4. JULIO - GEOMETRIA - 5TO.doc

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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Julio

Circunferenc ia I I1. Ángulo Central

2. Ángulo Inscrito

3. Ángulo semi - inscrito

4. Ángulo Interior

5. Ángulo Exterior

Triángulo inscrito a una Circunferencia Es aquel triángulo que se encuentra en el interior de una circunferencia, la cual pasa por todos sus vértices.

Observación : En los 3 casos : O : Circuncentro R : Circunradio

Circuncentro : Es el punto de concurrencia de las mediatrices

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS 1. Circunferencias exteriores

Sub – Área: Geometría 5º Secundaria

Alumno (a): ........................................................Grado: 5º Sección: ..........Profesor: David PORTAL DE LA TORRE

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- Tangentes comunes exteriores AB = CD

- Tangentes comunes interiores EF = MN

2. Circunferencias Tangentes Exteriores

- Tangentes comunes exteriores

AB = CD

- Tangentes común interior L OP

3. Circunferencias Tangentes Interiores

- Tangente común exterior L OP

4. Circunferencias secantes

MN OP

5. Circunferencias ortogonales

6. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS

7. CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

CUADRILÁTERO INSCRITOLlamado también cuadrilátero cíclico, es aquel que tiene sus cuatro vértices sobre una misma circunferencia.

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE


OP R - r

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Es aquel que puede ser inscrito en una circunferencia, si el cuadrilátero cumple con cualquiera de las propiedades del cuadrilátero inscrito, será inscriptible. CASOS: 1. Un cuadrilátero es inscriptible cuando la

suma de las medidas de los ángulos interiores opuestos es igual a 180º.

+ = 180º

2. Un cuadrilátero es inscriptible cuando las diagonales forma con dos lados opuestos ángulos con iguales medidas.

=

OBSERVACIONES:

1. Si es diámetro, entonces se cumple :

2. Si AOB es un cuadrante, entonces se cumple :

3. ARHC es un cuadrilátero inscriptible,

entonces : .

4. ABCD es un cuadrilátero inscriptible

ARCO CAPAZ : : es arco capaz de todos los ángulos

que miden . = Cuerda capaz.

m = 360° - 2


= 45º

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1. Sea la figura. Hallar m ACD.

a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) 90°

2. De la figura AB = CD. Calcular “x”

a) 30° b) 40° c) 60°d) 80° e) 90°

3. De la figura. Calcular “”

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

4. Se tienen 2 circunferencias iguales. Del

gráfico. Hallar m ABC

a) 90° b) 100° c) 120°d) 135° e) 150°

5. En el gráfico. AB = BC y m BD = 100°

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

6. En una circunferencia de centro “O” y de radio R se traza una cuerda . Luego por B se traza una recta tangente y en dicha recta se toma un punto C, tal que A, O y C son

colineales. Si BC = R . Hallar m ABC

a) 6° b) 90° c) 110°d) 120° e) 150°

7. Sobre una circunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que corta perpendicularmente a en M. Si AB=10 y CD=8. Hallar m BC.

a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°

8. En una circunferencia se tienen las cuerdas

y tal que mAC mas m ABC es igual a 90°. Si AB = BC. Hallar m BC

a) 90° b) 120° c) 150°d) 180° e) 200°


ACTIVIDADES EN AULA

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

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1. Se tienen 3 circunferencias tangentes 2 a 2 en los puntos L, l y Z. Si dichas circunferencias son iguales, es decir, tienen

el mismo radio. Hallar: m LIZ.

a) 30° b) 60° c) 90°d) 100° e) 120°

2. Sobre una recta tangente en A a una circunferencia se ubica el punto B de donde se traza una secante a dicha circunferencia que la corta en los puntos C y D.

Si mAD = 160° y mCD = 80°.

Hallar m ABD. a) 20° b) 30° c) 40°d) 50° e) 60°

3. Según el gráfico mAB + mBC = 300°. Hallar: mDE:

a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) 90°

4. Sean 2 circunferencias iguales. Hallar mABC.

a) 30°b) 40°c) 50°d) 60°e) 70°

5. Sean 2 circunferencias iguales. Hallar mOSO1

a) 60°b) 120°c) 90°d) 130°

e) 150°

6. Dado el cuadrante AOB y el semicírculo de centro O1. Hallar mCD.

a) 5° b) 10° c) 15°d) 20° e) 25°

7. Expresar “x + y” en función de

a) 90+ b) c) 180+

d) 2 e) 90+

8. Si: AB + CD = 24u y BC + AD = 40u.Calcular "PQ".

a) 16u b) 14 c) 12d) 10 e) 8



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Es aquel cuadrilátero que acepta que se le describa una circunferencia por sus cuatro vértices. Para que esto suceda es necesario y suficiente que el cuadrilátero cumpla con una de las dos condiciones siguientes:

Primera condición:

Si: ° + ° = 180° ABCD es un cuadrilátero inscriptible.

Segunda Condición:

Si: ° = ° ABCD es un cuadrilátero inscriptible.

Observaciones:

Si un cuadrilátero cumple con una de las dos condiciones, entonces se cumplirán las dos a la vez.

Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la medida de un ángulo interior es igual a la medida del ángulo exterior opuesto.

Dado un triángulo al trazar dos alturas, se observa que se determina un cuadrilátero inscriptible.



ACTIVIDADES EN AULA

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1. En la figura calcular “x”

a) 1°b) 2°c) 3°d) 5°e) 6°

2. La figura calcular “”

a) 31° b) 62° c) 18°d) 30° e) 20°


a) 18° b) 72° c) 82°d) 70° e) 80°

4. En la figura calcular “x + y”

a) 90° b) 120° c) 150°d) 170° e) 180°


a) 14°b) 28°c) 32°d) 62°e) 24°

6. Se tiene un cuadrilátero ABCD donde m

B=114, m D=66° y m CBD=34.

Hallar: m CAD

a) 34° b) 38° c) 56°d) 38° e) 17°

7. Sobre una semicircunferencia de diámetro se toman los puntos “P” y “Q” donde

mPB > mBQ; sobre la prolongación de se toma el punto “T” de modo que TQ=QB. Si AT=5. Hallar AP.

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

8. Se tiene el cuadrilátero ABCD donde m B +

m D=180° y m A=5m C.

Hallar m C.

a) 30° b) 90° c) 60°d) 120° e) 150°


ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

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1. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia donde .

Hallar:

a) 1 b) c)

d) 2 e) 3

2. En la figura “O” es centro. Calcular “x”

a) 60° b) 50° c) 70°d) 110° e) 80°

3. En la figura calcular

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 3 e) 2


a) 30° b) 45° c) 70°d) 75° e) 60°

5. “I” es el incentro de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia. Donde la prolongación de corta a dicha circunferencia en el punto “M”. Si IM = 5cm. Hallar BM.

a) 1cm b) 2cm c) 3cmd) 4cm e) 5cm

6. En la gráfica PH = 12 y AQ = 8. Hallar AH

a) 14 b) 12 c) 9d) 16 e) 8


a) 90° b) 45° c) 60°d) 80° e) 100°

8. Calcular “x”

a) 110° b) 90° c) 80°d) 70° e) 60°


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