5. Verh¨altniszahlen, Messzahlen und Indexzahlen · 158. Rechenregel f¨ur Umbasierung: [II] •! Zirkularit¨at von Messzahlen: ms;t = ms;r † mr;t Verkettung von Messzahlen: ...

5. Verhaltniszahlen, Messzahlen und Indexzahlen

Ziel dieses Kapitels:

• Grundlegende Maßzahlen der praktischen Wirtschaftsstatistik

5.1 Verhaltniszahlen

Definition 5.1: (Verhaltniszahl)

Eine Verhaltniszahl ist allgemein der Quotient zweier statistis-cher Großen. Die den beiden Großen zugrunde liegenden Grund-gesamtheiten konnen identisch oder verschieden sein. Als spezi-elle Verhaltniszahlen unterscheidet man Gliederungszahlen, Be-ziehungszahlen und Messzahlen.

139

Gliederungszahl:

• Aussage uber die Struktur der Grundgesamtheit G eines (me-trisch skalierten) Merkmals U

• Annahme: G zerfallt in J Teilgesamtheiten, d.h.

G = G1 ∪G2 ∪ . . . ∪GJ

• Es bezeichne uj die Merkmalssumme von U in der Teilge-samtheit Gj (j = 1, . . . , J), so dass gilt

u =J

∑

r=1ur = Merkmalssumme von U auf ganz G

• Definiere nun fur j = 1, . . . , J die Gliederungszahlen

gj =uj

u

140

Bemerkungen:

• Die Gliederungszahlen gj sind Anteile, d.h. es gilt

gj ≥ 0∑J

r=1 gr = 1

Beispiele:

• Anteile der Studierenden der unterschiedlichen Disziplinenam Fachbereich WiWi der WWU(Betriebs-, Volkswirte, Wirtschaftsinformatiker)

• Anteile von Bund, Landern und Kommunen an der Gesamtver-schuldung der BRD

141

Beziehungszahl: [I]

• Aussage uber die Struktur der Grundgesamtheit G in Bezugauf 2 (metrisch skalierte) Merkmale U und V

• Annahme: G zerfallt in J Teilgesamtheiten, d.h.

G = G1 ∪G2 ∪ . . . ∪GJ

• Es bezeichnen uj und vj die Merkmalssummen von U und Vin der Teilgesamtheit Gj (j = 1, . . . , J), so dass gilt

u =J

∑

r=1ur = Merkmalssumme von U auf ganz G

v =J

∑

r=1vr = Merkmalssumme von V auf ganz G

142

Beziehungszahl: [II]

• Definiere nun die Beziehungszahlen

b =uv

bzw. fur j = 1, . . . , J

bj =uj

vj

Beispiel: (Bundeslanderstatistik)

• Amtliche Statistik der BRD

143

Bundesland Einw. in 1000 BIP (Mrd. DM)Baden-Wurttemberg 10397 520.36Bayern 12066 614.97Berlin 3426 154.81Brandenburg 2573 75.72Bremen 674 40.34Hamburg 1705 141.25Hessen 6032 340.91Meck.-Vorpommern 1808 47.91Niedersachsen 7845 315.75NRW 17975 799.51Rheinland-Pfalz 4018 156.04Saarland 1081 43.92Sachsen 4522 124.08Sachsen-Anhalt 2702 69.71Schleswig-Holstein 2757 113.79Thringen 2478 64.93Summe 82059 3624.00

144

Gliederungszahlen: (vgl. Folie 146)

• Bevolkerungsanteil

• Anteil am BIP

Beziehungszahlen: (vgl. Folie 147)

• BIP pro Kopf

145

Bundesland Bev.-Anteil Anteil am BIPBaden-Wurttemberg 0.1267 0.1436Bayern 0.1470 0.1697Berlin 0.0418 0.0427Brandenburg 0.0314 0.0209Bremen 0.0082 0.0111Hamburg 0.0208 0.0390Hessen 0.0735 0.0941Meck.-Vorpommern 0.0220 0.0132Niedersachsen 0.0956 0.0871NRW 0.2190 0.2206Rheinland-Pfalz 0.0490 0.0431Saarland 0.0132 0.0121Sachsen 0.0551 0.0342Sachsen-Anhalt 0.0329 0.0192Schleswig-Holstein 0.0336 0.0314Thringen 0.0302 0.0179Summe 1 1

146

Bundesland BIP pro Kopf in DMBaden-Wurttemberg 50049.05Bayern 50967.18Berlin 45186.81Brandenburg 29428.68Bremen 59851.63Hamburg 82844.57Hessen 56516.91Meck.-Vorpommern 26498.89Niedersachsen 40248.57NRW 44479.00Rheinland-Pfalz 38835.24Saarland 40629.05Sachsen 27439.19Sachsen-Anhalt 25799.41Schleswig-Holstein 41273.12Thringen 26202.58Deutschland insgesamt 44163.35

147

Einige Zusammenhange: [I]

• Es gilt:

b =uv

=1v

J∑

j=1uj =

J∑

j=1

uj

v

=J

∑

j=1

vj

v·uj

vj

=J

∑

j=1hj ·

uj

vj

−→ Beziehungszahl b = uv ist gewogenes arithmetisches Mittel

der Beziehungszahlenujvj

mit den Gewichten hj =vjv

148

Einige Zusammenhange: [II]

• Ferner gilt:

b =(v

u

)−1=

∑Jj=1 vj

u

−1

=

J∑

j=1

uj

u·vj

uj

−1

=

J∑

j=1gj

(

uj

vj

)−1

−1

=1

∑Jj=1 gj · 1

bj

−→ b = uv ist gewogenes harmonisches Mittel der bj =

ujvj

mit den

Gewichten gj =uju

149

Messzahl:

• Quotient zweier sachlich aufeinander bezogener Maßzahlenfur zwei statistische Massen

Beispiele: [I]

• Geschlechterverhaltnis

Geschl.-Verhaltn. =Manner in der BRD am 1.1.2010Frauen in der BRD am 1.1.2010

(Messzahl des sachlichen Vergleichs)

150

Beispiele: [II]

• Einwohnerrelation zwischen 2 Landern

Einwohnerel. =Einwohner der BRD am 1.1.2010

Einwohner Frankreichs am 1.1.2010(Messzahl des raumlichen Vergleichs)

• Einwohnerrelation eines Landes an 2 Zeitpunkten

Einwohnerel. =Einwohner der BRD am 1.1.2010Einwohner der BRD am 1.1.2005

(Messzahl des zeitlichen Vergleichs)

151

5.2 Messzahlen des zeitlichen Vergleichs

Ausgangssituation und Begriffe: [I]

• Betrachte eine zeitlich geordnete Folge von Zeitpunkten t0 ≤t1 ≤ . . . ≤ tT sowie die Auspragungen eines (metrischen)Merkmals X zu diesen Zeitpunkten:

xt0, xt1, . . . , xtT

(alternative Schreibweise: xt, t = t0, . . . , tT )

• Der Index t steht fur die Zeit (time). Deshalb nennt man dieobige Urliste xt0, . . . , xtT eine Zeitreihe

152

Ausgangssituation und Begriffe: [II]

• Sind die Abstande zwischen den Zeitpunkten t0, t1, . . . , tT im-mer gleich, d.h.

t1 − t0 = t2 − t1 = . . . = tT − tT−1,

so spricht man von aquidistanten Zeitpunkten. In diesemFall benennt man die Zeitpunkte t0, t1, . . . , tT der Einfachheithalber um in 0,1, . . . , T und notiert die obige Zeitreihe als

x0, x1, . . . , xT

Beispiele fur Zeitreihen:

• Monatliche Arbeitslosenquoten

• Tagliche Wechselkurse zwischen Euro und US-$

153

Haufiges Vorgehen in der Empirischen Wirtschaftsforschung:

• Wahle aus der Menge aller moglichen Zeitpunkte einen Ba-siszeitpunkt s ∈ {t0, . . . , tT} und setze die gesamte Zeitreihext, t = t0, . . . , tT , ins Verhaltnis zur Beobachtung xs des Ba-siszeitpunktes. Fur einen beliebigen Berichtszeitpunkt t be-trachtet man also den Quotienten

ms,t =xt

xsfur t = t0, . . . , tT

• Begrundung:Man interessiert sich fur die Entwicklung der Zeitreihe relativzur Auspragung des Basiszeitpunktes s(in praxi wird oft s = t0 gewahlt)

154

Definition 5.2: (Messzahl mit fester Basiszeit)

Fur einen konkreten Basiszeitpunkt s ∈ {t0, . . . , tT} nennt manden Quotienten

ms,t =xt

xs

die Messzahl fur die Berichtszeit t.

Man beachte:

• Aus Definition 5.2 folgt unmittelbar:

mt,t = 1

ms,t =xt

xs=

1xs/xt

=1

mt,s

155

Beispiel:

• Wechselkurszeitreihe ’Griechische Drachme zum Euro’(Tagesdaten)

Offensichtlich:

• Qualitativer Verlauf gleich

• Untere Grafik betont Kursverlauf relativ zum Startwert

156

320

325

330

335

340

345

15/12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00

Originale Zeitreihe

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

15/12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00

Zeitreihe zum Basiszeitpunkt s=0 (Basiswert: 328.388)

5.2.1 Umbasierung und Verkettung von Mess-zahlen

Definition 5.3: (Umbasierung)

Unter der Umbasierung einer Messzahl zum Basiszeitpunkt s ver-steht man den Ubergang zu einer Messzahl mit anderer Basiszeitr ∈ {t0, . . . , tT}.

Rechenregel fur Umbasierung: [I]

• Offensichtlich gilt fur jedes t ∈ {t0, . . . , tT}

mr,t =xt

xr=

xt/xs

xr/xs=

ms,t

ms,r

158

Rechenregel fur Umbasierung: [II]

−→ Zirkularitat von Messzahlen:

ms,t = ms,r ·mr,t

Verkettung von Messzahlen:

• Betrachtete aquidistante Zeitreihe x0, x1, . . . , xT und Folgenvon Messzahlen zu den Basiszeiten 0 bzw. s

m0,t fur t = 0,1, . . . , sms,t fur t = s, s + 1, . . . , T

• Gesucht: durchgehende (vollstandige) Folgen von Messzahlenzu den Basiszeiten 0 bzw. s

159

Losung:

• Messzahlenfolge fur die Basiszeit 0:

m0,t =

{

m0,t fur t = 0,1, . . . , sm0,s ·ms,t fur t = s + 1, s + 2, . . . , T

• Messzahlenfolge fur die Basiszeit s:

ms,t =

m0,tm0,s

fur t = 0,1, . . . , s− 1

ms,t fur t = s, s + 1, . . . , T

Zahlenbeispiel:

• In den Tutorien

160

5.2.2 Zuwachsraten und Zuwachsfaktoren

Betrachte:

• Aquidistante Zeitreihe xt, t = 0,1, . . . , T

• Messzahl mit fester Basiszeit

ms,t =xt

xs

(vgl. Definition 5.2, Folie 155)

161

Definition 5.4: (Zuwachsfaktor, Zuwachsrate)

Die Messzahl ms,t bzeichnet man auch als Zuwachsfaktor bzw. alsWachstumsfaktor. Die absolute Anderung xt − xs bezogen aufden Wert zur Zeit s

ws,t =xt − xs

xs= ms,t − 1

bezeichnet man als Zuwachsrate bzw. Wachstumsrate.

Bemerkungen:

• Zuwachsfaktoren und -raten werden oft in Prozent angegeben

• Es gilt

xt = ms,t · xs bzw. xt − xs = ws,t · xs

162

Beispiel:

• Bargeldumlauf in der BRD

Jahr Umlauf Zuwachsfaktor Zuwachsrate(in Mio. DM) (in Prozent)

1992 2272851993 238641 1.04996 4.9961994 250907 1.05140 5.1401995 263510 1.05023 5.0231996 275744 1.04643 4.6431997 276242 1.00181 0.1811998 270981 0.98096 −1.9041999 289972 1.07008 7.0082000 278143 0.95921 −4.0792001 162205 0.58317 −41.683

163

Definition 5.5: (Durchschnittlicher Zuwachsfaktor)

Als durchschnittlichen Zuwachsfaktor zwischen Anfangs- undEndzeitpunkt bezeichnet man das geometrische Mittel (vgl. Def-inition 4.7, Folie 98) der 1-periodigen Zuwachsfaktoren:

mG = T√

m0,1 ·m1,2 · . . . ·mT−1,T .

Bemerkungen: [I]

• Es gilt:

mG = T√

m0,1 ·m1,2 · . . . ·mT−1,T

= T

√

x1

x0·x2

x1·x3

x2· . . . ·

xT−1

xT−2·

xTxT−1

= T

√

xTx0

(Durchschnittl. Zuwachsfaktor hangt nur von x0 und xT ab)

164

Bemerkungen: [II]

• Wenn x0 jede Periode um den durchschnittlichen Zuwachs-faktor steigt, ergibt sich nach T Perioden xT :

t = 0 : x0

t = 1 : x0 ·mG

t = 2 : x0 ·mG ·mG = x0 ·m2G

... ...

t = T : x0 ·mTG = x0 ·

(

T

√

xTx0

)T= xT

165

Definition 5.6: (Durchschnittliche Zuwachsrate)

Als durchschnittliche Zuwachsrate bezeichnet man den um 1 ver-minderten durchschnittlichen Zuwachsfaktor:

w = mG − 1 = T

√

xTx0

− 1.

166

5.2.3 Logarithmische Zuwachsraten

Definition 5.7: (Logarithmische Zuwachsrate)

Unter der logarithmischen Zuwachsrate (auch stetige Zuwach-srate) zwischen den Zeitpunkten s, t versteht man die Große

rs,t = ln(xt

xs

)

= ln(xt)− ln(xs).

Bemerkungen: [I]

• Es gilt:

xt = xs · ers,t

167

Bemerkungen: [II]

• Zwischen der log. Wachstumsrate rs,t und der Zuwachsratews,t aus Definition 5.4 gilt in ’guter’ Naherung:

rs,t = ln(xt)− ln(xs) ≈xt − xs

xs= ws,t

Vorteile der logarithmischen Wachtumsrate: [I]

• Addierbarkeit:

r0,T = ln(xT )− ln(x0) =T

∑

t=1

[

ln(xt)− ln(xt−1)]

=T

∑

t=1rt−1,t

(Wachstumsrate r0,T ist Summe der 1-periodigen Wachs-tumsraten rt−1,t)

168

Vorteile der logarithmischen Wachtumsrate: [II]

−→ Durchschnittliche logarithmische Zuwachsrate r zwischen denZeitpunkten 0 und T ist arithmetisches Mittel der 1-periodigenlogarithmischen Wachstumsraten

r =1T·

T∑

t=1rt−1,t =

1T· r0,T

• ’Symmetrie’:Verandert sich der Wert xt in der Folgeperiode t+1 auf xt+1und fallt dann in t+2 auf xt zuruck (also xt+2 = xt), so sinddie log. Wachstumsraten rt,t+1 und rt+1,t+2 vom Betrage hergleich (mit entgegengesetzen Vorzeichen)

169

Beispiel: Symmetrische Aktienkursbewegung

Periode Kurs rt,t+1 wt,t+1t 100

t + 1 110 0.0953 0.1t + 2 100 −0.0953 −0.0909

Summe: 0 0.0091

Anwendungsgebiete der log. Zuwachsrate:

• Finanzmathematik (stetige Verzinsung)

• Finanzmarkte (Aktien- und Wechselkursanderungen)

• Modelle der Wachstums- und Konjunkturtheorie

170

5.3 Indexzahlen

Bisher:

• Zeitliche Entwicklung einer okonomischen Große uber Mess-zahlen

Jetzt:

• Zeitliche Entwicklung mehrerer Großen gleichzeitig

171

Beispiele:

• Preisentwicklung fur Guter des privaten Konsums

Problem:Preise einiger Guter steigen, Preise anderer Guter fallen

−→ Aggregation aller Messzahlen zu einer Indexzahl (Index)

• Aktienindizes (DAX, Dow Jones, Euro Stoxx)

Aggregation von Kursen verschiedener Aktien zu einemAktienkorb

Ziel:Darstellung der Entwicklung des Gesamtmarktes

172

Voraussetzungen und Notationen:

• Betrachte einen Warenkorb (Kollektion von Gutern)

• Jedes Gut des Korbes hat einen Preis und eine Menge

• n: Anzahl der Guter im Warenkorb

• pt(i): Preis des Gutes i zur Zeit t

• qt(i): Menge des Gutes i zur Zeit t

• vt(i) = pt(i) · qt(i): Wert des Gutes i zur Zeit t

173

Benennungen:

• Preise: GeldeinheitenMengeneinheit (z.B. 1 Euro / Liter)

• Mengen: Mengeneinheiten

• Wert: Geldeinheiten

Betrachtung zweier Zeitpunkte:

• Berichtszeit (notiert mit t)

• Basiszeit (Setzung auf 0)

174

Generelles Ziel:

• Beschreibung der Veranderungen von Preisen, Mengen undWerten des gesamten Warenkorbes zwischen der Berichtszeitt und dem Basiszeitpunkt 0

Zunachst fur einzelnes Gut i (i = 1, . . . , n):

• pt(i)p0(i)

: Preismesszahl fur das Gut i

• qt(i)q0(i)

: Mengenmesszahl fur das Gut i

• vt(i)v0(i)

: Wertmesszahl fur das Gut i

175

Offensichtlich:

vt(i)v0(i)

=pt(i) · qt(i)p0(i) · q0(i)

=pt(i)p0(i)

·qt(i)q0(i)

(Wertmesszahl = Preismesszahl × Mengenmesszahl)

Bisher:

• Anderungen des Warenkorbes durch 3 · n Messzahlen

Jetzt:

• Aggregation einzelner Messzahlen zu Indexzahlen

176

5.3.1 Preisindizes

Ziel:

• Indexzahlen zur Messung der Preisentwicklung

Definition 5.8: (Laspeyres-Preisindex)

Die Mittelwertform des Preisindexes vom Typ Laspeyres ist defi-niert durch

IpLa;0,t =

n∑

i=1

pt(i)p0(i)

·p0(i) · q0(i)

∑nj=1 p0(j) · q0(j)

.

177

Bemerkungen: [I]

• In seiner Mittelwertform ist der Preisindex IpLa;0,t ein gewo-

genes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen

pt(i)p0(i)

, i = 1, . . . , n.

• Die Gewichtep0(i) · q0(i)

∑nj=1 p0(j) · q0(j)

sind die Ausgabenanteile fur jedes einzelne Gut i zum Ba-siszeitpunkt 0

178

Bemerkungen: [II]

• Durch Kurzen von p0(i) ergibt sich die Aggregatform desLaspeyres-Indexes:

IpLa;0,t =

∑ni=1 pt(i) · q0(i)

∑ni=1 p0(i) · q0(i)

Definition 5.9: (Paasche-Preisindex)

Die Mittelwertform des Preisindexes vom Typ Paasche ist definiertdurch

IpPa;0,t =

1n

∑

i=1

1pt(i)p0(i)

·pt(i) · qt(i)

∑nj=1 pt(j) · qt(j)

.

179

Bemerkungen: [I]

• In seiner Mittelwertform ist der Preisindex IpPa;0,t ein gewo-

genes harmonisches Mittel der Preismesszahlen

pt(i)p0(i)

, i = 1, . . . , n.

• Die Gewichtept(i) · qt(i)

∑nj=1 pt(j) · qt(j)

sind die Ausgabenanteile fur jedes einzelne Gut i zum Bericht-szeitpunkt t

180

Bemerkungen: [II]

• Durch Umformung des Doppelbruchs ergibt sich die Aggre-gatform des Paasche-Indexes:

IpPa;0,t =

∑ni=1 pt(i) · qt(i)

∑ni=1 p0(i) · qt(i)

Beispiel: [I]

• Warenkorb mit n = 3 Gutern

Gut Basiszeit t = 0 Berichtszeit t = 1i p0(i) q0(i) p1(i) q1(i)1 14.30 2.20 14.70 1.802 1.19 8.00 1.05 18.003 0.94 18.00 0.99 14.00

181

Beispiel: [II]

• Arbeitstabelle zur Indexberechnung in Aggregatform

i p1(i) · q0(i) p0(i) · q0(i) p1(i) · q1(i) p0(i) · q1(i)1 32.34 31.46 26.46 25.742 8.40 9.52 18.90 21.423 17.82 16.92 13.86 13.16∑

58.56 57.90 59.22 60.32

• Berechnung der Indizes:

IpLa,0,t =

58.5657.90

= 1.0114, IpPa,0,t =

59.2260.32

= 0.9818

182

Offensichtliches Dilemma:

• Laspeyres-Index zeigt Preiserhohung an, Paasche-Index dage-gen Preissenkung

Frage:

• Wie hangen die beiden Indizes zusammen?

183

Mathematisches Resultat:

• Es gilt

IpPa,0,t < Ip

La,0,t

genau dann, wenn die beiden Folgen der Preis- und Mengen-messzahlen (fur i = 1, . . . , n)

pt(i)p0(i)

undqt(i)q0(i)

’negativ korreliert’ sind(Zum Begriff der Korrelation, vgl. Kapitel 6)

Jetzt:

• Ein letzter Preis-Index-Typ

184

Definition 5.10: (Fisher-Preisindex)

Der Preisindex vom Typ Fisher ist definiert durch

IpF i;0,t =

√

IpLa;0,t · I

pPa;0,t.

Bemerkungen:

• Fisher-Index ist geometrisches Mittel aus Laspeyres- undPaasche-Index

• Es gilt:

min{

IpLa;0,t, I

pPa;0,t

}

≤ IpF i;0,t ≤ max

{

IpLa;0,t, I

pPa;0,t

}

• Fur das obige Warenkorbbeispiel gilt:

IpF i;0,t =

√1.0114 · 0.9818 = 0.9965

(Preisreduktion des Warenkorbes um 0.35%)

185

5.3.2 Mengenindizes

Jetzt:

• Ubertragung des Konzeptes der Preisindizes auf Mengenin-dizes durch einfache Vertauschung der Rollen von Preisenund Mengen

186

Definition 5.11: (Mengenindizes)

Die Mittelwert- bzw. Aggregatformen des(a) Mengenindexes nach Laspeyres sind definiert durch

IqLa;0,t =

n∑

i=1

qt(i)q0(i)

·p0(i) · q0(i)

∑nj=1 p0(j) · q0(j)

=∑n

i=1 qt(i) · p0(i)∑n

i=1 q0(i) · p0(i),

(b) Mengenindexes nach Paasche sind definiert durch

IqPa;0,t =

1n

∑

i=1

1qt(i)q0(i)

·pt(i) · qt(i)

∑nj=1 pt(j) · qt(j)

=∑n

i=1 qt(i) · pt(i)∑n

i=1 q0(i) · pt(i).

(c) Der Mengenindex nach Fisher ist definiert durch

IqF i;0,t =

√

IqLa;0,t · I

qPa;0,t.

187

5.3.3 Wertindizes

(Kanonische) Definition eines Wertindexes:

• Man beachte hierbei, dass die Werte des Warenkorbes zu denZeitpunkten 0 bzw. t gegeben sind durch

n∑

i=1v0(i) =

n∑

i=1p0(i) · q0(i) bzw.

n∑

i=1vt(i) =

n∑

i=1pt(i) · qt(i)

Definition 5.12: (Wertindex)

Ein geeigneter Wertindex ist in naturlicher Weise definiert durch

Iv0,t =

∑ni=1 vt(i)

∑ni=1 v0(i)

=∑n

i=1 pt(i) · qt(i)∑n

i=1 p0(i) · q0(i).

188

Bemerkungen:• Strukturell analog zu den Preis- und Mengenindizes konnte

man Wertindizes vom Typ Laspeyeres, Paasche bzw.Fisher definieren als

IvLa;0,t =

n∑

i=1

vt(i)v0(i)

·v0(i)

∑nj=1 v0(j)

IvPa;0,t =

1n

∑

i=1

1vt(i)v0(i)

·vt(i)

∑nj=1 vt(j)

IvF i;0,t =

√

IvLa;0,t · I

vPa;0,t

• Man uberpruft leicht, dass gilt:

IvLa;0,t = Iv

Pa;0,t = IvF i;0,t = Iv

0,t

189

5.3.4 Umbasierung und Verkettung von Indizes

Jetzt:

• Umbasierung und Verkettung beliebiger Indizes (Preis, Menge,Wert) in Analogie zur Umbasierung und Verkettung von Mess-zahlen(vgl. Folien 158, 159)

190

Definition 5.13: (Umbasierung von Indizes)

Gegeben sei eine Folge von Indizes zur Basiszeit s:

I∗s,t, t = t0, t1, . . . , tT .

Eine Folge von Indizes Ir,t zu einer alternativen Basiszeit r ∈{t0, t1, . . . , tT}, r 6= s, erhalt man durch

Ir,t =I∗s,tI∗s,r

, t = t0, t1, . . . , tT .

191

Definition 5.14: (Verkettung von Indizes)

Gegeben seien zwei Folgen von Indizes zu aquidistanten Zeiten:

I∗0,t fur t = 0,1, . . . , s,

I∗∗s,t fur t = s, s + 1, . . . , T.

Als verkettete Folge zur Basiszeit 0 verwendet man

I0,t =

{

I∗0,t fur t = 0,1, . . . , sI∗0,s · I

∗∗s,t fur t = s + 1, . . . , T

.

Durch Umbasierung der Indizes I∗0,t erhalt man die verketteteFolge zur Basiszeit s:

Is,t =

I∗0,tI∗0,s

fur t = 0,1, . . . , s− 1

I∗∗s,t fur t = s, s + 1, . . . , T.

192

Problem:

• Umbasierung und Verkettung von Indizes ist im allgemeinennicht typerhaltend

Beispiel: [I]

• Umbasierung des Laspeyres-Preisindexes IpLa;91,t vom Basiszeit-

punkt 91 auf Basiszeitpunkt 95

193

Beispiel: [II]

• Fur den Berichtszeitpunkt t = 96 ergibt sich:

I95,96 =IpLa;91,96

IpLa;91,95

=

∑ni=1 p96(i) · q91(i)

∑ni=1 p91(i) · q91(i)

∑ni=1 p95(i) · q91(i)

∑ni=1 p91(i) · q91(i)

=∑n

i=1 p96(i) · q91(i)∑n

i=1 p95(i) · q91(i)

6=∑n

i=1 p96(i) · q95(i)∑n

i=1 p95(i) · q95(i)= Ip

La;95,96

194

5.3.5 Formale Indexkriterien (Fisher-Proben)

Offensichtlich:

• Es gibt mehrere Indizes fur ein Messproblem

Frage:

• Welcher Index ist der ’beste’?

Losungsmoglichkeit:

• Postuliere ’sinnvolle’ Kriterien, die ein Index erfullen sollte

195

Vorschlag von I. Fisher (1922): [I]

• Ein Index Is,t (zur Basiszeit s und Berichtszeit t) sollte diefolgenden 7 Kriterien erfullen:

(1) Identitatsprobe

It,t = 1

(2) Zeitumkehrprobe

It,0 =1

I0,t

(3) Rundprobe (fur die Zeitpunkte t1, t2, . . . , tT )

It1,tT = It1,t2 · It2,t3 · . . . · ItT−1,tT

196

Vorschlag von I. Fisher (1922): [II](4) Faktorumkehrprobe

Iv0,t = Ip

0,t · Iq0,t

(5) Proportionalitatsprobe

Ip0,t = 1 + α,

wenn alle Preise um α · 100% steigen

(6) DimensionswechselsprobeDer Wert der Indizes hangt nicht davon ab, in welchen Ein-heiten Preise und Mengen gemessen werden

(7) BestimmtheitsprobeDer Index soll auch dann bestimmt sein, wenn einzelne Preiseoder Mengen gleich 0 sind

197

Frage:

• Welche Kriterien (Fisherproben) erfullen die alternativen In-dizes vom Typ Laspeyres, Paasche, Fisher?

Fisherprobe Laspeyres Paasche FisherIdentitatsprobe + + +Zeitumkehrprobe − − +Rundprobe − − −Faktorumkehrprobe − − +Proportionalitatsprobe + + +Dimensionswechselprobe + + +Bestimmtheitsprobe + + +

Fazit:

• Der Fisher-Index erfullt die meisten, aber auch nicht alle Kri-terien (6 von 7)

198