Geometria I Geometria I

Geometria I

Geometria I

Apresentação

A Geometria mostra-se presente desde a constituição dos primeiros

conhecimentos matemáticos elaborados pelo homem para compreender e

relacionar-se com o meio onde vivia, passando por sua sistematização, pelo

matemático grego Euclides, e seu posterior desenvolvimento que levou ao

surgimento de “outras geometrias” (Boyer, 1994).

Esse registro da presença da Geometria, desde a antiguidade, sua

importância na atualidade e as dificuldades relacionadas à sua apropriação,

enquanto conhecimento escolar vem motivando um olhar mais profundo para

essa área da Matemática e seu ensino. Os conhecimentos geométricos

constituem parte importante do currículo de Matemática na Educação Básica,

pois, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo de pensamento espacial que

lhe permite compreender, de forma organizada, o mundo em que vive

(BRASIL, 1998).

Neste contexto, os cursos de Licenciatura em Matemática têm por

responsabilidade organizar seus currículos de maneira à atender o que emerge

das Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores de Matemática

com relação ao desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos. Devem,

também, atender às demandas de uma sociedade em constante transformação

que busca na Escola a apropriação de conhecimentos que lhes possibilite agir

e atuar nessa mesma sociedade com competência e responsabilidade.

Assim, a Geometria I, disciplina do segundo semestre do Curso de

Licenciatura em Matemática – EAD da Universidade Luterana do Brasil tem por

objetivo formalizar o estudo da geometria euclidiana plana e o material aqui

apresentado busca apresentar os subsídios necessários para que tal objetivo

seja alcançado. Este material foi produzido e organizado pelas professoras

Ana Brunet e Carmen Kaiber as quais fazem parte do corpo docente do curso

de Licenciatura em Matemática da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA).

Alinhado a proposta da disciplina os conteúdos serão apresentados em

10 capítulos contendo apontamentos teóricos, o desenvolvimento de

demonstrações e encaminhamentos que permitam realizá-las, bem como a

apresentação de atividades as quais permitam aplicar os conhecimentos

desenvolvidos.

No texto e nas atividades serão propostas construções com régua e

compasso, tarefas que envolvam a construção de material com uso de

diferentes recursos para explorar o mesmo objeto.

Ao longo do texto desenhos serão utilizados com frequência, mas

alertamos aos leitores que esses devem ser vistos como facilitadores da

intuição e linguagem. Os registros apresentados em absoluto esgotam,

abrangem ou mesmo representam todas as situações possíveis.

Como em diferentes textos que apresentam conteúdos da Geometria as

notações podem ser diferentes, introduziremos a notação que vamos adotar

no decorrer do texto de cada capítulo e, também, no glossário do Capítulo 1.

Os símbolos algébricos serão os que consideramos usuais e também estarão

listados no glossário do Capítulo 1, embora não definidos no corpo do texto.

Por fim, destacamos que em certas atividades, especialmente as que

envolvem demonstrações, o gabarito vai apresentar indicações ou sugestões

para o encaminhamento das soluções, ficando a cargo do estudante compor o

texto final.

Um bom trabalho a todos!

Sumário

Capítulo 1 – O Pensamento Geométrico na História

Capítulo 2 – Sobre Retas e Pontos

Capítulo 3 – Sobre Segmentos, Semirretas, Ângulos e Semiplanos

Capítulo 4 – Medição de Segmento e Ângulo

Capítulo 5 – Triângulos e outros Polígonos

Capítulo 6 – Um pouco mais sobre Triângulos

Capítulo 7 – Ângulo Externo: o teorema e suas consequências

Capítulo 8 – V axioma e a Geometria Euclidiana

Capítulo 9 – Sobre Quadriláteros

Capítulo 10 – Semelhança de Triângulos

O Pensamento Geométrico na História

Ana Brunet e Carmen Kaiber 1

Introdução

Neste capítulo iremos fornecer um breve quadro do desenvolvimento histórico da Geometria (do grego geos – terra/metrias – medida e significa medida da terra) desde a pré-história, passando pelas civilizações egípcia e grega chegando à atualidade. Introduziremos, também, algumas ideias norteadoras do discurso matemático que usaremos neste livro.

Primórdios

Eves (1992) chama de “geometria subconsciente” as primeiras considerações que o homem fez a respeito da Geometria. Sugere que tais considerações são muito antigas constituídas a partir de simples observações provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos. Padrões repetidos e simétricos são evidências deixadas em decorações de objetos, sendo que alguns desses padrões datam de 25.000 a.C. conforme Rooney (2012).

A partir das configurações físicas do mundo que o cercava, como o contorno da lua e do sol, sementes, conchas, folhas, é possível que o homem primitivo tenha percebido curvas e simetrias. Ao necessitar carregar água em suas jornadas deve ter desenvolvido a noção de capacidade volumétrica. Evidenciaram a noção de perpendicular e paralela ao construir muros e moradias.

Antiguidade

As margens dos rios Tigre e Eufrates na Mesopotâmia foi berço de sociedades desenvolvidas. Os sumérios, por volta de 3500 a.C., começaram a desenvolver um sistema de símbolos que evoluiu até tornar-se uma forma abrangente e completa de escrita, a cuneiforme (GARBI, 2010). Mais de 100.000 tábuas de argila da Babilônia sobreviveram até os dias de hoje, pois eram cozidas ao fogo. Muitas exibem problemas matemáticos e uma em particular, com cerca de 4000 anos de idade, apresenta o registro de um problema de geometria (ROONEY, 2012).

1. Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e

Topologia (UFRGS) e docente do curso de Licenciatura em Matemática da ULBRA. Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade

Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do PPGECIM da ULBRA.

As enchentes anuais do rio Nilo fertilizavam o solo dos antigos egípcios tornando-o favorável à agricultura. Credita-se a eles o avanço da Geometria a um nível mais elevado de desenvolvimento, denominado por Eves (1992) de “geometria científica”. Por escreverem em papiros, material perecível feito de uma planta abundante as margens do Nilo, pouco restou de seus registros. Garbi (2010) apresenta o papiro de Ahmes (Figura 1), também conhecido como papiro de Rhind em homenagem ao seu descobridor, como um dos documentos mais célebres do segundo milênio a.C. Escrito por volta de 1650 a.C. pelo escriba Ahmes, o documento de 33 cm de altura por 5 m de comprimento apresenta 84 problemas matemáticos práticos e contempla tópicos em aritmética, geometria, pesos e medidas. Segundo Rooney (2012), o texto é cópia de outro mais antigo, escrito aproximadamente 200 anos antes, que por si só deveria conter material ainda mais antigo.

Figura 1 – Parte do papiro de Ahmes

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001622/000

0019008.png

O papito de Moscou, de autor desconhecido (GARBI, 2010; EVES, 1992) é mais antigo que o de Ahmes e contem 25 problemas. Dentre eles, um dos mais famosos é o que fornece um exemplo numérico com as instruções para o cálculo correto do volume do tronco de pirâmide de bases quadradas (Figura 2).

Figura 2 - Papiro de Moscou: cálculo do volume do tronco de pirâmide

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/papirode.htm

O papiro de Ahmes junto com o de Moscou são nossas principais fontes de informação a respeito da matemática egípcia e registram 26 problemas de Geometria (EVES, 1992). Os registros das atividades intelectuais, ao longo do desenvolvimento da humanidade, evidenciam que a inteligência humana foi capaz de perceber propriedades gerais e relações que incluíam as observações anteriores como casos particulares. Situações que eram consideradas diferentes poderiam ser resolvidas pelo mesmo procedimento geral. Garbi (2010, p. 10) nomeou de “aprendizado indutivo ou empírico” ao “processo de observação de padrões que se repetiam e que, por indução, levavam os pioneiros a crer que se estava diante de verdades gerais”. Por exemplo, a comparação entre a diagonal e o lado de um quadrado ou entre o perímetro e o diâmetro de circunferências levam a constantes. A Geometria tornou-se “um conjunto de receitas práticas e resultados de laboratório” (EVES, 1992, p. 3). Vários livros de história da Matemática trazem as palavras do grego Heródoto (c. 484 – 425 a.C.) considerado o “pai da História”:

Esse faraó [Sesóstris] realizou a partilha das terras, concedendo a cada egípcio uma porção igual, com a condição de ser-lhe pago todos os anos certo tributo; se o rio carregava alguma parte do lote de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o ocorrido. O soberano enviava agrimensores para o local, para determinar a redução sofrida pelo terreno, passando o proprietário a pagar um

tributo proporcional ao que restara. Eis, ao que me parece, a origem da Geometria, que teria passado do Egito para a Grécia (GARBI, 2010, p. 12).

A partir da interação comercial com os egípcios e mesopotâmicos, os gregos tomaram contato e absorveram os conhecimentos básicos de Geometria, Aritmética e Astronomia acumulados por séculos por esses povos. Os gregos transformaram a geometria empírica, ou científica, dos egípcios e babilônios antigos no que Eves (1992) chama de geometria “sistemática” ou “demonstrativa”. Na literatura é unânime a informação de que foi na Grécia antiga do século VI a.C. em Mileto que viveu Tales, conhecido como um dos “sete sábios” da antiguidade. Tales de Mileto teria estudado no Egito e é atribuída a ele a revolucionária ideia que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou seja, a de que suas verdades devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio do raciocínio (GARBI, 2010). Por isso, é considerado fundador da geometria demonstrativa (EVES, 1992).

Pitágoras (de Samos/Crotona, sec. V a.C.) foi fortemente influenciado pelas ideias de Tales (GARBI, 2010), porém há dúvidas sobre o contato direto entre esses dois grandes matemáticos gregos. Segundo Garbi (2010) foram os pitagóricos os primeiros a produzir demonstrações razoavelmente rigorosas e os primeiros a enxergar a Matemática como algo abstrato, pairando acima da realidade física.

Durante o período pré-platônico de quase dois séculos transcorrido entre as fundações da escola de Pitágoras, em Crotona, e a Academia de Platão, em Atenas, os geômetras começaram a dar-se conta de que a ideia revolucionária de Tales, segundo a qual as verdades matemáticas devem ser provadas, não poderia ultrapassar certos limites, ou seja, alguns princípios básicos deveriam ser admitidos sem demonstração (GARBI, 2010). Esse foi o início da “axiomática material”, conforme Eves

[...] os gregos desenvolveram a noção de discurso lógico como uma sequência de afirmações obtidas por raciocínio dedutivo a partir de um conjunto aceito de afirmações iniciais. Então tanto as afirmações iniciais como as derivadas do discurso são afirmações sobre a questão técnica do discurso e, por isso, envolvem termos especiais ou técnicos. Os significados desses termos devem ser claros para o leitor e, assim, os gregos sentiam que o discurso deveria começar com uma lista de explanações e definições desses termos técnicos. Depois dessas explanações e definições terem sido dadas, as afirmações iniciais, chamadas “axiomas” e/ou “postulados” do discurso, deveriam ser enunciados. Essas afirmações iniciais, segundo os gregos, deveriam ser cuidadosamente escolhidas de maneira que sua veracidade fosse completamente aceitável pelo leitor em vista das explanações e definições já citadas. (1992, p. 9)

Garbi (2010) sugere a possibilidade de que, nesse mesmo período, surgiu o Método de Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição que consiste

em demonstrar certos teoremas não por uma dedução direta, mas por um caminho indireto.

Por fim destacamos Euclides (c. 300 a.C.), um dos geômetras gregos mais importantes. Sua obra Os Elementos ainda está em vigor nos dias de hoje e uma tradução direta do grego para o português foi realizada por Irineu Bicudo em 2009 na qual consta que nada de errado foi encontrado nos 13 livros que compõe a obra. “O toque de gênio de Euclides está não na descoberta de teoremas, o que certamente fez, mas na organização lógica com que os apresentou e provou de forma concatenada, preenchendo as lacunas deixadas por outros.” (GARBI, 2010, p. 58).

Atualidade

No decorrer deste livro traremos outras notas históricas pertinentes ao assunto abordado no momento. Por hora, expomos que a axiomática material evoluiu lentamente até o final do século XIX e culminou no modelo generalizado de modo a fornecer uma forma de discurso abstrato conhecido como “axiomática formal” (EVES, 1992). Este é o discurso que utilizaremos neste livro. Garbi (2010) coloca como a maior diferença conceitual entre a Geometria de hoje e a de Euclides aquilo que denominamos de “conceitos primitivos” para os quais não há definição. Conceitos primitivos também são chamados de noções primitivas ou objetos não definidos. David Hilbert (1862 – 1943) foi um matemático extremamente rigoroso e em seu clássico trabalho Grundlagen der Geametrie (Fundamentos de Geometria) propôs uma abrangente fundamentação que elimina as deficiências dos Elementos.

Existem vários tipos de geometria, mas aqui vamos tratar da Geometria Euclidiana Plana, que possui esse nome em homenagem ao já citado matemático grego Euclides. Podemos interpretar o conteúdo de geometria a ser desenvolvido como um “edifício geométrico”. Definiremos objetos geométricos, demonstraremos propriedades e estabeleceremos relações entre esses objetos por proposições e teoremas. Para tanto usaremos argumentação e nossa base, “os alicerces”, serão os axiomas e os conceitos primitivos enunciados por Hilbert.

Proposições e teoremas geralmente são implicações, isto é, podem ser escritos na forma “se... então...”. Ao validarmos uma proposição por argumentação justificada estaremos garantindo a validade da tese, sempre que as hipóteses forem satisfeitas. Assim, por exemplo, o clássico teorema de Pitágoras nos diz que “Se um triângulo é retângulo então a soma dos

quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. A hipótese é: um triângulo é retângulo; e a tese é: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ora, a validade da fórmula está sujeita ao triângulo ser retângulo, sua hipótese. Caso contrário o teorema não faz referência, ou

seja, se não há garantia de que o triângulo é retângulo, não há como garantirmos que o quadrado da medida de um de seus lados é a soma dos quadrados das medidas de seus outros dois lados.

Em linguagem natural as proposições podem ser enunciadas de diferentes maneiras. “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos” é outra forma de enunciar o teorema de Pitágoras. A proposição “Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, então o triângulo é isósceles” possui como hipótese “dois ângulos de um triângulo são congruentes” e sua tese é “o triângulo é isósceles”. Ela pode ser enunciada, por exemplo, como “Um triângulo é isósceles sempre que dois de seus ângulos são congruentes” ou “Sempre que dois ângulos de um triângulo são congruentes o triângulo é isósceles” ou “Quando dois ângulos de um triângulo são congruentes, ele é isósceles” ou “ Dois ângulos de um triângulos serem congruentes implica que o triângulo é isósceles” ou “Todo triângulo que possui dois ângulos congruentes é isósceles”. Enfim, em linguagem natural podemos enunciar proposições de muitas formas e o leitor deve ficar atento para discernir entre hipótese e tese.

Recapitulando

Eves (1992) classifica em cinco fases o desenvolvimento histórico do pensamento geométrico. A geometria subconsciente ocorreu na pré-história e é caracterizada pelo reconhecimento de configurações físicas e comparação de formas e tamanhos. As evidências remanescentes desta etapa são, por exemplo, cerâmicas decoradas com padrões simétricos e a construção de muros e moradias. Na passagem da pré-história para a antiguidade emergiu a geometria científica a partir da necessidade da medição das terras. Por registrarem em papiro, material perecível, poucos documentos restaram. Os papiros de Ahmes (ou de Rhind) e o de Moscou são as principais fontes de informação desta fase que se caracteriza pela criação e uso de receitas práticas a partir de um aprendizado indutivo. A Geometria passou a ser considerada sistemática ou demonstrativa na Grécia antiga. O importante pensador Tales (sec. VI a.C.), considerado fundador desta fase, deu rumos definitivos ao pensamento matemático ao enunciar que as verdades matemáticas devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio de raciocínio. Pitágoras (sec. V a.C.) foi muito influenciado pelas ideias de Tales e a escola dos pitagóricos são atribuídas as produções de demonstrações razoavelmente rigorosas e a visão da Matemática como algo abstrato. No período pré-platônico, os geômetras deram-se conta que alguns princípios básicos deveriam ser admitidos sem demonstração. Isto caracteriza a chamada axiomática material e é neste nível de pensamento que Euclides (sec. III a.C.) produz sua obra. Nos séculos subsequentes a axiomática material evoluiu lentamente até culminar na axiomática formal no século XIX. A principal

diferença conceitual entre esses dois tipos de pensamento são os conceitos primitivos, para os quais não há definição, da axiomática formal.

Utilizaremos os axiomas e os conceitos primitivos tais como foram enunciados por Hilbert para a construção da teoria da Geometria Euclidiana Plana. Descreveremos os entes geométricos, estabeleceremos relações e propriedades pelos teoremas e proposições os quais serão validados mediante argumentação justificada (isto é, demonstrados ou provados). Não existe uma receita para demonstrar uma proposição. Deve-se ficar atento as hipóteses (o que temos) e a tese (o que queremos) da proposição em questão para, então, desenvolver a argumentação que valida a tese, sempre que as hipóteses forem verdadeiras.

Referências Bibliográficas

BICUDO, Irineu. Os Elementos/Euclides: tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: UNESP, 2009.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1994.

EVES, Howard. Geometria – Série: Tópicos de História da Matemática – para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992.

GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 5 ed. Ver. e apml. São Paulo: Livraria da Física, 2010.

NASSER, Lilian e TINOCO,Lucia. Curso Básico de Geometria – Enfoque Didático. Módulo I, Formação de Conceitos Geométricos. Projeto Fundão. Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2004.

ROONEY, Anne. A História da Matemática – Desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012.

Atividades

1. A partir dos estudos desenvolvidos nesse capítulo, e de acordo com os autores apontados, marque (X) somente nas sentenças verdadeiras.

a) ( ) A chamada “geometria subconsciente” refere-se as primeiras manifestações do homem relacionadas à Geometria, a partir de observações e ações no espaço físico do seu entorno, as quais possibilitaram o reconhecimento de configurações e padrões, formas e tamanhos.

b) ( ) Credita-se aos antigos egípcios o avanço da Geometria a um nível mais elevado denominado “geometria científica”, caracterizada pela capacidade do homem de, a partir de observações, extrair propriedades e estabelecer relações.

c) ( ) Tales de Mileto é autor da obra Os Elementos. d) ( ) O papiro de Ahmes, também conhecido como papiro de Rhind,

junto com o de Moscou são os primeiros documentos matemáticos conhecidos e as principais fontes de informação a respeito da matemática egípcia.

e) ( ) Com os egípcios a Geometria chegou a um nível axiomático.

2. Analise as sentenças e complete com ‘V’ se a sentença é verdadeira e ‘F’ se falsa.

( ) A Tales de Mileto é atribuída a ideia de que na Matemática as “verdades” devem ser justificadas, demonstradas e provadas baseadas em um raciocínio lógico.

( ) Euclides (300 a.C.), autor da obra Os Elementos, organizou os conhecimentos geométricos (e matemáticos de modo geral) conhecidos até então de modo coerente, apresentando um encadeamento lógico a partir de premissas básicas e demonstrações.

( ) A Geometria Euclidiana que temos hoje é a mesma desde aproximadamente 300 a.C. quando Euclides a organizou.

( ) Axiomas ou postulados são afirmações iniciais que não precisam ser demonstradas.

( ) Assim como os axiomas, proposições e teoremas também não precisam ser demonstrados.

Agora assinale a alternativa correta.

a) V – V – V – V – F b) V – V – F – F – V c) V – V – F – V – F

d) F – V – F – V – F e) V – F – F – V – F

3. Considere as proposições a seguir:

I) Sejam AB e BA semirretas então a união de AB e BA é a reta determinada por A e B.

II) Duas retas distintas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas.

Sobre estas proposições podemos afirmar (marque com um ‘X’ apenas as opções verdadeiras).

a) ( ) Em I “ AB e BA semirretas” é a hipótese e “a união de AB e

BA” é a tese. b) ( ) Em II “duas retas distintas perpendiculares” é a hipótese e “a

uma mesma reta são paralelas” é a tese. c) ( ) Em II “duas retas distintas perpendiculares a uma mesma reta”

e a hipótese é “são paralelas” é a tese. d) ( ) A proposição II não apresenta tese.

e) ( ) Em I “ AB e BA semirretas” é a hipótese e “ AB ∪ BA = AB” é a tese.

4. Dadas as proposições abaixo, identifique a hipótese e a tese:

a) Sejam AB e BA semirretas então a intersecção de AB e BA é AB . b) Sejam A e B dois conjuntos tais que A⊂ B e B⊂ A então A = B. c) Sejam a e b dois números tais que abeba ≤≤ então a = b.

5. Dadas as proposições abaixo, identifique a hipótese e a tese:

a) Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.

b) Ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida. c) Em um triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é

igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

_____________________________________________________________________

Gabarito

1. São verdadeiras as afirmações a, b, d.

2. Alternativa correta: c.

3. São verdadeiras as afirmações c, e.

4. a) Hipótese: AB e BA semirretas.

Tese: intersecção de AB e BA é AB .

b) Hipótese: A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B e B⊂ A.

Tese: A = B

c) Hipótese: a e b dois números tais que abeba ≤≤

Tese: a = b

5. a) Hipótese: retas distintas.

Tese: não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.

b) Hipótese: ângulos opostos pelo vértice.

Tese: tem a mesma medida.

c) Hipótese: triângulo é retângulo.

Tese: o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados

das medidas dos catetos.

Glossário

Destacamos aqui a notação utilizada ao longo do livro.

A, B, C ponto

r, s, t reta

AB reta AB

AB semirreta AB

AB segmento de extremidades A e B

α, β, θ, ... ângulo

BOA ângulo de vértice em O

sr ⊥ retas r e s perpendiculares

r || s retas r e s paralelas

≅ congruência

.... medida

∆ABC triângulo ABC

C(A, r) circunferência de centro A e raio r

∈ pertence

∉ não pertence

⊂ está contido

⊄ não está contido

⊃ contém

⇔ equivalência

⇒ implicação lógica

∧ e

∨ ou

∃ existe, existe pelo menos um

∀ para todo, qualquer que seja

Sobre Pontos e Retas

Ana Brunet e Carmen Kaiber2

Introdução

Os axiomas de Incidência formam o primeiro grupo de axiomas e relacionam pontos e retas. Neste capítulo estudaremos tais relações bem como enunciaremos os elementos geométricos e definiremos novos objetos.

Elementos Geométricos

Os elementos geométricos que concebemos são: plano, reta e ponto. As retas e os pontos estão contidos no plano, sendo as retas formadas por pontos. Os elementos geométricos não são passíveis de definição. Outro conceito primitivo é a relação de pertinência. Um ponto está ou não está em uma reta, por exemplo, ou um ponto pertence ou não pertence a uma reta.

Na geometria que iremos estudar a Geometria Euclidiana Plana, nosso universo é o plano ao qual podemos associar a uma superfície sem curvatura que se estende infinitamente para todos os lados. Pontos são adimensionais e serão anotados por letras maiúsculas do alfabeto, como por exemplo: A, B, C. A reta é um subconjunto do plano que se estende em apenas dois sentidos sem quebras ou curvatura. Anotamos retas por letras minúsculas do

alfabeto, por exemplo: t, r, s. Utilizamos o símbolo ‘∈’ para anotar quando um ponto pertence a uma reta. Assim, se o ponto A está na reta r escrevemos:

A ∈ r.

Os Axiomas de Incidência

Considere dois pontos distintos A e B. Represente-os em uma folha. Quantas retas você consegue traçar passando por esses pontos?

Axioma I1: Dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, para quaisquer dois pontos distintos existem uma e somente uma reta passando por eles.

Representamos a reta determinada por A e B por AB�� (Figura 3).

2Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e



Figura 3 - Reta passando pelos pontos A e B

Se três ou mais pontos pertencem à mesma reta dizemos que são pontos colineares. A Figura 4 ilustra a situação dos pontos A, B e C colineares.

Figura 4 - A, B e C pontos colineares.

Quando duas ou mais retas possuem todos os pontos em comum dizemos que as retas são coincidentes.

O axioma I1 nos fornece a relação entre dois pontos e uma reta, mas a garantia de existência de pontos nos é dada pelo próximo axioma, o axioma I2 enunciado a seguir.

Axioma I2: Em cada reta existem pelo menos dois pontos distintos. Existem ao menos três pontos distintos que não são colineares.

A Figura 5 destaca a representação da existência de pontos caracterizando pontos colineares e não colineares.

Figura 5 - Existência de pontos

Quando duas retas distintas possuem um ponto em comum chamamos de retas concorrentes e dizemos que elas concorrem no ponto comum. Também é usual dizer que as retas passam pelo ponto, se cortam no ponto ou se interceptam no ponto comum. A Figura 6 ilustra duas retas s e t que concorrem no ponto P.

Figura 6 - Retas s e t concorrem em P

Consequências dos axiomas de Incidência

Com os axiomas de Incidência I1 e I2, o primeiro grupo de axiomas, podemos garantir algumas propriedades sobre retas e pontos.

Proposição1: Se duas retas são distintas então elas não se interceptam ou se interceptam em apenas um ponto.

Demonstração: (redução ao absurdo) Sejam r e s duas retas distintas, isto é, duas retas cujos pontos não são todos comuns. Suponhamos, então, que elas possuam dois ou mais pontos comuns. O axioma I1 nos garante que elas são a mesma reta. Isso contradiz a hipótese de serem retas distintas. Logo, duas retas distintas podem ter, no máximo, um ponto em comum.

∎

Nada nos garante, até agora, a existência de retas que não possuam pontos comuns às quais denominamos paralelas. Também são chamadas de paralelas as retas coincidentes, isto é, uma reta é paralela a ela mesma. Então chamamos de retas paralelas as retas que possuem todos os pontos em comum ou que não possuem pontos comuns.

Proposição2: Existem pelo menos três retas distintas.

Demonstração: Para cada par de pontos, dos três existentes pelo axioma I2, o axioma I1 garante a existência de uma única reta passando por eles. As três retas são distintas, pois caso contrário, os pontos seriam colineares, o que não ocorre, já que I2 garante os três pontos não colineares.

∎

Proposição3: Existe pelo menos um ponto não pertencente a uma reta dada.

Demonstração: Consideremos a reta r. O axioma I2 garante dois pontos em r. Esse mesmo axioma garante a existência de um terceiro ponto não colinear a esses dois. Logo existe pelo menos um ponto não pertencente a uma reta dada.

∎

Proposição4: Existe pelo menos uma reta que não passa por um ponto dado.

Demonstração: Seja P ponto. O axioma I2 garante a existência de dois outros pontos não colineares a P pelos quais passa uma única reta (axioma I1). Assim existe pelo menos uma reta que não passa por P.

∎

Proposição5: Existem pelo menos duas retas passando por um ponto dado.

Demonstração: Seja P ponto. O axioma I2 garante a existência de dois outros pontos não colineares a P. Sejam A e B tais pontos. Consideremos, agora, as retas determinadas pelos pontos P e A e P e B cuja existência é garantida pelo axioma I1. As duas retas são distintas, pois P, A e B são não colineares, e concorrem em P. Portanto existem pelo menos duas retas que passam por um ponto dado.

∎

Consideremos, agora, três retas e pensemos na posição em que elas podem estar no plano. Podemos representar como destacado no quadro da Figura 7.

Figura 7 - posição relativa entre três retas

Zero pontos de intersecção

Um ponto de intersecção

Dois pontos de intersecção

Três pontos de intersecção

Todos os pontos em comum

Dentre as configurações exibidas na Figura 7, com o grupo de axiomas de Incidência podemos garantir como vimos apenas as possibilidades de três pontos de intersecção ou todos os pontos comuns. Os casos de nenhum ponto em comum ou exatamente dois pontos comuns somente poderão ser garantidos após enunciarmos o axioma V, também conhecido como V postulado. Já o caso de exatamente um ponto em comum, será garantido no próximo capítulo, a partir do segundo grupo de axiomas, com os axiomas de Ordem.

Recapitulando

Os elementos geométricos ponto, reta e plano são conceitos primitivos. Também é um conceito primitivo a relação de pertinência. A reta é formada por pontos e é um subconjunto do plano, nosso universo.

Neste segundo capítulo enunciamos o primeiro grupo de axiomas, os axiomas de Incidência:

I1: Dois pontos distintos determinam uma única reta, ou seja, para quaisquer dois pontos distintos existem uma e somente uma reta passando por eles.

I2: Em cada reta existem pelo menos dois pontos distintos. Existem ao menos três pontos distintos que não são colineares.

Com esses axiomas é possível garantir uma ‘geometria’ com três pontos e três retas distintas que se interceptam em exatamente um ponto.


BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1995.

EFIMOV, N.V. Geometria Superior. Moscou: Mir.

REZENDE, Eliane Q. F. e QUEIROZ, Lúcia B. de. Geometria Euclidiana Plana e construções geométricas. Campinas, SP: UNICAMP, 2000.

Atividades

1. Leia com atenção as sentenças

I) Plano, reta e ponto são elementos geométricos primitivos e não são

passíveis de definição.

II) A notação utilizada para nomear uma reta são letras maiúsculas do

alfabeto.

III) Entre pontos e retas podemos estabelecer uma relação de

pertinência.

IV) Um ponto pode pertencer (∈) ou não pertencer (∉) a uma

determinada reta.

Com relação a estas sentenças é correto afirmar que:

a) As sentenças I, II, III e IV são verdadeiras. b) Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras. c) Apenas as sentenças I, III e IV são verdadeiras. d) Apenas as sentenças I, II e IV são verdadeiras. e) Apenas as sentenças II, III e IV são verdadeiras.

2. Sobre as relações entre retas e pontos estudadas neste capítulo, analise

as sentenças e complete com ‘V’, se a sentença é verdadeira e ‘F’, se

falsa.

( ) Três pontos distintos são sempre colineares. ( ) Quatro pontos, todos distintos, podem determinar: ou

exatamente uma reta ou exatamente quatro retas ou

exatamente seis retas.

( ) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta. ( ) Existem três pontos distintos que não pertencem a uma mesma

reta.

Agora assinale a alternativa correta:

a) V – V – V – V b) V – V – V – F c) F – V – F – V d) F – V – V –V e) F – V – F - F

3. Leia com atenção as sentenças.

I) Por dois pontos distintos passa uma reta.

II) Uma reta contém dois pontos distintos.

III) Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta.

IV) Por três pontos dados passa uma só reta.

É correto afirmar que:

a)As sentenças I, II, III e IV são verdadeiras.

b)Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras.

c)Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.

d)Apenas as sentenças III e IV são verdadeiras.

e)Apenas as sentenças II e IV são verdadeiras.

4. A partir dos estudos desenvolvidos neste capítulo, marque (X) somente

nas sentenças verdadeiras.

a) ( ) Considerando que os pontos A, B e C pertencem a uma reta r é

possível afirmar que esses três pontos são colineares.

b) ( ) Duas retas são chamadas concorrentes quando possuem pelo

menos um ponto em comum.

c) ( ) Retas coincidentes possuem todos os seus pontos em comum.

d) ( ) Retas que não possuam pontos comuns são chamadas de

paralelas.

e) ( ) Retas paralelas são retas que não possuem pontos em comum

ou possuem todos os pontos comuns.

5. Observe a figura e leia com atenção as sentenças assinalando:

1 Se a sentença for verdadeira.

2 Se a sentença for falsa.

( ) Os pontos D, A e E são colineares. ( ) Os pontos D, A, e C são colineares. ( ) Os pontos J e F estão do mesmo lado que o ponto C com respeito a

reta r ( ) As retas r e s se interceptam no ponto A. ( ) Os pontos L e I não estão do mesmo lado que o ponto E com

respeito a reta s. ( ) O ponto A é ponto de intersecção das retas r e s. ( ) r ∩ s = {A} ( ) r // s

___________________________________________________________________

Gabarito

1. Afirmação correta: c 2. Alternativa correta: d 3. Afirmação correta: b 4. São verdadeiras as sentenças a, c, d, e. 5. A associação é: 1, 2,1, 1, 2, 1, 1, 2.

Sobre Segmentos, Semirretas, Ângulos e Semiplanos


Introdução

Neste capítulo, o ‘castelo geométrico’ segue colocando seus alicerces. Iniciaremos com a apresentação de mais um conceito primitivo, a noção de estar entre e enunciaremos os axiomas de Ordem. Com eles a geometria aproxima-se mais do que nossa intuição nos leva a crer. Teremos infinitas retas com infinitos pontos cada. Algumas construções simples, com régua cega e compasso, serão sugeridas no decorrer do capítulo. Definiremos subconjuntos de retas: os segmentos e semirretas. A partir das semirretas introduziremos o objeto ângulo. Apresentaremos a ideia de congruência e finalizaremos este capítulo com o axioma da Separação do Plano e algumas de suas consequências.

Axiomas de Ordem

Os axiomas de Ordem, o segundo grupo de axiomas, relacionam pontos que estão sobre uma mesma reta. Observe a Figura 8:

Figura 8 - C entre A e B

Podemos dizer que o ponto C está entre os pontos A e B (anotamos A – C – B). A relação de ‘estar entre’ é um conceito primitivo e satisfaz os seguintes axiomas:

Axioma II1: Dados três pontos A, B e C de uma reta. Se C encontra-se entre A e B então A, B e C são distintos.

Axiomas II2: Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.

1 Ana Regina Gregory Brunet é mestre em Matemática na área de Geometria e



Embora os axiomas II1 e II2 versem sobre três pontos colineares, a garantia de existência de três ou mais pontos colineares é dada pelo próximo axioma (Figura 9).

Axioma II3: Dados dois pontos distintos A e B sempre existe um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.

Figura 9 - Existe C entre A e B e D tal que B está entre A e D

Segmento

Podemos pensar, então, no conjunto dos pontos formado pelos pontos A, B e por todos os pontos entre A e B. A esse conjunto denominamos segmento AB (Figura 10). Os pontos A e B são chamados extremos do

segmento. Anotamos o segmento AB por AB .

Figura 10 - Segmento AB

Observamos que o conjunto de pontos que compõe um segmento são todos colineares. Assim, um segmento sempre está contido em uma reta. A reta que contém um segmento é chamada reta suporte do segmento. Com relação ao segmento AB da Figura 10, podemos afirmar que o mesmo está contido na reta determinada pelos pontos A e B. Em linguagem simbólica, temos

AB � AB�� AB�� AB

Para concretizar um pouco as ideias sugerimos aos leitores que utilizem

uma régua para desenhar uma reta suporte CD��. Para o próximo passo utilize um compasso. Coloque a ponta seca do compasso no ponto P da Figura 11 e a outra ponta no ponto Q. Com essa abertura e sem alterá-la, coloque a ponta seca do compasso no ponto C e faça uma marca com a outra ponta sobre a

reta suporte CD��. Denomine o ponto de E. O segmento CE construído é um transporte do segmento PQ.

Figura 11 – Segmento PQ

Observamos que os segmentos determinados pelos pontos P e Q e pelos pontos C e E são diferentes, pois são constituídos por pontos distintos. Lembramos que para dois conjuntos serem iguais temos que ter todos os elementos do primeiro pertencentes ao segundo e vice – versa. Mas para um conjunto estar contido em outro é apenas necessário e suficiente que todo elemento do primeiro pertença ao segundo.

Proposição6: O segmento AB e o segmento BA são o mesmo segmento.

Demonstração: Consideremos o segmento AB e o segmento BA. Então,

ABBABAABBAAB ⊂∧⊂⇔=

Primeiro mostraremos que o segmento AB está contido no segmento BA, isto é, que todo ponto que pertence ao segmento AB também pertence ao segmento BA. Então, seja C um ponto do segmento AB. Se C está no segmento AB, então C é igual ao A ou C é igual ao B ou C está entre A e B por definição de segmento. Bem, se C é igual ao A ou ao B, C pertence ao segmento BA, pois A e B pertencem a esse segmento por definição. Agora, se C está entre A e B, então C está entre B e A, pois o axioma II2 garante que um e apenas um ponto localiza-se entre os outros dois. Mas, se C está entre B e A, logo C está no segmento BA. Portanto, todo ponto C do segmento AB está no segmento BA, isto é, o segmento AB está contido no segmento BA.

De forma análoga mostra-se que o segmento BA está contido no segmento AB. Portanto, como os conjuntos que definem os segmentos estão contidos um no outro, eles são o mesmo conjunto. Isto é, o segmento AB é igual ao segmento BA.

∎

Proposição7: Um segmento possui infinitos pontos.

Demonstração: Seja AB segmento e suponhamos ele tenha exatamente n pontos, com n natural. Podemos representar, então, o conjunto de pontos que

compõe AB por

{C1, C2, C3, ... , Cn-1, Cn}

com C1 = A, Cn = B e Ci entre Ci – 1 e Ci+1, i ∈ {2, 3, ... , n – 1}.

Mas o axioma II3 garante a existência de C entre Cn-1 e Cn. Logo existem pelo menos n + 1 pontos entre A e B o que contradiz a hipótese da existência de exatamente n pontos no segmento. Portanto, existem infinitos pontos em um segmento.

∎

Semirreta

Denominamos de semirreta OA (Figura 12) ao conjunto dos pontos formado pelo segmento OA e por todos os pontos C tais que A está entre O e C. O ponto O é chamado de origem da semirreta. Anotamos a semirreta de

origem no ponto O e que passa por A por OA��. Figura 12 - Semirreta OA��

Semirretas opostas ou complementares são semirretas contidas numa mesma reta suporte e que possuem somente a origem comum (Figura 12).

Figura 13 - OA�� e OB�� semirretas opostas ou complementares

Semirretas e retas suporte serão muito utilizadas nas construções geométricas.

Ângulo

Chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas de mesma origem que não estejam contidas em uma mesma reta. As semirretas são

chamadas de lados do ângulo e a origem de vértice do ângulo. Observamos que para um ângulo ficar bem definido bastam três pontos não colineares desde que fixado um para o vértice. Observe a marca de ângulo na Figura 14.

Figura 14 - Ângulo AO B

Anotamos o ângulo AOB por AO B, BO A, ou simplesmente Ô quando ficar claro no contexto a qual ângulo nos referimos. Também é usual letras

minúsculas do alfabeto grego, como α, β, θ, para designar ângulos.

Descreveremos, agora, os procedimentos para o transportar um ângulo. Em nossa descrição usaremos o ângulo AÔB da Figura 14 como ângulo a ser transportado. Para nos referir ao desenho gerado pelo compasso ao fixar a ponta seca e deslizar a outra ponta sobre o papel, usaremos a palavra arco. Esperamos que com essa descrição passo a passo você consiga realizar o transporte. Então, dado um ângulo como o da Figura 14:

1º passo: Construímos uma semirreta auxiliar O�C��. 2º passo: Com a ponta seca do compasso fixa em O e abertura arbitrária

marque com a outra ponta do compasso nas semirretas OB�� e OA�� os pontos D e E, respectivamente.

3º passo: Com a ponta seca do compasso fixa em O’ e mesma abertura no

compasso do passo anterior traçamos um arco. Este arco intercepta O′C�� num ponto F.

4º passo: Coloque uma ponta do compasso sobre o ponto E e outra sobre o ponto D. Com essa abertura e com a ponto seca do compasso em F traçamos um arco. Ele intercepta o arco anterior nos pontos G e G’.

Os ângulos FÔ’G ou FÔ’G’ são o ângulo AÔB transportado.

Consideraremos, ainda, dois casos degenerados de ângulos (Figura 15). O primeiro é formado por semirretas complementares ao qual denominamos raso. O segundo é formado por semirretas coincidentes e chamamos nulo.

Figura 14 - BÔA ângulo raso e OC�� ângulo nulo

Sejam OA�� e OC�� um par de semirretas complementares e OB�� e OD�� outro par de semirretas complementares (Figura 15). Os ângulos AÔB e CÔD são chamados de ângulos opostos pelo vértice (OPV) e AÔD e BÔC também são OPV.

Figura 15 - AÔB e CÔD ângulos opostos pelo vértice (OPV)

Axioma da Separação do Plano

Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r. Dizemos que os

pontos A e B estão do mesmo lado com respeito a reta r (Figura 16) quando AB não intercepta r.

Figura 16 - A e B estão do mesmo lado com relação a reta r

Considere uma reta r e um ponto A não pertencente a ela, o conjunto formado pelos pontos da reta r e por todos os pontos que estão do mesmo lado de A com relação a essa reta é chamado de semiplano determinado por r e contendo A. Para garantir que todos os pontos que não estão do mesmo lado que A com respeito à reta r unidos com r formam um único semiplano precisamos do axioma da Separação do Plano.

Axioma II4: Uma reta r determina exatamente dois semiplanos onde a intersecção é r.

Proposição8: Se A e B estão de lados opostos com respeito à reta r e B e C estão em lados opostos também, então A e C estão do mesmo lado com respeito a r.

Demonstração: O axioma II4 garante que ou A e C estão do mesmo lado com respeito a reta r ou estão em lados opostos e não existe outra possibilidade. Assim, se A e C estivessem em lados opostos, como A e B estão em lados opostos, só resta para C estar do mesmo lado que B, o que não ocorre por hipótese.

∎

Observamos que fixada uma reta r e com este axioma é possível separar o plano em três conjuntos disjuntos, a saber, os pontos que estão de um lado da reta, os que estão do outro lado e os pontos da reta. Com ele também conseguimos definir de maneira precisa três conjuntos disjuntos do plano determinados por um ângulo.

Consideremos, então, um ângulo AÔB. Chamamos região interior do ângulo AÔB a intersecção do conjunto formado por todos os pontos que estão

do mesmo lado que A com respeito a reta OB�� com o conjunto dos pontos que

estão do mesmo lado que B com respeito a reta OA��. Anotamos essa região por

int α. Se um ponto está na região interior do ângulo, dizemos que ele é um ponto interior do ângulo. Quando um ponto não está no ângulo nem em sua região interior dizemos que ele está na região exterior do ângulo e o denominamos ponto exterior do ângulo.

Na Figura 17, o ponto C está na região interior do ângulo α, Q e P estão

na região exterior, as semirretas OA�� e OB�� são os lados e O é o vértice do ângulo.

Figura 17 - Região interior do ângulo

Proposição9: Se C e D estão em lados distintos do ângulo não degenerado

AÔB, então os pontos do segmento DC que estão entre C e D pertencem ao interior do ângulo AÔB.

Demonstração: Sejam AÔB ângulo, C e D distintos de O, tais que C ∈ OA�� e D ∈

OB��. Seja E tal que E está entre C e D. Queremos mostrar que E ∈ int AÔB. Então temos que verificar que E está do mesmo lado que B com respeito a

reta OA�� e está do mesmo lado que A com respeito a reta OB��. Como as retas

OA�� e OC�� são iguais e também são iguais as retas OB�� e OD��, já que O, A e C são colineares, o que ocorre, também com O, B e D, basta mostrarmos que E está

do mesmo lado que D com respeito a reta OC�� e E está do mesmo lado que C

com respeito a reta OD��. Para mostrar que D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC vamos supor, por redução ao absurdo, que eles estão em lados opostos e

concluir contradição. Se D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC��, o

segmento DE intercepta OC�� em um ponto F. Se F é igual a C, então C está entre D e E, mas isto contradiz o axioma II2, visto que E está entre D e C. Se F

for distinto de C, então as retas OC��, CF�� e ED�� serão coincidentes. Isto nos leva a O, C e D colineares, o que contradiz a hipótese de AÔB ângulo não

degenerado. Assim, D e E estão do mesmo lado com respeito a reta OC��. Para mostrar que E e C estão do mesmo lado com respeito a reta OD�� procedemos de forma análoga.

Portanto todos os pontos de um segmento, cujos extremos estão sobre lados distintos de um ângulo, que estão entre os extremos do segmento pertencem ao interior do ângulo.

∎

Dois ângulos são adjacentes quando possuem um lado comum e suas regiões interiores são disjuntas (Figura 18).

Figura 18 - α e β ângulos adjacentes

Existe um caso particular de ângulos adjacentes formados por duas semirretas opostas e uma terceira semirreta de mesma origem e diferente das primeiras (Figura 19). A esse par de ângulos denominamos par linear.

Figura 19 - AÔC e CÔB par linear

Congruência

De forma intuitiva, consideramos dois objetos congruentes quando é possível sobrepô-los sem os deformar e não ocorrem sobras nem faltas. Por exemplo, se for possível coincidir os extremos dos segmentos AB e CD, sem deformá-los, então esses segmentos são congruentes (propriedade simétrica). São congruentes, também, ângulos cuja sobreposição sem deformação dos seus vértices e lados é possível. É claro que um objeto é congruente a ele mesmo (propriedade reflexiva) e se dois objetos são congruentes a um terceiro, então são congruentes entre si (propriedade transitiva). Usaremos o

símbolo ‘≅’ para anotar congruência entre objetos. Assim, se os ângulos BÂC

e DÊF são congruentes, escrevemos: BÂC ≅ DÊF.

Se o leitor realizou a construção do transporte de segmento sugerida neste capítulo, então construiu um segmento CE congruente ao segmento PQ. Os ângulos FÔ’G ou FÔ’G’ resultantes do transporte do ângulo AÔB são todos congruentes entre si (isto será provado no Capítulo 6). Ou seja, transportar uma figura geométrica é construir outra figura congruente a primeira.

Com a relação de congruência podemos definir novos objetos. Se dois ângulos de um par linear são congruentes, então cada um deles é um ângulo reto. Se for possível coincidir o vértice e um dos lados de um ângulo com o vértice e um dos lados de um ângulo reto e o outro lado do ângulo, com exceção da origem, ficar contido na região interior do ângulo reto, então o ângulo é agudo. Se for possível coincidir o vértice e um dos lados de um ângulo com o vértice e um dos lados de um ângulo reto e o outro lado do ângulo reto, com exceção da origem, ficar contido na região interior do ângulo, então o ângulo é obtuso. Na Figura 20, AÔB é reto (observe a marca de ângulo reto), BÔC é agudo e BÔD é obtuso.

Figura 20 - Ângulo reto, agudo e obtuso

Dizemos que duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo reto (Figura 21). Notação: r ⊥s

Figura 21 - r e s retas perpendiculares

Quando a reta r é perpendicular a reta s em P, dizemos que P é o pé da perpendicular.

A construção de uma reta perpendicular s a uma reta r dada por um ponto P de r pode ser realizada pelos passos:

1º passo: Com uma abertura qualquer e a ponta seca do compasso em P marcamos na reta r os pontos A e B.

2º passo: Abra um pouco mais o compasso e com a ponta seca em A traçar um arco em cada semiplano determinado por r.

3º passo: Com a mesma abertura do segundo passo colocar a ponta seca do compasso sobre B e traçar um arco em cada semiplano determinado por r.

Observamos que deve ocorrer a intersecção entre os arcos desenhados no segundo e terceiro. Caso não tenha ocorrido, aumente-os para que ocorra.

4º passo: nomear de C e D os pontos de intersecção obtidos no terceiro passo

e traçar a reta que passa pelos pontos C e D.

A reta CD�� é a reta s procurada. Somente validaremos esta afirmação no Capítulo 6. Porém você pode dobrar o papel de sua construção, de forma que

as semirretas PA�� e PB�� coincidam. A dobra do papel deve coincidir com a reta s construída. Portanto, intuitivamente, os ângulos AP D e DP B, que formam um par linear, são congruentes. Portanto cada um deles é um reto. Assim as retas r e s formam um ângulo reto e são perpendiculares.

Dizemos que a semirreta OC�� é bissetriz do ângulo AÔB quando C está no interior do ângulo AÔB e os ângulos AÔC e CÔB forem congruentes. Observe o traço que identifica e marca a congruência entre os ângulos na Figura 22.

Figura 22 - OC�� bissetriz de AÔB

A existência e unicidade da bissetriz serão verificadas no próximo capítulo. Por hora, vamos propor a construção com régua cega e compasso da bissetriz de um dado ângulo a partir da sua descrição. Então, represente um ângulo AÔB em uma folha de papel e siga os passos dados.

1º passo: Com a ponta seca do compasso em O e abertura qualquer traçar um

arco que intercepta os lados OA�� e OB�� nos pontos C e D, respectivamente.

2º passo: Com a ponta seca do compasso em C traçar um arco no interior do ângulo.

3º passo: Ainda com mesma abertura do segundo passo e ponta seca do compasso em D traçamos outro arco. Nomear de P a intersecção com o arco do passo anterior.

Observamos que se os arcos do segundo e terceiro passo não se interceptaram procure aumentá-los um pouco até obter a intersecção.

4º passo: Traçar a semirreta OP��. A semirreta OP�� obtida no quarto passo é a bissetriz do ângulo AÔB. A justificativa desta construção será dada no Capítulo 6. De forma intuitiva, ao sobrepor os lados do ângulo AÔB e vincar a dobra, a marca vincada deve

coincidir com o desenho da bissetriz, pois para que OP�� seja a bissetriz do ângulo AÔB os ângulos AÔP e PÔB devem ser congruentes.

Recapitulando

Com a noção de estar entre e os axiomas de Ordem podemos garantir a existência de infinitos pontos. Segmentos são formados por pares de pontos, seus extremos, e todos os pontos que estão entre seus extremos, portanto um segmento está contido em uma reta, denominada reta suporte do segmento. Pares de pontos distintos também definem uma única semirreta, desde que fixado um dos pontos para a origem, portanto semirretas também são subconjuntos de retas. O último axioma enunciado neste capítulo foi o axioma da Separação do Plano o qual garante que uma reta r determina exatamente dois semiplanos onde intersecção é a reta r.

Pares de semirretas de mesma origem e não colineares determinam um ângulo cujo vértice é a origem das semirretas. Associamos a cada ângulo duas regiões: interior e exterior. Consideramos dois casos degenerados de ângulos: o raso e o nulo. Ângulos adjacentes possuem o vértice e um lado comum, além disso, não possuem pontos interiores comuns. Um par linear é formado por três semirretas de mesma origem, sendo duas delas opostas. Dois pares distintos de semirretas opostas de mesma origem definem dois pares de ângulos OPV. Definimos ângulo reto como aquele que é congruente ao seu par linear e a partir dele, ângulo agudo e obtuso. Duas retas são perpendiculares quando formam um ângulo reto. A bissetriz de um ângulo é uma semirreta com origem no vértice do ângulo e seus outros pontos na região interior do ângulo, com a propriedade dos dois ângulos adjacentes formados por cada lado do ângulo e a bissetriz serem congruentes.

Além disso, introduzimos construções geométricas com régua cega e compasso. O transporte de segmento e ângulo e a construção da bissetriz de um ângulo foram os procedimentos descritos.





Atividades

As questões 1 e 2 referem-se a figura abaixo.

1. Considerando a figura analise as afirmações e complete com ‘V’, se

verdadeira, e ‘F’, se falsa.

( ) D ∈ AC

( ) AD ⊂ AC

( ) C ∈ CD

( ) B ∉ AC

( ) AC ⊂ CA


a) V – V – F – F – F

b) V – F – V – V – V

c) F – F –V – V – F

d) F – F – V – V – V

e) V – V – V – F – F

2. Ainda com relação à figura analise as afirmações e complete com ‘V’

se verdadeira e ‘F’ se falsa.

( ) CD ⊂ AD

( ) A ∉ AD

( ) CA ⊄ AC

( ) D ∈ AC

( ) AD ⊃ DC


a) ( ) V – V – V – F – V

b) ( ) V – F – V – V – V

c) ( ) V – F – V – F – V

d) ( ) V – V – F – F – V

e) ( ) F – F – V – F – V

3. Observe a figura e leia com atenção as sentenças assinalando:

1 Se a sentença for verdadeira.

2 Se a sentença for falsa.

a) ( ) AF e AC são semirretas complementares.

b) ( ) Os pontos A, D, C e E são colineares.

c) ( ) Os pontos G e C estão no mesmo semiplano determinado por s.

d) ( ) O ponto D é exterior ao ângulo EBAˆ .

e) ( ) BD e BC são semirretas complementares.

f) ( ) O ponto A é interior a BC .

h) ( ) O ponto G é interior ao ângulo EBCˆ

i) ( ) DEé semirreta contida na reta s.

j) ( ) BC é segmento contido na semirreta AC .

4. Mostre que uma semirreta AB possui infinitos pontos além dos

pontos do segmento AB .

5. Mostre que uma reta ABpossui infinitos pontos além dos pontos da

semirreta AB .

As questões 6 e 7 devem ser respondidas considerando as figuras I, II,

III, IV, V e VI.

I

II

III

IV

V

VI

6. Considerando as figuras marque com um ‘X’ somente as sentenças

verdadeiras.

a) ( ) O ângulo destacado em V é reto.

b) ( ) O ângulo destacado em I é obtuso e o destacado em VI é agudo.

c) ( ) O ângulo destacado em I é agudo e o destacado em VI é obtuso.

d) ( ) Em IV, EPGEPGGPD ˆˆˆ ⇒≅ reto

e) ( )Os ângulos destacados em I e V são agudos.

7. Ainda com relação às figuras marque com um ‘X’ somente as

sentenças verdadeiras.

a) ( ) OC é bissetriz do ângulo BOAˆ .

b) ( ) GPDˆ e EPGˆ formam par linear.

c) ( ) FPDˆ e EPGˆ são ângulos opostos pelo vértice.

d) ( ) COAˆ e COBˆ são congruentes.

e) ( ) PG é bissetriz de EPDˆ .

f) ( ) FPEˆ e GPEˆ são ângulos adjacentes.

g) ( ) SQR ˆ e TQS ˆ formam par linear.

h) ( ) QS é bissetriz de TQRˆ .

8. Leia com atenção as sentenças assinalando:

(1) Se a sentença for verdadeira. (2) Se a sentença for falsa.

a) ( ) Considere OA e OB duas semirretas complementares e OC uma

semirreta qualquer, os ângulos AÔC e CÔB são adjacentes.

b) ( ) Considere OA e OB duas semirretas complementares e OC uma

semirreta qualquer distinta das anteriores, os ângulos AÔC e CÔB

formam um par linear.

c) ( ) Considere duas retas AB e CD tais que AB e CDque se

interceptam em um ponto O, sendo A – O – B e C – O – D, podemos

dizer que os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo vértice.

d) ( ) Considere duas retas AB e CD tais que AB e CD se interceptam

em um ponto O, sendo A – O – B e C – O – D, podemos dizer que os

ângulos AÔC e BÔD são adjacentes.

______________________________________________________________________

Gabarito

1. Afirmação correta: d.

2. Afirmação correta: c.

3. A associação é: 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1. 4. Encaminhamento da demonstração: Leia no livro a demonstração da

proposição 7. Use redução ao absurdo e o axioma II3. 5. Encaminhamento da demonstração: proceda de forma análoga ao

exercício anterior. 6. São verdadeiras as sentenças: a, c, d. 7. São verdadeiras as sentenças: a, b, c, d, f.

8. A associação é: 1, 1, 1, 2.

Medição de Segmento e Ângulo


Introdução

Estudaremos a medida de segmentos e ângulos que aqui nada mais é do que reais não negativos associados aos objetos geométricos. A atribuição de valores para ângulos e segmentos é com base no terceiro grupo de axiomas, os axiomas de Medição de Segmento e Medição de Ângulo, com os quais exploraremos propriedades dos objetos já apresentados.

Valor Absoluto

Para dar sequência aos nossos estudos vamos definir o valor absoluto ou

módulo de um número real x, que representamos por , onde

Observamos que números simétricos possuem o mesmo módulo. Por exemplo, o valor absoluto de 2 é 2 e o de – 2 é 2 também.

Medição de Segmento

Se dois pontos A e B não estão muito afastados um do outro, podemos achar a distância entre eles utilizando uma régua comum. Observe a Figura 23.

Figura 23 - Uso da régua para medir a distância entre dois pontos.

Temos que a distância entre A e B é 3, ou a medida de AB é 3 u.c. Com uma régua colocamos o número zero sobre A e o número três cai sobre B ou o




x

<−≥

=0,

0,

xsex

xsexx

A B

zero sobre o B e o 3 fica sobre o A. Mas esta atribuição poderia ser diferente, como na Figura 24.

Figura 24 - Medida da distância entre dois pontos

Esta atribuição de valores é com base nos seguintes axiomas:

Axioma III1: A todo ponto de uma reta podemos associar um número real e a todo número real podemos associar um ponto da reta. Além disso, fixado um ponto e um número esta associação é única.

Ao número real associado ao ponto de uma reta chamamos coordenada do ponto. A atribuição de coordenadas é chamada de sistema de coordenadas.

Nas figuras 23 e 24, temos:

Primeiro Sistema: a coordenada de A é zero e a coordenada de B é 3.

Segundo Sistema: a coordenada de A é 3 e a coordenada de B é 0.

Terceiro Sistema: a coordenada de A é 2 e a coordenada de B é 5.

Quarto sistema: a coordenada de A é - 1 e a coordenada de B é 2.

Axioma III2: A todo par de pontos de uma reta podemos associar um número não negativo. Este número é zero se e somente se os pontos forem coincidentes. Além disso, este número é determinado pelo valor absoluto da diferença das coordenadas.

O número que se refere o axioma acima é chamado de distância entre os pontos ou medida do segmento. A sigla u.c. significa unidades de

comprimento. Notação: �AB�

Observamos que o axioma III2 também nos diz que:

�AB� � |b � a| � |a � b| onde b é a coordenada de B e a é a coordenada de A.

Nos exemplos das figuras 23 e 24, temos:

Primeiro sistema:

�AB� � |b � a| � |3 � 0| � |3| � 3 u. c. ou

�AB� � |a � b| � |0 � 3| � |�3| � 3 u. c. Segundo sistema:

�AB� � |b � a| � |0 � 3| � |�3| � 3 u. c. ou

�AB� � |a � b| � |3 � 0| � |3| � 3 u. c. Terceiro sistema:

�AB� � |a � b| � |2 � 5| � |�3| � 3 u. c. ou

�AB� � |b � a| � |5 � 2| � |3| � 3 u. c. Quarto sistema:

�AB� � |a � b| � |�1 � 2| � |�3| � 3 u. c. ou

�AB� � |b � a| � |2 � �1!| � |3| � 3 u. c. Proposição10: (Colocação da régua) Seja AB�� uma semirreta e d um número

real positivo. Então existe apenas um ponto C na semirreta AB�� tal que a medida do segmento AC é d u.c.

Demonstração: O axioma III1 nos permite atribuir a coordenada “0” (zero) para o ponto A e escolhermos o ponto C cuja coordenada é d, com d positivo. Assim, temos:

�AC� � |d � 0| � |d| � d u.c.

O ponto C é único, pois o mesmo axioma III1 garante que fixado um ponto e um número a associação é única.

∎

Assim em qualquer sistema de coordenadas, que use a mesma unidade de medida, o real associado a um segmento é o mesmo. Da proposição 10 decorre imediatamente que dois ou mais segmentos congruentes possuem a mesma medida e segmentos que possuem a mesma medida são congruentes.

A partir da ideia de distância podemos imaginar um conjunto de pontos cuja distância a um ponto fixo seja constante, isto é, o conjunto de pontos que equidistam de um ponto dado. Dados, então, um ponto A e um número real positivo r, definimos circunferência de centro A e raio r ao conjunto de pontos do plano cuja distância até A é r. Notação: C (A, r). Para traçar circunferências utilizamos o compasso.

Axioma III3: Sejam A, B e C pontos de uma reta. Se C pertence ao segmento AB, então a soma das medidas dos segmentos AC e CB é igual a medida do segmento AB.

Isto é:

C # AB $ �AB� � �AC� % �CB�

Decorre imediatamente do axioma III3 que:

A � C � B $ �AB� & �AC� ' �AB� & �CB�

Proposição11: Se em uma semirreta AB�� considerarmos um segmento AC cuja medida é menor do que a do segmento AB, então C está entre A e B.

Demonstração: Seja C ponto pertencente a semirreta AB��, com C diferente de A, C diferente de B e tal que a medida do segmento AC é menor que a do segmento AB. Temos duas possibilidades: ou C entre A e B ou B entre A e C.

Suponhamos que B está entre A e C. Daí, pelo axioma III3, temos:

�AC� & �AB� ' �AC� & �BC�

Mas isso contradiz a hipótese do segmento AC ter medida menor que o segmento AB. Logo a única possibilidade é C entre A e B.

∎

Uma importante consequência dessa última proposição é a relação entre os pontos e as coordenadas. Se considerarmos A, B e C pontos de uma mesma reta e a, b e c suas respectivas coordenadas o ponto C estará entre A e B se, e somente se c estiver entre a e b (Figura 25). Isto é,

A – C – B ( a < c < b v b < c < a

Figura 25 - Relação entre pontos e coordenadas

Consideremos, agora, um segmento AB, em particular um ponto C entre A e B e tal que a medida do segmento AC é igual a medida do segmento CB. Neste caso, dizemos que C é ponto médio de AB. A existência e unicidade do ponto médio serão verificadas na proposição 13. Mas iremos precisar do resultado da proposição 12 para a demonstração.

Proposição12: Para quaisquer a e b números reais, com a < b, vale:

a ) a % b2 ) *

Demonstração: Sejam a e b reais, com a < b. Então, por hipótese, temos:

a < b

Somando a nos dois membros da desigualdade, vem:

2a < a + b

Multiplicando por ½ ambos os lados da desigualdade, obtemos:

a ) a % b2

De forma análoga, somando b em ambos os membros da desigualdade inicial, podemos obter:

a % b2 ) *

Portanto, para quaisquer números reais, com a < b, vale:

a ) a % b2 ) *

∎

Proposição13: Todo segmento possui um ponto médio. Além disso, este ponto é único.

Figura 26 - Ponto médio de um segmento

Demonstração: Inicialmente vamos provar a existência. Pelo axioma III2,

escolhemos c o ponto cuja coordenada é 2

ba +, onde a é a coordenada de A e

b é a coordenada de B. Pela proposição anterior, temos: a < 2

ba +< b. Logo C

está entre A e B (Figura 26). Vamos mostrar que a medida do segmento AC é igual a medida do segmento CB. Isto é,

+AC,,,,+ � +CB,,,,+

Temos:

�AC� � -. % *2 � .- �AC� � -. % * � 2.2 -

�AC� � -* � .2 - Por outro lado, temos:

�CB� � -* � . % *2 - �CB� � -2* � . � *2 -

�CB� � -* � .2 - Ou seja, a medida do segmento AC é igual a medida do segmento CB o

que verifica a existência do ponto médio.

Agora vamos provar que este ponto é único. Suponhamos que existam dois pontos médios no segmento AB, com a coordenada de A e b coordenada de B. Sejam C e E pontos médios com coordenadas c e e respectivamente. Então:

i. C ponto médio do segmento AB implica que C pertence ao segmento AB e:

�AC� � �/0�2 � |* � .|2

ii. E ponto médio do segmento AB implica que E pertence ao segmento AB e:

�AE� � �/0�2 � |* � .|2

Consideremos a semirreta AB�� e o real d � |123|4 positivo. Então, pela

proposição 10, existe um único D tal que a medida do segmento AD é d. Portanto os pontos C e E são coincidentes. Assim o ponto médio de um segmento é único.

∎

Para construir o ponto médio de um dado segmento AB basta tomar o compasso com a abertura em um tamanho maior que a medida do segmento AB e traçar as circunferências de mesmo raio, uma com centro em A e outra com centro em B. A seguir, marcar e nomear de P e Q as intersecções destas circunferências, que ocorrem nos dois semiplanos determinados pela reta

suporte de AB. A intersecção da reta determinada pelos pontos P e Q com o

segmento AB é o ponto médio M de AB. Certifique-se disto com uma régua graduada, a medida do segmento AM deve ser igual a do segmento MB. Ou certifique-se por dobradura, por sobreposição dos segmentos AM e MB. Na sobreposição não podem ocorrer sobras ou faltas, o que indica congruência entre estes segmentos.

A reta PQ obtida na construção do ponto médio do segmento AB é chamada mediatriz do segmento AB. Os pontos dessa reta possuem a propriedade de equidistar dos extremos do segmento AB, como veremos no

Capítulo 6, todos os pontos de uma reta que foi construída como PQ�� equidistam dos extremos do segmento que a gerou, e somente os pontos dela possuem esta propriedade. Dado um segmento, a construção de sua mediatriz pode ser realizada pelo traçado da reta determinada pelas intersecções de duas circunferências de centro nos extremos do segmento e raio de medida maior que a do segmento.

Medição de Ângulo

De forma semelhante à medição de segmentos, precisamos de um sistema de coordenadas para medirmos ângulo. O instrumento utilizado para tal medição é o transferidor. Adotaremos a unidade graus (0) para medição de ângulos. Esta unidade de medida de ângulos é herança dos antigos babilônios. A atribuição de valores para ângulos é baseada nos axiomas III4, III5 e III6.

Axioma III4: A todas as semirretas de mesma origem contidas em um mesmo semiplano podemos associar um número entre 0º e 180° e para todo número entre 0° e 180° podemos associar uma semirreta. Além disso, fixado uma semirreta e um número a associação é única.

O número entre 0° e 180° associado à semirreta de mesma origem é chamado de coordenada (Figura 27).

Figura 27 - Sistema de coordenadas para ângulos

Axioma III5: A todo par de semirretas de mesma origem podemos atribuir um número entre 0° e 180°. Este número é 0° se e somente se as semirretas forem coincidentes e 180º se e somente se as semirretas forem opostas. Além disso, este número é determinado pelo valor absoluto da diferença das coordenadas.

O número que se refere o axioma acima é chamado de medida do

ângulo. Notação: �AÔB� � |b7 � a7|, onde bo é a coordenada de OB�� e a° é a

coordenada de OA��. É claro que dois ou mais ângulos congruentes possuem a mesma medida

e ângulos que possuem mesma medida são congruentes. Observamos que o leitor deve ficar atento à diferença entre a medida de um ângulo e as coordenadas associadas às semirretas que o compõe. Para organizar as ideias

consideremos um ângulo AÔB ao qual associamos às semirretas OA�� e OB�� as coordenadas 25o e 80o respectivamente como representado na Figura 28. Neste caso a medida do ângulo AÔB é 55 o, valor que pode ser obtido pelo módulo da diferença das coordenadas.

Figura 28 – Coordenadas e medida de ângulo

Se você realizou a construção da bissetriz sugerida no Capítulo 3, faça uso do transferidor para verificar que os ângulos AÔP e PÔB, oriundos da

construção da semirreta OP��, possuem mesma medida. O próximo axioma nos permitirá adicionar medidas de ângulos adjacentes.

Axioma III6: Sejam AÔB um ângulo e OC�� uma semirreta cujos pontos, com exceção da origem, estão na região interior de AÔB então:

�AÔB� � �AÔC� % �CÔB�

Dizemos que dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180° e complementares quando a soma de suas medidas é 90°(Figura 29).

Figura 29 - α e β suplementares, α e γ complementares.

Alertamos ao leitor que ângulos complementares são ângulos cuja soma das suas medidas é 900 e semirretas complementares são semirretas com origem comum e contidas numa mesma reta suporte. Neste contexto, nos referiremos ao complemento e suplemento de um ângulo como o número que falta para completar 900 e 1800, respectivamente.

Dos axiomas e definições expostos decorrem algumas propriedades.

Proposição14: Sejam AÔC e BÔC um par linear, então AÔC e BÔC são suplementares.

Demonstração: Por hipótese os ângulos AÔC e BÔC formam um par linear.

Consideremos o semiplano em que se encontra a semirreta OC��. Então pelo axioma III6, vale:

BÔCAÔCAÔB +=

Sendo o ângulo AÔB raso, sua medida é 180º. Assim a soma das medidas dos ângulos AÔC e BÔC é 180º, o que define ângulos suplementares.

∎

Proposição15: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Demonstração: Sejam AÔB e CÔD ângulos OPV, tais que os pontos A, O e C são colineares. Então os ângulos AÔB e BÔC formam par linear, bem como os ângulos CÔD e CÔB. Logo, a proposição 14 nos garante que:

�AÔB� % �BÔC� � 1807 e �CÔD� % �CÔB� � 1807

Assim, podemos escrever:

�AÔB� % �BÔC� � �CÔD� % �CÔB�

Portanto podemos concluir que:

�AÔB� � �CÔD�

Isto é, os ângulos AÔB e CÔD possuem a mesma medida, logo são congruentes.

∎

Proposição16: Todo ângulo reto mede 90º. Reciprocamente, todo ângulo de medida 900 é reto.

Demonstração: Seja α um ângulo reto e β ângulo que faz par linear com α.

Pela definição de ângulo reto α e β são congruentes, logo possuem a mesma medida. A proposição 14 garante que eles também são suplementares. Assim:

:+α+ % +β+ � 180= +α+ � +β+ >

Donde podemos concluir que a medida de α é 900. Assim, todo ângulo reto mede 900.

Reciprocamente, consideremos um ângulo AÔB de medida 900.

Coloquemos um sistema de coordenadas de forma que à semirreta OB�� seja

associada a coordenada 00 no semiplano que contem a semirreta OA��. Como a

medida do ângulo é 900, a semirreta OA�� terá coordenada 900. Consideremos a

semirreta OC�� de coordenada 1800 que é oposta à semirreta OB��. O ângulo AÔC, assim construído, mede 900. Logo, AÔB possui mesma medida que seu par linear AÔC. Portanto AÔB e AÔC formam um par linear e são congruentes o que define AÔB como ângulo reto.

∎

Na construção da perpendicular no Capítulo 3, você pode se certificar com o transferidor que os quatro ângulos determinados pelas retas r e s medem 900, ou seja, são ângulos retos.

Proposição17: Um ângulo agudo mede menos que 900 e um ângulo obtuso mede entre 900 e 1800.

Demonstração: Pela definição de ângulo agudo é possível coincidirmos um de seus lados com um lado de um ângulo reto de forma que seu outro lado, com exceção do vértice, esteja contido na região interior do reto. Podemos associar um sistema de coordenadas atribuindo 00 aos lados coincidentes. O outro lado do reto terá coordenada 900. Assim o segundo lado do agudo terá coordenada entre 00 e 900, portanto sua medida, dada pelo valor absoluto da diferença de suas coordenadas, será menor que 900.

Para mostrar que um ângulo obtuso mede entre 900 e 1800

procedemos de forma análoga e fica a cargo do leitor esta validação.

∎

Proposição18: Existe e é única a bissetriz de um ângulo.

Demonstração: Iniciaremos mostrando a existência. Seja AÔB ângulo. O

Axioma III4 nos permite associar à semirreta OA�� a coordenada 00. Esse mesmo axioma garante que existe um único número entre 00 e 1800 associado à

semirreta OB��. Seja d0 esse número. Consideremos, agora, a semirreta OC�� de coordenada (d/2)0 cuja existência é garantida, também, pelo mesmo axioma. Esta semirreta possui todos os seus pontos, com exceção da origem, na região interior do ângulo AÔB, pois caso contrário teria como coordenada um número

maior que d0. Como as coordenadas das semirretas OA��, OC�� e OB�� são 00, (d/2)0 e d0 respectivamente, decorre do axioma III5 que os ângulo AÔC e CÔB medem

(d/2)0 cada. Isto é, a semirreta OC�� é a bissetriz de AÔB.

Vamos, agora, mostrar a unicidade da semirreta OC��. Suponhamos que a

semirreta OD�� seja, também, bissetriz de AÔB. Novamente podemos considerar

o sistema de coordenadas no qual à semirreta OA�� é associada à coordenada 00

e a coordenada de OB�� será d0 como fizemos na demonstração da existência.

Então, como OD�� é bissetriz de AÔB, a medida dos ângulos AÔD e DÔB é (d/2)0

(Exercício 15 deste capítulo). Assim a coordenada de OD�� é (d/2)0 e coincide

com a coordenada de OC��. Portanto as semirretas OC�� e OD�� são a mesma semirreta, pois estão associadas à mesma coordenada (axioma III4).

∎

Proposição19: Se AÔC e CÔB formam um par linear, então suas bissetrizes formam um ângulo reto.

Demonstração: Sejam AÔC e CÔB um par linear e OD�� e OE�� suas respectivas bissetrizes. Queremos mostrar que DÔE é reto.

As medidas dos ângulos AÔD e DÔC são iguais e são iguais, também, as medidas dos ângulos CÔE e EÔB, por definição de bissetriz. Temos também que AÔC e CÔB são suplementares, pois formam par linear. Além disso, o axioma III6 garante que a soma das medidas de AÔD com DÔC é igual a medida de AÔC e a soma das medidas de CÔE com EÔB é igual a medida de CÔB, pois

OD�� e OE�� são bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔB e todos os seus pontos, com exceção da origem, estão na região interior dos respectivos ângulos. Então:

?@@A@@B �AÔD� � �DÔC�

�CÔE� � �EÔB��AÔC� % �CÔB� � 180°

�AÔD� % �DÔC� � �AÔC� �CÔE� % �EÔB� � �CÔB�

>

Daí,

2�DÔC� % 2�CÔE� � 180° Isto é,

�DÔC� % �CÔE� � 90° Como, por hipótese, AÔC e CÔB formam par linear e as semirretas OD�� e

OE�� são suas respectivas bissetrizes, a semirreta OC�� está na região interior do ângulo DÔE. Portanto, o axioma III6 permite escrevermos que

�DÔE� � 90° Logo, as bissetrizes de um par linear formam um ângulo reto.

∎

Proposição20: Por cada ponto de uma reta passa uma única perpendicular.

Demonstração: (Existência) Sejam r reta e P ponto de r. Sejam, também, A e B pontos de r tais que P está entre A e B. Escolhemos um dos semiplanos

determinados por r e associamos a coordenada 00 à semirreta PB��. O axioma

III4 garante a existência de PC�� semirreta com coordenada 900 no semiplano escolhido. Então o ângulo BP C mede 900, logo é reto. Assim, a reta suporte de

PC�� forma um ângulo reto com r, portanto r e a reta PC�� são perpendiculares.

(Unicidade) Suponhamos que existam duas retas, s e s’, perpendiculares a r passando por P. Escolhemos o mesmo sistema de coordenadas da prova da

existência. Temos, então, duas semirretas PC�� e PC′�� contidas no semiplano escolhido e em s e s’, respectivamente. Como s é perpendicular a r, nesse

sistema de coordenadas, a coordenada de PC�� é 900 e s’ perpendicular a r também nos dá sua coordenada 900. Portanto a medida do ângulo formado

pelas semirretas PC�� e PC′�� é 00, ou seja, s e s’ são retas coincidentes.

Logo, por cada ponto de uma reta passa uma única perpendicular.

∎

Recapitulando

Com os axiomas de medição de segmentos e ângulos pudemos associar sistemas de coordenas a esses objetos. Com isso exploramos propriedades dos objetos geométricos e definimos novos objetos como ângulos suplementares e complementares. A existência e unicidade do ponto médio, da bissetriz e da perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela foram alguns dos resultados. A ideia geométrica de congruência foi associada à igualdade de medida. Definimos circunferência como o conjunto de pontos que equidistam de um ponto dado e mediatriz como o conjunto dos pontos que equidistam dos extremos de um segmento.

Outros resultados importantes são: a colocação da régua, a relação entre pontos e coordenadas, congruência entre ângulos OPV, ângulos que formam par linear são suplementares, um ângulo é reto se e somente se sua medida é 900, um ângulo agudo mede menos de 900 e um obtuso entre 900 e 1800.





Atividades

1. Sejam A, B, C pontos de uma reta, faça uma figura

representando-os sabendo que a medida de ABé 5 u.c., de AC é 2 u.c. e de BC é 7 u.c. Qual ponto encontra-se entre os outros dois?

2. Dados três pontos colineares A, B, C tais que a medida de AB seja

o triplo da medida deBC . Calcule as medidas de AB e BC sabendo que a medida de AC é 32 cm.

3. No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma reta r que não passa por nenhum deles. Sabe-se que os segmentos AB e CD cortam a reta e que o segmento AC não a corta. O que pode ser dito sobre o segmento BD?

4. Sejam A, B e C pontos de uma reta. Se a medida do segmento AB é 3 u.c. e a do segmento BC é 2 u.c. determine as coordenadas de A e de C, sabendo que a coordenada de B é 5, que a coordenada de A é menor do que 5 e que a coordenada de C é maior do que 5. Qual ponto se encontra entre os outros dois? Qual o ponto que está entre os outros dois? Justifique.

5. Represente todos os pontos do plano cuja distância até um ponto A é 4 u.c. Nomeie o objeto representado.

6. Leia com atenção a situação descrita:

Dados os pontos A, B, C e D colineares como na figura. Sabe-se que as medidas dos segmentos AC e BD são iguais. Mostre que são iguais as medidas dos segmentos AB e CD.

Agora, complete as lacunas da demonstração desta afirmação.

Demonstração: Temos, pelo axioma III3, que

................. +=AB ( * ) e ................... +=CD ( ** )

pois C está entre A e B e B está entre C e D. Como as medidas dos segmentos AC e BD são iguais, substituindo em ( * ) obtemos a igualdade procurada.

7. Leia com atenção a afirmação:

Se C é ponto médio do segmento AB, então a medida do segmento AC é a metade da medida do segmento AB.

Para validar a afirmação, complete as lacunas da demonstração.

Demonstração: Como C é ponto médio do segmento AB, então, por definição de ponto médio, temos

..................... = (*)

Pelo axioma III3 temos que

................... +=AB (**)

pois C está entre A e B.

Substituindo (*) em (**) vem

.................................... =+=AB

Logo,

2

ABAC =

8. Leia com atenção as sentenças:

I. Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.

II. Todo ângulo é congruente a si mesmo.

III. Se dois ângulos são suplementares e um deles é obtuso, então o outro é agudo.

IV. Se dois ângulos são congruentes e suplementares, então cada um deles é um ângulo reto.

V. Os complementos de ângulos agudos congruentes não são congruentes.

Sobre estas sentenças é correto afirmar que:

a) Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras. b) Apenas as sentenças I, II e IV são verdadeiras. c) Apenas as sentenças I, III e V são verdadeiras. d) Apenas as sentenças I, II, III e IV são verdadeiras. e) As sentenças I, II, III, IV e V são verdadeiras.

9. Leia com atenção o que se pede e complete as lacunas.

I. Dado um ângulo α de medida m seu complemento é.............

II. A medida do ângulo agudo que tem a mesma medida de um complementar a ele é............

III. O ângulo agudo que mede o dobro de um complementar a ele é...........

IV. A diferença entre o suplemento de um ângulo agudo e seu complemento é.........

V. Dado um ângulo α de medida m seu suplemento é..............

Considerando os itens acima a resposta correta é:

a) (90º- m), 60 º, 45 º, 90 º, (180 º- m). b) (90º- m), 45 º, 30 º, 90 º, (180 º- m). c) (90º- m), 45 º, 60 º, 90 º, (180 º- m). d) (180 º- m), 45 º, 30 º, 90 º, (90º- m). e) (180 º- m), 60º, 45 º, 90 º, (90º- m).

10. O ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes mede 40º. Determine a medida dos dois ângulos sendo que a medida de um deles é igual a três quintos da medida do outro.

11. Ao longo de meia hora o ponteiro dos minutos de um relógio descreve um ângulo raso (ou seja, o ângulo entre sua posição inicial e sua posição final é um ângulo raso). Quanto tempo ele leva para percorrer um ângulo de 60º?

12. Sejam AÔB e BÔC ângulos tais que a medida de AÔB é 30º, a coordenada de OA é 40° e a de OC é 130°. Determine a coordenada de OB sabendo que se encontra entre 40° e 130°.

13. Dada a figura, complete as lacunas:

Temos pelo axioma III6 que:

.....................ˆ +=BAD

E, pelo axioma ................

EBDEBD +=

Pelo axioma III6 podemos afirmar que

...........ˆ =+ BECDÊC

E como BEDˆ é um ângulo........., então

.........ˆ °=+ BECECD &&

14. Mostre que se duas retas formam um ângulo reto então elas formam quatro ângulos retos.

15. Mostre que as bissetrizes de dois ângulos complementares e adjacentes formam um ângulo cuja medida é 45°.

Gabarito

1. O ponto A está entre B e C.

2. Se o ponto C está entre A e B, AB =48 cm e BC =16 cm. Se o ponto B

está entre A e C, AB =24 cm e BC =8cm.

3. Dados os pontos do segmento BD estão em um mesmo lado com respeito a reta r.

4. a=2, c=7, B está entre A e C, consequência da proposição 11. 5. Circunferência de centro A e raio 4, C(A,4). 6. AC , CB e CB , BD

7. AC , CB , AC , CB , AC , AC , 2, AC 8. Afirmação correta: d 9. Afirmação correta: c 10. 50º , 30º 11. 10 min 12. Coordenada de OB = 70º

13. BAEEAD ˆ,ˆ , III3, BEDˆ , raso, 180º 14. Use par linear e ângulos opostos pelo vértice. 15. Esta demonstração é análoga a demonstração da proposição 19.

Triângulos e outros Polígonos


Introdução

Neste capítulo vamos apresentar os polígonos. Iniciaremos com os triângulos, que é o tipo mais simples de polígono. Apresentaremos classificações de triângulos e dos polígonos em geral.

Triângulos

A figura geométrica determinada por três pontos não colineares é chamada triângulo. Os pontos são chamados vértices do triângulo e os segmentos determinados por eles são os lados do triângulo. No caso de A, B e C serem pontos não colineares, anotamos o triângulo determinado por estes pontos por: ΔABC.

Figura 29 - Triângulo com vértices A, B e C

Observamos que cada vértice de um triângulo também é vértice de um ângulo. Na Figura 29, por exemplo, os ângulos Â, B e CF do triângulo ABC ficam

bem definidos pelas semirretas AC�� e AB��, BC�� e BA��, CA�� e CB�� respectivamente. O

lado BC é dito oposto ao ângulo Â e os lados AB e AC adjacentes ao ângulo Â.

Componentes de um triângulo

Vamos apresentar agora três segmentos que são componentes de um triângulo.

I. Um segmento cujos extremos são um vértice e o ponto médio do lado oposto é chamado de mediana relativa ao lado oposto.

II. O segmento AD é a bissetriz do ângulo Â do triângulo ABC quando D

está no segmento BC e AD está contido na bissetriz de Â.




III. Seja ABC um triângulo e r a reta determinada por B e C. Um segmento

AE é chamado de altura relativa a BC quando AE é perpendicular a reta r.

Na Figura 30, o mesmo triângulo ABC está representado três vezes.

Exibe AM, mediana relativa ao lado BC, AD, bissetriz relativa ao ângulo Â e

OE, altura relativa ao lado BC do triângulo. Observe as marcas de congruência entre ângulos e segmentos e a marca de ângulo reto nos desenhos da figura 30 na qual o triângulo ABC está representado três vezes.

Figura 30: Bissetriz, mediana e altura no triângulo ABC

Observamos que as retas suportes da mediana e a bissetriz sempre interceptarão um lado do triângulo, porém com a altura isso pode não

ocorrer. Veja a altura FG relativa ao lado ED do triângulo DEF reapresentado na Figura 31.

Figura 31 - Altura pode não interceptar lado do triângulo.

Classificação de triângulos

Um triângulo é chamado:

i. equilátero quando possui os três lados congruentes dois a dois.

ii. isósceles quando possui dois lados congruentes ditos lados, o terceiro

lado é dito base.

iii. escaleno quando quaisquer dois lados não são congruentes.

iv. retângulo quando possui um ângulo reto. Neste caso o lado oposto ao

ângulo reto é dito hipotenusa e os outros lados catetos.

v. acutângulo quando seus ângulos são todos agudos.

vi. obtusângulo quando possui um ângulo obtuso.

vii. equiângulo quando seus ângulos são congruentes dois a dois.

Para construir um triângulo equilátero ABC com régua e compasso, basta traçar uma reta auxiliar r e sobre r marcar um ponto A. A seguir, abrir o compasso com o tamanho desejado para o lado do triângulo. Com a ponta seca em A, marcar um ponto B sobre r. Escolher um dos semiplanos determinados por r e traçar, com a mesma abertura do compasso, dois arcos que se interceptarão em C: um com centro em A e outro com centro em B. Traçar os lados AC e BC do triângulo ABC. Esse triângulo é equilátero, pois todos os lados possuem o mesmo tamanho, que é o tamanho escolhido para a abertura do compasso. Tente construir os outros tipos de triângulos e justificar porque o triângulo construído por você é o querido. No Capítulo 6, exploraremos mais as construções geométricas de triângulos.

Polígonos

Dois segmentos são chamados consecutivos quando possuem exatamente um extremo comum. Uma poligonal é uma sequência de segmentos consecutivos. Os extremos dos segmentos são os vértices da poligonal e os segmentos são os lados. Uma poligonal com vértices A1, A2, A3, ..., An será chamada polígono quando todas as seguintes condições forem satisfeitas:

i. A1 = An independente da escolha de A1

ii. Cada vértice é a intersecção de exatamente dois lados

iii. Somente os lados consecutivos se interceptam e

iv. Dois lados consecutivos não estão em uma mesma reta

Anotamos um polígono pelos seus vértices, tomando cuidado para

escrevê-los seguindo a ordem de seus lados. O ângulo definido por três

vértices de dois lados consecutivos será chamado de ângulo interno do

polígono. A soma das medidas dos lados do polígono é chamada perímetro.

Na Figura 32, ABC, DEFGH, IJKLM e B1B2B3B4B5 são polígonos. Já

A1A2A3A4A5 não constitui um polígono, pois os lados consecutivos AJA4 e A4AK

estão em uma mesma reta e isso não satisfaz (iv). A poligonal NOPQ não é

polígono, pois os lados ON e PQ interceptam-se e não são lados consecutivos,

não satisfaz (iii). Também não são polígonos RSTUV e C1C2C3C4, pois S é

intersecção de quatro lados, não satisfaz (ii) e C1 é extremo de um único lado,

não satisfaz (i).

Figura 32 - Polígonos e não polígonos

Classificação dos polígonos

Polígonos podem ser classificados conforme seu número de lados. O menor número de lados para termos um polígono é três, pois uma poligonal com um ou dois lados não satisfaz (i). A tabela da Figura 33 nos informa essa nomenclatura para polígonos de três a dez lados. Polígonos com mais de dez lados seguem a lógica da nomenclatura a partir de cinco lados.

Figura 33 - Nomenclatura dos polígonos

Número de lados do polígono Nome

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

Um polígono é dito regular quando seus lados são congruentes dois a dois e seus ângulos internos também são congruentes dois a dois. Podemos classificar os polígonos em regular e não regular. Evidenciamos o fato do polígono ser regular escrevendo seu nome e a palavra ‘regular’. Assim, o polígono B1B2B3B4B5 da Figura 32 é denominado pentágono regular. Nos casos de triângulos e quadriláteros a nomenclatura é diferente. O triângulo regular é o triângulo equilátero (veremos no capítulo 6 que todo triângulo equilátero é equiângulo o que não ocorre necessariamente com os outros polígonos). O quadrilátero regular é chamado quadrado. Na Figura 34, ABC é um triângulo equilátero, DEFG é um quadrado e HIJKLM é um hexágono regular, pois cada um deles possui lados congruentes dois a dois e ângulos congruentes dois a dois.

Figura 34 - Polígonos regulares

Observe a Figura 35 e trace a reta suporte do lado CD do polígono ABCD. Olhe para os semiplanos gerados por ela. Existem pontos do polígono

que estão de um lado com respeito à reta CD�� e outros que estão do outro lado. Agora, olhe para EFGH e tente encontrar um lado do polígono cuja reta suporte separe o plano deixando pontos desse polígono de um lado e do outro lado com respeito a ela.

Figura 35 - Polígonos convexos e não convexos

Dizemos que um polígono é convexo quando a reta suporte de quaisquer de seus lados deixa o polígono contido em um único semiplano dentre os dois definidos por ela. Caso contrário, dizemos que o polígono é não

convexo. Isto é, quando a reta suporte de pelo menos um dos lados deixa pontos do polígono em lados opostos.

Recapitulando

Definimos triângulo como a figura geométrica determinada por três pontos não colineares. A mediana relativa a um lado de um triângulo é o segmento que possui extremos no ponto médio do lado e no vértice oposto. A bissetriz de um ângulo de um triângulo é o segmento contido na bissetriz daquele ângulo com extremos no vértice do ângulo e no seu lado oposto. A altura relativa a um lado de um triângulo é um segmento com extremos no vértice oposto ao lado e perpendicular à reta suporte do lado. Classificamos e nomeamos os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos. Definimos polígonos e os classificamos quanto ao seu número de lados, em regular e não regular e em convexo e não convexo.





Atividades

1. Leia com atenção as sentenças assinalando:

(1) Se a sentença for verdadeira.

(2) Se a sentença for falsa.

( ) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.

( ) Todo triângulo eqüilátero é isósceles.

( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.

( ) Todo triângulo escaleno pode ser isósceles.

( ) Todo o triângulo isósceles é triângulo obtusângulo.

( ) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno.

( ) Existe triângulo retângulo e isósceles.

( ) Existe triângulo isósceles obtusângulo.

2. Analise as sentenças e complete com ‘V’, se a sentença é verdadeira e ‘F’, se falsa.

a) ( ) Um triângulo que tem dois lados congruentes é chamado de isósceles.

b) ( ) Todos os triângulos equiláteros são congruentes.

c) ( ) Todos os triângulos retângulos são congruentes.

d) ( ) Um triângulo retângulo pode ter dois lados congruentes.

e) ( ) Um triângulo equilátero é também equiângulo.

3. Observe a figura a seguir e analise as sentenças:

I. AE é bissetriz do ângulo BACˆ .

II. CD é altura relativa ao lado AB porque DCAˆ é ângulo reto.

III. BF é mediana relativa ao lado AC .

IV. O ponto E é ponto médio deBC .

V. BC é lado adjacente ao ângulo BCAˆ

Com relação a estas sentenças é correto afirmar que:

a) As sentenças I, III, IV, V são verdadeiras. b) Apenas as sentenças I, II, III e V são verdadeiras. c) Apenas as sentenças I, III e V são verdadeiras. d) Apenas as sentenças III, IV e V são verdadeiras. e) Apenas as sentenças II, III e IV são verdadeiras.

4. Observe o triângulo ABC da figura e analise as sentenças. Marque com um ‘X’ apenas as sentenças verdadeiras.

a) ( ) A altura relativa ao lado AB não intercepta o lado do triângulo ABC.

b) ( ) O segmento CG é altura relativa ao lado AE.

c) ( ) O segmento BD é altura relativa ao lado AC.

d) ( ) O triângulo ABC é isósceles.

e) ( ) Os segmentos CG e AI são medianas relativas, respectivamente, aos lados AB e BC.

5. Observe a figura a seguir:

I

II III

IV

V V

VI

Leia com atenção as sentenças marcando com ‘X’ apenas as verdadeiras.

a) ( ) O polígono apresentado em I é côncavo. b) ( ) O polígono apresentado em IV é côncavo e é denominado de

hexágono. c) ( ) O triângulo apresentado em II é escaleno pois dois de seus lados

tem a mesma medida. d) ( ) Em III o ângulo KJI ˆ é ângulo interno do polígono. e) ( ) O polígono apresentado em VI é um triângulo retângulo porque

dois de seus lados são congruentes. f) ( ) Os polígonos apresentados em III e V são convexos denominados,

respectivamente, hexágono e pentágono. g) ( ) Os triângulos apresentados em II e VI são escalenos.

6. Quais as condições para que um polígono seja chamado de regular?

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Gabarito

1. A associação é: 2,1,1, 2, 2, 2,1,1. 2. São verdadeiras as sentenças: a, d, e. 3. Afirmação correta: c. 4. São verdadeiras as sentenças: a, c, e. 5. São verdadeiras as sentenças: a, d, f, g. 6. Quando possuir lados e ângulos congruentes dois a dois.

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