การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การประยุกตของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

1. ทบทวนการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

ความหมายของสมการ

สมการ เปนประโยคท่ีแสดงการเทากันของจํานวน โดยมีสัญลักษณ = บอกการเทากัน

สมการอาจมีตัวแปรหรือไมมีตัวแปรกไ็ด เชน 4x – 2 = 15 เปนสมการท่ีมี x เปนตัวแปร และ 12 – 25 = – 13 เปนสมการท่ีไมมีตัวแปร

สมการซ่ึงมี x เปนตัวแปรและมีรูปท่ัวไปเปน ax + b = 0 เม่ือ a, b เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 เรียกวา “สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว”

ตอไปนี้เปนตัวอยางของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

1.) 4x = 0 2.) 31

x – 4 = 0 3.) –1.5y + 1.5 = 0 4.) 2 – 3x = 0

* สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวบอกอะไรแกเรา ? ตอบ จริง ๆ แลว เราใชอักษรภาษาอังกฤษตวัพิมพเล็ก เชน a, b, c, ..., x, y, z แทนตัวแปร แตท่ีเราพบเห็นอยูเสมอ ๆ คือ

ตัวแปร x และ y เพราะสามารถเขียนกราฟของสมการในระบบพิกดัฉาก XY ได ตัวอยางเชน 1. 4x = 0 นํา 4 มาหารทั้งสองขางของสมการ

44x

= 40

x = 0

พิจารณาสมการ x = 0 จะเหน็วาไมวาคา y จะเปนเทาใด จะไดคา x = 0 เสมอ เชน ..., (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), ... เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี ้ จะเห็นวา สมการ x = 0 ก็คือแกน Y นั่นเอง เพราะทุกพิกัดบนแกน Y มีคา x = 0

1 2 3

-3 -2 -1

X = 0

Y

X

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

2. 31

x – 4 = 0

นํา 4 มาบวกทั้งสองขางของสมการ

31

x – 4 + 4 = 0 + 4

31

x = 0

นํา 3 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

31

x (3) = 4 (3)

x = 12

3. –1.5y + 1.5 = 0

นํา 1.5 มาลบท้ังสองขางของสมการ –1.5y + 1.5 – 1.5 = 0 – 1.5 –1.5y = –1.5 นํา –1.5 มาหารท้ังสองขางของสมการ

)5.1( y1.5)(

−−

= )5.1( 1.5)(

−−

y = 1

จากท้ังสามตัวอยางขางตน แสดงใหเห็นวา

• สมการ x = จํานวนจริงใด ๆ เชน x = 2, x = 5, x = 41−

เปนกราฟเสนตรงท่ีขนานแกน Y

และสมการ x = 0 คือแกน Y นั่นเอง

• สมการ y = จํานวนจริงใด ๆ เชน y = 2, y = 5, y = 4

1− เปนกราฟเสนตรงท่ีขนานแกน X

และสมการ y = 0 คือแกน X นั่นเอง

“มองภาพไดงายข้ึนแลวใชไหมครับ การท่ีเราสามารถมองภาพรวมของสมการ และรูวิธีแกสมการที่ถูกวิธี ทําใหเราหาคําตอบไดอยางรวดเร็ว และประหยัดเวลาในการคิดไดมากทีเดยีว” ☺

พิจารณาสมการ x = 12 จะเห็นวาไมวาคา y จะเปนเทาใด จะไดคา x = 12 เสมอ เชน ..., (12, -2), (12, -1), (12, 0), (12, 1), (12, 2), ... เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี ้ จะเห็นวา สมการ x = 12 ขนานแกน Y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

พิจารณาสมการ y = 1 จะเห็นวาไมวาคา x จะเปนเทาใด จะไดคา y = 1 เสมอ เชน ..., (-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), ... เขียนกราฟเสนตรงในระบบพิกัดฉาก XY ไดดังนี ้ จะเห็นวา สมการ y = 12 ขนานแกน X

1 2 3

-3 -2 -1

4

y = 1

Y

x = 12 X

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

คําตอบของสมการ คือ จํานวนท่ีแทนตัวแปรในสมการแลว ทําใหสมการเปนจริง ซ่ึงการแกสมการ คือ การหาคําตอบของสมการนั่นเอง

สามารถใชสมบัติของการเทากัน ไดแก สมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ เพื่อหาคําตอบของสมการได

สมบัติของการเทากัน มีดังนี้ 1. สมบัติสมมาตร ถา a = b แลว b = a เชน 68 = 4x

∴ 4x = 68 2. สมบัติถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c เชน ถา x = 6 – 4 และ 6 – 4 = 2 แลว x = 2

ถา y = 54

x และ 54

x = 7 แลว y = 7

3. สมบัติการบวก ถา a = b แลว a + c = b + c เชน ถา a = 5 แลว a + 7 = 5 + 7 ถา 2 – b = 4 แลว 2 – b – 2 = 4 – 2 4. สมบัติการคูณ ถา a = b แลว ac = bc เชน ถา 3 + n = 4m แลว 4 (3 + n) = 4(4m) ถา 8n – 2 = 12 แลว 2 (4n – 1) = 2 (6) แตท่ีกลาวมาขางตนนั้นมันแคหลักการครับ เวลาแกสมการจริง ๆ แลว วิธีคิด “ใหไว” และ “ไดผล” ดังตอไปนี้ครับ 1. จัดรูปสมการไมใหติดเศษสวนหรือทศนิยม 2. จัดรูปสมการในขอ 1. ใหเปนรูปอยางงาย 4. ยายขางตัวเลขอยูสวนตัวเลข ตัวแปรอยูสวนตัวแปร โดยอาศัยหลักการเคร่ืองหมายตรงขาม ดังนี ้ ยายขาง + ใหเปน – ยายขาง – ใหเปน + ยายขาง × ใหเปน ÷ ยายขาง ÷ ใหเปน ×

การแยกตัวประกอบ ซ่ึงเปนบทกลับของสมบัติการคูณ

จํางายไหมครับ เคร่ืองหมายตรงขามนั่นเอง ลองดูตัวอยางตอไปนี้ครับ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 1 จงแกสมการ y21

− + 32

= 21

วิธีทํา วิธีตามหนังสือ

y21

− + 32

= 21

นํา 32

มาลบท้ังสองขางของสมการ

จะได y21

− + 32

– 32

= 21

– 32

y21

− = 61

−

นํา –2 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− y

21

(– 2) = 61

− (– 2)

y = 31

ตัวอยางท่ี 2 จงแกสมการ 31

(p – 5) = 2p – 1

วิธีทํา วิธีตามหนังสือ

31

(p – 5) = 2p – 1

นํา 3 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

จะได 31

(p – 5) (3) = 3 (2p – 1)

p – 5 = 6p – 3 นํา –6 มาบวกท้ังสองขางของสมการ จะได –6p + p – 5 = 6p – 3 – 6p

–5p – 3 = –3 นํา 5 มาบวกทั้งสองขางของสมการ จะได –5p – 5 + 5 = –3 + 5 –5p = 2 นํา –5 มาหารท้ังสองขางของสมการ

จะได 5

5p−−

= 5

2−

p = 52−

13 บรรทัด ซ่ึงยาวนะครับ.

วิธีของเรา

y21

− + 32

= 21

ยาย + 32

จากบวกเปนลบ (ยายตัวเลขใหอยูฝงเดียวกัน)

y21

− = 21

– 32

= 61

−

ยาย – 2 จากหารเปนคูณ

y = 61

− (– 2) = 31

ขอนี้มันส้ันครับ ดูขอตอไปจะเหน็ความแตกตางอยางชัดเจน

วิธีของเรา

31

(p – 5) = 2p – 1

p – 5 = 3 (2p – 1) = 6p – 3 (ยาย 3 จากหารเปนคูณ) –5 + 3 = 6p – p (ยายเลขมาฝงเลข ตัวแปรมาฝงตัวแปร) –2 = 5p 5p = –2 (สมบัติสมมาตร)

p = 52−

(ยาย 5 จากคูณเปนหาร)

6 บรรทัด ส้ันและเร็วกวาไหมครับ?

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 3 จงแกสมการ x38

= x56

+ 22

วิธีทํา จากโจทยจะเห็นวา เรายาย 5 จากหารไปคูณกับ x38

ไมได เพราะ 5 ไมใชตัวหารของเลขท้ังหมด

ตองยายชุดตัวแปรมาฝงเดียวกัน

จะได x38

– x56

= 22

x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

56

38

= 22 (ดึง x ท่ีเปนตัวประกอบรวมออกมา)

x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

151840

= 22 (หา ค.ร.น. ของ 3 และ 5 เพื่อลบเศษสวน)

x = 22 × 2215

(ยายขางหารเปนคูณ; คูณเปนหาร)

x = 15 ขอนี้เราทํา 5 บรรทัดครับ แตหนังสือทํา 11 บรรทัด ตอบ ตัวอยางท่ี 4 จงแกสมการ 3 (y – 6) – 2 (5 + 3y) = 5 วิธีทํา คูณตัวประกอบรวมเขาไปใหไดเอกนามแตละตัว แลวจบัตัวเลขคูตัวเลข ตัวแปรคูตัวแปร 3y – 18 – 10 – 6y – 5 = 0 (ยาย 5 มาดวย เปน –5) –3y – 33 = 0 บางคนเกงแลวทําอยางนีไ้ดเลย ยาย –3y เปน 3y จะได 0 = –3y – 33 –33 = 3y

3y = –33 333−

= y

y = 333−

= –11 y = –11 ตอบ

ตัวอยางท่ี 5 จงแกสมการ 3

1)2(x9x −− =

65x4−

วิธีทํา แกปญหาเศษสวนกอนเลยครับ หา ค.ร.น. ของ 9, 3 และ 6 ได 18 นํา 18 มาคูณท้ังสองขางของสมการ

(18) 9x

– 3

1)(18)2(x− = (18)

65x)(4−

2x – 12x + 12 = 12 – 15x 2x – 12x + 15x = 12 – 12 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร 5x = 0 x = 0 ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 6 จงแกสมการ )a(23

7a−−

+ =

65a−

วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 3 และ 6 ท้ังสองขางของสมการ

(6) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

37a

– 6 (2 – a) = 6 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

65a

2a + 14 – 12 + 6a = a – 5 2a + 6a – a = –5 – 14 + 12 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร 7a = –7

a = 7

7− = –1 ตอบ

ตัวอยางท่ี 7 จงแกสมการ 15)(x103

126x

152x

+=+

+

วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 15, 12 และ 10 นั่นคือ 60 ท้ังสองขางของสมการ

(60) 152x

+ 60 12

6)(x+ = (60)

103

(x + 15)

8x + 5x + 30 = 18x + 270 8x + 5x – 18x = 270 – 30 –5x = 240

x = 5

240−

= –48 ตอบ

ตัวอยางท่ี 8 จงแกสมการ 4.5 (2 – 3x) + 0.8x = 2.3 (x + 30) วิธีทํา คูณตัวประกอบเขาไป เพื่อใหไดเอกนามแตละตัว (4.5) (2) – (4.5) (3x) + 0.8x = 2.3x + (2.3) (30) 9 – 13.5x + 0.8x = 2.3x + 69 –13.5x + 0.8x – 2.3x = 69 – 9 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร –15x = 60

x = 15

60−

= –4 ตอบ

ตัวอยางท่ี 9 จงแกสมการ 0.12y – 1.6 (y – 2) = 6.8 – 1.28y วิธีทํา คูณตัวประกอบเขาไป เพื่อใหไดเอกนามแตละตัว 0.12y – 1.6y + 3.2 = 6.8 – 1.28y 0.12y – 1.6y + 1.28y = 6.8 – 3.2 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร –0.2y = 3.6

y = 2.0

6.3−

= –18 ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 10 จงแกสมการ 8

25x2

12x4

3x52

52x −−

−=

+−

−

วิธีทํา กําจัดตัวสวนโดยการคูณดวย ค.ร.น. ของ 2, 4 และ 8 นั่นคือ 8 ท้ังสองขางของสมการ

4

3x)8(52

5)8(2x +−

− =

82)8(5x

21)8(2x −−

−

8x – 20 – 10 – 6x = 8x – 4 – 5x + 2 8x – 6x – 8x + 5x = –4 + 2 + 20 + 10 ยายตัวเลขมาฝงตัวเลข ตัวแปรไปฝงตัวแปร –x = 28

x = 1

28−

= –28 ตอบ

2. การนําไปใช ข้ันตอนการแกสมการจากประโยคสัญลักษณเปนดังน้ี

เร่ิมตน → อานและวิเคราะหโจทย → กําหนดตัวแปร → วิเคราะหเง่ือนไขในโจทย

และเขียนสมการ → แกสมการ

จบ ← แสดงคําตอบ ← ตรวจคําตอบของสมการ

ตามเง่ือนไขโจทย

2.1 ปญหาเกี่ยวกับจํานวน

ตัวอยางท่ี 11 ผลบวกของจํานวนสองจํานวน คือ 14 ถาจาํนวนหน่ึงนอยกวาอีกจํานวนหน่ึงอยู 40 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น วิธีทํา ให x แทนจํานวนเต็มจํานวนหน่ึง อีกจํานวนหนึง่นอยกวาจํานวนแรกอยู 40 แทนดวย x – 40 เนื่องจากผลบวกของท้ังสองจํานวน คือ 14 จะไดสมการเปน x + (x – 40) = 14 x + x – 40 = 14 2x = 14 + 40 = 54

x = 2

54 = 27

ดังนั้น จํานวนเต็มตัวแรก คือ 27 และจํานวนเต็มตัวท่ีสอง คือ 27 – 40 = –13 ตรวจคําตอบ โจทยกําหนดใหผลบวกของจํานวนสองจํานวน คือ 14 แทนคา 27 + (–13) = 27 – 13 = 14 จริง ดังนั้น จํานวนเต็มท้ังสองจํานวน คือ 27 และ –13 ตอบ

ไมจริง

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 12 ผลบวกของจํานวนคูส่ีจํานวนเรียงติดกันเทากับ 212 จงหาจํานวนท้ังส่ี วิธีทํา พิจารณาจํานวนคูเรียงติดกัน เชน 2, 4, 6, ... เราจะเขียนแทนจํานวนเหลานี้ไดวา 2, 2+2, 2+4, ... นั่นคือ ถาสมมติใหจํานวนแรกเปน x จะได x, x+2, x+4, ... ดังนั้น แปลงโจทยเปนประโยคสัญลักษณได x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 212 x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 212 4x + 12 = 212 4x = 212 – 12 = 200

x = 4

200 = 50

ดังนั้น จํานวนคูท่ีเรียงติดกัน x, x + 2, x + 4 และ x + 6 คือ 50, 52, 54 และ 56 ตอบ

1. จงหาจํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกนั ซ่ึงมีผลบวกเปน –255 วิธีทํา สมมติใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวนเรียงติดกัน คือ x, x + 1, x + 2 เขียนประโยคสัญลักษณ x + (x + 1) + (x + 2) = –255 x + x + 1 + x + 2 = –255 3x + 3 = –255 3x = –255 – 3 = –258

x = 3258−

= –86

ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวน x, x + 1, x + 2 คือ –86, –86 + 1, –86 + 2 หรือ –86, –85, –84 ตอบ

อยางท่ีพี่เคยบอกวา การจะประสบความสําเร็จในการสอบได ตองตะลุยทําโจทยใหมาก ๆ ง้ัน...เรามาตะลุยทําโจทยกนัดีกวาครับ.

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

2. จงหาจํานวนค่ีสามจํานวนท่ีเรียงติดกัน ซ่ึงมีผลบวกเปน –87 วิธีทํา สมมติใหจํานวนค่ีตัวแรก คือ x ดังนั้น จํานวนค่ีสามจาํนวนเรียงติดกัน คือ x, x + 2, x + 4 จากโจทยเขียนประโยคสัญลักษณ x + (x + 2) + (x + 4) = –87 x + x + 2 + x + 4 = –87 3x + 6 = –87 3x = –87 – 6 = –93

x = 393−

= –31

ดังนั้น จํานวนเต็มสามจํานวน x, x + 2, x + 4 คือ –31, –31 + 2, –31 + 4 หรือ –31, –29, –27 ตอบ จะเห็นวา แนวคิดของขอ 1 และ ขอ 2 นั้นเหมือนกัน ถาจํานวนเต็มเรียงติดกนั คือ x, x + 1, x + 2. ... ถาจํานวนเต็มคู หรือจํานวนเต็มค่ีเรียงติดกัน คือ x, x+2, x+4, ... เพราะจํานวนคูหรือจํานวนค่ีท่ีเรียงติดกัน จะมีคาหางกัน 2 หนวย 3. ผลบวกของจํานวนเต็มสองจํานวนเปน –61 ถาจาํนวนหนึ่งนอยกวาสามเทาของอีกจํานวนหน่ึงอยู 17 จงหาจาํนวนสองจํานวนนัน้ วิธีทํา กําหนดใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x, ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่ง คือ –61 – x เพราะ จํานวนสองจํานวนบวกกัน = –61 หมายถึง x + (–61 – x) = x – 61 – x = –61 จริง กําหนดใหจํานวนท่ีมากกวา คือ x และจํานวนท่ีนอยกวา คือ –61 – x ดังนั้น เขียน “จํานวนหน่ึงนอยกวาสามเทาของอีกจํานวนหน่ึงอยู 17” เปนประโยคสัญลักษณได 3x – (–61–x) = 17 จาก 3x – (–61 – x) = 17 3x + 61 + x = 17 4x = 17 – 61 = –44 x = –11 ถาจํานวนแรกคือ –11 อีกจํานวนหนึง่ คือ –61 – x หรือ –61 – (–11) = –61 + 11 = –50 ตอบ ขอสังเกต ถาเรากําหนดให –61 – x เปนจํานวนท่ีมากกวา และ x เปนจํานวนท่ีนอยกวา ลองคํานวณแบบนี้ดูนะครับ ; 3 (–61 – x) – x = 17 –183 – 3x – x = 17 –4x = 17 + 183 = 200

x = 4

200−

= –50

เม่ือ x = –50 ดังนั้น –61 – x คือ –61 – (–50) = –61 + 50 = –11 เชนกัน

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

Hint : คําถามลักษณะใครมากกวาใคร ใครนอยกวาใคร มากหรือมากนอยกวาอยูเทาไร ... นากลัวมาก!!! เพราะนอง ๆ ตีความกันไมเปน คนท่ัวไปตีความอยางนี ้ → พี่มีเงินมากกวาฉันอยู 3 บาท ตีความเปน พี่ > ฉัน = 3 บาท ซ่ึงประโยคสัญลักษณ พี่ > ฉัน = 3 บาท นั้น มันใชแกปญหาไมไดครับ เพราะมีท้ังเคร่ืองหมาย > และ = อยูในประโยคเดียวกัน คนคิดเกงตีความอยางนี ้ → พี่มีเงินมากกวาฉันอยู 3 บาท แปลวา เงินพี่ลบเงินฉันเทากับ 3 บาท เขียนเปนประโยคสัญลักษณได พี่ – ฉัน = 3 บาท อยางนี้จึงจะเรียกไดวา “คิดได” และ “คิดเปน” ครับ

4. จํานวนคูสองจํานวนเรียงติดกัน เม่ือนํา 6 มาลบออกจากจํานวนท่ีมากกวา แลวคูณดวย 3 จะไดผลลัพธเทากับเม่ือนํา 4 มาบวก

กับจํานวนท่ีนอยกวา แลวคูณดวย 7 จงหาจํานวนคูสองจาํนวนนั้น วิธีทํา จํานวนคูสองจาํนวนเรียงติดกัน ใหจํานวนแรก คือ x ดังนั้น อีกจํานวนหนึ่งคือ x + 2 ใหจํานวนท่ีมากกวา คือ x + 2 จํานวนท่ีนอยกวา คือ x จากประโยคภาษาขางตน เขียนเปนประโยคสัญลักษณไดดังนี ้ [(x + 2) – 6] × 3 = [4 + x] × 7 แกสมการคา x ไดดังนี ้ จาก [(x + 2) – 6] × 3 = [4 + x] × 7 (x – 4) (3) = (x + 4) 7 ; [4 + x = x + 4] 3x – 12 = 7x + 28 –12 – 28 = 7x – 3x 4x = –40

x = 440−

= –10

ถาจํานวนแรก คือ x = –10 ดังนั้น อีกจํานวนหน่ึง คือ x + 2 = –10 + 2 = –8 ตอบ 5. ถาผลบวกของจํานวนเต็มสองจํานวนเทากับ 20 และผลตางของสองจํานวนนั้นเทากับ 2 จงหาจํานวนสองจาํนวนนั้น วิธีทํา สมมติใหจํานวนเต็มตัวแรก คือ x ดังนั้น จํานวนเต็มอีกตัวหนึ่ง คือ 20 – x จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได x – (20 – x) = 2 x – 20 + x = 2 2x = 2 + 20 = 22

x = 2

22 = 11

ถาจํานวนแรก คือ 11 ดังนั้น อีกจํานวนหน่ึง คือ 20 – x = 20 – 11 = 9 ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

6. จํานวนเต็มสองจํานวน จาํนวนแรกนอยกวาจํานวนท่ีสองอยู 15 ถาคูณจาํนวนแรกดวย 3 และบวกดวยสองเทาของจํานวนท่ีสอง จะไดผลลัพธเปน 80 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น

วิธีทํา โจทยกําหนดใหจํานวนแรกนอยกวาจํานวนท่ีสองอยู 15 สมมติใหจํานวนแรก คือ x จํานวนท่ีสอง คือ 15 + x จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได 3x + 2 (15 + x) = 80 แกสมการได 3x + 2 (15) + 2x = 80 5x = 80 – 30 = 50

x = 5

50 = 10

ถาจํานวนแรก คือ 10 ดังนั้น อีกจํานวนหน่ึง คือ 15 + x = 15 + 10 = 25 ตอบ 7. นตท.ผานฟา สอบแขงขันคณิตศาสตรสองคร้ัง แตละคร้ังคะแนนเต็ม 100 คะแนน คร้ังแรกเขาสอบได 75 คะแนน

เขาตองสอบคร้ังท่ีสองใหไดคะแนนเทาใด จึงจะไดคะแนนเฉล่ียของการสอบท้ังสองคร้ังเปน 80 คะแนน

วิธีทํา คะแนนเฉล่ียของการสอบท้ังสองคร้ัง = 2

ั ้งที่สองคะแนนสอบคร ั ้งแรกคะแนนสอบคร +

แทนคาได 80 = 2

ั ้งที่สองคะแนนสอบคร75+

ดังนั้น คะแนนสอบคร้ังท่ีสอง = 80 (2) – 75 = 85

∴ เขาตองทําคะแนนสอบคร้ังท่ีสองใหได 85 คะแนน จึงจะไดคะแนนเฉล่ียของการสอบท้ังสองคร้ังเปน 80 คะแนน ตอบ

8. นักเรียนหองหน่ึงมีจํานวนนักเรียนหญิงเปนสองเทาของจํานวนนกัเรียนชาย ถามีนักเรียนชายยายมาเพิ่ม 6 คน

และนักเรียนหญิงยายออก 5 คน แลวนกัเรียนชายกับนักเรียนหญิงจะมีจํานวนเทากนั จงหาจํานวนนักเรียนในหองนี้ วิธีทํา กําหนดใหมีจาํนวนนักเรียนชาย x คน ดังนั้น มีจํานวนนักเรียนหญิง 2x คน นักเรียนชายเพิม่ 6 คน หมายถึง x + 6 นักเรียนหญิงลด 5 คน หมายถึง 2x – 5

โจทยกําหนดให x + 6 = 2x – 5 แกสมการได 6 + 5 = 2x – x x = 11

ดังนั้น นกัเรียนในหองนี้มีจาํนวน x + 2x = 11 + 2 (11) = 11 + 22 = 33 คน ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

9. ลวดหนามขดหนึ่งยาว 36 เมตร นําไปลอมร้ัวรอบพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผาท่ีมีดานกวางส้ันกวาดานยาว 4 เมตร ไดพอด ี จงหาขนาดของรูปส่ีเหล่ียมผืนผานี้

วิธีทํา x + 4

x x

x + 4

ถาสมมติใหความกวางของรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว x เมตร ดังนั้น ใหความยาวของรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว x + 4 เมตร จากรูปและโจทย x + x + (x + 4) + (x + 4) = 36 เมตร x + x + x + 4 + x + 4 = 36 4x + 8 = 36

x = 4

836− =

428

= 7 เมตร

ดังนั้น ส่ีเหล่ียมผืนผารูปน้ี กวาง 7 เมตร ยาว 7 + 4 หรือ 11 เมตร ตอบ

10. แมแบงท่ีนาใหลูกสองคน คนแรกไดรับ 52

ของท่ีมีอยู คนท่ีสองไดนอยกวาคนแรก 5 ไร ปรากฏวาแมยงัเหลือท่ีนาอยูอีก 15 ไร

จงหาวาเดิมแมมีท่ีนากี่ไร วิธีทํา ถาท่ีนาถูกแบงใหลูกสองคน

สมมติใหท่ีนาท้ังหมดมี x ไร ลูกคนแรกไดรับ 52

x ไร คนท่ีสองไดรับ 52

x – 5 ไร

จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณได x = 52

x + ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −5x

52

+ 15

x = 52

x + 52

x – 5 + 15

x – 52

x – 52

x = –5 + 15 = 10

x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

52

52

1 = 10

x51

= 10

x = 10 (5) = 50 ดังนั้น เดิมแมมีท่ีนารวม 50 ไร ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

11. สามปท่ีแลวบุตรมีอายุเทากับหนึ่งในหาของอายุปจจุบันของบิดา อีกหาปขางหนาบิดาจะมีอายุมากกวาอายขุองบุตร 25 ป จงหาอายุปจจบัุนของบิดาและบุตร

วิธีทํา กําหนดใหปจจุบันบิดาอาย ุ x ป ทําใหสามปท่ีแลวบุตรมีอายุ 5x

ป

ดังนั้น ปจจุบันบุตรอาย ุ 5x

+ 3 ป

ทําใหอีกหาปขางหนาบิดาอาย ุ x + 5 ป และบุตรอาย ุ 535x

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + =

5x

+ 8 ป

จากโจทยเขียนเปนประโยคสัญลักษณไดวา (x + 5) – ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 8

5x

= 25

x + 5 – 5x

– 8 = 25

x – 5x

= 25 – 5 + 8 = 28

x54

= 28

x = 28 × 45

= 35 ป

ถาปจจุบันบิดาอายุ 35 ป ดังนั้น บุตรอายุ 5x

+ 3 = 535

+ 3 = 10 ป ตอบ

12. ทอประปาทอหนึ่งวดัเสนผานศูนยกลางภายในได 6 เซนติเมตร ถาทอประปาทอนี้จุน้ําได 1,386 ลูกบาศกเซนติเมตร

จะมีความยาวเทาใด (ใชสูตร V = πr2ℓ เม่ือ V แทนปริมาตรของทรงกระบอก r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก

ℓ แทนความยาวของทรงกระบอก และกําหนดให π = 722

)

วิธีทํา จากสูตร V = πr2ℓ

จากโจทย r = 2D

= 26

= 3 cm

แทนคา V = 1,386 cm3, π = 722

, r = 3 และเราตองหาคา ℓ

จาก V = πr2ℓ

ดังนั้น ℓ = 2r

V

π =

23722

386,1

× =

9227386,1

××

= 49 cm

ดั้งนั้น ทอน้ํานี้มีความยาว 49 เซนติเมตร ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

2.2 ปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละ นอง ๆ เคยแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวนและรอยละมาแลว แตในกรณีท่ีโจทยมีความซับซอนยุงยาก ถาใชสมการ

ชวยอาจทําไดรวดเร็วและงายกวา ดังตัวอยางตอไปนี ้ ตัวอยางท่ี 13 พอคาซ้ือแปงสองชนิดมาผสมกันใหได 50 กิโลกรัม เขาซ้ือแปงชนิดแรกกิโลกรัมละ 15 บาท ซ้ือแปงชนิดท่ีสอง

กิโลกรัมละ 25 บาท เม่ือนํามาผสมกันแลวเขาขายไปไดกําไร 25% คิดเปนเงินท้ังหมด 1,312.50 บาท อยากทราบวาพอคาซ้ือแปงมาแตละชนดิอยางละกีก่ิโลกรัม

วิธีทํา ถาซ้ือแปงชนิดแรก x กิโลกรัม ตองซ้ือแปงชนิดท่ีสอง 50 – x กิโลกรัม

แปงชนิดแรกราคากิโลกรัมละ 15 บาท คิดเปนเงิน 15x บาท แปงชนิดท่ีสองราคากิโลกรัมละ 25 บาท คิดเปนเงิน 25 (50 – x) บาท เขาขายไปไดกาํไร 25% คิดเปนเงินรวมท้ังหมด 1,312.50 บาท แสดงวา ไดเงิน 125 บาท จากทุน 100 บาท

ไดเงิน 1,312.50 บาท จากทุน 125

100 1,312.50 × = 1,050 บาท

ทุน 1,050 บาท ก็คือทุน 15x + 25 (50 – x) บาท เขียนเปนสมการได 1,050 = 15x + 25 (50 – x) 15x + 1,250 – 25x = 1,050 –10x = 1,050 – 1,250 –10x = –200

x = 10200−−

= 20

ดังนั้น เขาซ้ือแปงชนดิแรกมา 20 กิโลกรัม และ เขาซ้ือแปงชนดิท่ีสองมา 50 – x = 50 – 20 = 30 กิโลกรัม ตอบ ตัวอยางท่ี 14 มีน้ําเกลืออยูสองชนิด ชนิด A มีเกลือ 20% ชนิด B มีเกลือ 35% ตองการน้ําเกลือสองชนิดมาผสมกันใหได

น้ําเกลือผสม 20 ลิตร และมีเกลือ 25% จงหาวาตองใชน้าํเกลือชนิด A และชนิด B อยางละเทาใด

ชนิด A ชนิด B

x ลิตร 20 – x ลิตร

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

วิธีทํา น้ําเกลือชนิด A ; น้ําเกลือ 20% คือ มีน้ําเกลือ 100 ลิตร คิดเปนเกลือ 20 ลิตร

ดังนั้น มีน้ําเกลือ x ลิตร คิดเปนเกลือ 10020x

= 0.2x ลิตร

น้ําเกลือชนิด B ; น้ําเกลือ 35% คือ มีน้ําเกลือ 100 ลิตร คิดเปนเกลือ 35 ลิตร

ดังนั้น มีน้ําเกลือ 20 – x ลิตร คิดเปนเกลือ 100

)20(35 x− =

207

(20 – x) ลิตร

น้ําเกลือผสม 20 ลิตร มีเกลือ 25% ดังนั้น มีเกลือ 2010025× = 5 ลิตร

จะไดสมการเปน 0.2x + 207

(20 – x) = 5

0.2x + 7 – 207

x = 5

0.2x – 0.35x = 5 – 7 – 0.15x = – 2

x = 15.02

−−

= 13.33

ดังนั้น น้ําเกลือชนิด A มี 13.33 ลิตร น้ําเกลือชนิด B มี 20 – 13.33 = 6.66 ลิตร ตอบ

ทีนี้...พ่ีจะทําแบบฝกหัดใหดูเปนตัวอยางนะครับ 1. โรงเรียนเตรียมทหารมีจาํนวนนักเรียนในระดับช้ันตาง ๆ ดังนี้ ช้ันปท่ี 1 คิดเปน 50% ของนักเรียนท้ังหมด ช้ันปท่ี 2 คิดเปน

80% ของนักเรียนช้ันปท่ี 1 และท่ีเหลืออีก 118 คน เปนนักเรียนช้ันปท่ี 3 จงหาจํานวนนกัเรียนท้ังหมดของโรงเรียนนี ้

วิธีทํา ใหโรงเรียนเตรียมทหารมีนกัเรียนท้ังหมด x คน

นักเรียนช้ันปท่ี 1 คิดเปน 50% ของนักเรียนท้ังหมด นัน่คือ x10050

= 0.5x คน

นักเรียนช้ันปท่ี 2 คิดเปน 80% ของนักเรียนช้ันปท่ี 1 นัน่คือ x10050

10080× = 0.4x คน

นักเรียนช้ันปท่ี 3 คิดเปน 118 คน เขียนเปนสมการไดวา นักเรียนท้ังหมด = ช้ันปท่ี 3 + ช้ันปท่ี 1 + ช้ันปท่ี 2 x = 118 + 0.5x + 0.4x x = 118 + 0.9x x – 0.9x = 118 0.1x = 118

x = 1.0

118 = 1,180 คน

ดังนั้น นักเรียนท้ังหมดของโรงเรียนเตรียมทหารมี 1,180 คน ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

2. แมคานําลูกช้ืนเนื้อและลูกช้ินหมูมาขายรวม 60 กโิลกรัม ลูกช้ืนเนื้อกิโลกรัมละ 60 บาท ลูกช้ินหมูกิโลกรัมละ 50 บาท ปรากฏวาอัตราสวนของจํานวนเงินท่ีซ้ือลูกช้ืนเนื้อตอจํานวนเงินท่ีซ้ือลูกช้ินหมูเปน 6 : 7 จงหาวาแมคาซ้ือลูกช้ินแตละชนดิมาอยางละกีก่โิลกรัม

วิธีทํา กําหนดใหลูกช้ินเนื้อ เปนลูกช้ิน A กําหนดใหลูกช้ินหมู เปนลูกช้ิน B ซ้ือลูกช้ินท้ังสองชนิดรวมกนั 60 กิโลกรัม ถาซ้ือชนิด A มา x กิโลกรัม จะซ้ือชนิด B มา 60 – x กิโลกรัม ลูกช้ิน A ; จํานวน 1 กิโลกรัม ราคา 60 บาท ดังนั้น จํานวน x กิโลกรัม ราคา 60x บาท ลูกช้ิน B ; จํานวน 1 กิโลกรัม ราคา 50 บาท จํานวน 60 – x กิโลกรัม ราคา 50 (60 – x) บาท ดังนั้น เขาตองจายเงินซ้ือลูกช้ินตามอัตราสวนดังนั้น

Bคาลูกช้ินAคาลูกชิ้น

= 76

= x)50(60

60x−

จะไดสมการ 6 × 50 (60 – x) = 7 (60x) 18,000 – 300x = 420x 18,000 = 420x + 300x = 720x 720x = 18,000

x = 720

000,18 = 25

ดังนั้น พอคาซ้ือลูกช้ืนเนื้อมา 25 กิโลกรัม พอคาซ้ือลูกช้ินหมูมา 60 – x = 60 – 25 = 35 กิโลกรัม ตอบ 3. ดารุณเีปดรานขายกระเปาและรองเทา เธอติดราคาขายกระเปาไวโดยคิดกําไร 25% แตเม่ือมีเพ่ือนมาซ้ือ ดารุณีจงึลดราคาให 10%

และขายไปในราคา 900 บาท อยากทราบวาตนทุนของกระเปาใบนี้เปนเทาใด วิธีทํา สมมติใหกระเปาใบนี้มีตนทุน x บาท ขายของคิดกําไร 25% หมายความวา ซ้ือมา 100 บาท ตองการขายใหไดเงนิ 125 บาท

แสดงวา ซ้ือมา x บาท ตองการขายใหไดเงนิ 100

125x = 1.25x บาท

แตพอเพ่ือนมาซ้ือ ลดให 10% หมายความวา ของราคา 100 บาท ตองการขายใหไดเงิน 90 บาท

แสดงวา ของราคา 1.25x บาท ตองการขายใหไดเงิน (1.25x) ×100

)90( = 1.125x บาท

และเม่ืออานโจทยแลวทําใหทราบวา 1.125x บาท ก็คือ 900 บาท จะได 1.125x = 900

x = 125.1

900 = 800 บาท

แสดงวาตนทุนของกระเปาใบนี้คือ 800 บาท ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

4. สนามหญารูปส่ีเหล่ียมผืนผาแหงหนึง่มีอัตราสวนความยาวตอความกวางเปน 5 : 3 ถาเพ่ิมความยาวแตละดานอีก 20% ของความยาวเดิม จะทําใหความยาวรอบสนามเทากับ 268.8 เมตร จงหาวาเดิมแตละดานของสนามยาวก่ีเมตร

วิธีทํา เขียนรูปส่ีเหล่ียมผืนผาสมมติ ท่ีอัตราสวนความยาวตอความกวางเปน 5 : 3 5

3

ถาความยาวเพ่ิม 20% จะไดความยาวใหม 120% ก็คือ 65100120

=×

ถาความกวางเพิ่ม 20% จะไดความกวางใหม 120% ก็คือ 6.33100120

=×

อัตราสวนความยาวตอความกวางใหมจะเปน 6 : 3.6 จากสนามสมมติ กับอัตราสวนความยาวใหม ความยาวรอบรูปสมมติจะได 6 + 6 + 3.6 + 3.6 = 19.2 ให x เปนจํานวนเทาท่ีเปนตัวคูณกับความยาวสมมติ แลวไดความยาวจริง (19.2)x = 268.8

x = 2.198.268

= 14

ดังนั้น สนามจริง ๆ มิติใหมมีความกวาง 3.6 × 14 = 50.4 เมตร

มีความยาว 6 × 14 = 84.0 เมตร เปรียบเทียบเปนเปอรเซ็นต ความกวาง 120% คือ 50.4 เมตร

ดังนั้น ความกวาง 100% คือ 120

1004.50 × = 42 เมตร

ความยาว 120% คือ 84 เมตร

ดังนั้น ความยาว 100% คือ 120

10084× = 70 เมตร

แสดงวา แตเดิมสนามกวาง 42 เมตร และยาว 70 เมตร ตอบ 5. นตท.อิศระ ซอมวิ่งมาราธอนวันแรกวิง่ไป 20% ของระยะทางท้ังหมด วันท่ีสองวิ่งไปอีก 64 กิโลเมตร วันท่ีสามวิ่งตอไป

อีก 50% ของระยะทางท่ีเหลือ ปรากฏวาเขาวิ่งสามวันรวมกันไดระยะทาง 200 กิโลเมตร ระยะทางชวงสุดทายจะวิ่งในวันท่ีส่ี จงหาวาระยะทางท่ี นตท.อิศระ ตองวิ่งท้ังหมดยาวกีก่ิโลเมตร

วิธีทํา สมมติใหเขาตองวิ่งระยะทางท้ังหมด x กิโลเมตร

วันแรกเขาจึงวิง่ไปไดระยะทาง x10020

= 0.2x กิโลเมตร

วันท่ีสองเขาวิง่ไปไดระยะทาง 64 กิโลเมตร * แปลวาสองวันแรกเขาวิ่งไปไดระยะทาง 0.2x + 64 กิโลเมตร * เหลือระยะทางเทากับ x – 0.2x – 64 = 0.8x – 64 กิโลเมตร

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

วันท่ีสามเขาวิง่ไปไดระยะทาง 50% ของระยะทางท่ีเหลือ คือ 10050

64)(0.8x− กิโลเมตร

= 0.5 64)(0.8x− กิโลเมตร

= 0.4x – 32 กิโลเมตร ระยะทางท่ีวิ่งรวมสามวัน คือ 0.2 + 64 + (0.4x – 32) = 200 กิโลเมตร แกสมการหาคา x จะได 0.2 + 64 + 0.4x – 32 = 200 กิโลเมตร 0.6x + 32 = 200 กิโลเมตร 0.6x = 200 – 32 กิโลเมตร

x = 6.0

168 กิโลเมตร

x = 280 กิโลเมตร ดังนั้น ระยะทางท่ี นตท.อิศระ ตองวิ่งท้ังหมดเทากับ 280 กิโลเมตร ตอบ 6. ถาตองการผสมน้ําเช่ือมใหมีน้ําตาล 40% โดยการผสมน้ําเช่ือมสองขวด ขวดแรกเปนน้ําเช่ือมท่ีมีน้ําตาล 90% และมีน้ําเชือ่ม

อยูในขวด 250 ลูกบาศกเซนติเมตร น้ําเช่ือมขวดท่ีสองเปนน้าํเช่ือมท่ีมีน้ําตาล 20% จะตองใชน้ําเช่ือมจากขวดท่ีสองปริมาณเทาใด วิธีทํา ตองการน้ําเช่ือมผสมท่ีมีน้ําตาล 40% หมายความวา น้ําเช่ือมผสมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 40 cm3

ดังนั้น น้ําเช่ือมผสมปริมาณ x cm3 จะมีน้ําตาล 10040x

= 0.4x cm3

น้ําเช่ือมผสมปริมาณ x cm3 เกิดจากการผสมน้ําเช่ือมสองขวด พิจารณาน้ําเช่ือมขวดแรก มีน้ําตาล 90% หมายความวา โจทยกําหนดให น้ําเช่ือมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 90 cm3

น้ําเช่ือมปริมาณ 250 cm3 จะมีน้ําตาล 100

25090× = 225 cm3

พิจารณาน้ําเช่ือมขวดท่ีสอง น้ําเช่ือมผสม = น้ําเช่ือมขวดแรก + น้ําเช่ือมขวดท่ีสอง x = 250 + น้ําเช่ือมขวดท่ีสอง ดังนั้น น้ําเช่ือมขวดท่ีสองมีปริมาณ = x – 250 cm3 โจทยกําหนดให น้ําเช่ือมปริมาณ 100 cm3 จะมีน้ําตาล 20 cm3

น้ําเช่ือมปริมาณ x – 250 cm3 จะมีน้ําตาล 100

250)20(x−

= 0.2 (x – 250) = 0.2x - 50 cm3

มองภาพรวมแลว น้ําตาลผสม = น้ําตาลขวดแรก + น้ําตาลขวดท่ีสอง = 225 + 0.2x – 50 = 0.2x + 175 cm3

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ซ่ึงน้ําตาลผสมเปนปริมาณ 40% ของนํ้าเช่ือมผสม น้ําตาลผสม 40 สวน จากนํ้าเช่ือม 100 สวน

น้ําตาลผสม 0.2x + 175 สวน จากนํ้าเช่ือม 40

100 (0.2x + 175)

= 2.5 (0.2x + 175) = 0.5x + 437.5 สวน

ซ่ึงน้ําเช่ือม 100 สวน (หรือ 100%) ก็คือน้ําเช่ือมปริมาณ x cm3 จะไดสมการ x = 0.5x + 437.5 x – 0.5x = 437.5 0.5x = 437.5

x = 5.0

5.437 = 875

แสดงวา น้ําเช่ือมผสมมีปริมาณ x cm3 หรือ 875 cm3 ตองใชน้ําเช่ือมจากขวดท่ีสองเทากับ x – 250 = 875 – 250 = 625 cm3 ตอบ

2.3 ปญหาเกี่ยวกับอัตราเร็ว โจทยปญหาเกีย่วกับระยะทาง อัตราเร็ว และเวลา เปนอีกเร่ืองหน่ึงท่ีเราสามารถหาคําตอบได โดยใชความรูเร่ืองสมการ ความเกีย่วของกันของปริมาณท้ังสามเปนดังนี ้

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

ซ่ึงอัตราเร็วท่ีกลาวถึงขางตนนั้น คือ อัตราเร็วเฉล่ีย ถาทราบแลว...ลองมาทําแบบฝกหัดตอไปนีน้ะครับ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

1. ตอและต๊ิกนัดพบกับเพือ่นท่ีหนาโรงเรียนนายเรือ ซ่ึงอยูกึ่งกลางของระยะทางระหวางบานของตอและต๊ิกพอดี ตอข่ีจักรยานยนต สวนต๊ิกขับอีแตน ซ่ึงอัตราเร็วของรถจักรยานยนตของตอมากกวาอัตราเร็วของรถอีแตนของต๊ิก 24 กิโลเมตรตอช่ัวโมง ตอใชเวลาเดินทาง 12 นาที และต๊ิกใชเวลาเดินทาง 20 นาที จงหา

1.) อัตราเร็วของรถท้ังสองคัน 2.) ระยะทางระหวางบานของท้ังสองคน วิธีทํา 1.) มาทําความเขาใจสูตรกอนนะครับ

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา ; 12 นาที = 51

ช่ัวโมง

ดังนั้น อัตราเร็ว = เวลา

ระยะทาง 20 นาที =

31

ช่ัวโมง

ถาระยะทางจากบานตอไปโรงเรียนนายเรือ = ระยะทางจากบานต๊ิกไปโรงเรียนนายเรือ โจทยกําหนดใหอัตราเร็วของตอมากกวาอัตราเร็วของต๊ิก 24 กิโลเมตร / ช่ัวโมง นั่นคือ อัตราเร็ว (ตอ) – อัตราเร็ว (ต๊ิก) = 24 km / hr ทําให อัตราเร็ว (ต๊ิก) = อัตราเร็ว (ตอ) – 24 ถาให อัตราเร็ว (ตอ) = x km / hr อัตราเร็ว (ต๊ิก) = x – 24 km / hr

พิจารณาการเดินทางของตอ ระยะทาง = อัตราเร็ว (ตอ) × เวลา

= x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

51

- - - - - - - - - - ①

พิจารณาการเดินทางของต๊ิก ระยะทาง = อัตราเร็ว (ต๊ิก) × เวลา

= (x – 24) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

31

- - - - - - - - - - ②

เนื่องจากท้ังสองเดินทางดวยระยะทางท่ีเทากัน ดังนั้น ① = ②

51

x = 31

(x – 24)

3x = 5 (x – 24) 3x = 5x – 120 120 = 5x – 3x 2x = 120 x = 60 km / hr ตอบ 1.) แสดงวา อัตราเร็วของตอ คือ 60 km / hr และ อัตราเร็วของตอ คือ x – 24 = 60 – 24 = 36 km / hr

2.) ตอไปหาระยะทางระหวางบานของท้ังสอง = ระยะทางจากบานตอไปโรงเรียนนายเรือ + ระยะทางจากบานต๊ิกไปโรงเรียนนายเรือ

= [ความเร็ว (ตอ) × เวลา] + [ความเร็ว (ต๊ิก) × เวลา]

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×

51

60 + ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ×

31

36

= 12 + 12 = 24 km ดังนั้น ระยะทางระหวางบานของคนท้ังสอง = 24 กิโลเมตร ตอบ 2.)

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

2. นตท.รวิน วิ่งดวยอัตราเร็ว 13 กโิลเมตรตอช่ัวโมง นตท.ปรีชา วิ่งดวยอัตราเร็ว 11 กิโลเมตรตอช่ัวโมง และวิ่งนานกวา นตท.รวนิ

20 นาที ไดระยะทางไกลกวา นตท.รวิน 2 กิโลเมตร จงหาวา นตท.ปรีชา วิ่งไดระยะทางเทาใด (20 นาที = 31

ช่ัวโมง)

วิธีทํา จากสูตร ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

ถาให นตท.รวนิ วิ่งนาน x ช่ัวโมง ปรีชาจะวิ่งนาน x + 31

ช่ัวโมง

พิจารณา นตท.รวิน ; ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา = 13x km

พิจารณา นตท.ปรีชา ; ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

= 11 (x + 31

) km

เพราะ นตท.ปรีชา วิ่งไดไกลกวา นตท.รวิน 2 km ดังนั้น ระยะทาง (นตท.ปรีชา) – ระยะทาง (นตท.รวิน) = 2 km

11 (x + 31

) – 13x = 2

11x + 3

11 – 13x = 2

–2x = 2 – 3

11

–2x = 3

5−

x = 2

13

5−

×−

= 65

ช่ัวโมง

เม่ือแกสมการแลวจะไดวา นตท.รวิน วิ่งไดนาน 65

ช่ัวโมง หรือ 50 นาที

นตท.ปรีชา วิง่ไดนาน x + 31

= 31

65+

= 67

ช่ัวโมง หรือ 70 นาที

ดังนั้น นตท.ปรีชา วิ่งไดระยะทาง = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

31

x11

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

31

65

11

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

67

11

= 677

= 65

12 กิโลเมตร ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

3. รถบดถนนสองคันอยูหางกัน 66 เมตร บนถนนสายหนึ่งและเคล่ือนสวนทางกนั คันหนึ่งเคล่ือนท่ีดวยความเร็ว 10 เมตรตอนาที อีกคันหนึ่งเคล่ือนท่ีดวยความเร็ว 12 เมตรตอนาที ถาใหรถบดท้ังสองคันเร่ิมเคล่ือนเวลา 07.00 น. พรอมกัน รถท้ังสอง จะเคล่ือนท่ีมาพบกันเม่ือเวลาผานไปกี่นาที และเปนเวลาเทาใด

วิธีทํา จากโจทยขอน้ี แมรถท้ังสองคันจะมีความเร็วไมเทากนั ทําใหไดระยะทางไมเทากัน แตรถท้ังสองใชเวลาในการเคล่ือนท่ีเทากนั

จากสูตร ระยะทาง = อัตราความเร็ว × เวลา 12x = 10 (66 – x) = 660 – 10x 12x + 10x = 660 22x = 660

x = 22

660 = 30 เมตร

ดังนั้น รถคันแรกใชเวลาในการเคล่ือนท่ี = 10x

= 1030

= 3 นาที

เทากับ รถคันท่ีสองใชเวลาในการเคล่ือนท่ี = 12

x66− =

123066−

= 1236

= 3 นาที เชนกนั

ดังนั้น รถบดท้ังสองคันจะใชเวลา 3 นาที ในการเคล่ือนท่ีมาเจอกัน และจะเจอกันเวลา 07.03 น. ตอบ 4. นตท.รักชาติ ออกเดินดวยอัตราเร็ว 5 กิโลเมตรตอช่ัวโมง เม่ือเวลา 09.00 อีก 2 ช่ัวโมงตอมา นตท.นักรบ เดินตามมาดวย

อัตราเร็ว 10 กิโลเมตรตอช่ัวโมง เม่ือเวลาเทาไร ชายท่ังสองจึงจะเดินทางทันกันพอดี (โจทยขอนี้เหมือนขอสอบเรียนตอปริญญาเอก ของมหาวิทยาลัยมหิดล ป 48 เปะ ๆ เลยครับ)

วิธีทํา การที่ นตท. ท้ังสองคนเดินทันกัน ในขณะท่ี นตท.รักชาติ ออกเดินกอน แมจะมีความเร็วชากวา * แต นตท. ท้ังสองคนใชระยะทางในการเดินเทากนั

จากสูตร ระยะทาง = ความเร็ว × เวลา พิจารณา นตท.รักชาติ สมมติใหเขาใชเวลาเดิน x ช่ัวโมง

ดังนั้น ระยะทางของ นตท.รักชาติ = ความเร็ว × เวลา = 5x กิโลเมตร - - - - - - - - - ① พิจารณา นตท.นักรบ สมมติใหเขาใชเวลาเดิน x – 2 ช่ัวโมง (เพราะออกเดินหลัง นตท.รักชาติ 2 ช่ัวโมง)

ดังนั้น ระยะทางของ นตท.นักรบ = ความเร็ว × เวลา = 10 (x – 2) - - - - - - - - - ② เนื่องจากท้ังสองเดินดวยระยะทางที่เทากนั หรือ ① – ② ดังนั้น 5x = 10 (x – 2) แกสมการได 5x = 10x – 20 20 = 10x – 5x = 5x

x = 5

20 = 4 ช่ัวโมง

ถา นตท.รักชาติ ออกเดินเวลา 09.00 ดังนั้น เขาจะเจอกันเวลา 09.00 + 4 ช่ัวโมง = 13.00 น. ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

5. นักกีฬาข่ีจักรยานทางไกลในระยะทาง 57 กิโลเมตร โดยใชอัตราเร็วชวงแรก 12 กิโลเมตรตอช่ัวโมง และชวงตอไป 16 กิโลเมตรตอช่ัวโมง ถาเขาใชเวลาในการข่ีจกัรยานตลอดทางรวม 4 ช่ัวโมง จงหาระยะทางและเวลาท่ีข่ีจักรยานของแตละชวง

วิธีทํา เริ่มตน สิ้นสุด

ชวงอัตราเร็ว 12 km/hr ชวงอัตราเร็ว 16 km/hr ชวงท่ี 1 ชวงท่ี 2

ชวงท่ี 1 อัตราเร็ว 12 km/hr แสดงวา ระยะทาง 12 km ใชเวลา 1 hr

ดังนั้น ระยะทาง x km ใชเวลา 12x

hr - - - - - - - - - ①

ชวงท่ี 2 อัตราเร็ว 16 km/hr แสดงวา ระยะทาง 16 km ใชเวลา 1 hr

ดังนั้น ระยะทาง 57 – x km ใชเวลา 16

x-57 hr - - - - - - - - - ②

จากโจทยจะได เวลาชวงท่ี 1 + เวลาชวงท่ี 2 = 4 hr

จะไดสมการ 16

x5712x −+ = 4

แกสมการได 48

x)3(574x −+ = 4

4x + 171 – 3x = 4 × 48 = 192 4x – 3x = 192 – 171 x = 21 km ดังนั้น ชวงท่ี 1 ระยะทางท่ีเขาข่ีจักรยาน คือ 21 กิโลเมตร และ ชวงท่ี 2 ระยะทางท่ีเขาข่ีจักรยาน คือ 57 – x = 57 – 21 = 36 กิโลเมตร ตอบ 6. พรชัยและศรัญมีบานอยูหางกนั 20 กิโลเมตร ท้ังสองคนนัดกันออกจากบานเวลา 07.00 น. พรอมกัน เพื่อไปสมัครสอบท่ี

โรงเรียนนายเรืออากาศ ซ่ึงอยูใกลบานศรัญมากกวาบานพรชัย ถาพรชัย ขับรถดวยความเร็ว 80 กโิลเมตรตอช่ัวโมง และศรัญขับรถดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอช่ัวโมง พรชัย ถึงโรงเรียนนายเรืออากาศกอนศรัญ 10 นาที จงหาวาโรงเรียนนายเรืออากาศอยูหางจากบานของศรัญกี่กิโลเมตร

วิธีทํา บานศรัญ โรงเรียนนายเรืออากาศ บานพรชัย

สมมติ ใหบานศรัญอยูหางจากโรงเรียนฯ x km ดังนั้น ใหบานพรชัยอยูหางจากโรงเรียนฯ 20 – x km พิจารณาศรัญ ท่ีขับรถดวยอัตราเร็ว 60 km/hr ไปโรงเรียนฯ ระยะทาง 60 km เขาใชเวลา 1 hr

ดังนั้น ระยะทาง x km เขาใชเวลา 60x

hr

x km 20 – x km

x km 57 – x km

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

พิจารณาพรชยั ท่ีขับรถดวยอัตราเร็ว 80 km/hr ไปโรงเรียนฯ ระยะทาง 80 km เขาใชเวลา 1 hr

ดังนั้น ระยะทาง 20 – x km เขาใชเวลา 80

x-20 hr

โจทยกําหนดให พรชัยถึงโรงเรียนฯ กอนศรัญ 10 นาที

หมายความวา ศรัญใชเวลามากกวาพรชัยอยู 10 นาที หรือ 61

ช่ัวโมง

นั่นคือ เวลาศรัญ – เวลาพรชัย = 61

hr

60x

– 80

x-20 =

61

60x

– 8020

+ 80x

= 61

; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

41

8020

60x

+ 80x

= 61

+ 41

240

3x4x+ =

1232+

7x = 240125×

7x = 100

x = 7

100 =

72

14 km

ดังนัน้ โรงเรียนนายเรืออากาศอยูหางจากบานศรัญ 72

14 กิโลเมตร และโรงเรียนนายเรืออากาศอยูหางจากบานพรชัย 75

5

กิโลเมตร “แตทําไม” คําตอบไมตรงกับขอกําหนดของโจทยท่ีบอกวา โรงเรียนนายเรืออากาศอยูใกลบานศรัญมากกวาบานของพรชัย “ขอน้ีตองมีการตรวจคําตอบครับ” ; ศรัญขับรถ 60 กิโลเมตร ใชเวลา 1 ช่ัวโมง

ดังนั้น ศรัญขับรถ 72

14 กิโลเมตร ใชเวลา 61

72

14 × = 61

7100

× = 215

ช่ัวโมง

พรชัยขับรถ 80 กิโลกรัม ใชเวลา 1 ช่ัวโมง

ดังนั้น พรชัยขับรถ 75

5 กิโลเมตร ใชเวลา 801

75

5 × = 801

740× =

141

ช่ัวโมง

ดังนั้น ศรัญใชเวลามากกวาพรชัย = 141

215− =

42310−

= 427

= 61

ช่ัวโมง

ซ่ึง 61

ช่ัวโมง ก็คือ 10 นาที จริง

ดังนั้น เราคํานวณถูกตองแลวครับ แตพี่เองแหละที่ต้ังโจทยไมถูกตอง ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

7. ชายคนหน่ึงขับรถไดระยะทาง 235 กิโลเมตร เขาใชเวลาขับรถในชวงกลางวนั 2 ช่ัวโมง และในชวงกลางคืน 21

1 ช่ัวโมง โดย

ลดอัตราเร็วลงนอยกวากลางวันช่ัวโมงละ 16 กิโลเมตร จงหา 1.) อัตราเร็วเฉล่ียของรถในชวงกลางวนั 2.) ระยะทางที่เขาขับรถในชวงกลางคืน

วิธีทํา ระยะทาง 235 กิโลเมตร ใชเวลาขับรถชวงกลางวนั 2 ช่ัวโมง และชวงกลางคืน 21

1 รวม 23

3 ช่ัวโมง

สมมติใหชวงเวลากลางวัน รถวิ่งดวยอัตราเร็ว x km / hr ดังนั้น ชวงเวลากลางคืน รถวิ่งดวยอัตราเร็ว x – 16 km / hr ระยะทางท้ังหมด = ชวงเวลากลางวัน + ระยะทางชวงเวลากลางคืน

= (อัตราเร็ว × เวลาชวงกลางวัน) + (อัตราเร็ว × เวลาชวงกลางคืน)

เขียนเปนสมการได 235 = x (2) + (x – 16) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

21

1

)16(x23

2x −+ = 235

24x23

2x −+ = 235

x27

= 235 + 24 = 259

x = 72

259× = 37x2 = 74 km / hr

และอัตราเร็วเฉล่ียของรถในชวงกลางคืน คือ x – 16 = 74 – 16 = 58 km / hr ชวงเวลากลางคืน เวลา 1 ช่ัวโมง เขาขับรถไดระยะทาง 58 km

ดังนั้น เวลา 21

1 หรือ 23

ช่ัวโมง เขาขับรถไดระยะทาง 158

23× = 87 km

ดังนั้น ระยะทางท่ีเขาขับรถในชวงกลางคืนเทากับ 87 กิโลเมตร ตอบ 8. รถไฟขบวน ก. และขบวน ข. ออกจากสถานีรถไฟหัวหิน โดยแลนตามกันไปยังสถานีปลายทางท่ีเดี่ยวกัน ถารถไฟขบวน ก.

ออกจากสถานเีม่ือเวลา 0600 น. ดวยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรตอช่ัวโมง รถไฟขบวน ข. ออกจากสถานีเม่ือเวลา 0830 น. ดวยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอช่ัวโมง จงหาวารถไฟขบวน ข. แลนไปทันรถไฟขบวน ก. เม่ือเวลาใด และจุกท่ีรถไฟท้ังสองแลนทันกันนัน้อยูหางจากสถานีหัวหินกีก่ิโลเมตร

วิธีทํา ตองพิจารณาใหไดวา รถไฟท้ังสองขบวนแลนไปทันกัน แตออกดวยเวลาไมเทากัน และความเร็วไมเทากันดวย แตมีส่ิงท่ีเทากนัอยู นั่นคือระยะทางท่ีแลน ตองใชความสัมพันธตรงจุดนี้ หาคําตอบของโจทยใหได เวลา 0600 น. รถไฟขบวน ก. สถานีหัวหนิ ปลายทาง รถไฟขบวน ข. เวลา 0830 น.

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

พิจารณารถไฟขบวน ก. ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา ใหรถไฟใชเวลาวิ่ง x ช่ัวโมง จะไดระยะทาง = 40x km - - - - - - - - - ①

พิจารณารถไฟขบวน ข. ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

ใหรถไฟใชเวลาวิ่ง x – 21

2 ช่ัวโมง จะไดระยะทาง = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

21

2x60

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

25

x60 km - - - - - - - - - ②

เนื่องจาก ① = ② ดังนั้น 40x = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

25

x60

แกสมการได 40x = 60x – 150 150 = (60 – 40) x

ดังนั้น x = 20

150 = 7.5

ดังนั้น รถไฟขบวน ก. ใชเวลาวิ่ง 7.5 หรือ 21

7 ช่ัวโมง ; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

21

7 = 2

15 ช่ัวโมง

ถารถไฟขบวน ก. ออกจากสถานีเม่ือ 06.00 น. จะวิ่งทันและเจอกับรถไฟขบวน ข.

ท่ีเวลา 06.00 + 21

7 ช่ัวโมง = 13.30 น.

และรถไฟท้ังสองจะว่ิงทันกนั และเจอกันท่ีระยะทาง 40x = 40 (7.5) = 300 กิโลเมตรจากจุดเร่ิมตน ตอบ

9. รถไฟขบวน ก. และขบวน ข. แลนสวนทางกัน และมาพบกันท่ีสถานีบางซ่ือ รถไฟขบวน ก. ออกจากสถานนีีเ้ม่ือเวลา 0700 น.

ดวยอัตราเร็ว 45 กิโลเมตรตอช่ัวโมง รถไฟขบวน ข. ออกจากสถานนีี้หลังจากขบวน ก. ออกไปแลว 3 นาที และไปถึงสถานีปลายทางอยุธยา เม่ือเวลา 0815 น. ซ่ึงถึงกอนรถไฟขบวน ก. ถึงสถานีปลายทางนครปฐม 5 นาที ถาสถานีปลายทางท้ังสองอยูหางกนั 150 กิโลเมตร จงหาวารถไฟขบวน ข. แลนดวยอัตราเร็วเทาใด

วิธีทํา กอนอ่ืนตองเขียนรูปเพ่ือใหงายตอความเขาใจครับ สถานีอยุธยา สถานีบางซื่อ สถานีนครปฐม

ขบวน ข. ขบวน ข. ขบวน ก. ขบวน ก. ถึงเวลา 08.15 น. ถึงเวลา 08.20 น.

ออกเวลา 0730 น. อัตราเร็ว x km/hr

ออกเวลา 0700 น. อัตราเร็ว 45 km/hr

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ดูจากรูปแลว เราสามารถใชขอมูลจากรถไฟขบวน ก. มาคํานวณหาได รถไฟขบวน ก. ออกเดินทางเวลา 07.00 น. ถึงท่ีหมายเวลา 08.20 น.

แสดงวาใชเวลาเดินทาง 1 ช่ัวโมง 20 นาที หรือ 34

31

1 = ช่ัวโมง

อัตราเร็ว 45 km / hr แสดงวา 1 hr ไปไดระยะทาง 45 km

แสดงวา 34

hr ไปไดระยะทาง 34

45× = 60 km

แสดงวาสถานบีางซ่ือหางจากสถานีหลักส่ีเปนระยะทาง 60 กิโลเมตร โจทยบอกวา สถานีนครปฐมกับสถานีอยธุยาหางกนั 150 กิโลเมตร

แตเราหาไดแลววาสถานีบางซ่ือหางจากสถานีนครปฐม 60 กิโลเมตร ดังนั้น สถานีอยุธยาหางจากสถานีบางซ่ือ = 150 – 60 = 90 กิโลเมตร ตอบ

รถไฟขบวน ข. ออกเดินทางเวลา 0703 น. ถึงท่ีหมายเวลา 08.15 น.

แสดงวาใชเวลาเดินทาง 1 ช่ัวโมง 12 นาที หรือ 56

51

1 = ช่ัวโมง

รถไฟเดินทางระยะทาง 90 กิโลเมตร ภายในเวลา 56

ช่ัวโมง

อัตราเร็ว = เวลา

ระยะทาง =

56

90 =

65

90× = 75 km / hr

จะไดวา รถไฟขบวน ข. แลนดวยอัตราเร็ว 75 กิโลเมตรตอช่ัวโมง ตอบ จากโจทยรูปแบบตาง ๆ ท่ีเราไดทํากันมามากมาย นอง ๆ เห็นแนวทางในการแกปญหาไหมครับ อยางง้ัน...ลองอานแนวคิดตอไปนี้ครับ

1. โจทยถามอะไร ใหสมมติส่ิงท่ีโจทยถามเปนตัวแปร 2. มองภาพรวมใหออกวา วธีิจะเขาถึงการแกปญหานี้ตองทําอยางไร บางทีตองเขียนภาพข้ึนมาเพื่อใหตีความงาย ๆ 3. หาความสัมพันธจากส่ิงท่ีโจทยใหมาใหได บางที รถสองคันเคล่ือนท่ี ไมมีอะไรเหมือนกนัเลย แตใชเวลาเทากัน รถสองคันวิ่งเร็วไมเทากนั เวลาก็ไมเทากนั แตระยะทางเทากัน (ออกชากวา หรือเร็วกวา แตวิ่งทันกัน) รถคันหนึ่ง ถึงวิง่เร็วกวาอีกคันหนึ่ง จะได เวลาของรถที่ถึงชากวา – เวลาของรถท่ีถึงเร็วกวา = ผลตางของเวลาของรถทั้งสองคัน

4. การคิดเวลาไมเหมือนการคิดเปอรเซ็นตนะครับ พิจารณาใหดวีา 60 นาที คือ 1 ช่ัวโมง

ดังนั้น 1 นาที คือ 60

11× =

61

ช่ัวโมง

20 นาที คือ 60

120× =

31

ช่ัวโมง

30 นาที คือ 60

130× =

21

ช่ัวโมง

แสดงวา x นาที คือ 60

x(1) =

60x

ช่ัวโมง

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ท้ังนี้ โจทยกําหนดกี่นาที กก็ําหนดแบบขางตนครับ 5. ความสัมพันธระหวางอัตราเร็ว ระยะทาง และเวลา

อัตราเร็ว = เวลา

ระยะทาง

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

เวลา = อัตราเร็วระยะทาง

ไมตองทองทุกสูตรนะครับ แคเปล่ียนคูณเปนหาร แตตองทองสูตรแรก ใหได แลวแกสมการเอาก็ไดครับ...งายดี ☺ 6. สุดทาย วิธีท่ีจะทําใหแกสมการได “เกง” และ “ด”ี คือการทําแบบฝกหัดบอย ๆ ครับ ทําใหเยอะ ๆ จากของาย ๆ เชน x + 2 = 5 แลวคอยไปดึงขอยาก ๆ อยางแบบทดสอบท่ีพี่ใหไว แลวนองจะ “เกงขึ้น เกงขึ้น” อยางไมนาเช่ือครับ

เพราะพ่ีคนพิมพเองตอนเรียนมัธยมก็ตกเลข แตเม่ือไดพมิพบทเรียนบอย ๆ หรืออานตรวจความถูกตองก็ยังเขาใจได เอาหละครับ...ตัวอยางท้ังหมดท่ีนอง ๆ ไดอานน้ี ครอบคุลมการแกปญหาสมการในเกือบทุกรูปแบบ (ในระดับช้ันนี้)

นองแกสมการได แตคนอ่ืนทําไมได แคนีน้อง ๆ ก็สอบติดแลวครับ.

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

1. การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

สมการ คือประโยคสัญลักษณท่ีกลาวถึงความสัมพันธของจํานวน โดยมี “ = ” เปนสัญลักษณแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนรูปแบบของสมการ มีท้ังแบบมีตัวแปร เชน 3x + 7 = 15; และแบบไมมีตัวแปร เชน 15 + 6 = 21 เปนตน เราแทนคาตัวแปรแลวทําใหสมการเปนจริง คานั้นจะเปนคําตอบของสมการ การแกสมการ ตองใชสมบัติของการเทากนั (Properties of Equality) ตอไปนี ้ เม่ือกําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ

1. สมบัติสมมาตร ถา a = b แลว b = a 2. สมบัติถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 3. สมบัติการบวก ถา a = b แลว a + c = b + a 4. สมบัติการคูณ ถา a = b แลว ac = bc

สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (Linear Equation with One Variable) คือ สมการท่ีมีตัวแปรเพียงตวัเดยีว และตัวแปรนั้นมี degree = 1 เขียนในรูปแบบท่ัวไปไดวา ax + b = 0 เม่ือ a และ b เปนคาคงตัว และ a ≠ 0

หลักการแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว แยกตามรูปแบบตาง ๆ ไดดงันี้

1. ถาสัมประสิทธ์ิและคาคงตัวเปนจํานวนเต็ม ใหใชการยายขาง โดยพิจารณาเคร่ืองหมายเปนสําคัญ เม่ือยายขางจํานวนใด ใหเปล่ียนเปนเคร่ืองหมายตรงขาม

ตัวอยางท่ี 1 จงหาคา x จากสมการ 9x + 18 = 24 – 3x วิธีทํา จาก 9x + 18 = 24 – 3x (ยายตัวเลขมาดานเดยีวกัน และยายตัวแปรใหมาดานเดียวกัน) 9x + 3x = 24 – 18 12x = 6

x = 126

= 21

ดังนั้น x = 21

ตอบ

2. ถาสมการเปนทศนิยม ใหแกปญหาโดยการยายขางสมการ และทําทศนิยมใหเปนจํานวนเต็ม ตัวอยางท่ี 2 จงแกสมการ 2.25x – 1.25 = 3x + 3.75 วิธีทํา ยายขางสมการ – 1.25 – 3.75 = 3x – 2.25x –5 = 0.75x 0.75x = –5

x = 75.05−

x = 75500−

ดังนั้น x = 32

6− ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

3. ถาสมการเปนเศษสวน ตองยายขางสมการ เปล่ียนตัวหารใหเปนตัวคูณ โดยใหพจิารณาเทอมการบวก – ลบกันเปนพิเศษ

ตัวอยางท่ี 3 จงแกสมการ x – 43

= 2x

41

25x

−+

วิธีทํา ยายตัวแปรมาดานเดยีวกัน x – 43

= 2x

41

25x

−+

x – 2x

25x+ =

43

41++

2

1x5x2x +− =

44

= 1

22x−

= 1

1+

ดังนั้น x = –1 ตอบ

2. โจทยสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

การแกปญหาโจทยสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว มีข้ันตอนการคิดดังนี ้1. อานโจทย แลววเิคราะหวาโจทยกําหนดอะไร และตองการทราบคาอะไร 2. สมมติส่ิงท่ีโจทยตองการทราบคาใหเปนตัวแปรหน่ึง 3. พิจารณาความสัมพันธของตัวแปร และเง่ือนไขท่ีโจทยกําหนดให 4. สรางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จากเง่ือนไขท่ีโจทยกําหนดมาให 5. แกสมการเพื่อหาคาตัวแปร ตามวิธีท่ีกลาวมาแลว ตัวอยางท่ี 4 เลขจํานวนคูบวก 5 จํานวนเรียงกัน มีผลรวมได 230 จงหาผลบวกของเลขท่ีมีคามากเปนลําดับท่ีสอง และลําดับท่ีส่ี วิธีทํา ใหจํานวนท่ีมีคานอยท่ีสุดเปน x ดังนั้น จํานวนคู 5 จาํนวน เรียงกนั จึงไดเปน x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 230 เขียนเปนสมการไดวา x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) = 230 5x + 20 = 230 5x = 230 – 20

ดังนั้น x = 5

210 = 42

เม่ือ x หรือจํานวนท่ีนอยท่ีสุดมีคาเทากับ 42 แลว จํานวนท้ังหาเรียงจากนอยไปมากคือ 42, 44, 46, 48 และ 50 ดังนั้น ผลบวกของจํานวนท่ีมีคามากเปนลําดับท่ีสอง และลําดับท่ีส่ีคือ 48 + 44 = 92 ตอบ

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org

ตัวอยางท่ี 5 พอคาซ้ือผาเช็ดหนามาจํานวนหนึ่ง ถาขายผืนละ 65 บาท จํานวนคร่ึงหนึ่งของท่ีซ้ือมาจะเทาทุนพอดี แตถาขายผืนละ 31 บาท ของจํานวนหนึ่งในส่ีจากจํานวนท่ีซ้ือมา และขายผืนละ 36 บาท ของท่ีเหลือ จะไดกําไร 1,440 บาท อยากทราบวาซ้ือผาเช็ดหนามาท้ังหมดกี่ผืน

วิธีทํา ใหกําหนดวา พอคาซ้ือผาเช็ดหนามา x ผืน

ถาขายไปผืนละ 65 บาท ในจาํนวนคร่ึงหนึง่ หรือ 2x

จะไดเงินเทาทุน หรือเงินทุน = 2x

(65) บาท

ถาขายไปผืนละ 31 บาท ของ 4

1x จะไดเงิน

431x

บาท

และ ถาขายไปผืนละ 36 บาท ของ 4

3x จะไดเงิน 36 ×

43x

= 4

108x บาท

จากสมการท่ีวา ราคาขาย – ตนทุน = กําไร (หรือขาดทุน)

จะไดสมการ 2

65x4

108x4

31x−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + = 1,440

4

130x4

108x4

31x−+ = 1,440

4

130)x108(31 ++ = 1,440

4

9x = 1,440

x = 9

4440,1 ×

x = 640 ดังนั้น พอคาซ้ือผาเช็ดหนามาจํานวน 640 ผืน ตอบ

ซ่ึง 4

31x +

4108

x

ทําใหไดกําไร 1,440 บาท

เว็บไซต์นายร้อยไทย

www.thaicadet.org