在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來進一步探討一些重要的相關性質。

在第二章我們學過角平分線、垂直平分線的尺規作圖，而這一個主題，我們將利用三角形的全等性質，來進一步探討一些重要的相關性質。

如圖㈠，直線 AP 為∠ EAF 的角平分線，若 D 為直線 AP 上任意一點，作 CD⊥AE ， BD⊥AF ，那麼 CD 是否會等於 BD 呢？

說明：在△ ACD 和△ ABD 中， 因為直線 AP 為∠ EAF 的角平分線，所以∠ 1 ＝∠2 ， 又 ∠ ACD ＝∠ ABD ＝ 90° ， (CD⊥AE ， BD⊥AF) AD ＝ AD ， ( 公共邊 ) 根據 AAS 全等性質，可知△ ACD △ABD ， 所以 CD ＝ BD 。 因為 D 是角平分線上的任一點，而且 CD⊥AE 、 BD⊥AF ，因此 CD 為 D 點到 AE 的距離， BD 為 D 點到 AF 的距離。由上面可知：

角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。

如右圖，已知 P 是∠ BAC 內一點， PB⊥AB 、PC⊥AC ，且 PB ＝ PC ，則 P 點是否會在∠BAC 的角平分線上？ ( 請在下面敘述的空格中，填入適當的內容 )解：連接 AP ，如右圖，在△ ABP 與△ ACP 中，∠ABP ＝ ＝ 90° ， (PB⊥AB 、 PC⊥AC)AP ＝ AP ， ( 公共邊 )PB ＝ PC ， ( 已知 )所以根據 全等性質，可知△ ABP △ACP ，所以∠ BAP ＝ ， ( 對應角相等 )因此 AP 平分 ，即 P 點會在∠ BAC 的角平分線上。

∠ACP

RHS

∠CAP∠BAC

若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平分線上。

如右圖， AD 為∠ BAC 的角平分線，且 DE⊥AB 、 DF⊥AC ，△ ABC 的面積為 21 ，AB ＝ 6 ， AC ＝ 8 ，則 DE ＝？

設 DE ＝ DF ＝ x ，由△ ABC 的面積＝△ ABD 的面積＋△ ACD 的面積，得 ，

， 7x ＝ 21 ，所以 x ＝ 3 ，故 DE ＝ 3 。

xx 82

16

2

121

DFAC2

1DEAB

2

121

如右圖，△ ABC 中， DE⊥AB 、 DF⊥AC ，且 DE ＝ DF ，∠ BAD ＝ 42° ，∠ C ＝ 60° ，求∠ B ＝？

因為 DE⊥AB 、 DF⊥AC ，且 DE ＝ DF ，根據角平分線的判別性質，可知 AD 是∠ BAC 的角平分線，所以∠ CAD ＝∠ BAD ＝ 42° ，因此∠ B ＝ 180° －∠ C －∠ BAC ＝ 180° － 60° － (42° ＋ 42°) ＝ 36°

如圖㈡，直線 L 為 AB 的垂直平分線， C 是直線 L 上任一點。那麼 AC 是否等於 BC 呢？

說明：在△ ACD 和△ BCD 中， 因為直線 L 為 AB 的垂直平分線， 所以 AD ＝ BD ，∠ CDA ＝∠ CDB ＝ 90° ， 又　 CD ＝ CD ， ( 公共邊 ) 根據 SAS 全等性質，可知△ ACD △BCD ， 所以 AC ＝ BC 。

由上面得知，如果 C 是垂直平分線上的任一點，則 AC ＝ BC 。也就是說，垂直平分線上的任一點到線段兩端點的距離會相等。

一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距離相等。

如右圖，已知 P 是 AB 外一點，且 PA ＝ PB ，則 P 點是否會在 AB 的垂直平分線上？( 請在下面敘述的空格中，填入適當的內容 )

解：過 P 點作 PM⊥AB ，交 AB 於 M 點，如下圖，在△ APM 與△ BPM 中，∠AMP ＝∠ BMP ＝ 度， ( 由作圖得知 )PA ＝ ， ( 已知 )PM ＝ PM ， ( 公共邊 )所以根據 全等性質，可知△ APM △BPM ，所以 AM ＝ BM ， ( 對應邊相等 )因此 PM 為 的垂直平分線，即 P 點會在 AB 的垂直平分線上。

90

RHS

PB

AB

若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。

如右圖，已知 PA ＝ PB 。如果先作 AB 的中點 D ，連接PD ，則是否可以得到 PD⊥AB 的結論？

在△ APD 與△ BPD 中，因為 PA ＝ PB ， AD ＝ BD ， PD ＝ PD ，由 SSS 全等性質可知△ APD △BPD ，因此∠ PDA ＝∠ PDB ，又∠ PDA ＋∠ PDB ＝ 180° ，所以∠ PDA ＝∠ PDB ＝ 90° ，故 PD⊥AB 。

如右圖，直線 L 為 BC 的中垂線，若△AEC 的周長為 26 ， BD ＝ 8 ，則△ ABC 的周長為多少？

因為直線 L 為 BC 的中垂線，所以 BE ＝ CE ，又　 BD ＝ CD ，所以 BC ＝ 2×BD ＝ 2×8 ＝ 16 ，故△ ABC 的周長 ＝ AB ＋ AC ＋ BC ＝ AE ＋ BE ＋ AC ＋ BC ＝ AE ＋ CE ＋ AC ＋ BC ＝ 26 ＋ 16 ＝ 42 。

如右圖，△ ABC 中，∠ A ＝ 90° ， DE⊥BC ，且 BE ＝ CE ，若 AB ＝ 5 、 BD ＝ ，則△ ABE 的周長為多少？ 2

13

因為 BE ＝ CE ， DE⊥BC ，根據垂直平分線的判別性質，可知 DE 為 BC 的垂直平分線，即 D 為 BC 的中點，因此 BC ＝ 2×BD ＝ 2× ＝ 13 ，因為△ ABC 為直角三角形，∠ A ＝ 90° ，所以 AC ＝ ，因此△ ABE 的周長 ＝ AB ＋ AE ＋ BE ＝ AB ＋ AE ＋ CE ＝ AB ＋ AC ＝ 5 ＋ 12 ＝ 17 。

2

13

12513ABBC 2222

一個三角形如果有兩邊等長，則這個三角形就是等腰三角形。在 2-2 節線對稱圖形時，曾經學過等腰三角形的一些性質，接下來，我們將利用三角形的全等性質來進一步說明這些性質。

小學曾經利用摺紙的方法，得到「等腰三角形兩底角相等」的性質，現在我們也可以利用三角形的全等性質得到相同的結果。

如圖㈢，△ ABC 為等腰三角形，其中 AB ＝ AC ，則∠ B ＝∠ C 。

說明：作∠ A 的角平分線交 BC 於 D 點，如圖㈣。 在△ ABD 和△ ACD 中， AB ＝ AC ， ( 已知 ) ∠BAD ＝∠ CAD ， (AD 為∠ A 的角平分線 ) AD ＝ AD ， ( 公共邊 ) 根據 SAS 全等性質，可知△ BAD △CAD ， 所以∠ B ＝∠ C 。

由上面說明過程可以知道△ BAD △CAD ，因此我們也可以進一步得到︰

⑴ BD ＝ CD ，所以 AD 平分 BC 。 ⑵∠BDA ＝∠ CDA ，而∠ BDA ＋∠ CDA ＝ 180° ，

所以∠ BDA ＝∠ CDA ＝ 90° ，即 AD⊥BC 。因此 AD 會垂直且平分 BC 。由以上可知，等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。

如右圖，若△ ABC 中，∠ B ＝∠ C 。請說明 AB ＝ AC 。 ( 請在下面敘述的空格中，填入適當的內容 )

解：作∠ A 的角平分線交 BC 於 F 點，如下圖。 在△ BAF 和△ CAF 中， ∠B ＝ ， ( 已知 ) ∠BAF ＝ ， (AF 平分∠ BAC) AF ＝ AF ， ( 公共邊 ) 根據 全等性質 ，可知△ BAF △CAF ， 所以 AB ＝ AC 。

∠C∠CAF

AAS

若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三角形。

由前面我們知道，等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。但是，反過來說：等腰三角形底邊的垂直平分線是否會通過頂點且平分頂角呢？

如圖㈤，已知等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，且 D 為 BC的垂直平分線上一點，請依序回答下列問題。⑴ 請問 A 點是否會在 BC 的垂直平分線上？

⑵ 設 AD 為底邊 BC 的垂直平分線，則∠ BAD 是否等於∠ CAD ？

會。因為 AB ＝ AC ，根據垂直平分線的判別性質，所以 A 點會在的垂直平分線上。

是。因為△ ABD 和△ ACD 中，∠ B ＝∠ C ，∠ADB ＝∠ ADC ＝ 90° ，根據三角形的內角和定理，可知∠ BAD ＝∠ CAD 。

由問題探索 1 ，我們可以得到，等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。

由以上可知：

⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。

如右圖，△ ABC 中，已知 D 為 BC 上一點，若 AB ＝ AD ＝ CD ，且∠ C ＝ 32° ，則：

⑴∠B ＝？ ⑵∠BAD ＝？

⑴△ACD 中，因為 AD ＝ CD ， ( 已知 ) 根據等腰三角形的性質，得知∠ 1 ＝∠ C ＝ 32° ， 根據三角形的外角定理，得知∠ 2 ＝∠ 1 ＋∠ C ＝ 64° ， △ABD 中， AB ＝ AD ， ( 已知 ) 所以由等腰三角形的性質，得到∠ B ＝∠ 2 ＝ 64° 。⑵ 在△ ABD 中，可利用三角形的內角和定理， 得知∠ BAD ＝ 180° －∠ B －∠ 2 ＝ 180° － 64° － 64° ＝ 52°

如右圖，△ ABC 中， BD ＝ BE ， CD ＝ CF ，若∠ B ＝ 70° ，∠ C ＝ 40° ，則∠ EDF ＝？

因為 BD ＝ BE ，得到∠ 1 ＝∠ 2 ，所以∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 180° －∠ B ，因此∠ 2 ＝ (180° －∠ B)÷2 ＝ (180° － 70°)÷2 ＝ 55° ，因為 CD ＝ CF ，得到∠ 3 ＝∠ 4 ，所以∠ 3 ＋∠ 4 ＝ 180° －∠ C ，因此∠ 3 ＝ (180° －∠ C)÷2 ＝ (180° － 40°)÷2 ＝ 70° ，故∠ EDF ＝ 180° －∠ 2 －∠ 3 ＝ 180° － 55° － 70° ＝ 55°

如右圖，等腰△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，AD 平分∠ BAC ， CE 平分∠ ACB ，若∠ B ＝ 60° ， AB ＝ 6 ，則：

⑴∠AEC ＝？ ⑵△ABC 的面積是多少？

⑴ 等腰△ ABC 中，因為 AB ＝ AC ， 所以∠ ACB ＝∠ B ＝ 60° ，因此∠ BAC ＝ 60° ， 因為 AD 平分∠ BAC ， CE 平分∠ ACB ， 所以∠ 2 ＝∠ 4 ＝ ×60° ＝ 30° ，

因此∠ AEC ＝ 180° －∠ 2 －∠ 4 ＝ 180° － 30° － 30° ＝ 120°

2

1

⑵ 根據等腰三角形頂角的平分線會垂直平分底邊， 得知 AD⊥BC ， BD ＝ CD ， 又由⑴得知△ ABC 的三個角都是 60° ， 所以△ ABC 為正三角形，得 BD ＝ ×BC ＝ ×6 ＝3 ， 因此 AD ＝ ， 所以△ ABC 的面積＝ ×BC×AD ＝ ×6× 。

2

1

2

1

3336BDAB 2222

2

1

2

1 3933

如右圖，等腰△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，AD 垂直平分 BC ， CE 平分∠ ACB 。若∠ B ＝ 50° ，則∠ AEC ＝？

等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝ 50° ，所以∠ C ＝ 50° ，∠ BAC ＝ 180° － 50°×2 ＝ 80° ，因為 CE 平分∠ ACB ，所以∠ 1 ＝∠ 2 ＝ ×∠ACB ＝ ×50° ＝ 25° ，因為 AD 垂直平分 BC ，所以 AD 會平分等腰三角形的頂角，即平分∠ BAC ，因此∠ 3 ＝ ∠ BAC ＝ ×80° ＝ 40° ，故∠ AEC ＝ 180° －∠ 1 －∠ 3 ＝ 180° － 25° － 40° ＝ 115° 。

2

12

1

2

1

2

1

角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。 例 已知 AP 平分∠ BAC ，且 BP⊥AB ， CP⊥AC ， 則 BP ＝ CP 。

若一點到某角的兩邊距離相等，則此點會在該角的角平分線上。例 若 BP⊥AB 、 CP⊥AC ，且 BP ＝ CP ， 則 AP 會平分∠ BAC 。

一線段的垂直平分線上任一點到此線段的兩端點距 離相等。例 如右圖，已知 L 垂直平分 AB ， P 點在 L 上， 則 AP ＝ BP 。

若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。例 如右圖，若 AP ＝ BP ，則 P 點會在 AB 的垂

直平 分線上。

⑴ 等腰三角形的兩個底角會相等。⑵ 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。⑶ 等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平 分頂角。例 如右圖，△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ： ① 則∠ B ＝∠ C 。 ② 若 AD 平分∠ BAC ， 則 AD⊥BC 且 BD ＝ CD 。 ③ 若 AD⊥BC 且 BD ＝ CD ， 則 AD 平分∠ BAC 。

若三角形的兩個內角相等，則此三角形必為等腰三 角形。例 如右圖，若∠ B ＝∠ C ，則 AB ＝ AC 。

右圖△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， BD 為∠ ABC 的角平分線，若 AB ＝ 16 ， CD ＝ 3 ，則△ ABD 的面積為多少？作 DE⊥AB ，且交 AB 於 E 點，因為 BD 為∠ ABC 的角平分線，所以 DE ＝ CD ＝ 3 ，因此△ ABD 面積＝ ×AB×DE

＝ ×16×3 ＝ 24 。2

1

2

1

如右圖，△ BCD 中，直線 L 為 CD 的垂直平分線，交 BD 於 A 點，若∠ ACB ＝ 90° ， BC ＝ 4 ， BD ＝ 8 ，則AD ＝？

因為 L 為 CD 的垂直平分線，所以 AD ＝ AC ，設 AD ＝ AC ＝ x ，則 AB ＝ 8 － x ，直角△ ABC 中， AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ，所以 (8 － x)2 ＝ x2 ＋ 42 ，64 － 16x ＋ x2 ＝ x2 ＋ 16 ，得到 x ＝ 3 ，故 AD ＝ 3 。

如右圖，已知 B 、 C 、 D 三點在同一直線上，AB ＝ AC ， EC ＝ ED ，若∠ A ＋∠ E ＝ 160° ，求∠ ACE ＝？

因為 AB ＝ AC ， EC ＝ ED ，得到∠B ＝∠ 1 ，∠ 2 ＝∠ D ，又∠ A ＋∠ E ＝ 160° ，所以∠ A ＋∠ B ＋∠ 1 ＋∠ E ＋∠ 2 ＋∠ D ＝ 360° ，160° ＋ (∠B ＋∠ 1) ＋ ( 2∠ ＋∠ D) ＝ 360° ，2 1∠ ＋ 2 2∠ ＝ 200° ，得到∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 100° ，所以∠ ACE ＝ 180° － ( 1∠ ＋∠ 2) ＝ 180° － 100° ＝ 80° 。