4 Probabilitas PTIK

PROBABILITAS

A n g g r a i n i M u l w i n d a S T M E n g

1

# Variabel Random

# Distribusi Probabilitas Diskret

Random Variable

Definisi 1:

• Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang

sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S R

Contoh 1:

• Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang

sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}.

Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random

yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan real.

Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah

X = banyaknya sisi gambar yang muncul.

Maka nilai numerik 0, 1, 2, atau 3 dapat diberikan pada setiap titik

sampel.

2

Random Variable

Definisi 2 :

• Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya.

• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit

disebut variabel random diskrit.

Contoh 2 :

• banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar

X barang.

• banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi

pernafasan setiap tahun di Surabaya.

3

Random Variable

Definisi 3 :

• Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan

memuat semua bilangan real dalam suatu interval.

• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu

disebut variabel random kontinu.

Contoh 3 :

• lamanya reaksi kimia tertentu

• jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter bensin.

4

Distribusi Probabilitas

Kunci aplikasi probabilitas adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa dalam beberapa keadaan.

Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan yang akan terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

5


Diskrit

• Distribusi dimana peubahnya secara teoritis tidak dapat menerima sembarang nilai diantara dua nilai yang diberikan.

• Distribusi peluang dengan variabel random bersifat diskrit pada suatu waktu.

Kontinyu

• Distribusi kontinyu merupakan model matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas terjadinya nilai itu. Dimana untuk distribusi kontinyu variabel yang diukur dinyatakan dalam skala kontinyu.

6


Beberapa distribusi yang termasuk dalam Distribusi Probabilitas Diskrit yang dibahas di sini adalah:

1. Distribusi Peluang Binomial

2. Distribusi Peluang Multinomial

3. Distribusi Peluang Binomial Negatif

4. Distribusi Peluang Geometrik

5. Distribusi Peluang Hipergeometrik

6. Distribusi Peluang Poisson

7

[Diskrit] Distribusi Binomial

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli berdasarkan oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:

Hasil percobaan yang mungkin hanya salah satu dari “Berhasil” atau “Gagal”

Jika probabilitas berhasil p, maka probabilitas gagal q = 1 – p

8


Distribusi Binomial berasal dari percobaan binomial, yaitu

suatu percobaan Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan

tidak saling terikat:

Syarat distribusi Binomial: 1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

2. Pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (sehingga percobaan tsb saling bebas)

3. Tiap usaha hanya mempunyai 2 kemungkinan yaitu “sukses atau gagal”,

Peluang sukses (atau laki-laki, atau angka, dsb), dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya, dan peluang gagal (atau opposite-nya) dinyatakan dengan q.

9


10

Formula Peluang Binomial

Dengan n = banyaknya percobaan

x = banyaknya kejadian

p = peluang sukses

Notasi

)!(!

!),(

xnx

nC

x

nCxnCC n

xxn


11


Contoh:

• Berapa peluang mendapatkan 3 anak laki-laki dari 4 kelahiran ?

Peluang anak laki-laki (p) dan perempuan (q) = 0,5

12


Contoh 1

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan probabilitas ¾. Hitunglah probabilitas bahwa tepat dua dari empat suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Diketahui probabilitas sukses (p) = ¾ Banyak percobaan (n) = 4 Kejadian (x)=2 Jika pengujian bersifat bebas maka

13


Contoh 2

Keluarga Markus berencana memiliki 3 anak. Bila x menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki,

a. Hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki

b. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki

c. Hitung rata-rata dan simpangan bakunya

14


Diketahui

Probabilitas p (laki-laki) = q (perempuan) = 0,5

n = 3

a. Probabilitas lahir 2 anak laki-laki

𝑃 𝑥 = 2 =32(0,5)2(0,5)3−2

=3!

2! 3−2 !(0,5)3

= 0,373

15


b. Probabilitas lahir tidak lebih dari 2 anak laki-laki

𝑃 𝑥 ≤ 2 =30(0,5)2(0,5)3−2+

31(0,5)2(0,5)3−2+

32(0,5)2(0,5)3−2

= 0,125+), 375 + 0,375

= 0,875

Cara lain menggunakan tabel distribusi binomial

𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑏 𝑥: 3: 0,5 = 0,875

2

0

16


17


c. Rata-rata, ragam, dan simpangan baku :

=3 . 0,5 = 1,5

𝜎 = 𝑛. 𝑝. 𝑞 = 3.0,5.0,5 = 0,866

18


Selanjutnya lihat hal 75 buku teks :

STATISTIKA & PROBABILITAS, Sudaryono MPd, Penerbit Andi, Yk 2012

19


1. Hitung Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang homogen sebanyak 10 kali!

2. 10 % dari hasil produksi tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berjumlah 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :

a. semuanya,

b. sebuah,

c. dua buah,

d. paling sedikit sebuah,

e. paling banyak dua buah

f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.

3. Debit puncak banjir sungai periode T=5 tahun adalah 400m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:

a. Tidak terjadi ?

b. Terjadi satu kali ?

c. Terjadi dua kali ?

d. Terjadi tiga kali ?

e. Rata-rata dan deviasi standarnya ?

20


1. P (x = 6) = ( ½ )6 ( ½ )4 = (210) ( ½ )10 = 0,2050

2. Penyelesaian :

21


3.

22

[Diskrit] Distribusi Multinomial

Dalam teori probabilitas, distribusi multinomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial. Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil.

Syarat distribusi Multinomial:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

2. percobaan tsb saling lepas dan saling meniadakan (mutually exclusive)

3. Tiap usaha mempunyai lebih dari 2 kemungkinan

23


Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k hasil yg berbeda, E1, E2, …,Ek masing-,masing dengan probabilitas p1, p2, …,pk. Maka distribusi multinomial f(x1,x2,…,xk; p1,p2, ..,pk, n) akan memberikan probabilitas bahwa E1 akan muncul sebanyak x1 kali, E2 akan muncul sebanyak x2 kali, dst dalam pengambilan independen sebanyak n kali, jadi

x1+ x2+ ….+ xk=n

p1+p2+ …+ pk =1

24


Rata – Rata (μ) dan Varian Distribusi Multinomial (𝜎2)

𝝁 = 𝒏𝒊𝒑𝒊

𝝈𝟐 = 𝒏𝒊𝒑𝒊𝒒𝒊

Contoh 1. Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah 8:4:4. Hitung peluang akan lahir anak dengan warna merah 5 ekor, hitam 2 ekor, dan putih 1 ekor, dari seluruh kelahiran sejumlah 8 ekor.

25

5 2 5 38

5 2 8 45,2,1

8 4 4 8 4 4 8! 8 4 1 1685,2,1; , , 168 0,656

16 16 16 16 16 16 5!2!1! 16 4 256f


Contoh 2.

Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali maka peluang di dapat mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 masing-masing tepat 2 kali adalah ?

𝑓 2,2,2,2,2,2; 16, 16, 16, 16, 16, 16; 12

=12

2,2,2,2,2,216

2 16

2 16

2 16

2 16

2 16

2

=12!

2!2!2!2!2!2!

112

612=11×10×9×7×5

610=34650

60466176= 0,0034

26


Contoh 3.

Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas

sebuah runway dipilih oleh pesawat yg akan mendarat adalah:

runway 1 : 2/9

runway 2 : 1/6

runway 3 : 11/18

Hitung probabilitas 6 pesawat yang datang didistribusikan secara acak ke dalam runways tersebut dengan komposisi:

runway 1 : 2 pesawat



27


Pemilihan runway acak dan independen, dengan p1=2/9, p2=1/6, dan p3=11/18. Probabilitas untuk x1=2, x2= 1 dan x3=3 adalah

28

[Diskrit] Distribusi Binomial Negatif

Suatu percobaan independen dapat mendapatkan hasil sukses dengan probabilitas “p” dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1 – p, Sebanyak k kali adalah “sukses” berarti (x-k) gagal.

Banyak kombinasi yg berbeda dari (x-1) elemen yg terdiri dari (k-1) “sukses” dan (x-k) “gagal” adalah kombinasi (x-1) diambil (k-1) elemen:

Probabilitas untuk mendapatkan “sukses” pada percobaan ke-x, yg didahului oleh (k-1) sukses – berarti urutan ke-x tsb adalah “sukses” ke k, dan (x-k) “gagal”, dengan urutan “sukses” dan “gagal” tertentu adalah:

pk-1 qx-k p = pkqx-k

29


Contoh 1.

Sebuah obat diketahui efektif 60% dari total pemakaiannya. Kita ingin tahu probabilitasnya bahwa pasien ke lima yg sembuh memakai obat ini adalah pasien ke tujuh yg diberikan obat ini. Jadi jika S:sembuh dan G:gagal, salah satu kemungkinan urutan peristiwanya adalah SGSSSGS. Untuk urutan spt ini akan muncul dengan probabilitas :

(0.6)(0.4) (0.6)(0.6) (0.6)(0.4) (0.6) = (0.6)5(0.4)2.

Kita bisa mencari seluruh permutasi urutan S dan G, dengan kendala bahwa elemen ketujuh (terakhir) harus S yg kelima. Jadi banyaknya konfigurasi adalah sama dengan banyak cara mempartisi 6 elemen, menjadi 2 grup, yg terdiri dari 4S dan 2G, yang tak lain adalah kombinasi 6 elemen diambil 4! Jadi jika X adalah variabel random yg menyatakan bahwa no urutan hasil

sukses kelima terjadi, maka

30


Keterangan:

Kita bisa memandang bahwa dalam kasus ini kita punya 6 elemen, yaitu : S1 S2 S3 S4 G1 G2. Pertama kita pikirkan banyaknya seluruh permutasi yg mungkin dari 6 elemen ini adalah 6! Tetapi karena sebenarnya S1=S2=S3=S4=S, maka banyak konfigurasi yg berbeda harus dibagi 4!

Misal : S1G1S2S3G2S4 = S2G1S1S3G2S4= S2G1S2S4G2S3 = ….

yaitu seluruh permutasi yg mungkin dari label 1,2,3,4 pada S

Demikian juga untuk G1 dan G2, sehingga total konfigurasinya harus dibagi 2!, jadi total konfigurasi yg berbeda yg melibatkan 4S dan 2G adalah:

64=6!

4! 2!

31


Contoh 2.

Carilah peluang bahwa seseorang yang melemparkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk kedua kalinya pada lemparan kelima.

untuk x = 5, k = 2, dan p = ¼ diperoleh

32

[Diskrit] Distribusi Geometrik

Jika probabilitas sebuah “sukses” = p dan probabilitas “gagal” q = 1 - p, dan x adalah variabel random yg menyatakan jumlah percobaan yg diperlukan agar didapatkan “sukses” yg pertama kali, maka probabilitas g(x,p) = pqx-1

Ini disebut distribusi geometrik, yg tak lain adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif, di mana banyak sukses k=1 dan terjadi di akhir percobaan yg sebanyak x :

33


Jika μ dan σ2 menyatakan mean (rata-rata) dan variansi dari variabel random x yg memiliki distribusi geometrik, maka:

34


Contoh 1.

Dalam sebuah proses produksi diketahui, secara rata-rata 1 dari 100 hasil produksinya cacat. Berapakah probabilitasnya jikalau pada pengambilan kelima dari hasil produksinya dijumpai hasil produksi yg cacat pertama kali (jadi 4 yg pertama bagus)?

Jumlah percobaan x=5, probabilitas “sukses” yaitu produk cacat p=0.01, berarti probabilitas “gagal” q=1-p = 1-0.01 =0.99.

Jadi probabilitas mendapatkan hasil produk kelima adalah cacat

yg pertama adalah :

g(x=5;p=0.01)= (0.01)(0.99)5-1 = 0.0096 = 0.96%

35

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan diantara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah terletak pada cara penarikan sampel.

• Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).

• Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).

36


• Andaikan sebuah populasi berisikan N elemen terhingga, k elemen sukses dan N – k merupakan elemen gagal. Sampel berukuran n diambil secara acak dari populasi tersebut. X merepresentasikan jumlah sukses dalam sampel. Peubah acak X disebut berdistribusi Hipergeometrik dengan notasi h(x:N:n:k) jika dan hanya jika :

ℎ 𝑥:𝑁: 𝑛: 𝑘 =

𝑘𝑥𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑥𝑁𝑛

• Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yg terjadi jika dari N obyek diambil n tiap kali.

• Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek berjenis “sukses” yg berjumlah k jika tiap kali diambil sebanyak x buah.

• Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek berjenis “gagal” sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak (n-x) buah.

37

x = 0, 1, 2, 3, …, n


• Penggunaan distribusi hipergeometrik terdapat pada pengujian yang dilakukan terhadap barang yang diuji mengakibatkan barang yang teruji tersebut menjadi rusak, jadi tidak dapat dikembalikan. Contohnya pada pengujian elektronik, dan pengendalian mutu.

• Nilai rata-rata dan varian dari distribusi hipergeometrik adalah :

38


Contoh 1.

Suatu jenis suku cadang mobil dijual dalam bentuk paket yg isinya 10 buah. Produsen merasa bahwa bahwa paket tsb dinyatakan “dapat diterima” jikalau tak lebih dari 1 buah suku cadang/ paket yg cacat. Untuk memeriksa kualitasnya dilakukan sampling secara random diambil beberapa paket, dan ditiap paket dilakukan pemeriksaan terhadap 3 buah suku cadang dari paket yg disampel. Kemudian paket dinyatakan baik jika dari 3 yg diperiksa tsb tidak satupun yg cacat. Berapakah probabilitasnya seandainya sampel yg diambil sebenarnya mengandung 2 buah suku cadang cacat (jadi unacceptable), tapi ketika diambil sampel 3 ternyata tak satupun juga cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan!

39


Jawab

• Misalkan bahwa ada lot yg benar-benar tak bisa diterima, karena 2 dari 10 isinya cacat. Kita hitung berapa probabilitasnya bahwa teknik sampling yg kita lakukan dapat menemukan hal ini

• Misal X adalah banyak suku cadang yg cacat, maka probabilitas bahwa dari 3 suku cadang yg diambil tak satupun cacat adalah sbb:

• Jumlah yg cacat di paket k=2, yg terambil tidak ada, X=0. Isi satu paket N=10, jadi yg baik N-k=10-2=8. Dari paket diambil n=3 sampel.

• Banyaknya kombinasi bahwa dari k=2 cacat di paket tidak terambil sama

sekali (x=0) adalah C20

= 2!/(0!2!)=1. Dan kombinasi dari 8 yg cacat diambil

3 buah ada sebanyak C83

= 8!/(3!5!) = 8x7x6/6=56.

• Sedangkan kalau dari 10 diambil 3 buah item, banyak kombinasi item yg

mungkin adalah C103

= 10!/7!3! = 10x9x8/6 = 120. 40


• Jadi probabilitas bahwa yg terambil mengandung 3 buah item dan tak satupun cacat adalah :

• Jadi ada probabilitas 47% bahwa walaupun sebenarnya paketnya mengandung 2 cacat, tapi dari 3 sampel suku cadang yg diperiksa tak satupun juga yg cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan bahwa paket tsb bagus! (Acceptable).

41


Contoh 2.

Paket yg terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tsb mengandung item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yg diterapkan adalah dengan mengambil sampel 5 item, dan memeriksanya jikalau ditemui yg cacat, maka keseluruhan paket ditolak.

a) berapakah probabilitasnya bahwa jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yg dipilih?

b) jika X menyatakan banyak item yg cacat, hitunglah mean dan variansi,

c) pergunakan teorema Chebysev untuk menaksir interval μ ± 2σ.

42


Jawab

a) Banyak item cacat terambil x=1, banyak total item N=40, sampel yg diambil n=5, total item cacat di populasi k=3. Probabilitas 1 item cacat terambil dari 5 yg diambil:

b) Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yg terambil dan variansinya adalah:

43


c) Standard deviasinya σ = 0.558, sehingga interval μ±2σ adalah: 0.375 ± 2(0.558) = -0.741 s/d 1.491.

Teorema Chebysev menyatakan terdapat probabilitas 75% dari sampel 5 yg diambil tersebut akan mengandung jumlah item yg cacat sebanyak -0.741 dan 1.491. Jadi berarti 3 dari 4 kesempatan, dari 5 buah sampel item yg diambil mengandung komponen yg cacat kurang dari 2.

44

[Diskrit] Distribusi Poisson

Percobaan yg menghasilkan variabel random X yg menyatakan banyaknya outcome selama interval waktu tertentu atau dalam “area” atau “luas” tertentu dinamakan percobaan Poisson.

Contoh:

X : banyak panggilan telepon per jam

X : banyak hari-hari sekolah tutup karena bencana alam dalam setahun

X : banyaknya penundaan pertandingan bola karena hujan dalam semusim pertandingan

X : banyak tikus per hektare

X : banyaknya kesalahan ketik per halaman

45


Karakteristiknya :

1) Tidak punya memori atau ingatan, yaitu banyaknya outcome dalam satu interval waktu (atau daerah) tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau daerah yg lain.

2) Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu (atau daerah) yg sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb (atau luas daerahnya). Dan tidak bergantung pada kejadian atau outcome di luar interval ini.

3) Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam interval waktu yg sangat pendek di (2) tsb sangat kecil atau bisa diabaikan.

46


X : variabel random Poission yg menyatakan banyaknya outcome selama percobaan.

μ : rata-rata banyak outcome = λt dimana t adalah lama intervalnya dan λ adalah laju terjadinya outcome.

Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yg menyatakan banyaknya outcome dalam interval waktu tertentu t (atau daerah tertentu) dengan λ menyatakan laju terjadinya outcome persatuan waktu atau per satuan daerah diberikan oleh :

47


Selanjutnya ditabelkan distribusi kumulatif Poisson:

48


Contoh 1.

Dalam percobaan radioaktif, rata-rata jumlah cacahan radioaktif yg

terekam di counter adalah 4 cacahan per mili detik. Berapakah

probabilitasnya dalam 1 milidetik tertentu tercacah sebanyak 6

cacahan?

Jawab:

Rata-rata jumlah outcome per milidetik : μ = λt = 4

Probabilitas tercacah X=6 dalam 1 milidetik:

49


Atau dengan tabel Poisson:

p(x=6;μ=4)=P(r=6;μ=4) - P(r=5;μ=4)

= 0.8893-0.7851

=0.1042

50


Tugas

Kerjakan soal hal 97-100 No 7-20

Dikumpulkan minggu depan

51

4 Probabilitas PTIK

Documents