42 PERSAMAAN SCHRODINGER Ekuivalensi ini bersesuaian dengan solusi umum persamaan (5.1) untuk gelombang harmonik monokromatik tak teredam dalam arah + x yaitu : Y = A e –i ω ( t – x/v) (5.2) atau Y = A cos [ω(t-x/v)] – isin [ω(t-x/v)] (5.3) A. Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu : iћ δΨ/δt = -ћ 2 /2m (δ 2 Ψ/δx 2 + δ 2 Ψ/δy 2 + δ 2 Ψ/δz 2 ) + V (x,y,z)Ψ (5.16) B. Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu Ψ = A e –(i/ћ)(Et-px) = A e –(iE/ћ)t e (ip/ћ)x Ψ = Ψ e –(iE/ћ)t (5.17) dengan Ψ = e –(ip/ћ)t . Jadi Ψ merupakan perkalian dari fungsi gelombang bergantung waktu e –(iE/ћ)t dan fungsi gelombang bergantung pada kedudukan Ψ. . Subtitusikan persamaan (5.17) ke dalam persamaan (5.15) maka diperoleh: t iE t iE t iE e v dx e m e iE i / 2 2 / 2 / 2 / ) ( 2 2 2 2 x v dx m E atau 0 2 2 2 2 V E m dx (5.18) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 V E m x x x (5.19) 5
32
Embed
5 PERSAMAAN SCHRODINGER - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/195806081987031... · Jadi Ψ merupakan perkalian dari fungsi gelombang bergantung waktu e –(iE/ћ)t
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
42
PERSAMAAN SCHRODINGER
Ekuivalensi ini bersesuaian dengan solusi umum persamaan (5.1) untuk
gelombang harmonik monokromatik tak teredam dalam arah + x yaitu :
Y = A e –i ω ( t – x/v)
(5.2)
atau
Y = A cos [ω(t-x/v)] – isin [ω(t-x/v)] (5.3)
A. Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu
:
iћ δΨ/δt = -ћ2/2m (δ
2Ψ/δx
2 + δ
2Ψ/δy
2 + δ
2Ψ/δz
2 ) + V (x,y,z)Ψ (5.16)
B. Persamaan Schrodinger Tak Bergantung Waktu
Ψ = A e –(i/ћ)(Et-px)
= A e –(iE/ћ)t
e (ip/ћ)x
Ψ = Ψ e –(iE/ћ)t
(5.17)
dengan Ψ = e –(ip/ћ)t
. Jadi Ψ merupakan perkalian dari fungsi gelombang
bergantung waktu e –(iE/ћ)t
dan fungsi gelombang bergantung pada kedudukan Ψ. .
Subtitusikan persamaan (5.17) ke dalam persamaan (5.15) maka diperoleh:
tiEtiEtiE evdx
em
eiEi /
2
2/
2/
2/
)(2 2
22
xvdxm
E
atau
02
22
2
VEm
dx (5.18)
02
22
2
2
2
2
2
VEm
xxx (5.19)
5
43
C. Aplikasi Persamaan Schrodinger Pada Permasalahan Sederhana untuk
Kasus Satu Dimensi.
1. Partikel Bebas (Free Particle)
a. Proton di Dalam Siklotron
Gambar 5.1 Grafik Energi partikel bebas
)()(
2:
)(2
)(
)()(2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
xkxdx
d
mkmisal
xm
xdx
d
xxdx
d
m
Solusinya adalah : denganeex ikxikx ;)( 2
2
mk
Ada dua kemungkinan yaitu :
1. Partikel bergerak ke kanan
B = 0 dan ikxex)(
Energi partikelnya ialah : 2
22
2 dx
d
m
( ikxe ) = E ikxe
m
k
2
22 ikxe = E ikxe
Atau : E = m
k
2
22
Konstanta normalisasi A dapat ditentukan sebagai berikut :
Jika panjang lintasan partikel itu Lx0
x
E
V(x)
0 V=0
44
L
0
( ikxe )*( ikxe ) dx = 1
A2
L
0
dx = 1 A = L
1
Maka persamaan keadaannya adalah : ψ(x) = L
1 ikxe dengan
mk
2
Ψ(x,t) = ψ(x) . ψ(t)
= L
1 ikxet
h
i
e)(
Bila dinyatakan dalam variable gelombang semuanya :
E = hυ maka 2
Ψ(x,t) = L
1 )( tkxie
Harga rata-rata dari variabel momentumnya :
L
ikx
L
ikx
L
kdxL
kdxe
Lxie
L
dxxx
0
*
0
0
11
)(ˆ*)(
Energi partikel dapat dicari sebagai berikut :
Subsitusi ψ(x) = L
1 ikxe ke dalam persamaan Schrodinger
2
22
2 dx
d
m
( ikxe ) = E(
L
1 ikxe )
ikxeikLm
22
)(1
2
E(
L
1 ikxe )
m
k
2
22
2. Partikel bergerak ke kiri
45
A=0
Ψ(x) = B ikxe
Dengan cara yang sama, tentukanlah : a) B b) ψ(x,t) c) <P> d)E
a) konstanta normalisasi B dapat dicari sebagai berikut :
Ψ(x) = B ikxe ; A = 0
)(
)(
0
2
0
0
11
2
1
)()(),()
1
1
1
1)(*)(
tkxitiikx
th
i
ikx
L
ikx
L
ikx
ikx
L
ikx
eL
eeL
eeL
txtxb
L
dx
dxee
dxee
c) <P> = …….?
kLL
kdxe
L
k
dxeLxi
eL
dxxx
L
ikxikx
LL
0
0
00
)1
)((*)1
()(ˆ)(*
d) E = ………?
46
m
k
eL
eikLm
eL
eLdx
d
m
eL
x
ikxikx
ikxikx
ikx
2
1)(
1
2
11
2
1)(
22
22
2
22
2. Partikel dalam Keadaan Terikat (Bound States)
a. Elektron-Elektron Konduksi yang Berada di Permukaan Logam
t :
Gambar 5.2 Grafik Energi elektron pada permukaan logam
Daerah I : x < 0
V(x) = 0 ; energi partikel E
Persamaan schrodingernya ialah:
xikxik
I eex
xkxdx
d
mkmisal
xm
xdx
d
xxdx
d
m
11)(
)(
2:
)(2
)(
)()(2
2
12
2
2
2
1
22
2
2
2
Daerah II ; x 0
x
E
V
V(x)
47
V (x) = V , E < V
)()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)()(2
)(22
2
xVEm
xdx
d
)()(2
2x
EVm
22
)(2: 2
EVmkMisal
)()( 222
2
xkxdx
d
Solusi ialah )(x Cek
2x
+ De-k
2x
Fungsi yang diinginkan ialah fungsi gelombang berkelakuan baik :
0)(xII
xlim
Maka C = 0 dari xik
II Dx2
2)(
xBeAe ikxikx : < 0
)(x = 0;2 xDe xk
Solusi dari fungsi gelombang yang diperoleh masih terputus di x = 0 (tak
kontinu) maka, kita gunakan rumus penyambung atau persamaan
kontinuitas.
dx
x
dx
xd
xx
III
III
)()(
)()(
x=0
A+B=D..............1)
Ik1 A – ik1B = -k2D............2)
Dari dua persamaan tersebut dapat ditentukan harga konstanta A,B dan D
A+B=D (k2) -k2A+k2B=-k2D
ik1 A – ik1B = -k2D 1 ik1 A – ik1B = -k2D +
(k2+ik1)A+(k2-ik1)B=0
48
(k2+ik1)A=(k2-ik1)B
B= Akik
kik
21
21
D = A
A+B=D ik1 ik1 A + ik1B = -k1D
ik1 A – ik1B = -k2D 1 ik1 A – ik1B = -k2D +
2ik1 A=(ik1-k2)D
D = Akik
ik
21
12
0;
0;2 21
211
21
11)(
xAkik
kikAe
xAkik
ik
xik
x
b. Neutron yang mencoba melepaskan diri dari inti
Gambar 5.3 Grafik Energi Neutron
Daerah I : x < 0
V(x) = 0 ; energi partikel E
Persamaan schrodinger ialah :
x
E
V
V(x)
49
xikxik
I eex
xkxdx
d
mkmisal
xm
xdx
d
xxdx
d
m
11)(
)(
2:
)(2
)(
)()(2
2
12
2
2
2
1
22
2
2
2
Daerah x>0
V(x)=V ;energi E >V
Persamaan schrodingernya : )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)()(2
)(22
2
xh
VEmx
dx
d
)()(2
2x
h
EVm
2
2
2
)(2:
h
EVmkMisal
xikxik
II DeCex 22)(
Syarat gelombang yang berkelakuan baik : )(xxik
Ce 2 dan D=0
)(x0;
0;
11
2
xBeAe
xCe
xikxik
xik
Persamaan kontinuitasdi x=0 agar fungsi gelombang tersebut
berkesinambungan:
)()(
)()(
xdx
dx
dx
d
xx
III
III
x=0
A+B=C (k1) k1A-k1B=k1C
K1A-k1B=k2C 1 k1A-k1B=k2C +
2k1A=(k1+k2)C
50
C= Akk
k
21
12
0;
0;2 21
211
21
11)(
xAkik
kikAe
xAkik
ik
xik
x
c. Partikel α yang Mencoba Melepaskan Diri dari Barrier Coulomb
Gambar 5.4 Grafik Energi Partikel α
Daerah I ; x<0
V(x)=0 energinya E<V
Persamaan schrodingernya : )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)(2
)(22
2
xmE
xdx
d
)(xI = dengan k1=2
2
mE
Daerah II ; 0<x<a
V(x)=0
Persamaan schrodingernya : )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)()(2
)(22
2
xEVm
xdx
d
)(xII =xikxik
DeCe 22 dengan k2= 2
)(2
EVm
Daerah III ; x>a
x
0 a
V
E
II I III
51
V(x)=0
Persamaan schrodingernya : )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)(xIII =xikxik
GeFe 12 dengan k1= 2
2
mE
Pada daerah ini, partikelnya merupakan partikel bebas artinya tidak
ada sesuatu yang menyebabkan partikel untuk dipantulkan kembali
jadi G=0
)(xIII =xik
Fe 2
(x) =
axFe
axDeCe
xBeAe
xik
xkxk
xikxik
;
0;
0;
1
22
11
Persamaan tersebut masih terputus di x=0 dan x=a maka digunakan
persamaan kontinuitas:
dx
x
dx
xd
xx
III
III
)()(
)()(
x=0
dx
x
dx
xd
xx
III
III
)()(
)()(
x=a
A+B=C+D.......................1)
ik1A-ik1B=k2C-k2D..........2)
)4............
)3....................
122
122
122
aikakak
aikakak
FeikDekCek
FeDeCe
Dari kempat persamaan tersebut dapat dicari konstanta A,B,C,D dan F.
Dari persamaan 1 dan 2 :
A+B=C+D (ik1) ik1A+ik1B= Ik1C-ik1D
ik1A-ik1B=k2C-k2D (1) ik1A-ik1B= k2C-k2D +
2ik1A=(ik1+k2)C+(ik1+k2)D...................5)
Dari persamaan 3) dan 4)
52
Cek
2a + De
-k2
a = Fe
ik1
a (ik1) ik1Ce
k2
a+ik1De
-k2
a = ik1Fe
ik1
a
k2Cek
2a – k2De
-k2 = ik1Fe
ik1
a (1) k2Ce
k2
a – k2De
-k2
a = ik1Fe
ik1
a
(ik1-k2) Cek
2a = -(ik1-k2) De
k2
a
)6.............)(
)(
)(
)(
2
2
2
2
21
12
2
21
21
Cekik
ikkD
Ce
e
kik
kikD
ak
ak
ak
Subsitusi 6) ke 5) :
)7.............))(()(
)(2
)(
)()()(2
)(
)()()(2
2
2
2
2
1221
2
21
211
2
21
1221211
2
21
1221211
Aeikkkikkik
kikikC
Cekik
ikkkikkikAik
Cekik
ikkkikCkikAik
ak
ak
ak
Subsitusi 7) ke 6) :
ake
kik
ikkD 22
21
12
)(
)()8...........
))(()(
)(2
22
1221
2
21
211 Aeikkkikkik
kikikak
Subsitusi 7) ke 8) :
Aeikkkikkik
eikkkikikF
Aeeikkkikkik
ikkkikeikF
Feeikkkikkik
ikkkikeAik
Feeeikkkikkik
Akikike
kik
ikk
Aeeikkkikkik
kikik
ak
aikak
akak
ak
aik
ak
ak
aikak
ak
ak
ak
ak
2
12
22
2
1
2
2
12
2
2
2
2
2
1221
2
21
1221
22
1221
2
21
1221
2
1
2
1221
2
21
1221
2
1
2
1221
2
21
2112
21
12
2
2
1221
2
21
211
))(()(
))((2
1
))(()(
))()((2
))(()(
))((2
))(()(
)(2
)(
)(
))(()(
)(2
Subsitusi 7) dan 8) ke 1)
B = C + D –A
53
ak
ak
ak
ak
ak
akak
ak
akak
ak
akak
ak
ak
eikkkikkik
kikeikkkikikkikA
eikkkikkik
kikeikkkikkikikA
eikkkikkik
eikkkkikekkikkikikA
eikkkikkik
eikkkikkikekkikkikikA
eikkkikkik
eikkkikkikekkikkikikA
Aeikkkikkik
AekkikAkikik
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
1221
2
21
21
2
1221121
2
1221
2
21
2
21
2
1221211
2
1221
2
21
2
122
2
21
2
121211
2
1221
2
21
2
122121
2
121211
2
1221
2
21
2
1221
2
21
2
121211
2
1221
2
21
2
121211
))(()(
)())((2)(
))(()(
)())(()(2
))(()(
)()()()(2
))(()(
))(()()(2)(2
))(()(
))(()()(2)(2
))(()(
)(2)(2
maka persamaan keadaan dari partikel tersebut ialah
0;2
0;22
0;2
1
2
12
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1221
2
21
12211
2
1221
2
21
2
121
2
1221
2
21
211
2
1221
2
21
2112121
xAeeikkkikkik
eikkkikik
axaeeikkkikkik
eikkikAe
eikkkikkik
kikik
xAeeikkkikkik
kikeikkikkikAe
xik
ak
aikak
xk
ak
akxk
ak
xik
ak
akxik
d. Elektron yang Dihamburkan Oleh Atom yang Terionisasi Negatif
(x
)
54
Gambar 5.5 Grafik energi elektron yang dihamburkan oleh
Atom terionisasi negatif
Daerah I ; x<0
V(x)=0
Persamaan Schrodingernya, )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)(2
)(22
2
xmE
xdx
d
)(xI =xikxik
BeAe 11 dengan k1= 2
(2
Em
Daerah II ; 0<x<a
V(x)=V energinya E>V
Persamaan schrodingernya : )()()(2 2
22
xExVxdx
d
m
)(2
)()(2
)(222
2
EVm
xVEm
xdx
d
)(xII =xikxik
DeCe 22 dengan k2= 2
)(2
EVm
Daerah III ; x>a
V(x)=0
Persamaan Schrodingernya, )()(2 2
22
xExdx
d
m
x
E V
a 0
III I II
55
)(2
)(22
2
xmE
xdx
d
)(xIII =xikxik
GeFe 11 dengan k1= 2
(2
Em
Pada daerah ini partikel dianggap sebagai partikel bebas sehinnga G=0
)(xIII =xik
Fe 1
maka persamaan keadaannya ialah
(x) =
axFe
axDeCe
xBeAe
xik
xkxk
xikxik
;
0;
0;
1
22
11
Persamaan tersebut masih terputus di x=0 dan x=a maka digunakanlah