通訊系統（二）第六單元

通訊系統（二）第六單元

6-1

第六單元數位信號經AWGN通道傳輸

單元要點： 1. 信號空間 2. 匹配濾波器與相關函數 3. 信號距離與錯誤機率計算 4. 基頻數位傳輸

4.1 二位元信號傳輸 4.2 多振幅信號傳輸 4.3 多維度信號傳輸

5. Regenerative repeater

1. 信號空間 Sec. 5.1, 5.2, pp. 309-317, Haykin 有許多正交函數集合可用來表示某一時間區間內之函數，稱為函數之基底

函數，例如{ } ,...2,1,0,0 ±±=ne tjnω , Walsh functions, Legendre polynomials, Laguerre functions等。其中eternal functions之集合是傅氏分析的基底。而Walsh functions在實用上很重要，因為它易於用邏輯電路實現。針對M個信號求其 )( MN ≤ 個基

底函數：Gram-Schmidt orthogonalization process。練習題1-1：(C-12-6)

Two signals which might be used in a digital communication system are sketched below：

For these two signals, determine (a) each signal's energy (b) a single set of orthonormal basis functions which can be used to

represent each signal (c) the distance between the signal in signal space.

練習題 1-2：(Prob. 5.1, p. 338, Haykin)

In Section 3.7 we described line codes for pulse-code modulation. Referring to the material presented therein, formulate the signal constellations for the following line codes:

(a) Unipolar nonreturn-to-zero code

Signal #1 Signal #2 1 1

-1 -10

0 .25 .25.5 .5.75 .75 1

1 t t


6-2

(b) Polar nonreturn-to-zero code (c) Unipolar return-to-zero code (d) Manchester code


An 8-level PAM signal is defined by

( )

−=

T

TtrectAts ii

2

where iA = 1± , 3± , 5± , 7± . Formulate the signal constellation of ( ){ }81=ii ts .

練習題 1-4：(Prob. 5.3, p. 338, Haykin) The following figure displays the waveform of four signals ( )ts1 , ( )ts2 , )(3 ts and

)(4 ts . (1) Using the Gram-Schmidt orthogonalization procedure , find an orthonormal

basis for this set of signals. (2) Construct the corresponding signal-space diagram.

練習題 1-5：(Prob. 5.4, p. 338, Haykin) (a) Using the Gram-Schmidt orthogonalization procedure, find a set of orthonormal

basis functions to represent the three signals s1(t), s2(t), and s3(t) shown in Figure P5.4.

(b) Express each of these signals in terms of the set of basis functions found in part (a).

FIGUR

t t t

( )ts2 ( )ts1 ( )ts3 ( )ts4

1 1 1 1

0 3T 0 3

T T 0 T 0 32T

t


6-3

E P5.4 練習題 1-6：(Prob. 5.6, p. 339, Haykin)

A source of information emits a set of symbols denoted by { }Miim 1= . Two

candidate modulation schemes, namely, pulse-duration modulation (PDM) and pulse-position modulation (PPM), are considered for the electrical representation of this set of symbols. In PDM, the ith symbol is represented by a pulse of unit amplitude and duration (i/M)T. On the other hand, in PPM, the ith symbol is represented by a short pulse of unit amplitude and fixed duration, which is transmitted at time t = (i/M)T. Show that PPM is the only one of the two that can produce an orthogonal set of signals over the interval 0 ≤ t ≤ T. 練習題 1-7：(Prob. 5.7, p. 339, Haykin)

A set of 2M biorthogonal signals is obtained from a set of M orthogonal signals by augmenting it with the negative of each signal in the set.

(a) The extension of orthogonal to biorthogonal signals leaves the dimensionality of the signal space unchanged. Why?

(b) Construct the signal constellation for the biorthogonal signals corresponding to the pair of orthogonal signals shown in Figure P5.5.

FIGURE P5.5 練習題 1-8：(Prob. 5.8, p. 339, Haykin) (a) A pair of signals si(t) and sk(t) have a common duration T. Show that the inner

product of this pair of signals is given by

( ) ( ) k

T Tiki ssdttsts∫ =

0

where si and sk are the vector representation of si(t) and sk(t), respectively. (b) As a followup to part (a), show that

( ) ( )( ) 2

0

2 |||| k

T

iki ssdttsts∫ −=−


Consider a pair of complex-valued signals s1(t) and s2(t) that are respectively


6-4

represented by s1(t) = a11ψ1(t) + a12ψ2(t), －∞ ＜ t ＜ ∞ s2(t) = a21ψ1(t) + a22ψ2(t), －∞ ＜ t ＜ ∞

where the basis functions ψ1(t) and ψ2(t) are both real valued, but the coefficients a11, a12, a21, a22 are complex valued. Prove the complex form of the Schwarz inequality:

( ) ( ) ( ) ( ) dttsdttsdttsts2

2

2

1

2*21 ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−≤

where the asterisk denotes complex conjugation. When is this relation satisfied with the equality sign?

2. 匹配濾波器與相關函數

一能量信號 x(t) 之總能量為

∫∞

∞−≡ dttxtxEx )(*)( (2-1)

兩能量信號 x(t) 及 h(t) 之交叉相關函數為

∫∫∞

∞−

∞

∞−+=−≡ dtthtxdtthtxRxh )(*)()(*)( ττ (2-2)

自動相關函數為

∫∫∞

∞−

∞

∞−+=−=≡ dttxtxdttxtxRR xxx )(*)()(*)()( τττ (2-3)

若我們只談實數函數，則以上各式即寫成

∫∞

∞−≡ dttxEx )(2 (2-4)

∫∫∞

∞−

∞

∞−+=−≡ dtthtxdtthtxRxh )()()()( ττ (2-5)

∫∫∞

∞−

∞

∞−+=−=≡ dttxtxdttxtxRR xxx )()()()()( τττ (2-6)

令 x(t)為一有限連續時間(finite duration)之信號，即 x(t)=0 for t<0 及 t>T。求一線性非時變系統之脈衝響應，使此系統以 x(t)為輸入時之輸出為 Rx(t-T)。令 h(t)=x(T-t)，則

)()()()()()(*)()( TtRdtTtxxdthxthtxty x −=+−=−== ∫∫∞

∞−

∞

∞−τττττ (2-7)

此系統稱為信號 x(t)的匹配濾波器(matched filter)。

例題 2-1：(Prob. 2.67, p. 170, Oppenheim & Willsky, Signals & Systems, 2nd ed.,

1997)


6-5

(a)令 LTI系統之脈衝響應 h(t)(實函數)亦為 h(t)=0 for t<0 and t>T。y(t)為此系統以

x(t)為輸入之輸出。求證 h(t)=ax(T-t)(a為純量)可使 y(T)最大且 ∫ =T

Mdtth0

2 )( 為一

固定正數。

證: ∫∞

∞−−= τττ dthxty )()()(

2/12

2/12 )()()()()(

−

≤−= ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−dttThdttxdThxTy τττ (Schwarz Inequality)

2/1

0

22/12/1

0

22/1

0

2 )()()(

=

= ∫∫∫

TTTdttxMdtthdttx

取最大，即2/1

0

22/1 )()(

= ∫

TdttxMTy 。若 h(t)=ax(T-t)，則

∫∫∫ =

=

TTTdttxadttxdttxaTy

0

22/1

0

22/1

0

22 )()()()( ，且

∫= T

dttx

Ma0

2 )(。

可見M僅提供脈衝響應的純量倍數。

在通信的問題中，若把訊息加碼成一串二進位數字，則我們需將訊息一位

元一位元傳出，每一位元可以一個信號傳送，例如一位元為零，則以 )(0 tx 傳出，

一位元為 1，則以 )(1 tx 傳出。在接收機就得分辨出收到 )(0 tx 還是 )(1 tx 。直覺上，我們可在接收機設兩系統，其一「調到」 )(0 tx ，另一「調到」 )(1 tx ，

使個別系統有大的輸出。這就是匹配濾波器的基本觀念。在實用上，傳輸及接收

過程會有失真及干擾，所以我們要盡量將匹配濾波器對與其匹配信號之輸出和對

另一信號之輸出間差異愈大愈好，試以下例說明之。

(b)令 Lo為 )(0 tx 之匹配濾波器，L1為 )(1 tx 之匹配濾波器

(i)繪出 Lo對 )(0 tx 及 )(1 tx 之輸出波形，及 L1對 )(0 tx 及 )(1 tx 之輸出波形。


6-6

(ii)在 t=4 時，比較 (i) 中之各輸出值。要如何修改 )(0 tx 以便接收機更易於分辨

)(0 tx 及 )(1 tx ，並且使 0L 對 )(1 tx 的輸出，以及 1L 對 )(0 tx 的輸出，在 t=4 時均為零﹖

解: 4*400 =

=tLx , 2*

410 ==t

Lx , 2*401 =

=tLx , 4*

411 ==t

Lx

)(0 tx 修改成如下:

(c)匹配濾波器及相關函數在雷達系統中扮演相當重要的角色。雷達之基本原理，就是將電磁脈波射向目標，而此脈波遇目標即反射回到發射機，其延遲則正

比於目標之距離。理想上，接收信號為原發射信號之時間位移及衰減後之版本。

(i)令 p(t)為原發射脈波，求證 )(max)0( ττ pp RR = ，並導出若回收波形為


6-7

x(t)=αp(t-to)，其中 α為一正數，則 )(max)( 0 ττ xpxp RtR =

證: 2/1

22/1

2 )()()()()(

+

≤+= ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−dttpdttpdttptpRp τττ

⇒≤ ∫∞

∞−dttp )(2 )0()( pp RR ≤τ

)(max)0( ττ pp RR =⇒

)()()()( 00 tRdttpttpR pxp −=−+= ∫∞

∞−τατατ

)(max)0()( 0 τατ xppxp RRtR ==

所以簡單的雷達測距系統工作原理，乃是用配合發射波形 p(t)之匹配濾波器，並觀察此系統輸出達到最大的時間。

(ii)若 p(t)及 x(t)為如下波形，繪出 )(τxpR 。設雷達波傳輸速度為光速

sec/103 8 mC ×= ,求發射機到目標間距離。

解：繪出 )(τxpR 如下


6-8

輸出達到最大的時間為 sec10µ

2⇒ distance mm 368 103sec1010sec/103 ×=×××= − ⇒distance = 1500 meter

(iii)因為此方法是觀察相關函數之峰值來決定回波時間，所以最好選用 p(t)的波形使其相關函數有急遽的峰值(sharply peaked)。這是重要的選擇，因為接收波形無可避免地會有失真及干擾。下列兩波形，你認為哪一種較適合?

故選用 )(2 tp 較適合，因它的相關函數具 sharp peak !

例題 2-2：(Prob. 2.66, p. 169, Oppenheim & Willsky, Signals & Systems, 2nd ed.,

1997)下面三函數分別為三個 LTI 系統的脈衝嚮應（即為 Walsh functions）。


6-9

(a) 為 3,2,1),( =ithi 分別找出 3,2,1),( =itxi ，以滿足下列條件： (i) )(txi 為實函數 (ii) 0,0)( <= ttxi

(iii) 1)( ≤txi ，對所有的 0≥t

(iv) )(*)()( thtxty iii = 在 t=4 時最大。解:

(b) 令 jithtxty jiij ≠= ),(*)()( ，則於 t=4 時， 3,2,1,?,)( == jityij

解: 當 t=4 時， 0**** 12313221 ==== hxhxhxhx 。以上脈衝響應為 )(thi 的 LTI 系統，即為「調」到 )(txi 的匹配濾波器，以得到最大的輸出，i=1, 2, 3。 (c)用接頭延遲線 (tapped-delay-line) 實現 )(thi , i=1, 2, 3。解:

各參數如下表:


6-10

接頭延遲線之脈衝響應為∑=

−3

0

)(k

k ktg δ ，其後則接一脈衝響應為 h(t) 之 LTI 系

統。針對 rectangular pulse of amplitude A and duration T之 matched filter 的特

例(Ex. 4.1, p. 252, Haykin)，

−

Λ=

−Π==

TTtTkAtg

T

Ttthtg

o2)(

2)()(

因只觀察 t=T時之輸出，可用 Fig. 4.3, p. 253, Haykin 之 integrate-and-dump電路（積分器後接在時間 t=T取輸出之開關）實現。下題以 RC低通濾波器實現，比較 S/N比，看其性能可達理想所得多少百分比。練習題 2-1：(Prob. 4.4, p. 301, Haykin) If the ideal integrator is replaced by the simple resistance-capacitance (RC) low-pass

filter, determine the output SNR as a function of the time constant RC. Determine the value of RC that maximizes the output SNR. The frequency response of this filter is

RCfwhere

ffj

fHπ21

1

1)( 0

0

=+

=

The requirement is to optimize the selection of the 3-dB cutoff frequency 0f of the filter so that the peak pulse signal-to-noise ratio at the filter output is maximized. With this objective in mind, show that the optimum value of 0f is 0.2/T, for which the loss in signal-to-noise ratio compared to the matched filter is about 1 dB. 另見練習題 3.1-2-2 (Prob. 7.17, p. 459, Proakis) 練習題 2-2：(Prob. 7.31, p. 463, Proakis) In the case when n is a power of 2, an nn × Hadamard matrix is constructed by means of the recursion

−

=1111

2H

−

=nn

nnnH

HHHH

2


6-11

(a) Let Ci denote the ith row of an nn × Hadamard matrix as defined above. Show that the waveforms constructed as

nikTtpctsn

kciki ,,2,1,)()(

1K=−= ∑

=

are orthogonal, where p(t) is an arbitrary pulse confined to the time interval cTt ≤≤0 .

(b) Show that the matched filters (or crosscorrelators) for the n waveforms {si(t)} can be realized by a single filter (or correlator) matched to the pulse p(t) followed by a set of n crosscorrelators using the code words {Ci}.

練習題 2-3：(D-6-4)

For the pairs of binary signaling waveforms sketched below, determine whether they are antipodal, orthogonal, and determine the matched filter for each.

"0" "1"

"0" "1"

(c)

0 0

0

0

T T

T

T

"0" "1"

"1""0"

t

t

t

t

3. 信號距離與錯誤機率計算

對任意二進位傳輸系統，兩訊息出現機率相等，則由 Eq. (5.89), p. 334, Haykin，或 Eq.(7.6-10),p.406, Proakis，或在 Appendix C, Carlson 中，指出信號對 1s 及 2s傳輸於 AWGN通道，其錯誤機率為

11

-1-1 00 T

T

TT

0 0

t

t t

t (a)

(b)


6-12

[ ] ( )

=−=

oo N

ceDisQNssQerrorp2tan201

其中 No為單邊的雜訊功率頻譜密度，而雜訊平均值為 0。證明：先假設"0"被傳輸。如圖，欲求△的平均值和變異數。

{ } { }"0|""0|" 01 RREE −=∆

{ } { } ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫ ∫−=−= B BT TdttstRdttstRERERE

0 0 0101 ,,"0|""0|" ξξ

( ) ( ) ( )[ ]{ }∫ −= BTdttststRE

0 01,ξ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }∫ −+= BTdttststNtsE

0 010 ,ξ

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ){ }( )

4444 34444 21444 3444 21Q 0t,NE0

0 01

T

0 010 ,B

=

∫∫ −+−=

ξ

ξ其值為可決定性的

BTdttststNEdttststs

( ) ( ) ( ) 2010 , tststs −=

001 EEE −= ρ

又 { } ( ) ( )[ ]{ }"0|""0|" 20101 RRERREVar −−−=∆

{ }( ) { }( )[ ]{ }"0|"20011 RERRERE −−−=

{ } { } { } 4"0|",cov2"0|""0|" 0101 =−+= RRRVarRVar

{ } { }( ){ }"0|""0|" 2000 RERERVar −=

( ) ( )

−= ∫ "0|",

2

0 00BT

EdttstRE ξ


6-13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20

2

0 00

1

0 0 00 }"0|",2,,{ EdttstREddssRRE BB B TT T+−= ∫∫ ∫ 444 3444 2144444444 344444444 21

ξβαβαβξαξ

其中 1 式 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }βαβαβξββξα ddssNsNsE B BT T

0000 0 0 ,, ++= ∫ ∫

= ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )4444444 34444444 214444 34444 21

0

0 0 0000 0

20

20 ,2

20

其值為其值為

∫ ∫∫ ∫ + B BB B T T

E

T TddssNEsddss βαβαβξαβαβα

( ) ( ){ } ( ) ( )4444444 34444444 21

3

0 0 00,,∫ ∫+ B BT TddssNNE βαβαβξαξ

3 式 = ( ) ( ){ } ( ) ( )∫ ∫B BT T

ddssNNE0 0 00,, βαβαβξαξ

= ( ) ( ) ( )∫ ∫ −B BT T

ddssN0 0 00

0

2βαβαβαδ

= ( )∫BT

dsN0

20

0

2ββ

= 00

2EN

2 式 = ( ) ( ){ }[ ] ( ) 2000 00 2,2 EdttstNEtsE BT

−=+− ∫ ξ

∴ { }2

22

"0|" 0020

20

00200

NEEENEERVar =+−

+=

{ } { }[ ]{ }"0|""0|" 2111 RERERVar −=

( ) ( )

−= ∫ "0|",

2

010 1 EEdttstRE BTρξ

( ) ( )[ ] ( ) ( )4444444 34444444 21

4

0 0 11,,{∫ ∫= B BT TddssRRE βαβαβξαξ

( ) ( ) 012

0 101 }"0|",2 EEdttstREE BTρξρ +− ∫

4 式 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

+

+= ∫ ∫ βαβαβξβαξα ddssNsNsE B BT T

1100 0 0 ,,

00

012

2ENEE += ρ


6-14

∴ [ ] 10

01201

012

1 22

2"0|" ENEEEEEERVar =−

+= ρρ

[ ] { }[ ] { }[ ]{ }"0|""0|", 001101 RERRERERRCov −−= { } { } { } { }{ }"0|"01101001 RERERRERERRRE −−−= { } { } { }

444 3444 2143421100

"0""0""0" 01

5

01

EEE

RERERREρ=

−=

5 式 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

++= ∫ ∫ βαβαβξβαξα ddssNsNsE B BT T

100 10 0 ,,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫ ∫∫∫ += B BBB T TTTddNNEssdssds

0 0 100 100

20 ,, βαβξαξβαβββαα

010

010 2EENEEE ρρ +=

∴ { } 010010

01001 2"0", EEEEENEEERRCov ρρρ −

+==

010

2EEN ρ=

{ }

−+=∆⇒ 01

00001

22

22"0" EENNENEVar ρ

( )01100 2

2EEEEN ρ−+=

因為對稱的特性，當 "1" 被傳輸時，我們可得

{ } 011"1" EEEE ρ−=∆

{ } ( )01100 2

2"1" EEEENVar ρ−+=∆

圖示如下:

因為接收機對高斯雜訊作線性的處理，故其機率密度函數(PDF)亦為高斯型式。因此我們可由高斯的互補誤差函數計算其錯誤機率。注意臨界值 T為


6-15

{ } { }

2"0""1" ∆+∆

=EE

T (假設 p["0"]=p["1"])

2

01 EE −=

所以， [ ]{ }{ }

{ }∫∞

−

∆

∆−−

∆=

2

"0"

"0"21

01

2

"0"var2"0" EE

Var

Ex

dxeerrorpπ

( )

( )( )( )

−+

−+=

−+

−−−

=0110

0

0110

01100

00101

22

221

22

2EEEEN

EEEEQ

EEEEN

EEEEE

Qρ

ρ

ρ

ρ

( ) ( )

−=

−+=

0

01

0

0110

222

Ntsts

QN

EEEEQ

ρ

由於對稱的特性，p[error│"1"]=p[error│"0"]，故錯誤機率為

[ ] ( ) ( )

−=

0

01

2Ntsts

Qerrorp

其中 ( ) ( )tsts 01 − 為信號 ( )ts1 及 ( )ts0 之間的信號距離。3

例題 3-1：(C-5-3, C-6-1, C-6-2) Three pulses sketched below are used to communicate three messages in a digital communication system. (a) Determine an orthonormal basis which spans this signal set, and determine the

orthonormal series expansion for each signal. (b) Determine the norm for each signal. (c) Determine the distance between each pair of signals. (d) Determine the cross-correlation and correlation coefficient between each pair of

signals. (e) If only two messages are to be communicated, which pair of signals is the best

choice? (f) For each of these signals, determine a signal which is antipodal and a signal which

is orthogonal. (g) Determine the impulse response h(t) for the filter matched to the pulse if the

sampling time is 0.75 sec, 1.0 sec, or 1.5 sec. (h) For your answer in Part (g), sketch the output of the matched filter for all time

when the filter’s input signal is the signal to which the filter is matched.


6-16

(i) Sketch the response for all time of the filters matched to signal #2 and #3 designed for a 1 second sampling time when signal #1 is used as input.

(j) Design matched filters with a one-second sampling time for signals which are orthogonal and antipodal to signal #1 determined in Part (f). Sketch their output for all time when signal #1 is used as the input. How do your sketches compare at the sampling time to your results in Part (i)? Why?

(k) Determine the bit error probability if the signals are #1 and #2. (l) Determine the bit error probability if the signals are #1 and #3. (m) Determine the bit error probability if the signals are #2 and #3. (n) Determine the bit error probability if the signals are #1 and its orthogonal signal. (o) Determine the bit error probability if the signals are #1 and its antipodal signal. #1 )(1 tS #2 )(2 tS #3 )(3 tS 2 1 1.58 1 1 0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 1 -1.58 -2 圖中三個脈波用來傳輸在數位通訊系統中的三個訊息（message） 1. 信號空間計算（Signal space computations） (a)求生成（span）此信號集的正規化基底（orthonormal basis），並求每個信號之正交級數展開式（orthonormal series expansion）。

(b)求每個信號之模（norm）。 (c)求信號彼此間的距離。 (d)求每一對位號之交互關聯函數（cross-correlation）和關聯係數 correlation coefficient）。 (e)若只有兩個信號被傳輸，那一對信號是最佳選擇？ (f)求每個信號的正相反信號（antipodal signal）和正交信號（orthogonal signal）。


6-17

解：(a)正交且長度為１的基底：

此並非唯一，但似乎對已知的三個信號最有意義。

(b)信號的模＝ ( ) ( ) 21

1

0

2

= ∫ dttsts

∴ ( ) 5.2142121

0

1

211 =

+= ∫ ∫ dtdtts

∴ ( ) ( ) ( ) 5.258.158.12121

0

1

21

222 =

+= ∫ ∫ dtdtts

∴ ( ) ( ) 5.213 == tsts

(c)信號距離＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2122 ,2 tstststststs jiiiji −+=−

( ) ( ) ( )∫ ∫ =−×+×=21

0

1

2121 258.158.1158.12, dtdttsts

( ) ( ) ( )∫ ∫ −=+−=×+−×=21

0

1

2131 5.12121122, dtdttsts


6-18

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −=×−+−×=21

0

1

2132 258.13158.1258.1, dtdttsts

( ) ( ) ( )[ ] 849.1258.125.25.2, 212112 =−+=∆ tstsd

( ) ( ) ( )[ ] 828.25.125.25.2, 213113 =−−+=∆ tstsd

( ) ( ) ( )[ ] 121.3258.1325.25.2, 213223 =−××−+=∆ tstsd

(d)交互關聯（cross-correlation）

∵ ( ) ( )tstsR jiij ,= 79.0258.112 ==R

5.113 −=R ( ) 37.2258.1323 −=−=R 關聯係數（Correlation coefficient）

∵ 312.05.279.012 ==⇒= ρρji

ijij EE

R

6.05.25.113 −=−=ρ 948.05.237.223 −=−=ρ (e)因為信號 ( )ts2 和 ( )ts3 的信號距離最大，故選 ( )ts2 信號及 ( )ts3 為信號 (f)正相反信號〔Antipodal ("opposite")〕：

正交信號〔Orthogonal (Inner product equals zero)〕：


6-19

(非唯一) 2. 匹配濾波（matched filter） (a) 對前題中的信號脈波，求匹配這些脈波之濾波器的脈衝響應 h(t)，若取樣的時間為 0.75 sec，1.0 sec或 1.5sec。 (b) 對(a)中的答案，當匹配信號（matching signal）為濾波器的輸入時，畫出對所有時間，匹配濾波器的輸出。 (c) 當信號#1為輸入時，畫出匹配信號#2和#3的濾波器之時間響應，假設取樣時間 1=ST sec。 (d) 設計在前題(f)中之正相反信號（antipodal）和正交信號(orthogonal）的匹配濾波器（ 1=ST sec）。並畫出當信號#1為輸入時之輸出響應，並與(c)比較之。解 (a)注意匹配濾波器之脈衝響應是一個從取樣時間往後跑（run backwards in time）的信號，即 ( ) ( )tTsth S −= (a)


6-20

(b) 我們將濾波器之脈衝響應與輸入信號作迴旋積分便可得到輸出信號。因為信號為矩形脈波，故迴旋運算相當容易。為了節省空間，在此將只畫出 1=ST sec之濾波器的響應。而 75.0=ST sec和 1.5 sec的響應，則是將所得的響應（ 1=ST sec）分別左移 0.25 sec和右移 0.5sec。


6-21

注意：在取樣時間處出現峰值。接收機在此時刻取樣濾波器的輸出值，同時對所

有的濾波器輸出值作比較。 (c) 在此部分，我們將看到這些濾波器對非匹配信號之響應。


6-22

注意：在 1=ST 處，濾波器 #2 及 #3 的輸出為 5.2 及 -1.5 因為

( ) 5.25.15.2 >−− ，故信號對#1和#3比信號對#1和#2容易分辨。

(d) 正交（orthogonal）:

( ) ( ) ( ) ( )∫==1

0 11 ,0, dttstststs orthogorthog 可能的選擇為

正相反（Antipodal）:

∵ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫−==−=1

0

1

0 1111 ,, dttstsdttstsEtsts antipantip 故唯一的選擇為

3. 位元錯誤計算（Bit Error Computations）有一傳輸通道加功率頻譜密度為 120 =N Watt/Hz之 AWGN 到一個基頻，二進位 PAM信號。 (a) 若信號為前題之#1和#2，求位元錯誤機率（bit error probability）。 (b) 若信號為前題之#1和#3，求位元錯誤機率。 (c) 若信號為前題之#2和#3，求位元錯誤機率。 (d) 若信號為前題之#1和其正交信號，求位元錯誤機率。 (e) 若信號為前題之#1和其反信號（antipodal），求位元錯誤機率。

解：應用 [ ]

=

−=

00

01

2tan

2 NtdisQ

Nss

Qerrorp ，對所有的例子，我們僅需求信號

的距離。信號距離 [ ] 21100110 ,2 ssEEss −+=−= 對這三個信號， 5.210 == EE ，


6-23

所要求的是信號的內積（inner product）

(a) ( ) ( ) ( )[ ] 5.25.05.215.2221,1

0 2121 =−+×== ∫ dttstsss

[ ] 21

21 5.25.25.2 −+=− ss

[ ] ( ) 18.08238.019245.04

849.1≅−≅=

= QQerrorp

(b) ( ) ( )[ ] 5.1112221, 31 −=−+−=ss

( )[ ] 828.285.125.25.2 2131 ==−−+=− ss

[ ] ( ) ( ) 08.09207.01414.12828.2 ≅−≅== QQerrorp

(c) [ ] 25.235.25.2221, 32 −=−−=ss

[ ] 12.35.235.25.221

32 =++=− ss

[ ] ( ) 06.09406.0156.1 ≅−≅= Qerrorp

(d) 0,1 =orthogss

51 =− orthogss

[ ] ( ) ( ) 13.08686.01118.125 ≅−≅== QQerrorp

(e) 5.2,1 −=−= Ess antip

101 =− antipss

[ ] ( ) ( ) 06.09429.01581.1210 ≅−≅== QQerrorp

注意：正相反信號對（antipodal signal pair）有最低的 p[error]位元錯誤機率因為此兩個信號間的距離最大。而其中 Q(x)的函數值亦可經由查表方式求得。練習題 3-1：(Prob. 4, mid1989, Pawlowski)

A baseband digital communication system uses the two symbols sketched below to transmit information:


6-24

1) Sketch the impulse response )(0 th and )(1 th , each with a sampling time of

1 µsec, for filters matched to )(0 ts and )(1 ts respectively. 2) Sketch the optimum receiver for this system. Clearly label and define each

function, and specify all parameter values 3) .Assume E = 19.22, and that zero-mean, WSS, AWGN with N0 = -60dBW/Hz

is added to the transmitted signal. Determine the symbol error probability at the receiver output.

4) If the system organizes its information in words which are eight symbols in length, determine the word error probability at the receiver output.

5) Is the signal s1(t) the best possible choice when s0(t) is used for binary baseband signaling? If your answer is yes, explain why. If your answer is no, also explain why not and sketch a better choice of s1(t).

4. 基頻數位傳輸

針對基頻數位信號傳輸，可分成三個方面討論，一為二位元信號傳輸，其

次是多振幅信號傳輸，三是多維度信號（multidimensional signal）傳輸。接下來分別對各種傳輸信號經 AWGN（Additive White Gaussian Noise）通道，以理論分析比較其性能（performance），所用之性能指標為錯誤機率（error probability）與信號雜訊比（SNR）間的關係，並且用電腦加以模擬結果，相互比較其特性。 4.1 二位元信號傳輸二位元信號傳輸之傳輸信號可分為三種，一為正交（orthogonal）信號，二

為正反信號（antipodal signal），三為開關（On-off）信號。例題 4.1-1：正交信號（Orthogonal Signals）配對

我們假設其信號如圖 1所示，二進位數據〞0〞與〞1〞序列由兩信號波形 )(0 ts與 )(1 ts 傳送，數據率為 R bps（bits per second，每秒位元數）， RTb /1= 。每

一位元對應關係如下： 0： 1)(0 =ts bTt ≤≤0 (1)

1：

=

≤<−

<≤

=

20

21

201

)(1

b

bb

b

Tt

TtT

Tt

ts (2)

0s 與 1s 為正交，因為


6-25

∫ =bTdttsts

0 10 0)()( (3)

信號經 AWGN通道，雜訊 )(tn 之功率頻譜密度為 2/0N Watt/Hz，則接收信號波形為

bi Ttitntstr ≤≤=+= 01,0)()()( (4) 需要設計接收機俾以 )(tr 在時距 bTt ≤≤0 決定發射機送〞0〞或〞1〞，而設計法則為接收機需將錯誤率最小化，所得接收機稱為理想接收機（optimum receiver）。理想接收機分成兩部份，前面部份為信號相關器（signal correlator）或匹配濾波器（matched filter），後面一部份為偵測器（ detector）。如圖 2所示為信號相關器與偵測器所形成之理想接收機。其中若 )(0 ts 被傳送，則接收信號為

)()( 0 tnstr += bTt ≤≤0 如圖 2所，輸出信號 0r 及 1r在瞬間 bTt = 為

0

0 0 0 02

000 )()()()()(

n

dttstndttsdttstrr b b bT T T

+Ε=

+== ∫ ∫ ∫ (6)

)(0 tS )(1 tS

A

-A

t0 0

bT

bT2bT

圖 1 )(0 ts 與 )(1 ts 為正交 (Fig. p5.5 , p339, Haykin Ⅳ)

×

×

∫t

d0() τ

∫t

d0() τ

Detector)(0 tS

)(1 tS

Sampleat t=Tb

0r

1r

Outputdata

圖 2 理想接收機和

1

0 0 0 11011 )()()()()(

n

dttstndttssdttstrr b b bT T T

=

+== ∫ ∫ ∫ (7)

這裡的 0n 及 1n 為信號相關器（correlator）的輸出雜訊項

∫=bT

dttstnn0 00 )()( (8)


6-26

∫=bT

dttstnn0 11 )()( (9)

而 bTAE 2= 為信號 )(0 ts 及 )(1 ts 之能量。另外一方面，若 )(1 ts 被傳送，則接

收信號為 )()( 1 tnstr += bTt ≤≤0 (10)

同樣地可得

11

00

nErnr+=

= (11)

因 )(tn 為一白高斯隨機過程之樣本函數，其功率頻譜密度為2

0N，期望值為

零（Zero mean）

∫ == bTdttnEtsnE

0 00 0)]([)()( (12)

0)( 1 =nE (13)

其變異數（variance） 2iσ 為

∫ ∫== b bT T

iiii dtdntnEstsnE0 0

22 )]()([)()()( τττσ (14)

1,02

)(2

)()()(2

0

0

20

00

=Ε

=

=

−=

∫

∫

iN

dttsN

dtdtstsN

b

b

T

i

T

ii ττδτ

(15)

所以當 )(0 ts 被傳送，其機率密度函數為 22

0 2/)(00 2

1))(|( σ

σπΕ−−= retsrP 被傳送 (16)

221 2/

01 21))(|( σ

σπretsrP −=被傳送 (17)

這兩個的機率密度函數(probability density function，PDF)如圖 3所示。

圖 3 )(0 ts 被傳時， )0|( orp 及 )0|( 1rp 的機率密度函數


6-27

接下來，我們要估算其錯誤率，若 )(0 ts 被傳送，當 01 rr > 時，就會產生錯誤 )()()( 010101 Ε>−=+Ε>=>= nnPnnPrrPPe

因為 1n 和 2n 為 Zero-mean Gaussian random variable，其差為 x，定義為

01 nnx −= 也是 Zero-mean Gaussian，則 x的變異數為

)(2)()(])[()( 012

22

12

012 nnEnEnEnnExE −+=−= (18)

而 0)( 01 =nnE (19)

則 20

02 )2

(2)( xNNxE σ=Ε=Ε

= (20)

錯誤率為

=

Ε== ∫

∞

Ε

−

00

2/

221

21 22

NEerfc

NQdxeP xx

xe

σ

σπ (21)

在相關器及匹配濾波器部份，一般都使用匹配濾波器，因為在硬體上匹配濾波器比相關器容易實現且成本較低。接下來我們要証明匹配濾波器亦可達到同樣的功能。我們將脈衝響應(impulse response)設為

)()( tTsth b −= bTt ≤≤0 (22) 設 y(t)為匹配濾波器的捲積(convolution integral)輸出，當輸入波為 s(t)，則

∫ −=t

dthsty0

)()()( τττ (23)

將式(23)的 )( τ−th 用式(22)代入，得

∫ +−=t

b dtThsty0

)()()( τττ (24)

當 y(t)在 bTt = 的瞬間輸出為

∫ ==bT

b EdsTy0

2 )()( ττ (25)

E為信號 s(t)的能量，因此，在 t= bT 的瞬間，匹配濾波器與相關器的輸出是相同的，所以可以用匹配濾波器來取代相關器。接下來利用電腦來模擬，我們利用圖 4的結構來模擬二位元信號傳輸的錯誤率，用Monte Carlo摸擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0,1)，假如這個數在(0,0.5)之間，則二位元訊息源輸出(binary source output)設為 0，否則設為 1。假如 0被產生，然後 00 nEr +=和 11 nr = ，假如 1 被產生，則 00 nr = 和 11 nEr += 。而加入的雜訊項 0n 及 1n 由兩

個高斯雜訊產生。它們具有 zero-mean 及變異數為 2/02 EN=σ 的特性。為了方

便起見，我們常將E設為1，信號雜訊比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)定義為 0/ NE ，也等於 1/2 2σ 。我們設傳送 N=10000位元去模擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的錯誤率可靠度，因此 N=10000筆資料位元允許可靠地錯誤只


6-28

能在 310−=eP 以上。圖 5為執行結果，實線部份是依據原理參考式(21)所描繪

出來，而＊號為Monte Carlo模擬所得的結果。

圖 4 模擬正交信號傳輸

圖 5 執行結果

練習 4.1-1-1 針對圖 1，我們可以做些變化，將兩個正交信號經過 AWGN通道，而每個信號波在每個位元的取樣率改成 bT/10 ，以 )(0 ts 來說，表示成 10個樣本(A,A,……,A)，而 )(1 ts 則為(A,A,A,A,A,-A,-A,-A,-A,-A)，因此，若 )(0 ts 被傳送，

接收到的信號為 10,,2,1 L=+= knAr kk

而 )(1 ts 則為

10651

≤≤≤≤

+−+

=kk

nAnA

rk

kk


6-29

而序列 }{ kn 為獨立之相同之 zero-mean的高斯雜訊，變異數為 2σ 。我們可以利用MATLAB產生 }{ kn ，並且在不同的變異數，分別在 02 =σ ， 1.02 =σ ，

0.12 =σ 及 0.22 =σ 的情形下，看其相關器的值。

練習 4.1-1-2：另外一種變化是將圖 1改成圖 6的信號波形形式，比較是否一樣？

)(0 tS )(1 tS

A

-A

t0 0bT

bT2bT

t

圖 6 )(0 ts 與 )(1 ts 為正交練習 4.1-1-3：我們也可以試著將相關器改成匹配濾波器，再做比較。練習 4.1-1-4： (Prob.5.5, p. 338, Haykin) An orhtogonal set of signals is characterized by the property that the inner product of any pair of signals in the set is zero. The following figure shows a pair of signals s0(t) and s1(t) that satisfy this condition.

1) Construct the signal constellation for s0(t) and s1(t).

Further problems:

2) Determine the correlator outputs at the sampling instants. 3) Consider the use of matched filters for the demodulation of the signals shown,

determine the outputs. 4) Consider the detector for the signals shown, which are equally probable and

have equal energies. The optimum detector for these signals compares r0 and r1 and decides a 0 was transmitted when r0 > r1 and that a 1 was transmitted when r1 > r0. Determine the probability of error.

練習 4.1-1-5： (Prob. 5.12, p. 340, Haykin)

s0(t) s1(t)A A

0 0Tb

TbTb/2t t

-A


6-30

Figure P5.12 shows a pair of signals s1(t) and s2(t) that are orthogonal to each other over the observation interval 0 ≤ t ≤ 3T. The received signal is defined by x(t) = sk(t) + w(t), 0 ≤ t ≤ 3T k = 1, 2 where w(t) is white Gaussian noise of zero mean and power spectral density N0/2. 1) Design a receiver that decides in favor of signals s1(t) or s2(t), assuming that

these two signals are equiprobable. 2) Calculate the average probability of symbol error incurred by this receiver for

E/N0 = 4, where E is the signal energy.

FIGURE P5.12 例題 4.1-2：正反信號（Antipodal Signals）配對

前面我們討論使用正交信號做為二位元信號傳輸的方法，接下來我們要討

論使用正負相反信號(antipodal signal)做為二位元信號傳輸的方法。首先設 0s 與

1s 叫的信號波形正好是正負相反，也就是 )()(0 tsts = 和 )()(1 tsts −= ，如圖 7所示。圖中上方配對即為 Sec. 4.3, pp. 253-258, Haykin所使用。經過 AWGN通道的接收信號為

)()()( tntstr +±= bTt ≤≤0 (26)

)(0 tS )(1 tS

0

0

bTbT

A

-A

)(0 tS )(1 tS

0bT bT-A

0

A

2bT

2bT

t t

t t


6-31

圖 7 antipodal signals

圖 8對於 antipodal signal信號的最佳接收機 (a) 為匹配濾波器的解調器 (b)

為相關器的解調器圖 8中，令 )(0 ts 被傳送，則 )()()( tntstr += (27) 在 bTr = 的瞬間，相關器輸出為

nr +Ε= (28) 而

∫=bT

dttstnn0

)()( (29)

n(t)為 Zero-mean，因此 E(n)=0。而變異數

∫ ∫==b bT T

dtdntnEstsnE0 0

22 )]()([)()()( τττσ (30)

2

)(2

)()()(2

0

0

20

000

N

dttsN

dtdtstsN

b

bb

T

TT

Ε=

=

−=

∫∫∫ ττδτ

(31)

所以，當 )(ts 被傳送時，其 r的機率密度函數為 22 2/)(

21)0|())(|( σ

σπΕ−−=≡ rerPtsrP 被傳送 (32)

同理，當 )(ts− 被傳送，其 r的機率密度函數為 22 2/)(

21)1|())(|( σ

σπΕ+−=≡− rerPtsrP 被傳送 (33)


6-32

圖 9偵測器之輸入隨機變數的機率密度函數圖（0與 1 equiprobable）

若傳 0與 1之機率相等，P(0)=P(1)=21，這兩個的機率密度函數如圖 9所示。

假設 )(ts 被傳送，在 0<r 時會產生錯誤，則其錯誤率為

=

Ε=

Ε=

=

=<=

∫

∫Ε−

∞−

−

∞−

Ε−−

00

/ 2/

0 2/)(

212

21

21)00(

2

22

NEerfc

NQQ

dre

drerPP

r

reo

σ

π

σπσ

σ

(34)

( )

( ) ( )

=

=+=

=>=

0010

01

21210

10

NEerfc

NEQPPPPP

PrPP

eee

ee

(35)

參考 eq. (4.38)~(4.41)及 Fig. 4.6, p.258, Haykin。若傳 0與 1之機率不相等，請參閱 eq. (4.28)~(4.37)及 Fig. 4.5, pp. 255-257。從式（21）及（34）加以比較，可見在相同的信號能量Ε，antipodal signal比正交信號有較好的 performance。換句話說 antipodal signal只須一半的能量就可跟正交信號有相同的錯誤率。所以antipodal signal比正交信號較有效率 3dB。接下來利用電腦來模擬，我們利用圖 10的結構來模擬二位元信號傳輸的錯

誤率，用Monte Carlo摸擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0，1)，假如這個數在(0,0.5)之間，則二位元來源輸出(binary source output)設為 0，否則設為 1。分別將 0與 1對應(mapping)到 E± ，再加入的雜訊項 n，由兩個高斯雜訊產生，它們具有 zero-mean及變異

數為 2/02 EN=σ 的特性，為了方便起見，我們常將 E設為 1，SNR為 1/2 2σ 。

將偵測器的臨界值設為 0，假如 0>r 就將傳輸位元判定為 I，若 r<0就將傳輸位元判定為 0，然後將偵測器的輸出與來源輸出做比較，將錯誤率計數出來。我們設傳送 N=10000位元去摸擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的

錯誤率可靠度，因此 N=10000筆資料位元允許可靠地錯誤只能在 310−=eP 以上。

圖 11為執行結果，實線部份是依據原理參考式(35)所描繪出來，而＊號為Monte


6-33

Carlo模擬所得的結果，與圖 5做比較，其 performance確實可提高 3dB。

圖 10 使用 antipodal signal的電腦模擬架構

圖 11 執行結果

練習題 4.1-2-1：我們可以分別對不同的σ 去量測其錯誤率，並比較原理及模擬的結果。σ 的值分別在 02 =σ ， 1.02 =σ ， 0.12 =σ 及 0.22 =σ 。練習題 4.1-2-2：(Prob. 7.17, p. 459, Proakis, 7.26)

The demodulation of the binary antipodal signals

≤≤=−=otherwise

TtTE

tstsb

0

0)()( 21

can be accomplished by use of a single integrator, as shown in the following figure , which is sampled periodically at t= kT, k=0, 1± , 2± , ….. The additive

noise is zero-mean Gaussian with power-spectral density of 2

0N W/Hz.

1) Determine the output SNR of the demodulator at t = T


6-34

2) If the ideal integrator is replaced by the RC filter shown in the figure, determine the output SNR as a function of the time constant RC.

3) Determine the value of RC that maximizes the output SNR.

練習題 4.1-2-3：(Prob. 7.23, p. 460, Proakis, 7.32)

Consider a signal detector with an input nAr +±= where +A and –A occur with equal probability and the noise variable n is

characterized by the (Laplacian) p.d.f. shown in the following figure . 1 ) Determine the probability of error as a function of the parameters A and σ . 2 ) Determine the “SNR” required to achieve an error probability of 510 − . How dose the SNR compare with the result for a Gaussian p.d.f.?

練習題 4.1-2-4：(Prob. 5.13, pp. 339-340, Haykin , Prob. 7.24, p. 461, Proakis, 7.33)

A Manchester encoder maps an information 1 into 10 and a 0 into 01. If the output of the encoder is transmitted by use of NRZ, the signal waveforms corresponding to the Manchester code are shown in the following figure. Determine the probability of error if the two signals are equally probable.

)()()( tntstr i += Output decision Detector

t=kT ∫t

dt0

()

R

C τ+= kTt T<<τ

σ

σ/2

21)( nenp −=

n

)(2 ts)(1 ts

A A

00

-A -A t t

TT


6-35

例題 4.1-3：開關（On-off）信號配對除了上面提到的正交信號及 antipodal signal之外，一個二位元的資料串也可

以使用 on-off信號來傳送，當要傳送 0，就不送任何信號，傳送 I時，s(t)被傳送，可以表示成

dtransmitteisdtransmitteis

tntstn

tr10

)()()(

)(

+= (36)

)(tn 表 AWGN。我們在偵測器的輸入端可得到

dtransmitteisdtransmitteis

nn

tr10

)(

+Ε= (37)

其機率密度函數為

dtransmitteiserP r 021)0|(

22 2/ σ

σπ−= (38)

dtransmitteiserP r 121)1|(

22 2/)( σ

σπΕ−−= (39)

於 0與 1為 equiprobable傳送時，可用圖解表示成圖 12。

圖 12 對於 on-off信號在相關器輸出的機率密度函數圖

當 0被傳送，錯誤率為

∫∞ −=>=α

σ

σπαα drerPP r

e

22 2/(0 2

1)() (40)

這裡的α 為門檻值（threshold）。另一方面，當 1傳送時，錯誤率為

∫ ∞−

Ε−−=<=α σ

σπαα drerPP r

e

22 2/)(1 2

1)()( (41)

我們得平均錯誤率為

)(21)(

21)( 10 ααα eee PPP += (42)


6-36

我們能夠很容易地可以知道要得到最佳的平均錯誤率，α 必須為

2Ε

=optα

由式(40)、(41)及(42)，所以其錯誤率為

Ε=

02)(

NQP opte α (43)

接下來利用電腦來模擬 On-off信號傳輸的錯誤率，其結構與圖 10相近似，用Monte Carlo模擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0,1)，假如這個數在(0,0.5)之間，則二位元來源輸出(binary source output) 設為 0，否則設為 1。分別將 0與 1對應(mapping)到 0與 E，再加入的雜訊項 n，由兩個高斯雜訊產生，它們其有 zero-mean及變異數為

2/02 EN=σ 的特性，為了方便起見，我們常將 E設為 1，SNR為 1/2。，。將偵

測器的臨介值設為 E/2，假如 r>l/2就將傳輸位元判定為 1，若 r<l/2就將傳輸位元判定為 0，然後將偵測器的輸出與來源輸出做比較，將錯誤率計數出來。我們設傳送 N=10000位元去模擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的


模擬結果如圖 13，實線部份是依據原理參考式(43)所描繪出來，而＊號為Monte Carlo模擬所得的結果。比較式(24)、(34)、(43)，及圖 5、圖 11、圖 13，在錯誤率，On-off什信號傳輸要比 antipodal signal差 6dB，比正交信號差 3dB，但是它的平均傳輸能量卻比它們兩個少 3dB。因此，依據各種不同的需求，這些因素都要考慮以選擇不同的信號型式傳輸。

圖 13 執行結果

練習題 4.1-3-1：我們可以做些變化，分別對不同的σ 去量測其錯誤率，並比較原理及模擬的結果。σ 的值分別在 02 =σ ， 1.02 =σ ， 0.12 =σ 及 0.22 =σ 。練習題 4.1-3-2：(Prob. 4-21, p. 221, Couch)


6-37

Assume a typical binary sequence and show that if the corresponding polar NRZ signal and unipolar NRZ signal have the same peak-to-peak amplitude, the polar signal has less power (an advantage) than the unipolar signal. If noise is added to these signals, how do the probabilities of error compare for these two signaling techniques? 例題 4.1-4：信號星座圖前面所講的那三種二位元信號：正交、antipodal及 on-off信號配對用『信號

空間(signal space)』中的幾何點展示，亦即在通訊研討上常用來解釋信號的方法，叫做信號星座圖（signal constellation diagram），如圖 14所示。我們可以看出antipodal及 on-off信號為一維的幾何表示，而正交信號則為二維幾何表示，其座

標為 )0,( Ε 和 ),0( Ε 。

我們可以舉一個很簡單的例子來看，在信號星座圖上展示雜訊的影響。假設

有對隨機變數 ),( 10 rr ，原信號配對正交，即

),(),( 1010 nnrr +Ε= 或者 ),(),( 1010 nnrr +Ε=

用電腦來模擬分別對 1.0=σ 、 3.0=σ 及 5.0=σ 取 100個樣本，x軸上的點用”o”表示，y軸上的點用 * 表示將結果的點展示在一個二維的座標上，如圖15。從這三張圖可以很明顯地看出σ 越小，點越是集中在自己的軸上，σ 越大，點就越分散，甚至落在別的軸上，如此就會造成偵測器的誤判，而導至錯誤率的

發生。

圖 14 信號星座圖（A）antipodal signals （B）on-off signals （C）orthogonal signals


6-38

圖 15 對正交信號於不同σ 的星座圖（使用Monte Carlo模擬） 4.2多振幅信號傳輸（Multi-amplitude Signal Transmission）前面我們所提的都是每一個信號只傳送一個位元的資料，這裡我們使用多個

振幅等級（level）的信號波形，使得每個信號波能傳送多個位元。

圖 16 多振幅信號波


6-39

首先我們考慮信號波 TttgAts mm ≤≤= 0)()( (44)

mA 為第m個波的振幅， )(tg 為矩形脈衝，定義成

otherwiseTtTtg

≤≤

=0

0/1)( (45)

我們考慮 4個相等距離值， }3,,,3{}{ ddddAm −−= 或 3,2,1,0)32( =−= mdmAm (46)

每兩個點的歐式距離（Euclidean Distance）為 d2 ，這 4個信號波如圖 16，我們又稱它為脈波振幅調變（pulse-amplitude-modulated，PAM）。（參閱 Fig. 4.20, p. 276, Haykin IV）從圖 16，令

)(10)(11)(01)(00

32

10

tstststs

→→→→

而每一個信號我們稱它為一個符元（symbol），時間週期Ｔ稱為符元間隔（symbol interval），假如位元率 bTR /1= ，這 symbol interval為 bTT 2= 。將 PAM信號用幾何表示成圖 17。我們讓這個 PAM信號波傳送出來，經由 AWGN通道，接收到的信號為

Ttitntstr i ≤≤=+= 03,2,1,0)()()( (47) 在最佳接收機部份，要得到一個最小的錯誤率，可藉由信號相關器

（correlator）或者匹配濾波器（matched filter），然後經過振幅偵測器。在信號相關器的輸出為

nA

dttntgdttgA

dttgtrr

i

TT

i

T

+=

+=

=

∫∫∫

00

2

0

)()()(

)()(

(48)

圖 17 4 PAM信號波的星座圖

n為雜訊項，期望值為零，變異數為

∫ ∫== b bT TdtdntnEgtgnE

0 0

22 )]()([)()()( τττσ (49)

2

)(2

)()()(2

0

0

20

000

N

dttgN

dtdtgtgN

b

bb

T

TT

=

=

−=

∫

∫∫ ττδτ

(50)

信號相關器的輸出 r為隨機變數，其機率密度函數


6-40

22 2/)(

21))(|( σ

σπiAr

i etsrP −−=被傳送 (51)

iA為 4種振幅中的任何其中一個值。振幅偵測器計算距離

3,2,1,0, =−= iArD ii ，並選取最小距離者。我們知道當 dn > 時會發生錯誤，而

在 d3+ 或 d3− 被傳送時，其錯誤發生只有在一邊。因為 4 個振幅等級出現的機會相等，所以每個 symbol平均錯誤率為

=

==

=>−=

−∞

−∞

∫

∫

0

2

2

22/

/

2/4

223

23

21

23

21

23)(

43

2

22

NdQdQdxe

dxedArPP

x

d

x

dm

σπ

σπ

σ

σ (51)

參閱式(5.95), p. 335, Haykin。因為所有 4個振幅等級有相同的機率，所以每個symbol平均傳送信號能量為

∑∫=

=+++==4

10

222 5)9119(41)(

41

k

T

kav dddttsE (52)

則 5/2avEd = ，且 avbav EE =2/ 所以

=

=

004 5

423

52

23

NEQ

NEavQP avb (53)

而 SNR定義成 )/(log10 010 NEavb 。接下來可用電腦來模擬 4=M 的 PAM信號傳輸錯誤率，其架構方塊如圖 18，用Monte Carlo模擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0,1)，將它區分成相等的四等分為(0,0.25)，(0.25,0.5)，(0.5,0.75)，(0.75,1.0)，分別表示成 00、01、11、10，然後將均勻亂數產生器的輸出加到對應於不同信號振幅等級{-3d,-d,d,3d}

上。因此 nAr m += ，再將 r送入偵測器，輸出為 mA ，與 mA 做比較，即可得出

錯誤率。為了方便起見，將 d設為 1，SNR定義為 )/(4/5/ 220 σdNEavb = 。我們

設傳送 N=10000位元去模擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的


模擬結果如圖 19，實線部份是依據原理參考式(53)所描繪出來，而＊號為Monte Carlo模擬所得的結果。


6-41

圖 18 利用Monte Carlo模擬 PAM方塊圖

圖 19 執行結果繼續前面的推導，若多振幅信號超過 4個等級，一般 kM 2= 個多振幅信號

波可表示成 1,,2,1,00)()( −=≤≤= MmTttgAts mm L (54)

若每個振幅皆等距離，為 2d，則 1,,2,1,0)12( −=+−= MmdMmAm L (55)

因此，對於M個等級的 PAM系統，其錯誤率為

−Ε−

=0

22

)1()(log6)1(2NM

MQ

MMP avb

M (56)

舉一個M=16的 PAM例子，利用電腦來模擬信號傳輸錯誤率，其架構方塊同圖 18，用Monte Carlo模擬畫出 eP對 SNR的曲線。我們設 N=10000位元去摸擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的錯誤率可靠度，因此N=10000

筆資料位元允許可靠地錯誤只能在 310−=eP 以上。模擬結果在圖 20，實線部份是

依據原理參考式（56）所描繪出來，而 * 號為Monte Carlo模擬所得的結果。


6-42

圖 21 執行結果

練習題 4.2-1：我們也可以做些變化，分別對不同的σ 去量測其錯誤率，並比較原理及模擬的結果。σ 的值分別在 02 =σ ， 1.02 =σ ， 0.12 =σ 及 0.22 =σ 。練習題 4.2-2：(Prob. 7.1, p. 453, Proakis, 7.1)

Determine the average energy of a set of M PAM signals of the form

TtMmtsts mm ≤≤== 0,,2,1),()( Kψ

where MmAEs mgm ,,2,1, K== . The signals are equally probable with amplitudes that are symmetric about zero and are uniformly spaced with distance

d between adjacent amplitudes as shown in the above figure. The decision is made in favor of the amplitude level that corresponds to the smallest distance. Determine the probability of error for the optimum detector.

4.3多維度信號傳輸（Multidimensional Signal Transmission）

在前面的多振幅信號傳輸，我們知道信號波有 kM 2= 個振幅等級，也就是

每個信號波能夠傳送 Mk 2log= 個位元資料，但我們從圖 16可看，每個信號點都在實數軸，我們稱這種信號波叫做一維信號（one-dimensional signal）。接下來，我們要討論多維度下交信號。有許多方法設計距各種性質之信號波型，我們考慮

kM 2= 個具（a）相互正交及（b）相同的能量等兩種性質之信號波形：1,...,1,0),( −= Mitsi 。此兩種性質可表示成

1,,1,0,)()(0

−==∫ MkiEdttstsT

ikki Lδ (57)

E為每個信號波的能量， ikδ 為 Kronecker delta，其定義為

≠=

=kiki

ik 01

δ (58)

圖 22為一個 4個正交且相同能量的信號波，在區間 ),0( T ，每一個都有相同

d d d d d

0


6-43

的能量

1,,2,1,0)(0

22 −=== ∫ Mi

MTAdttsE

T

i L (59)

圖 22 4個正交且相同能量的信號波

每一個正交波的集合（set）能被表示成M個維度的正交向量的集合：

),0,,0,0(

)0,,0,,0(

)0,,0,0,(

1

0

Es

Es

Es

M LL

M

LL

LL

=

=

=

如圖 23所示為 2=M 和 3=M 的正交信號。

圖 23 M=2及M=3正交信號的星座圖


6-44

圖 24 多維度正交信號接收機 (Fig. 5.9, p. 327, Haykin)

假如被傳送的正交信號波 )(tsi 經由 AWGN通道，則接收到的信號為

TtMitntstr i ≤≤−=+= 01,,1,0)()()( L (60) 圖 24為一最佳接收機的架構，得到一個最小的錯誤率，接接收到的信號 )(tr

經過一平行串M個匹配濾波器或相關器，再送進偵測器。因此，假設 )(0 ts 被傳

送，則

00 00

200 )()( nEdttstndtsr

TT+=+= ∫∫ (61)

1,,3,2,1)()(

)()()()(

0

00

2

−==−

+=

∫∫∫

Mindttstn

dttstndttsitsr

i

T

i

T

i

T

i

L (62)

因為雜訊為高斯雜訊，所以期望值為零，變異數為

∫ ∫==b bT T

iiii dtdntnEstsnE0 0

22 )]()([)()()( τττσ (63)

2)(

2

)()()(2

00

20

000

NdttsN

dtdtstsN

Ti

Tii

T

Ε==

−=

∫∫∫ ττδτ

(64)

對於相關器輸出的機率密度函數為 22

0 2/)(00 2

1))(|( σ

σπEretsrP −−=被傳送 (65)

1,,2,121))(|(

22/0 −== − MietsrP ir

i Lσ

σπ被傳送 (66)

在偵測器方面，若要將 )(0 ts 判別出來，就必須 irr >0 ， 1,,2,1 −= Mi L ，其正確

的機率為 ),,( 102010 −>>>= Mc rrrrrrPP L (67)


6-45

00|| )(000

drrfP srsc∫∞

∞−= (68)

)|,...,,( 0102010| 0snrnrnrPP Msc −>>>= (69)

)|()|()|( 010020010 snrPsnrPsnrP M −>>>= L (70)

∫ ∞−−==>

01,...,2,1,)()|( 00

riiri MidrrfsnrP

i (71)

−=

−=0

200 2

11Nr

Qr

Qσ

(72)

也就是說一個 symbol的錯誤率為 ),,(11 102010 −>>>−=−= McM rrrrrrPPP L (73)

= 00

10 )(11

00drrfrQ sr

M

∫∞

∞−

−

−−σ

(74)

= 02

)(10 2

20

2111 drerQ

ErMσ

σσ

−−∞

∞−

−

∫

−− (75)

令σ0ry = ，則

2

02

20 2

21

2)(

−=

−N

EyEr

σ，上式積分就可表示成

{ } dyeyQP NEyMM

2/)/2(1 20)](1[1

21 −−∞

∞−

−∫ −−=π

(76)

對於一個特別的例子， 2=M 可將式（76）化簡成

=

02 N

EQP b (77)

式（76）為平均 symbol錯誤率，其積分可以數值計算得之。有時需要將 symbol錯誤率換算成二位元錯誤率。對均等機會之正交信號集，所有 symbol錯誤率均等，且

121 −=

− kMM P

MP (78)

其中 kM k ,2= 為整數。而 k個位元中有 n個錯誤有 ( )kn 個方法，因此，每 k位元

的 symbol平均位元錯誤數為

∑=

−

−=

−

k

nMk

k

kM PkP

nk

n1

1

122

12 (79)

故


6-46

Mk

k

b PP12

2 1

−=

−

(80)

見式(5.100)及(5.101), p. 336, Haykin。接下來要用電腦來模擬M=4的正交信號傳輸錯誤率，其架構方塊如圖 25，用Monte Carlo模擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0,1)，將它區分成相等的四等分為(0,0.25)，(0.25,0.5)，(0.5,0.75)，(0.75,1.0)，分別表示成 00、01、11、10

)0,0,0,(00 0 Es =→

)0,0,,0(01 1 Es =→ )0,,0,0(10 2 Es =→ ),0,0,0(11 3 Es =→

然後將均勻亂數產生器的輸出加到對應於不同信號上。偵測器輸出為 is，與

is 做比較，即可得出錯誤率，為了方便起見，將 E設為 1，因為 bEE 2= 所以

2/1=bE 。我們設傳送 N=10000位元去模擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的錯誤率可靠度，因此 N=10000筆資料位元允許可靠地錯誤只能在

310−=eP 以上。模擬結果在圖 27，實線部份是依據原理參考式(76) 、(77)、(80)

所描繪出來，而 * 號為Monte Carlo模擬所得的結果。

圖 25 利用Monte Carlo模擬多維度M=4正交信號方塊圖


6-47

圖 26 執行結果

練習題 4.3-1：我們可以做些變化，分別對不同的σ 去量測其錯誤率，並比較原理及模擬的結果。σ 的值分別在 1.02 =σ ， 0.12 =σ 及 0.22 =σ 。練習題 4.3-2：將信號改成圖 27的形式：

圖 27 正交信號波例題 4.3-1: 雙正交信號（Bi-orthogonal signals）所謂雙正交信號（Bi-orthogonal signal）就是有一半的波是正交，另外一半

是這些正交波的負數，如圖 28為M=4的雙正交波例子。其數學式為

),0,,0,0(

)0,,0,0,(

),0,,0,0(

)0,,0,,0(

)0,,0,0,(

1

2/

12/

1

0

Ε−=

Ε−=

=

=

=

−

−

LL

M

LL

LL

M

LL

LL

M

M

M

s

s

Es

Es

Es

假如被傳送的雙正交信號號波 )(tsi 經由 AWGN通道，則接收到的信號為 Tttntstr i ≤≤+= 0)()()(

雜訊 )(tn 為一白高斯隨機過程之樣本函數，其功率頻譜密度為 2/0N ，期望值為

零。理想接收機將接收到的信號 )(tr 經過匹配濾波器或相關器，得


6-48

12

,,1,0)()(0

−== ∫Midttstrr

Tii L (81)

假設 )(0 ts 被傳送，得

≠=+

=

−== ∫

00

12

,,1,0)(

0

0

ininE

Midttsr

i

Tii L

(82)

12

,,1,0)()(0

−== ∫Midttstnn

Tii L (83)

因為雜訊為高斯雜訊，所以期望值為零，變異數 2/02 EN=σ 。偵測器觀察

2M個

相關器輸出，且選取 || ir 的最大值

|}{|max|| ii

j rr = (84)

圖 28 M=4雙正交信號波

然後在 0>jr 時，偵測器選擇信號 )(ts j ，而在 0<jr 時，選擇 )(ts j− 。若 )(0 ts 被

傳送，其正確率為

00

1

0

2//

2//

2/ )(21 00

00

2

drrPdxePM

Nr

Nr

xc

−∞ Ε

Ε−

−∫ ∫

=

π (85)

而 22 2/)(

0 21)( σ

σπΕ−−= rerP (86)

所以其 symbol錯誤率為

cM PP −= 1 (87)

接下來，用電腦模擬M=4的雙正交信號，使用如圖 29所示的結構，用Monte Carlo模擬畫出 eP對 SNR的曲線。一開始我們使用一個亂數產生器產生一個均勻的隨機數，介於(0,1)，將它區分成相等的四等分為(0,0.25)，(0.25,0.5)，(0.5,0.75)，(0.75,1.0)，分別表示成 00、01、11、10


6-49

)0,(00 0 Es =→

),0(01 1 Es =→ ),0(10 2 Es −=→ )0,(11 3 Es −=→

因為 12 ss −= 和 03 ss −= ，所以解調器只需要兩個相關器或者兩個匹配濾波

器。然後將均勻亂數產生器的輸出加到對應於不同信號上。偵測器輸出為 is ，與

is 做比較，即可得出錯誤率，為了方便起見，將 E設為 1，因為 bEE 2= 所以

2/1=bE 。我們設傳送 N=10000位元去模擬在不同的 SNR下的錯誤率。我們至少要有 10倍的錯誤率可靠度，因此 N=10000筆資料位元允許可靠地錯誤只能在

310−=eP 以上。模擬結果在圖 30，實線部份是依據原理參考式(85) 、(86)、(87)所描繪出來，而 * 號為Monte Carlo模擬所得的結果。

圖 29 利用Monte Carlo模擬多維度M=4雙正交信號方塊圖

圖 30 執行結果

練習題 4.3-3：(Prob. 7.27, p. 462, Proakis, 7.37)

Consider an M-ary digital communication system where NM 2= , and N is the dimension of the signal space. Suppose that the M signal vectors lie on the


6-50

vertices of a hypercube that is centered at the origin, as illustrated in the following figure. Determine the average probability of a symbol error as a function of

0/ NEs where sE is the energy per symbol, 2/0N is the power-spectral density of the AWGN, and all signal points are equally probable.

練習題 4.3-4： (Prob. 7.19, p. 460, Proakis, 7.28) Three equally probable messages 1m , 2m , and 3m are to be transmitted over an

AWGN channel with noise power-spectral density 2

0N . The message are

≤≤

=otherwise

Ttts

001

)(1

≤≤−

≤≤

=−=

otherwise

TT

Tt

tsts

0

02

12

01

)()( 32

1 ) What is the dimensionality of the signal space? 2 ) Find an appropriate basis for the signal space (Hint: You can find the basis

without using the Gram-Schmidt procedure). 3 ) Draw the signal constellation for this problem. 4 ) Derive and sketch the optimal decision regions 1R , 2R , and 3R . 5 ) Which of the three messages is more vulnerable to errors and why? In other

words, which of p(Error im transmitted), i=1, 2, 3 is larger?

1s

3s

2s

4s

)(1 tψ

)(2 tψ

)(1 tψ

)(2 tψ

)(3 tψ1s

2s

3s

4s

5s

8s

7s

6s

N=2

N=3


6-51

練習題 4.3-5： (Prob. 7.20, p. 460, Proakis, 7.29)

An optimal demodulator can be realized as: A correlation-type demodulator A matched-filter-type demodulator

Where in both cases )(tjψ , Nj ≤≤1 were used for correlating r(t) or designing the match filters. Show that an optimal demodulator for a general M-ary communication system can also be designed based on correlating r(t) with )(tsi ,

Mi ≤≤1 , or designing filters that are matched to stsi )'( , Mi ≤≤1 . Precisely describe the structure of such receivers by giving their block diagram and all relevant design parameters.

練習題 4.3-6： (Prob. 7.22, p. 460, Proakis, 7.31) In an additive white Gaussian noise channel with a noise power-spectral density of

20N , two equiprobable messages are transmitted by

≤≤=

otherwise

TtTAt

ts0

0)(1

≤≤−=

otherwise

TtTAtAts

0

0)(2

1) Determine the structure of the optimal receiver. 2) Determine the probability of error.


6-52

5. Regenerative repeater (Fig 3.18, p.208, Haykin) 回憶：Repeaters for analog communication systems

本小節探討 Wireline Channel 使用 repeaters 之重要性，以及兩種類型之repeaters 對系統性能之差異。數位信號經 AWGN 通道，其系統性能以位元錯誤

率(bit error rate) bP 度量，而 bP 主要由其接收機所接收 SNR比而定，亦即由o

bN

E 而

定。除了外加雜訊，另有一個因數影響系統性能。它就是 channel attenuation，如圖 2.6以模式表達，令 )(ts 為發射信號，且 0<α <1，則接收信號為

)(tr = )()( tnts +α

channelTransmittedsignal

s(t)

Receivedsignal

)t(n)t(s)t(r +α=

Attenuationα

Noisen(t)

α

Figure 2.6 Mathematical model of channel with attenuation and additive noise.

此時 SNR為o

bN

E2α，由此顯示信號功率降低了。換言之，系統受外加雜訊影

響加大了。為了解決此問題，一般常在類比通訊系統中，於整個通道每隔某固定間距設放大器，即所謂的 repeaters。而在數位通訊系統中，則允許每隔某固定間距再生(regenerate)乾淨(noise-free)的信號，也就是說設置 regenerative repeaters。此法常用在Wireline及 filter-optic communication channels。如此才不至於累積外加雜訊對系統性能的傷害。

每一個 Regenerative repeater之前端有解調器，解出前一個 repeater送來之數位消息序列，經其發射端之調變器，送到下一個 repeater。如此運作，乾淨的信號在每一個 repeater再生，其外加雜訊不會累積，因此得名。當然，某一 repeater發生錯誤，還是會傳給後續的 repeaters。為了方便評估此法對全系統性能之影響，若調變為 Binary PAM時，則每一段(hop, 即一個 repeater到下一個 repeater)之位元錯誤率為

bP = )( 2o

b

NEQ

若整個系統用了 K個 regenerative repeaters，則系統位元錯誤率為

bP ≈ )(KQo

b

NE (2.53)

但是若使用 K個 analog repeaters，則


6-53

bP ≈ )(Qo

b

KNE (2.54)

值得注意的是，衛星通訊的 On Board Processing(OBP)系統與地面 Wireline Channel 使用之 regenerative repeater意思是一樣的。 Ex. 7 (Ex.7.7.1, p.438, Proakis) A binary digital communication system transmits data over a wireline channel of length 1000km. Repeaters are used every 10km to offset the effect of channel

attenuation. Let us determine the o

b

NE that is required to achieve a probability of a bit

error of 510− if (a) analog repeaters are employed , and (b) regenerative repeaters are employed. The number of repeaters used in the system is K=100. If regenerative

repeaters are used, the o

b

NE obtained from (2.54) is

510− = ⇒)(100 2o

bNEQ 710− = )( 2

o

b

NEQ

which yields approximately 11.3 dB. If analog repeaters are used, the o

b

NE obtained

from (2.53) is 510− = )( 1002

o

b

NEQ , which yields

o

b

NE ≈29.6 dB. Hence, the difference in

the required SNR is about 18.3dB, or approximately 70 times the transmitter power of the digital communication system. 練習題 (Prob. 7.55, p. 471, Proakis, 7.44) Consider a transmission line channel that employs n-1 regenerative repeaters plus the terminal receiver in the transmission of binary information. We assume that the probability of error at the detector of each receiver is p and that errors among repeaters are statistically independent.

(1) Show that the binary error probability at the terminal receiver is

[ ]nn pP )1(1

21

−−=

(2) IF 610−=p and n=100, determine an approximate value of Pn. (Prob. 7.56, p. 471, Proakis, 7.45) A digital communication system consists of a transmission line with 100 digital (regenerative) repeaters. Binary antipodal signals are used for transmitting the information. If the overall end-to-end error probability is 610−=p , determine the

probability of error for each repeater and the required 0/ NEb to achieve this

performance in AWGN.

通訊系統（二）第六單元

Documents

schmidt orthogonalization

sig awgn qdahht

orthonormal

bit error

binary source

noise ratio

output snr

sampling time