4B02 空間坐標系

空間坐標系

26

▲ 圖 1

在上一單元，我們利用經度與緯度來描

述地球上每一點的位置。本單元我們要建立

空間坐標系，將空間中的點賦予坐標，來描

述該點的位置。再介紹如何把地球置於坐標

空間中，並將經度、緯度表示轉換為空間坐

標表示。最後，介紹球面上兩點的球面距

離。

甲 空間坐標系

如圖 1，在空間中任取一點 O 作為原點，過原點 O 作兩兩互相垂直的三條直

線，並在這三條直線上取適當長度為單位長，接著任選其中二條直線，分別稱為

x軸與 y軸，並指定其正負方向；剩下的一條直線稱為 z軸。最後採用「右手系」

規定 z 軸的正負方向，說明如下：將右手拇指以外的四指併攏，指向 x 軸正向，

然後往 y 軸正向握拳，此時拇指所指的方向就是 z 軸的正向。

我們將 x 軸、y 軸與 z 軸統稱為坐標軸，原點 O、x 軸、y 軸與 z 軸組成了空

間坐標系。

空間坐標系的任兩個坐標軸都可以決定一個平面，

其中由 x 軸與 y 軸所決定的平面稱為 xy平面；由 y 軸與

z 軸所決定的平面稱為 yz平面；由 z 軸與 x 軸所決定的

空間坐標系

27

▲ 圖 2

▲ 圖 3

平面稱為 zx平面，如圖 2 所示。

我們將 xy 平面、yz 平面與 zx 平面統稱為坐標平面；三坐標平面把空間分成

八個部分，每一個部分稱為一個卦限；由三個坐標軸的正向所決定的卦限，稱為

第一卦限，其餘 7 個卦限沒有特別編號。

根據之前學過的二面角定義，可以得知：xy 平面、yz 平面與 zx 平面兩兩互

相垂直。

（一）點的坐標

建立空間坐標系之後，該如何賦予這空間中一點 P 的

坐標呢？由 P 點和三條坐標軸架構出長方體OAQB

CRPS，並假設 , ,A B C三點分別在 x 軸、y 軸、z 軸的坐標

為 , ,a b c，如圖 3 所示。再由長方體的性質得知，x 軸與平

面 AQPR 垂直，所以 x 軸與直線 PA 垂直，也就是說，P

點在 x 軸的投影點為 A。同理可得，P 點在 y 軸的投影點

為B，在 z軸的投影點為C。此時定義P點的坐標為 , ,a b c ，並記作 , ,P a b c ，

其中 , ,a b c分別稱為 P 點的 x 坐標、y 坐標、z 坐標。延續上述各點的假設，底下

我們分別來探討 P 點在三個坐標平面上的投影點（之坐標）及其在三個坐標軸上

的投影點（即 , ,A B C）之坐標。

由長方體的性質得知，P 點在 xy 平面的垂足為 Q 點，且 Q 點在 x 軸、y 軸的

垂足分別為 A 點、B 點；又因為 z 軸垂直 xy 平面於原點 O，所以直線 OQ 垂直 z

軸，即 Q 點在 z 軸的垂足為 O，因此 Q 點的坐標為 , ,0a b 。

同理可知，P 點在 zx 平面的垂足為 R 點，且 R 點在 x 軸、y 軸、z 軸的垂足

分別為 A 點、原點 O、C 點，因此 R 點的坐標為 ,0,a c ；P 點在 yz 平面的垂足

為 S 點，且 S 點在 x 軸、y 軸、z 軸的垂足分別為原點 O、B 點、C 點，因此 S 點

的坐標為 0, ,b c 。

空間坐標系

28

另一方面，因為 A 點在 x 軸的垂足是 A 本身，且在 y 軸、z 軸的垂足都是原

點 O，所以其坐標為 ,0,0a 。同理可知，B 點的坐標為 0, ,0b ，C 點的坐標為

0,0,c 。

根據上述，我們將點 , ,P a b c 分別在三個坐標軸及三個坐標平面上的投影點

之坐標整理如下。

坐標軸 x軸 y軸 z軸

P點的投影點坐標 ,0,0a 0, ,0b 0,0,c

坐標平面 xy平面 yz平面 zx平面

P點的投影點坐標 , ,0a b 0, ,b c ,0,a c

利用上表，作一個練習。

【例题 1】

右圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

, ,A B C分別在 x 軸、y 軸、z 軸上。已知頂點 P 的坐

標為 2,3,4 ，求頂點 , , , , ,ABCQS R的坐標。

Ans：

【詳解】

由坐標軸與坐標平面上的投影點坐標，得知

2,0,0 , 0,3,0 , 0,0,4 ,A B C

2,3,0 , 0,3,4 , 2,0,4Q S R 。

【隨堂練習 1】

右圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

, ,A B C分別在 x 軸、y 軸、z 軸上。已知頂點

3, 4,0 ,D 0, 4,2F ，求頂點 , , , ,A BC E G的

坐標。

Ans：

空間坐標系

29

▲ 圖 4

【詳解】

由坐標軸與坐標平面上的投影點坐標，得知

3,0,0 , 0, 4,0 , 0,0,2 , 3,0,2 , 3, 4,2A B C E G 。

（二）兩點的距離公式

如圖 4，國中時我們利用畢氏定理得知，坐標

平面上 1 1 2 2, , ,A x y B x y 兩點的距離為

2 22 1 2 1AB x x y y 。

現在，空間中的點被賦予坐標之後，我們也可以利用畢氏定理計算出任意兩

點的距離，推導如下。

設 1 1 1 2 2 2, , , , ,P x y z Q x y z 為空間中兩點，其中 1 2 1 2 1 2, ,x x y y z z 。過 P

與Q兩點，分別作與坐標平面平行的平面，則此六個平面構成一個長方體，它的

三邊長分別為 2 1 2 1 2 1, ,RS x x QS y y PR z z ，如圖 5 所示：

▲圖 5

因為△PQR與△RSQ均為直角三角形，所以利用畢氏定理，得

2 2 2 2 2PQ QR PR RS QS PR

2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z 。

空間坐標系

30

至於當 1 2x x或 1 2y y

或 1 2z z時，上式仍成立。因此，我們有以下的公

式。

空間中兩點的距離公式

空間中， 1 1 1 2 2 2, , , , ,P x y z Q x y z 兩點的距離為

2 2 22 1 2 1 2 1PQ x x y y z z 。

有了距離公式後，只要給定兩點的坐標，就可求出此兩點的距離。

【例题 2】

設 1, 1,0 , 2,1,2A B 是空間中一正立方體的兩個

頂點，如右圖所示。

(1) 求 AB的長。

(2) 若 6,0,1 是正立方體的一個頂點，則 6,0,1 是

圖中的哪一個頂點？

Ans：

【詳解】

(1) 利用空間中兩點的距離公式，得

22 22 1 1 1 2 0 3AB 。

(2) 計算

2 2 2 23 3 3 2,AC AB BC

22 2 23 2 3 3 3AG AC CG 。

得知，A 點與另外 7 個頂點的距離有

3,3 2與3 3三種情形。

又因為點 6,0,1 與 A 點的距離為

22 26 1 0 1 1 0 3 3 ，

所以點 6,0,1 是距離 A 點最遠的頂點 G。

空間坐標系

31

【隨堂練習 2】

已知 2,3,6 , 1,5,0 , 4, 3,3A B C 為空間中三點，

求△ABC 的三邊長，並說明此三角形為等腰直角三角形。

Ans：

【詳解】

利用空間中兩點的距離公式，得

2 2 2

2 22

1 2 5 3 0 6

3 2 6

49 7,

AB

2 2 2

22 2

4 1 3 5 3 0

5 8 3

98 7 2,

BC

2 2 2

2 22

4 2 3 3 3 6

2 6 3

49 7

AC

。

因為AB AC ，且2 2 2

BC AB AC ，

所以△ABC 為等腰直角三角形。

空間坐標系

32

再練習空間中兩點的距離公式。

【例题 3】

如圖，已知 1,2,1A 是空間中一正立方體的頂點，

3,4,5M 是底面的中心，求正立方體的邊長。

Ans：

【詳解】

設正立方體的邊長為 a（ 0a ）。

利用空間中兩點的距離公式，得

2 2 21 3 2 4 1 5 2 6AM 。

因為 M 是底面的中心，

所以BM為底面對角線長的一半，即

1 22

2 2BM a a 。

利用畢氏定理，得

2 2 2AB BM AM ，

即 2 2124

2a a 。解得 4a 。

故正立方體的邊長為 4。

【隨堂練習 3】

右圖是空間中的一個直圓柱體。已知底面的圓通過原點 O，

且圓心為 2,1,2M ；頂面的圓通過點 5,4,6A ，求

(1) 底面的圓之半徑。

(2) 圓柱體的體積。

Ans：

【詳解】

(1) 底面的圓之半徑為

2 2 22 0 1 0 2 0 3OM 。

空間坐標系

33

(2) 作 A 點在底面的投影點 H。

因為 2 2 25 2 4 1 6 2 34AM ，

所以圓柱體的高為 2 234 3 5AH ，

故圓柱體的體積為 23 5 45 。

根據點坐標的定義，位置在坐標軸或坐標平面上的點，其坐標的形式如下表。

點位置 x軸 y軸 z軸 xy平面 yz平面 zx平面

點坐標 ,0,0x 0, ,0y 0,0, z , ,0x y 0, ,y z ,0,x z

利用上表，作一個練習。

【例题 4】

空間中，已知 1,2, 1 , 2,1,3A B ，且 z 軸上一點 P 滿足

AP BP ，求 P 點的坐標。

Ans：

【詳解】

因為 P 是 z 軸上一點，

所以可設 P 點的坐標為 0,0, z 。

又因為AP BP ，所以

22 2 2 2 20 1 0 2 1 0 2 0 1 3z z ，

將兩邊平方，得

2 21 4 2 1 4 1 6 9z z z z ，

整理得8 8z ，解得 1z 。

故 P 點的坐標為 0,0,1 。

空間坐標系

34

【隨堂練習 4】

空間中，已知正三角形 PQR 的兩個頂點為 3,0,1 , 1,1,2P Q ，

且另一頂點 , 2,R x z 在 xy 平面上，求實數 ,x z的值。

Ans：

【詳解】

因為 ,2,R x z 在 xy 平面上，所以 0z 。

又因為△PQR 為正三角形，所以PR PQ QR ，

即 2 23 4 1 4 1 1 1 1 4x x 。

因此， 23 1x 且 21 1x ，解得 2x 。

故 2, 0x z 。

再練習一題。

【例题 5】

右圖是空間中的一個立體圖（底面是正方形，

四個側面都是正三角形）。設四個頂點的坐標為

0,0,0 , 4,0,0 , 4,4,0 , 0,4,0O A B C 。

(1) 求頂點 P 的坐標。

(2) 已知 Q 為AB上一點，且 13PQ ，求 Q 點的坐標。

Ans：

【詳解】

(1) 底面正方形的邊長為 4OA 。

作頂點 P 在底面的投影點 H。

因為PH垂直底面，

所以PH與 , , ,AH BH CH OH均垂直，即

△PAH, △PBH, △PCH 與△POH 均為直角三角形。

利用畢氏定理，得

224AH BH CH OH PH ，

空間坐標系

35

因此，H 為底面正方形的外接圓圓心，

且AC為直徑，得半徑

1 14 2 2 2

2 2AH AC 。

於是

224 2 2 2 2PH 。

又因為 H 的坐標為 2,2,0 ，

所以 P 的坐標為 2,2,2 2 。

(2) 因為 Q 為AB上一點，

所以可設 4, ,0Q t ，其中0 4t 。

又因為 13PQ ，所以

22 24 2 2 0 2 2 13t ，

兩邊平方後，再展開，整理得

2 4 3 0t t 。

解得 1t 或 3。

故 Q 點的坐標為 4,1,0 或 4,3,0 。

【隨堂練習 5】

右圖是空間中的一個正立方體。

已知四個頂點的坐標為

0,0,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,2,0O A B C ，

且 M 為AD的中點，P 為BC上一點， 6PM ，

求 P 點的坐標。

Ans：

【詳解】

因為 P 為BC上一點，

所以可設 , 2,0P t ，其中0 2t 。

又因為 2,0,1M 且 6PM ，

所以 2 2 22 2 0 0 1 6t ，

空間坐標系

36

兩邊平方後，再展開，整理得 2 4 3 0t t 。

解得 1t 或 3（不合）。

故 P 點的坐標為 1,2,0 。

空間坐標系

37

乙 球面距離

有了空間坐標系後，我們可以將之前介紹的經度、緯度表示轉換為坐標表

示。方法是將地球球心設為原點 O，赤道落在 xy 平面上，z 軸正向為球心往正北

極方向，且 0經線落在 xz 平面上，並規定：

(1) 經度滿足 180 180 ，其中東經為正，西經為負。

(2) 緯度滿足 90 90 ，其中北緯為正，南緯為負。

如圖 6 (a)所示。

(a) (b) (c)

▲圖 6

例如，設地球的半徑為 r，P點位於東經 45、北緯 60處，如圖 6 (b)所示。設 P

點的坐標為 , ,a b c 。根據空間坐標的定義，建立一個以OP為對角線的長方體，

如圖 6 (c)所示。根據三角比的定義， , ,a b c滿足

2cos45 cos60 cos45

4a OH r r ，

2sin45 cos60 sin45

4b OH r r ，

3sin60

2c r r 。

故 P點的坐標為2 2 3

, ,4 4 2

r r r

。

空間坐標系

38

【隨堂練習 0】

已知地球的半徑為 r，P 點位於東經 30、北緯 45處，

根據上述轉換成空間坐標的方法，求 P 點的坐標。

Ans：

【詳解】

如圖，根據三角比的定義，P 點的坐標 , ,a b c 滿足

6cos30 cos45 cos30 ,

4a OH r r

2sin30 cos45 sin30 ,

4b OH r r

2sin45

2c r r 。

故 P 點的坐標為6 2 2

, ,4 4 2

r r r

。

球面上 ,A B兩點的最短路徑，就是通過 ,A B兩點的大圓在這兩點間的劣弧，

如圖 7 (a)中的AB，我們把這一段弧長稱為 ,A B兩點的球面距離。

(a) (b)示意圖

▲圖 7

例如 A地位於「東經 121，北緯 25」（大約在臺北市），B地位於「東經 121，

北緯 31」（大約在上海市），如圖 7 (b)的示意圖所示。因為 630

AOB

，且

空間坐標系

39

地球半徑 6400R 公里，所以

6400 67030

AB

（公里）。

故 ,A B兩地的球面距離大約為 670 公里。

兩地最短的航線長就是它們的球面距離，因此飛機、輪船都會盡可能沿著大

圓來航行。當球面上兩點的位置是以空間坐標表示時，利用餘弦定理可以求得它

們的球面距離。舉例說明如下。

【例题 6】

將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O，

地球儀上 ,A B兩個城市的坐標分別為

6,0,0 , 3,3,3 2A B 。

(1) 求 A，B 兩點的球面距離。

(2) 在實際地球上，飛機從 A 城市直飛至 B 城市的

最短航線長大約多少公里？

（地球半徑約 6400 公里， 3.1416 ，四捨五入到整數位）

Ans：

【詳解】

(1) 利用空間中兩點的距離公式，得

6, 6 3OA OB AB 。

再利用餘弦定理，得

22 26 6 6 3 36 1cos

2 6 6 72 2AOB

，

因此2

1203

AOB

。

故 ,A B兩點的球面距離為

26 4

3AB

單位。

(2) 因為2

6400 134043

AB

，

所以最短航線長約為 13404 公里。

空間坐標系

40

【隨堂練習 6】

將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O，地球儀上 ,A B兩個城市

的坐標分別為 1,2,2 , 2, 2,1A B ，求 ,A B兩城市的球面距離。

Ans：

【詳解】

利用空間中兩點的距離公式，

得 3, 3 2OA OB AB 。

再利用餘弦定理，得

22 23 3 3 2cos 0

2 3 3AOB

，

因此 902

AOB

。

故 ,A B兩城市的球面距離為

33

2 2AB

單位。

因此，我們可以透過經度、緯度表示轉換為坐標表示，再仿照例題 6 的解法，

可以求得地球上任兩點的球面距離。

空間坐標系

41

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」

(1) 點 0,2,0 在 y 軸上。

(2) 點 2,0,3 在 xz 平面上。

(3) 點 1,2,3P 在 z 軸的投影點為 0,0,3 。

(4) 點 1,2,3P 與點 1,2,3Q 在 yz 平面的投影點相同。

Ans：

【詳解】

(1) ○，因為 x 與 z 坐標都為 0，所以正確。

(2) ○，因為 y 坐標為 0，所以正確。

(3) ○。

(4) ○，點 1,2,3P 與點 1,2,3Q 在 yz 平面的

投影點同為點 0,2,3 。

一、基礎題

1. 右圖是空間中的一個長方體，其長、寬、高分別

為 6, 2, 4OC CB BF ，求 , , ,ABG F的坐

標。

Ans：

【詳解】

根據空間坐標的定義，得

2,0,0 , 2,6,0 , 0,6,4 , 2,6,4A B G F 。

空間坐標系

42

2. 空間中，已知點 5, 4,3P 在 x 軸上的投影點為 Q，求PQ的長。

Ans：

【詳解】

因為 5,0,0Q ，所以

22 25 5 0 4 0 3 25 5PQ 。

3. 空間中，已知 2,0, 2 , 3, 1,2A B ，且 y 軸上一點 P 滿足

2AP AB ，求 P 點的坐標（兩解）。

Ans：

【詳解】

設 P 點的坐標為 0, ,0y 。

因為 2AP AB ，所以

2 22 2 2 22 2 2 1 1 4y ，

兩邊平方，得 2 8 72y ，解得 8y 。

故 P 點的坐標為 0,8,0 或 0, 8,0 。

4. 假設地球為一半徑 r 的球體。今將地球球心設為原點 O，

赤道落在 xy 平面上，z 軸正向為球心往正北極方向，

且 0經線落在 xz 平面上。已知 P 點位於

「東經 120，北緯 60」，求 P 點的空間坐標。

Ans：

【詳解】

如圖，根據三角比的定義，

P 點的坐標 , ,a b c 滿足

1 1cos120 cos60 ,

2 4a OH r r

3 3sin120 cos60 ,

2 4b OH r r

空間坐標系

43

3sin60

2c r r 。

故 P 點的坐標為1 3 3

, ,4 4 2r r r

。

5. 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O，

地球儀上 ,A B兩個海島的坐標分別為 0,0,4 , 1, 11,2A B ，

求在實際地球上，輪船從 A 海島到 B 海島的最短航線長

|大約多少公里？

（地球半徑約 6400 公里， 3.1416 ，四捨五入到整數位）

Ans：

【詳解】

利用空間中兩點的距離公式，得

4OA OB AB 。

因此△OAB 為正三角形，

於是 603

AOB

。

故兩海島最短航線長大約

6400 67023

公里。

空間坐標系

44

二、進階題

6. 空間中，已知點 P 在 xy 平面上的投影點為 2,3,0 ，

在 yz 平面上的投影點為 0,3,1 ，

求 P 點在 z 軸上的投影點坐標。

Ans：

【詳解】

依題意可推得 P 點的坐標為 2,3,1 。

故 P 點在 z 軸上的投影點坐標為 0,0,1 。

7. 已知正立方體的三個頂點為 1,1,2 , 3,3,2 , 3,3,4A B C ，

且其中心為 O 點，求 O 點的坐標。

Ans：

【詳解】

因為 2 2 22 2 0 2 2,AB

2 2 22 2 2 2 3,AC

2 2 20 0 2 2BC ，

所以 , ,A B C三點的相關位置如圖所示。

因為正立方體的中心 O 為AC的中點，

所以 O 點的坐標為

1 3 1 3 2 4, , 2,2,3

2 2 2

。