Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Username / Parola inexistenteemail Login
Am uitat parola x Creaza cont nou
HomeAdministratie Arta cultura Biologie Casa gradina Diverse
Economie Geografie Gradinita Istorie Jurnalism Limba Literatura
romana Management Medicina Personalitati Profesor scoala Sociologie
Stiinta Tehnica mecanicaAuto
Exploreaza
Upload
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI
DINAMICEtehnica mecanica#1 China Wholesale Store Wholesale 1000's
of Items from 120,000 Verified Sellers.2004-2010 DHgate.com Roboti
LEGO NXT 1499 lei Lego Mindstorms NXT 2.0 din stoc Livrari in 24ore
oriunde in Romania www.legomag. Bottaro Italpese Dal 1965 sistemi
di pesatura per artigianato ed industria.
www.bottaroitalpese.it
MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE sI DINAMICESistemul mecanic al
unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide,
elementele sistemului, legate ntre ele succesiv prin articulatii de
rotatie sau translatie. Pozitiile relative ale acestor elemente
determina pozitia pe ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie
reprezentnd de fapt una din conditiile functionale ale robotului.
Cele mai cunoscute versiuni de articulatii mecanice ntlnite n
sistemele robotice sunt reprezentate prin lanturi cinematice
deschise n care pozitia viteza si acceleratia unui element pot fi
obtinute recursiv din parametrii elementului precedent. n general,
fiecare element contine un singur grad de libertate n raport cu
elementul precedent astfel nct relatiile de transformare ntre
elemente contin un singur parametru variabil. Legarea n cascada a
tuturor transformarilor asociate fiecarui element permite
determinarea parametrilor miscarii ntregii configuratii ALTE
DOCUMENTE mecanice si, n general, a elementului terminal. CONSUMUL
DE APA SI ALIMENTE IN
Timp liber
2.1. Sisteme de coordonateOperatiile de manipulare specifice
unui robot cer, n primul rnd, o pozitionare corespunzatoare a
sistemului mecanic, deci atingerea unui punct din spatiul de lucru,
si n al doilea rnd impun o anumita orientare a elementului
terminal. De exemplu, o operatie de montaj prin filetare cere att
atingerea gaurii ct si orientarea corecta a surubului pentru
realizarea asamblarii. se impune deci adoptarea unui sistem de
coordonate corespunzator descrierii acestor cerinte. Un punct A,
ntr-un sistem de coordonate S 1 , poate fi reprezentat prin
vectorul ce uneste originea sistemului de coordonate si punctul
respectiv,
MIJLOACELE DE SALVARE Factori umani si performantele pilotului
Eficienta tehnico - economica a managementului energetic in
conceptia cercetarilor operationale STAREX BILLING MANUAL Masurarea
cantitatii de marfa Analiza /optimizarea valorilor TROLIUL Undele
electromagnetice aplicatii Arborele cotit ARZATOARE GAZ PROGRESIVE
C 24 GX 507 / 8
(2.1)unde sunt versorii axelor X,Y,Z, respective. O alta
modalitate de scriere este,
(2.2)unde indicele superior 1 precizeaza sistemul de coordinate
S 1 . n afara de aceasta, directia vectorului de pozitie se poate
exprima prin cosinutii de directie,Cautare
;
;
(2.3)
Daca acum, originea sistemului de coordonate O 1 se exprima n
raport cu un sistem S 2 prin coordonatele
(2.4)atunci punctul A se va exprima n raport cu sistemul S 2
prin,
(2.5)Relatia (2.5) corespunde unei reprezentari ntre doua
sisteme afectate de operatii de translatie (axele snt paralele,
respectiv). Daca sistemele de coordonate snt supuse unor miscari de
rotatie, pozitia unui punct n diferite
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI
DINAMICEsisteme se poate obtine printr-o transformare
corespunzatoare. Consideram, de exemplu, sistemul S 2 obtinut prin
rotatia cu unghiul ? n jurul axei ? a sistemului Sj (figura 2.2).
Pozitia n noul sistem se obtine prin multiplicarea coordonatelor
initiale cu o matrice de rotatie.
(2.6)n foarte multe situatii este de preferat sa se utilizeze o
transformare globala care sa comaseze att efectul de translatie ct
si pe cel de rotatie. O astfel de transformare se numeste omogena.
Aceasta transformare poate fi definita ca rezultatul concatenarii a
doua matrici, de orientare (4 ? 3) si de pozitie, un vector
(4x1).
(2.7)De exemplu, translatia specificata n figura 2.1 b
corespunde transformarii omogene definita prin
(2.8)unde simbolul Trans este asociat functiei de translatie.
121c23b Calculul coordonatelor punctului A n sistemul S 2 definit
prin componentele (2.2) n sistemul Sj se obtine imediat prin simpla
aplicare a operatorului de translatie asupra jj vectorului
coordonatelor n S 1
(2.9)deci aceleasi rezultate ca cele date n relatia (2.5). n mod
similar, se pot defini operatori de rotatie, corespunzatori unei
rotatii cu unghiul ?, n jurul fiecarei axe de coordonate,
(2.10)
(2.11)
(2.12)Aplicarea succesiva a acestor operatori permite calculul
coordonatelor pentru orice modificare a sistemului de coordonate.
De exemplu, un punct de coordonate (7,3,2) n sistemul S! este supus
succesiv urmatoarelor transformari: o rotatie n jurul axei ? cu 90
(sistemul S2 ), o rotatie n jurul axei ? cu 90 (sistemul S3 ) si o
translatie cu vectorul (4,-3,7) (sistemul S4). Deci, n noul sistem,
coordonatele punctului vor fi date de
sau
(2.13)Trebuie subliniata necesitatea respectarii ordinei
operatiilor efectuate. Evident, (2.14)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI
DINAMICEPentru generalizarea procedurilor de lucru, se va nota prin
T. transformarea generala a sistemului de coordonate Sj n raport cu
sistemul S, . n acest context, functia de pozitionare a bratului
unui robot se poate interpreta prin definirea corespunzatoare a
operatorilor transformarilor.
n figura 2.3. este prezentat un robot ce executa o operatie
tehnologica (sudura, gaurire, etc) asupra piesei P. Miscarile
robotului snt definite prin transformari corespunzatoare n raport
cu un sistem de referinta absolut Elementele bratului mecanic, prin
articulatiile sale, permit determinarea unei transformari generale
, transformare desemnata prin , care la rndul ei este definita n
raport cu sistemul . Se va nota: -transformarea
a sistemului de referinta a elementului terminal (mna) n raport
cu baza de referinta absolut prin transformarea
.Deci, pozitia absoluta a minii este redata prin produsul
transformarilor ,
implicata de operatia tehnologica exercitata de mna asupra
piesei ? n punctul 1 si piesei si fata de sistemul de referinta
absolut, respectiv.
, transformarile ce desemneaza pozitia punctului 1 fata de
referinta
n conditiile realizarii unei functii tehnologice corecte,
coordonatele punctului prelucrat trebuie sa satisfaca transformarea
de-a lungul lantului cinematic al robotului, deci
(2.15)ntruct scopul final al oricarei prelucrari matematice de
acest fel consta n gasirea unui control adecvat al bratului
mecanic, deci transformarea (2.15) se obtine, , din relatia
(2.16)Desi formula stabilita da pur formal conditiile
functionale ale robotului, ea sintetizeaza exact principalele
cerinte ce se impun pentru acoperirea unei functii tehnologice date
de catre o anumita configuratie mecanica. Aceste deziderate pot fi
rezumate n urmatoarele: a) atingerea de catre elementul terminal al
bratului mecanic a unui ;
punct de coordonate impus, - transformarea b)
asigurarea unei orientari adecvate a minii robotului n
conformitate . definita prin [17]
cu functia tehnologica ndeplinita - transformarea
Pentru definirea corecta a ultimei conditii se introduce o
matrice de orientare a minii
(2.17)unde este un vector unitate n directia apropierii minii de
obiect, (2.18) n matricea se poate identifica o submatrice de
orientare este un vector unitate de orientare al elementului iar f
este definit prin
si un vector de pozitie
Matricea
este o matrice ortonormala iar elementele ei au o serie de
proprietati care simplifica considerabil prelucrarile
matematice.
n plus, matricea de orientare TM admite o inversa de forma,
(2.19)unde pn, po, pa desemneaza produsele scalare ai vectorilor
respective.
2.2. Modele cinematice
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Dupa cum s-a vazut n paragraful precedent, prima conditie
necesara functionarii robotului este determinarea transformarii
ce asigura atingerea unui punct
definit de (2.16) este numai o reprezentare matematica formala.
Ea trebuie corelata cu structura mecanica a robotului astfel nct sa
poata fi dorit. Dar determinate toate transformarile individuale,
pe fiecare articulatie controlata a bratului mecanic. Dupa cum s-a
mai aratat, sistemul mecanic al robotului este realizat prin
legarea succesiva a unor articulatii simple de rotatie si
translatie, pozitia fiecarui element matricea putnd fi definita n
raport cu elementul precedent printr-o singura variabila de rotatie
(unghi) sau de translatie (deplasare).Daca se noteaza cu
transformarii ce descrie translatia si rotatia relativa ntre
sistemul de coordonate al elementului i si al elementului i-1,
atunci transformarea asociata minii robotului se poate scrie ca, =
...
(2.20)
unde n reprezinta numarul de elemente al bratului.Calculul
matricei de transformare pentru o articulatie data este riguros
prezentat ntr-un numar mare de lucrari de specialitate. n cadrul
acestui capitol se va utiliza metoda Denavit-Hartenberg datorita
avantajelor deosebite privind att simplitatea tratarii ct si
posibilitatile mari de generalizare pe care le ofera. Conventiile
impuse de aceasta metoda sunt [4,5,24,25] se aliniaza axele X ale
tuturor sistemelor de referinta ale articulatiilor n aceeasi
directie cu cea a sistemului de baza. axa Zi coincide cu axa de
rotatie a articulatiei i; se roteste cu un unghi n jurul axei , n
lungul axei n lungul axei , axa spre
se translateaza cu marimea se translateaza cu marimea se roteste
cu un unghi
n sensul orar, n jurul axei
n figura 2.5. snt reprezentati parametrii Denavit-Hartenberg
pentru o articulatie de forma generala.n practica, configuratia
geometrica a unei articulatii este reprezentata printr-o serie de
parametri constanti, lungimea articulatie de translatie. 121c23b
Deci, matricea transformarii omogene si unghiul parametrii
variabili fiind unghiul la o articulatie de rotatie sau lungimea la
o
ntre articulatia i si i-1 va fi,
Utiliznd formulele stabilite (2.8), (2.10) - (2.12) si
substituind n (2.21) rezulta,
sau
(2.22)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Pentru exemplificarea procedeurilor de calcul privind
constructia modelului cinematic, se va analiza robotul din figura
(2.6)[17,62] al carui lant cinematic contine numai articulatii de
rotatie. Robotul prezentat n figura 2.6 a are sase grade de
libertate. Pentru determinarea parametrilor de transformare, n
figura 2.6, b este reprezentat simbolic lantul cinematic orientat
pentru respectarea conditiilor expuse mai sus (axele au aceeasi
directie).
n figura 2.7. sunt reprezentate axele de coordonate pentru
fiecare pereche de articulatii. De exemplu, pentru sistemele de
referinta alinierea axelor X si ? determina urmatorii parametri:
unghiul de rotatie , parametrul n jurul axei Z este parametrul ,
distanta masurata pe axa Z ntre cele
doua origini este parametrul d origini da a =0.
este unghiul masurat n sens orar ntre Z si Zo , deci
= 90 , iar abaterea masurata pe axele X ntre cele doua
Matricea transformarii ntre cele doua sisteme, pentru aceasta
prima articulatie, se obtine nlocuind parametrii determinati n
relatia (2.23). Rezulta,
Parametrii celorlalte articulatii se pot obtine n aceeasi
maniera din figura 2.7, iar matrlcele corespunzatoare vor fi
(2.23)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
O tratare similara poate fi obtinuta pentru lanturi cinematice
care contin si articulatii de translatie. 121c23b n figura 2.8 este
prezentat un astfel de robot cu trei grade de libertate.Din analiza
parametrilor asociati celor trei articulatii de translatie,
rezulta:
(2.24)Transformarea generala asociata ntregului lant cinematic
va fl:
(2.25)Variabilele miscarii sunt cele trei deplasari liniare a 1
, d 2 , d 3 , de si ele apar, n mod firesc, n cadrul coloanei
vectorului de pozitie. Modelele prezentate s-au referit la roboti
cu articulatii numai de rotatie sau numai de translatie. 121c23b
Procedura se poate aplica n aceeasi maniera pentru lanturi
cinematice cu diverse tipuri de articulatii. Structurile mecanice
uzuale ntlnite la cele mai cunoscute familii de roboti industriali
se grupeaza, dupa coordonatele ce descriu pozitiile bratului, n:
roboti de coordonate carteziene, cilindrice, sferice, de rezolutie
etc. Indiferent de tipul utilizat, calculul cinematic se realizeaza
dupa metoda expusa, determinnd parametrii D.H. ai fiecarei
articulatii si formnd cu acestia matricele de transformare.
2.3. Problema controlului pozitieiParagraful anterior a stabilit
procedurile de determinare a transformarilor omogene Af pentru
diferite tipuri de brate mecanice. Pe baza lor se obtine, prin
multiplicare succesiva, transformarea generala ce exprima pozitia
elementului final (terminalul sau mna robotului) n raport cu
sistemul de referinta al bazei. Nu trebuie sa uitam nsa ca scopul
final al oricarei aplicatii robotice este de a realiza o anumita
functie tehnologica si, n cadrul ei, o prima cerinta este
pozitionarea corecta a bratului mecanic ntr-un punct sau de-a
lungul unei traiectorii impuse. trebuie sa Aceasta nseamna implicit
ca transformarea generala verifice coordonatele punctului de lucru.
Se poate formula, deci urmatoarea problema de control: "care sunt
parametrii variabili asociati fiecarei articulatii pentru ca
coordonatele elementului terminal sa verifice un punct dat n
spatiul de operare, asigurnd totodata si o anumita orientare a
minii robotului. n acest fel, relatiile ce definesc transformarile
cinematice devin ecuatii de control cinematic. Rezolvarea
ecuatiilor cinematice reprezinta n general o problema dificila.
Acest lucru este determinat nu att de numarul ecuatiilor ct de
neliniaritatea lor. Pentru ilustrarea dificultatilor ce apar n
ecuatiile de acest tip vom aborda problema controlului cinematic al
modelelor deduse n paragraful precedent. n cazul robotului n
coordonate carteziene din figura (2.8) ecuatia generala a bratului
este data de produsul celor trei matrici n formula (2.25). Deci,
pozitia orientarea bratului va fi din (2.19).
(2.25)Este evident ca un astfel de robot va controla numai
pozitia elementului terminal nu si orientarea, calculul vectorial
de pozitie fiind obtinut direct
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
(2.26)unde,
(2.27)Simplitatea solutiei este datorata absentei neliniaritatii
la aceste transformari specifice articulatiilor de translatie, dar
apare clar faptul ca un astfel de robot nu asigura functia de
orientare a bratului. t Se va considera acum robotul cu articulatii
de rotatie prezentat n figura 2.6. Modelul cinematic al bratului se
obtine prin multiplicarea matricilor A i din (2.23),
(2.29 )Efectund nmultirea matricilor si identificnd componentele
generale ale matricei de orientare - pozitia (2.19) se obtine
[62]
(2.30)
(2.31)
Ecuatiile stabilite pun n evidenta foarte bine complexitatea
problemei controlului cinematic. Pentru o pozitie si orientare a
elementului terminal al robotului impuse, deci p x , p y , p z , n
x , n y , n z , o x , o y , o z , a x , a y , i lund valori
prescrise, se cere calcularea valorilor unghiurilor f 1 , f 2 ,...,
f 6 care satisfac ecuatiile (2.30). Este evident ca determinarea
variabilelor de control f 1 , f 2 ,..., f 6 pentru asigurarea att a
pozitiei dorite, ct si a orientarii minii nu este posibila, n
principiu, se impune numai o pozitionare riguroasa si o orientare
partial satisfacuta (care se presupune ca, totusi, acopera
cerintele tehnologice impuse). Chiar n acest caz, o solutionare
analitica este evident extrem de dificila. Tratarea numerica pe un
calculator adecvat implica si ea dificultati serioase si n orice
caz efortul de calcul este extrem de mare, problema de control
neputnd fi abordata ca o problema n timp real. O tratare off-line
pe un calculator numeric este practic singura modalitate de
utilizare a controlului cinetic. Pentru diferite puncte, de-a
lungul traiectoriei impuse, se calculeaza aprioric valorile
variabilelor de control ale articulatiilor, ele urmnd sa reprezinte
marimile de referinta n sistemul propiu-zis de conducere al
miscarii. n literatura de specialitate se pot mentiona eforturile
diversilor autori pentru solutionarea acestei probleme. Mentionam
metoda propusa de Paul Shimano si Meyer [5,25] care izoleaza
seccesiv fiecare variabila de elementul terminal prin
premultiplicarea cu inversele matricilor A i. Lee si Siegler [24]
separa problema controlului general n problema pozitionarii
bratului de cea a orientarii minii. ntr-o asemenea abordare,
transformarea totala poate fi rescrisa ca, ,
si desemneaza transformarile ce definesc pozitionarea bratului
unde s-a considerat baza robotului ca sistem de referinta absolut,
sistemul O, iar robotului fata de baza si respectiv mna robotului n
raport cu bratul [24]. De exemplu, pentru robotul discutat mai sus,
aceasta partajare a transformarilor impune urmatoarea rescriere a
relatiei (2.19)
(2.32)unde prima submultime desemneaza pozitionarea
bratului,
(2.33)iar a doua orientare,
(2.34 )Pe de alta parte, att transformarea globala , ct si cele
partiale, si , pot fi rescrise n termenii matricei pozitie -
orientare (2.10).
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
(2.35)
(2.36)
(2.37)nlocuind expresiile (2.35) - (2.37) in (2.31) rezulta,
(2.38)Deci, din (2.35) se obtine,
(2.39) (2.40)n aceasta ultima relatie, vectorul absolut (figura
2.9, a). , defineste pozitia minii fata de punctul terminal al
bratului. Prin multiplicarea cu exprima acelasi vector fata de
sistemul
Acest vector va fi deci reprezentat prin
(2.41)deci, din (2.40) se obtine
(2.42)sau, astfel spus, translatia totala este obtinuta prin
nsumarea translatiilor bratului si minii. n aceasta relatie
vectorul coincide cu versorul a al matricei de orientare (2.35)
(figura 2.4), deci componentele acestui vector pot fi determinate
relativ usor. ntr-o prima faza se determina unghiurile f si ?
, iar ulterior, componentele vectorului
(2.43)Tinnd cont de faptul ca vectorul ? este dat prin matricea
generala a robotului (2.35), din (2.42) si (2.43) se pot calcula
componentele vectorului de pozitie al bratului
(2.44)Pe de alta parte, din formula (2.34) se obtine,
(2.45)unde P[A] desemneaza vectorul de pozitie din transformarea
A. Aceasta ultima relatie constituie ecuatia de baza ce permite
calculul unghiurilor f 1, f 2, f 3 ce definesc articulatiile
bratului. Pentru calculul unghiurilor minii f 4, f 5, f 6 se
utilizeaza componenta de rotatie care poate fi exprimata din
relatia (2.39) sub forma,
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Cele doua matrici si R snt usor obtinute ca matrici de rotatie
din transformarile respective. n plus, inversa lui orientare.
Introducnd aceste rezultate n matricea de orientare a transformarii
(2.34), rezulta,
se calculeaza conform regulilor matricelor de
(2.47) unde R[A] desemneaza matricea de orientare a
transformarii A. Relatia (2.47) reprezinta ecuatia ce permite
calculul unghiurilor ce definesc pozitia minii. Procedura expusa
permite deci calculul decuplat al parametrilor geometrici ai
robotului, analiznd separat ecuatiile de pozitie de cele de
orientare. Cu toate ca aceasta metoda simplifica si faciliteaza, n
mare masura, efortul de calcul, abordarea analitica a solutiilor de
control cinematic ramne n continuare o problema complexa. n ciuda
dificultatilor prezentate, controlul cinematic este cea mai
utilizata metoda de control a miscarii unui robot, solutionare
problemei fiind data, n mod paradoxal, chiar de robot, de
implementarea sa fizica. Conceptul de baza n aceasta abordare l
constituie faptul ca rezolvarea ecuatiilor (2.30) implica evident
modelarea lor (numerica sau analogica), ori cea mai buna modelare,
cea mai exacta, o reprezinta robotul nsusi. n acest sens, robotul
este fortat sa execute o anumita traiectorie n spatiul sau de
lucru. n punctele prestabilite, dorite, sunt masurate valorile
variabilelor de control, aceste valori reprezentnd solutiile exacte
ale ecuatiilor cinetice asociate punctelor respective. Valorile
astfel obtinute vor constitui marimi de control impuse n faza de
operare propriu - zisa a robotului. Procedura este curent cunoscuta
sub denumirea de instruirea robotului si va fi discutata pe larg
ntr-unul din capitolele ulterioare.
2.4. Controlul cinematic diferentialAnaliza precedenta s-a axat
pe problema determinarii variabilelor de control pe fiecare
articulatie astfel nct comportarea cinematica a ntregului brat, ca
pozitie si orientare, sa fie cea dorita, insistndu-se n special
asupra cerintelor de calcul si complicatiilor care deriva din
acestea ntr-o conducere n timp real. O alta modalitate de tratare a
controlului cinematic poate fi obtinuta daca nu se iau n
consideratie valorile totale ale parametrilor miscarii ci
variatiile acestora n raport cu anumite marimi de referinta. O
astfel de abordare este desemnata ca analiza cinematica
diferentiala. Modelul diferential al unui robot este deci un model
care permite calculul diferential dx a coordonatelor operationale
(variabilele ce definesc pozitia n spatiul de lucru) n functie de
diferentiala dq a coordonatelor generalizate (variabilele asociate
fiecarei articulatii mecanice). ntr-o transpunere analitica,
aceasta dependenta se poate scrie printr-o matrice iacobian, n
forma: (2.48) Daca, pentru un anumit model cinematic, coordonatele
operationale si generalizate variaza n cantitati mici, atunci
diferentialele pot fi nlocuite cu variatiile corespunzatoare si
modelul (2.48) se scrie sub forma, (2.49) n cazul n care acestor
variatii li se asociaza si variatii n timp, diferentialele pot fi
nlocuite cu derivate, (2.50) Indiferent de modul de scriere, ntr-o
analiza diferentiala, o etapa importanta o constituie calculul
matricei iacobiene J(q). Considernd modelele cinematice stabilite n
paragrafele anterioare, redate analitic n forma, (2.51) atunci
matricea iacobian este matricea derivatelor partiale ale functiei n
raport cu coordonatele generalizate.
(2.52) sau, pe componente
(2.53) Daca coordonatele operationale utilizate sunt date de
vectorul,
(2.54) atunci relatia (2.50) poate fi scrisa ca,
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
(2.55)
unde
pentru o articulatie de rotatie,
pentru o articulatie de translatie iar
.
Pentru exemplificare, sa consideram robotul cu articulatii de
translatie prezentat n figura 2.8. Coordonatele elementului
terminal n raport cu sistemul de referinta (X0, Y 0, Z 0) sunt date
de,
(2.56)
unde exprima n acelasi timp si coordonatele generalizate (2.53)
se obtine iacobianul sistemului,
. n consecinta, utiliznd o formula de tipul
(2.57) Pentru sisteme mecanice mari, procedurile de calcul ale
matricei, desi mai complexe, se bazeaza pe o tehnica similara sau
prin derivate ale celei prezentate n (5.25). n forma definita mai
sus, iacobianul permite calcului variatiilor coordonatelor
operationale n functie de variatiile coordonatelor generalizate
(din articulatii). De fapt, o problema de conducere impune o
procedura inversa: dndu-se variatii impuse ale coordonatelor
operationale se cer variatiile coordonatelor generalizate
corespunzatoare. O astfel de formulare conduce la o relatie de
forma, (2.58) Calculul inversei iacobianului este n general o
problema complexa, dificultatea fiind determinata de faptul ca
matricea iacobian este foarte rar o matrice patrata. n general se
va impune deci calculul unei pseudoinverse J -1 dupa proceduri
specifice (38,25,62). De exemplu, pentru iacobianul obtinut mai
sus, (2.59) prin transpunere rezulta (2.60) unde admite o
pseudoinversa (J T )-1 de forma
(2.61) admite o pseudoinversa de forma
(2.62) Se verifica usor ca (2.63) Multiplicnd cu ambii membri ai
relatiei (2.60), rezulta (2.64)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Desigur ca aceasta metoda poate fi aplicata numai pentru forme
particulare ale matricei J. Pentru o forma generala a acesteia se
poate utiliza procedura specificata n (12,17). n acest sens, se
nmultesc ambii membrii ai relatiei (2.59) cu JT , (2.65) Se
determina inversa matricei JT J si prin multiplicarea rezultatului
cu (2.65) se obtine (2.66) n acest caz poate fi definita ca o
pseudoinversa a matricei J.
Exemplul pe care l-am analizat se bazeaza pe o matrice iacobian
cu coeficienti constanti. n cele mai multe cazuri, coeficientii
matricei depind de coordonatele generalizate q i, ceea ce impune o
recalculare a elementelor ei la orice modificare a acestor
parametrii. Calculul variatilor Dq i, asociate fiecarei articulatii
a structurii mecanice, pe baza variatiilor Dx i impuse n sistemul
operational, sugereaza introducerea unei structuri de conducere
specifice. n figura 2.10 este prezentat un astfel de sistem.
Traiectoria, n spatiul de operare al robotului, este data prin
multimea de puncte x di . Aceste valori sunt comparate cu cele
realizate efectiv de sistemul mecanic x i. Parametrii operationali
reali x i sunt obtinuti la rndul lor din coordonatele generalizate
q i pe baza modelului cinematic direct (2.51). Abaterile
obtinute,
(2.67) sunt aplicate unui bloc de calcul ce implementeaza pe J
-1(q) la iesirea caruia se genereaza noile variatii Dq i ce asigura
corectarea traiectoriei. Evident, dependenta iacobianului de
parametrii q i determina recalcularea sa la fiecare pas de operare.
Avantajul principal al unui astfel de sistem de conducere este dat
de simplitatea legii de conducere utilizate, modelul cinematic
diferential asociat fiind un model liniar. Spre deosebire de
modelele cinematice propriu-zise prezentate anterior si de cele
dinamice, care vor fi studiate ulterior, modele caracterizate prin
neliniaritati deosebit de complexe, modelele diferentiale ofera
avantajul liniarizarii. Din nefericire, acest avantaj este, n mare
masura, anulat de efortul de calcul cerut, n special pentru
calculul inversei matricei iacobiene, calcul ce nu poate fi
realizat off-line datorita dependentei coeficientilor matricei de
parametrii q i. Cu toate ca n literatura s-au dezvoltat o serie de
metode [4,6] care permit calculul rapid al lui J-1(q), ele cer, n
general, sisteme hardware de mare viteza, cu un pret de cost
ntotdeauna prohibitiv, pentru o operare eficienta n timp real.
2.5. Modele dinamiceModelele geometrice si cinematice discutate
n prima parte a capitolului pornesc de la premiza ca pentru orice
configuratie obtinuta de robot este atinsa o stare de echilibru.
Este evident ca aceste modele devin putin reprezentative la viteze
si acceleratii mari cnd fortele de inertie, centrifugale si de
cuplaj capata marimi semnificative. La aceste regimuri de lucru se
impune luarea n considerare a unui nou model, modelul dinamic
asociat sistemului mecanic. Modelul dinamic al unei structuri
mecanice este reprezentat analitic printr-un sistem de ecuatii
diferentiale ce definesc legaturile ce apar ntre coordonatele
generalizate q i sau derivatele lor si fortele, att disipative, ct
si ne J -1(q) nedisipative, ce actioneaza asupra fiecarui element
al configuratiei mecanice. Metodele si procedurile pentru
determinarea ecuatiilor diferentiale asociate dinamicii unui brat
mecanic sunt numeroase. Metodele Lagrange Euler, Newton Euler,
principiul generalizat al lui dAlembert sunt cteva din procedurile
clasice de calcul ale modelului dinamic. mbunatatiri si tehnici de
calcul mai rapide au fost obtinute de diversi autori din care se
pot cita Mahil [7] Megahed si Renaud [7], Watters [3] si Hollerbach
[12] etc. n ciuda acestei lucrari, modelul dinamic al unui robot va
fi determinat utiliznd metoda lui Lagrange care are avantajul unei
abordari simple, sistematice si permite elaborarea unor algoritmi
eficienti n calculul numeric. Utiliznd notatiile curente [116],
functia Lagrangian L este definita ca diferenta ntre energia
cinetica E cin si energia potentiala E pot a sistemului. (2.68)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
Ecuatiile sistemului dinamic, n functie de Lagrangian vor fi
, i=1,2,,n
(2.69)
unde n sunt gradele de libertate ale sistemului, q i sunt
coordonatele generalizate n care energiile cinetica si potentiala
sunt exprimate, q sunt vitezele generalizate, iar F i sunt fortele
generalizate corespunzatoare, definite n sensul urmator: daca
articulatia este de translatie, deci variabila q determina dinamica
dorita, iar daca articulatia este de rotatie si q i reprezinta,
deci, o marime unghiulara, atunci F i este momentul aplicat
articulatiei. Pe baza formulelor (2.68), (2.69), procedura de
calcul se poate sistematiza n urmatoarele faze: se determina
energia potentiala n functie de coordonatele generalizate; se
determina energia cinetica n raport cu aceiasi parametri; se
formeaza functia Lagrangian; se calculeaza modelul dinamic folosind
formula (2.69).
Pentru exemplificare, etapele de mai sus vor fi dezvoltate pe
cteva structuri mecanice. Se va considera bratul n coordonate
cilindrice din figura 2.11. Coordonatele generalizate ale miscarii
vor fi rotatia j 1 si cele doua translatii d 2 si d 3. Energia
potentiala a ntregului sistem, se poate raporta la referinta bazei
sub forma, (2.70) unde m este masa totala echivalenta n articulatia
3. Energia cinetica a masei este determinata de: o componenta
produsa de translatia masei (d 3) si o componenta datorita rotatiei
(j 1 ) deci,
(2.71) Analog, energia cinetica a masei m 3 va fi determinata de
rotatia bratului m 3 prin momentul de inertie,
(2.72) si de translatia acestuia prin viteza de translatie,
deci,
(2.73) De asemenea, celelalte articulatii determina o
energie
(2.74) Din (2.71) (2.74) se obtine energia cinetica a sistemului
mecanic
(2.75) Functia Lagrangian va fi,
(2.76) Pentru obtinerea modelului dinamic este necesara
determinarea derivatelor partiale ale lui L n raport cu
parametrii
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
miscarii j 1 , d 2, d 3 si derivatele acestora j ,
,
,
(2.77)
Substituind rezultatele de mai sus n formula (2.69) se
obtine,
(2.78) Separnd partile liniare n relatiile (2.78) si (2.79)
rezulta, (2.79)
(2.80) Separnd partile liniare n relatiile (2.78) si (2.79)
rezulta,
(2.81)
(2.82) Ecuatiile (2.78) (2.80) definesc modelul dinamic al
robotului. Se remarca n primul rnd neliniaritatea acestora,
neliniaritate pusa n evidenta n rescrierea lor n forma (2.81),
(2.82). n aceste ultime relatii, termenii neliniari B 1 si B 2
definesc momente Cariolis sau componente de forte de frecare. O
reprezentare sugestiva a ecuatiilor de mai sus se poate obtine
printr-o simulare analogica a acestora (figura 2.12). Modelul
analogic obtinut defineste numai coordonatele j 1 , d 2, d 3 prin
integrarea succesiva a integratelor lor de ordin doi, obtinute, la
rndul lor prin operatori liniari si neliniari corespunzatori.
Trebuie remarcata decuplarea componentei d 2 (independenta acesteia
de celelalte variabile) precum si puternica interconditionare a
parametrilor j 1 si d 3. Se va analiza n continuare modelul dinamic
al unei configuratii mecanice cu elemente articulate prin cuple de
rotatie, configuratie des ntlnita ntr-o gama larga de familii de
roboti industriali. Sistemul este reprezentat n figura 2.12 si este
desemnat frecvent sub denumirea de brat mecanic de revolutie.
Conform procedurii expuse mai sus se vor calcula energiile
potentiale si cinetice asociate fiecarui element. Pentru calculul
energiilor potentiale s-a considerat dispunerea centrelor de
greutate ca n figura, elementul 2 avnd practic toata masa (inclusiv
sarcina) echivalata n capat, m .
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
2
(2.83)
(2.84)
unde viteza v 2 a masei m 2 este data prin coordonatele
punctului (2.85) iar,
deci,
sau, dupa cteva transformari (2.86) Din aceste rezultate se
poate construi functia Lagrangian L a sistemului
(2.87) care poate fi rescrisa ntr-o forma compacta,
(2.88) unde, J 1, J 2, J *, M 1, M 2 desemneaza momente de
inertie sau mase echivalente. Din formula (2.88) se obtin
succesiv,
(2.89)
nlocuind aceste rezultate n ecuatia Lagrange se obtin fortele
generalizate M1, M 2, (2.90)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
(2.91) Ecuatiile (2.90) si (2.91) stabilesc mecanica
configuratiei mecanice sau mai bine-zis legile ce determina
evolutiile n timp ale celor doua variabile j 1 si j 2 pentru
anumite valori ale momentelor M 1, M 2 aplicate articulatiilor. n
cele doua ecuatii, variabilele sunt raportate la un sistem de
referinta absolut. Daca acest lucru este acceptabil pentru
coordonate, j 1 , a carei masura este ntotdeauna raportata la axa
X, pentru variabila j 2 acest lucru nu este valabil, ntruct n
practica se masoara ntotdeauna unghiul elementului2 n raport cu
elementul 1. Deci, variabila asociata acestei articulatii este j 2
(2.92) n raport cu aceasta noua variabila, Lagrangianul (2.88)
devine
(2.93) nlocuind n ecuatia (2.69) se obtin relatiile
(2.94)
(2.95) Modelul dinamic stabilit mai sus poate fi rescris ntr-o
forma compacta [62]
(2.96)
(2.97) O reprezentare analogica sugestiva a dinamicii obtinute
este redata n figura 2.14.
Modelul analogic abtinut pune n evidenta foarte bine att
interdependenta celor doua coordonate j 1 si j 2 ct si caracterul
neliniar extrem de pronuntat al ecuatiilor sistemului dinamic.
Apare clar faptul ca un astfel de model nu poate fi utilizat
eficient ntr-o aplicatie practica de conducere. Aprecieri
cantitative asupra diversilor coeficienti ce intervin n ecuatiile
(2.96), (2.97) permit simplificarea lor. Folosind cteva din
specificatiile formulate n [41], ecuatiile de mai sus devin,
(2.98)
(2.99) Daca termenii neliniari A , B corespunzatori unor cupluri
de frecare pot fi aproximati prin marimi liniare de forma
(2.100)
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
atunci ecuatiile (2.98), (2.99) reprezinta un model dinamic
liniar ce poate fi utilizat cu rezultate bune ntr-o structura de
conducere conventionala. Structura mecanica discutata se bazeaza pe
luarea n considerare a unor forte generalizate, momente aplicate n
articulatiile sistemului. De cele mai multe ori, acest momente sunt
obtinute indirect prin sisteme speciale de actionare, hidraulice
sau electrice. Un astfel de sistem este prezentat n figura 2.15
[62].
Cele doua elemente ale bratului sunt actionate separat cu
sisteme liniare (definite prin variabilele de translatie s A1 si s
A2), n punctele A si C, prin fortele corespunzatoare F A , F C.
Parametrii sistemului mecanic sunt specificati n figura,
variabilele de deplasare liniara sau rotatie fiind desemnate prin s
A , s B1, s B2, s C, s 2, s 1, j 1 , j 2 n punctele sau
articulatiile respective. Pentru determinarea modelului dinamic n
aceasta noua distributie de forte si variabile se va utiliza
principiul lui dAlambert. Aplicarea acestui principiu la elementul
superior, pentru miscarea de translatie, da pe fiecare din axele de
coordonate,
(2.101) iar pentru miscarea de rotatie, (2.102) Ecuatiile
(2.101) si (2.102) determina coordonatele miscarii, (s 2, j 2 ) ale
centrului de masa al elementului superior. Coordonatele celorlalte
puncte ale bratului pot fi determinate n functie de (s 2, j 2
).
De exemplu, coordonatele punctului B 2 (variabila s B2) se pot
obtine conform figurii 2.16.
(2.103) Calculnd variatiile corespunzatoare se obtin
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
(2.104) n mod similar se determina variabilele de deplasare s C
si s D.
(2.105)
Pentru determinarea ecuatiilor asociate elementului 1, n figura
2.17 sunt prezentati parametrii si marimile principale ce
guverneaza dinamica sa. (2.106) unde rA , rB sunt bratele fortelor
respective n raport cu articulatia O. Deplasarile punctelor A si B
1, unde se racordeaza sistemul de actionare 1 si respectiv
elementul 2 al bratului, se obtin din variabila j 1 , prin
relatiile,
(2.107) Cuplajul ntre cele doua elemente este dat de forta F B
care poate fi evaluata prin (2.108) unde C este o constanta de
proportionalitate.
Simularea analogica a modelului dinamic definit prin ecuatiile
(2.101) (2.108) este prezentata n figura 2.18. Marimile de intrare
n model sunt cele doua forte generate de sistemul de actionare F A
si F C, iar la iesirea modelului se obtin variabilele unghiulare j
1 , j 2 si de deplasare s A1, s A2, s Dx, s Dy. Ultimele doua
variabile s Dx, s Dy se pot cupla la o alta articulatie n cazul
modelarii unui sistem mecanic mai complex. Marimile s A1, s A2, j 1
, j 2 se utilizeaza frecvent n buclele de reglaj ale configuratiei
mecanice. Coeficientii utilizati n definirea modelului sunt n
general dependenti de pozitia sistemului mecanic si se obtin direct
din ecuatiile stabilite mai sus fie prin proiectiile anumitor
parametrii pe axele de coordonate. Tratarea de mai sus a modelului
dinamic prin principiul lui dAlambert pune n evidenta foarte bine
avantajele utilizarii formalismului lui Lagrange, avantaj
concretizat n: simplitatea abordarii problemei, algoritmizarea
simpla si eficienta a etapelor de calcul, precum si posibilitatea
generalizarii procedurilor utilizate pentru sisteme mult mai
complexe. Indiferent de modul de tratare, exemplele de mai sus
permit stabilirea unui model matematic general ce caracterizeaza
dinamica unui brat mecanic [12,15,16,36]. F Cy F Bx F By FC-
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
-
FB FAk4 k2 k3 k1
+l21x l21y
+Figura m 1g F Cx + + 2.18
m 2g
l22x l22y
l23x l23y l21x l21y
+ + +-
+ + +-
+l23x l23y
+ + (2.109) rB unde q este vectorul coordonatelor generalizate
(nxl) pentru cele n articulatii ale sistemului mecanic, J(q) este
matricea l 11x rA (nxn) de inertie, V este o matrice de frecare
vscoasa (nxn), F( , ,q); i,j=1,,n este vectorul fortelor Coriclis
si + centrifugale (nx1), G(q) este vectorul (nx1) asociat
termenilor dependenti de gravitatie iar M este un vector (nx1) al
fortelor de intrare generalizate.-
+
Modelul generalizat (2.109) pune bine n relief complexitatea
problemelor ce stau n fata proiectantului sistemului de conducere,
probleme ce n mare pot fi formulate n: neliniaritati complexe ce
apar n sistemul de ecuatii diferentiale ce k6 descriu dinamica
robotului, modificarea continua a parametrilor si coeficientilor
acestor ecuatii cu pozitia mecanismului si puternica corelare,
interconditionarea generala a parametrilor si coordonatelor
sistemului mecanic. FBc k5 Document Info OA OB Accesari: 1277 f2
Apreciat: +
A fost util?Daca documentul a fost util si crezi ca merita sa
adaugi un link catre el la tine in site
Copiaza codulin pagina web a site-ului tau.
+ Comenteaza documentul: -
Nu esti inregistrat Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru
a putea comenta f1 sA2 Creaza cont nou sB1x sA1 sB1y sB2x sB2y sDx
sDy sCx
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]
Roboti Industriali MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE
sBx ? ? sBy sB1 Copyright Contact (SCRIGROUP Int. 2011 )
http://www.scritube.com/tehnica-mecanica/Roboti-Industriali-MODELE-GEOM82126.php[13.03.2011
13:44:05]