) est un trx:illis cilmple t.

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reillis E czst d t cuatomique si tout: t%%nent de E autre 6ment universe1 61.11 treillis est major6 par un coatomc de E. Nous

erons suc~esseur i~~n~~~~~iat d’un 6lcSment de E le plus petit Mment s’if existe, de l’ensemble de SCFS majorants stricts d.ans E.

Chdihrr rtPccssairc. Un r&w coatomique de I;,’ est un r&au sup&=ieur e r&eat1 sup&itwr maximum qui est E; ii est done de la forme

E \ {s) c b s est un Mment de AK (propri& 1.7)* Soit X l’enwmblc des Sl&nrnts s de E tels qut” E \ (_I-) soit un r$seau sup6rieur et soit fUI le rtCseau supCriwr minimum. Par hypothke on a:

ce qui entraine X = E j+ P,,!. Enfin, une partie de E de la forme E \ {AT) est un r6seau supErieur si et

seulemcnt si .T a une borne sup&-ieure dans E \ (x}, c’est-A-dire si et seule- ment si x a un succes,seur imm6diat unique dans k’.

En r6sum6, tout 6l6ment de E \ P, a un wccewur imml;di;;lt unique dans E.

a un suci‘ess

M. Vincent /Des fermetures SW un ensemble ordonni

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