第 10 章 坐標簡介

第第 1010 章章坐標簡介坐標簡介

序偶 「一對」有「次序」 且寫在括號內的數。

注意：右圖中，序偶 (4, 7) 和 (7, 4) 分別表示不同地點。

直角坐標

透過直角坐標平面，數學家能以代數的方法去解決幾何上的問題。

直角坐標平面 ( 或稱為笛卡兒平面 ) 是由數學家雷內．笛卡兒所創立。

x 軸和 y 軸的交點 O 稱為原點。

平面上任何一點的位置均可用序偶 (x, y) 來表示， x 和 y 便是該點的坐標。

直角坐標平面是由一條水平線 (x 軸 ) 和一條鉛垂線 (y

軸 ) 所構成的。

直角坐標

x 軸和 y 軸把平面分成 4 個區域，稱作象限。

直角坐標

若 A 和 B 是同一水平線上的兩點，它們的坐標分別為 (a, k) 和 (b, k)

a b ，其中 a b b a ，其中 a b｛ 則 AB

若 C 和 D 是同一鉛垂線上的兩點，它們的坐標分別為 (h, c) 和 (h, d)

c d ，其中 c d

d c ，其中 c d｛ 則 CD

距離

AB

BC

CD

DE

[2 (4)] 個單位 6 個單位

[3 (5)] 個單位 8 個單位

[2 (1)] 個單位 3 個單位

1 (5)] 個單位 4 個單位

距離

面積求圖中 ABC 的面積。

長方形 APQR 的面積7 5 35 個平方單位ACR 的面積 7 2 2 7 個平方單位BQC 的面積 5 3 2 7.5 個平方單位APB 的面積 5 2 2 5 個平方單位

ABC 的面積 35 7 7.5 5 15.5 個平方單位

面積求圖中 ABC 的面積。

p.135( 下 ) 課堂活動

極坐標

O 是固定點，稱作極。 OI 是固定線，稱作極軸。 O 至 P 的距離，稱作極徑 (r) 。

極坐標

I

p.136( 上 )

OP 和 OI 的夾角，稱作極角 () 。即從 OI 以逆時針方向量度至 OP 的角度。

P 的位置可以用序偶 (r, ) 表示，稱作 P 點的極坐標。

極坐標

I

I

p.136( 中 )

p.136 ( 下 ) 回應題

平移 反射 旋轉

圖形的變換p.138( 下 )

若點 A(x, y) 向右移 h 個單位，然後向上移 k 個單位，得出平移影像 A’ 的坐標為 (x+h, y+k) 。

平移

即 A(2, 1) 變換為 A’(2+4, 1+1) 或 A’(6, 2)

B(3, 2) 變換為 B’(3+4, 2+1) 或 B’(7, 3)

把線段 AB 向右移 4 個單位，然後向上移 1 個單位，便得出 A’B’ 。

例：

p.140( 上 )

若點 A(x, y) 沿 x 軸作反射變換，其影像 A’ 的坐標為 (x, y) 。

反射

各影像頂點的坐標為 A’ B’ C’ D’

例：長方形 ABCD 的頂點坐標為 A(2, 0) 、 B(1, 2) 、 C(5, 4) 和 D(6, 2) 。若長方形 ABCD 沿 x軸作反 射變換，得出影像 A’B’C’D’ 。

(2, 0)

(1, 2)

(5, 4)

(6, 2)

p.141( 下 )

各影像頂點的坐標為 A’ B’ C’ D’

例：長方形 ABCD 的頂點坐標為 A(2, 0) 、 B(1, 2) 、 C(5, 4) 和 D(6, 2) 。若長方形 ABCD 沿 y軸作反 射變換，得出影像 A’B’C’D’ 。

(2, 0)(1, 2)

(5, 4)

(6, 2)

反射 若點 A(x, y) 沿 y 軸作反射變換，其影像 A’

的坐標為 (x, y) 。

p.143( 上 )

沿與 x 軸或 y 軸平行的直線作反射變換。

(0, 0)

(1, 2)

(3, 4)

(1, 2)

各影像頂點的坐標為A’ B’ C’ D’

例：四邊形 ABCD 的頂點坐標為 A(2, 0) 、 B(1, 2) 、 C(5, 4) 和 D(3, 2) 。直線 L 與 y 軸平行，且在 y 軸 右邊距離 1 個單位。若四邊形 ABCD 沿直線 L 作反射變換，得出影像 A’B’C’D’ 。

反射p.145( 中 )

若點 A(x, y) 以原點 O 為中心作逆時針方向旋轉 90 ，其影像 A’ 的坐標是 (y, x) 。

旋轉

例： 右圖中， A’B’是 AB 以原點O 為中心作逆時針方向旋轉90 的影像。

A(2, 1) 變換為 A’(1, 2) ，B(3, 2) 變換為 B’(2, 3) 。

p.146( 中 )

A(2, 1) 變換為 A’(1, 2) ，B(3, 2) 變換為 B’(2, 3) 。

例：右圖中， A’B’ 是 AB 以原點 O 為中心作順時針方向旋轉 90 的影像。

旋轉 若點 A(x, y) 以原點 O 為中心作順時針方向旋

轉 90 ，其影像 A’ 的坐標是 (y, x) 。

p.147( 中 )

A(2, 1) 變換為 A’(2, 1) ，B(3, 2) 變換為 B’(3, 2) 。

例：右圖中， A’B’ 是 AB 以原點 O 為中心旋轉 180 的影像。

旋轉 若點 A(x, y) 以原點 O 為中心旋轉 180 ( 作順

時針或逆時針方向旋轉的結果都是一樣的 ) ，其影像 A’ 的坐標是 (x, y) 。

p.148( 中 )

完