7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 1/19 Koko Martono – FMIPA - ITB001Masalah laju terkait melibatkan dua peubah x dan y yang terikat secara implisit,keduanyamerupakanfungsi dari peubah ketiga t . Setelah persa- maan yang mengaitkan x dan y diperoleh, jika diketahui laju perubahan x terhadap t , maka dapat ditentukan laju perubahan y terhadap t . Dalam menyelesaikan masalah laju terkait, lakukan langkah berikut. Buatlah sketsa gambar situasinya bilamana membantu. Identifikasi semua peubah yang relevan, termasuk laju perubahan yang diketahui dan yang akan ditentukan. Tentukan suatu persamaan yang mengaitkan peubahnya dan tentukan turunannya terhadap peubah ketiga secara implisit. Tentukan laju perubahan yang akan dicari. ContohSebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding yang tegak lu- rus lantai horisontal. Jika saat ujung tangga 4 meter dari lantai laju meluncur ujung tangga pada dinding 1 m/det, tentukan laju meluncur tangga pada lantai. dinding dy dt y m tangga x m permukaan lantai Misalkan saat t jarak ujung tangga ke lantai adalah y m dan jarak ujung tangga ke dinding adalah x m, yang ber- ubah terhadap waktu. Karena panjang tangga 5 m, maka 2 2 25 x y + = 2 2 0 dy dx dt dt x y + = Dengan data y=4m, x=3m, dan 1 dy dt = - m/det diperoleh 23 24(1) 0 dx dt ◊ ◊ + ◊ ◊ - = , sehingga 4 3 dx dt = m/det. dx dt
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Masalah laju terkait melibatkan dua peubah x dan y yang terikat secaraimplisit, keduanya merupakan fungsi dari peubah ketiga t . Setelah persa-maan yang mengaitkan x dan y diperoleh, jika diketahui laju perubahan
x terhadap t , maka dapat ditentukan laju perubahan y terhadap t .
Dalam menyelesaikan masalah laju terkait, lakukan langkah berikut. Buatlah sketsa gambar situasinya bilamana membantu.
Identifikasi semua peubah yang relevan, termasuk laju perubahan yangdiketahui dan yang akan ditentukan.
Tentukan suatu persamaan yang mengaitkan peubahnya dan tentukanturunannya terhadap peubah ketiga secara implisit.
Tentukan laju perubahan yang akan dicari.
Contoh Sebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding yang tegak lu-rus lantai horisontal. Jika saat ujung tangga 4 meter dari lantai laju meluncur
ujung tangga pada dinding 1 m/det, tentukan laju meluncur tangga pada lantai.dinding
dy
dt
y m
tangga
x m permukaan lantai
Misalkan saat t jarak ujung tangga ke lantai adalah y mdan jarak ujung tangga ke dinding adalah x m, yang ber-ubah terhadap waktu. Karena panjang tangga 5 m, maka
Contoh Seorang berdiri di atas bangunan tepi pantai mengawasi perahu motor
yang bergerak ke arah pantai tepat di bawahnya dengan sebuah teropong. Jikatinggi teropong 25 m di atas permukaan laut dan perahu mendekat dengan laju2 m/det, tentukan laju perubahan sudut teropong saat perahu 25 m dari pantai.
teropong
25 m
pantai
x m
Misalkan saat t jarak perahu ke pantai adalah x m dan sudut antara teropong dengan garis ver-tikal adalah q rad.
Akan ditentukan d
dt
q saat x = 25 m dan
dx
dt = -2
m/det ( x berkurang seiring waktu)
Dari25
tan x
q = diperoleh 2 125
secd dx
dt dt
q q = .
Karena untuk x = 25 m diperoleh1
4q p = rad,
maka sec2q = 2.
Dengan data 2sec 2q = dan
dx
dt = -2 m/det diperoleh
125
2 ( 2)d
dt
q = - , sehingga
125
0,04d
dt
q = - = - rad/det. (q berkurang seiring waktu)
Contoh Sebuah kerucut lingkaran tegak terbalik jari-jarinya 10 cm dan tinggi-nya 20 cm penuh berisi air. Jika puncaknya dilubangi sehingga air keluar denganlaju 5 cc/det, tentukan laju turunnya permukaan air saat tinggi air 5 cm dari atas.
10 cm
20 cmh
r dV
dt = -5 cc/det
Misalkan saat t tinggi permukaan air pada kerucutadalah h = h(t ) cm dan jari-jarinya adalah r = r (t )
cm, maka volume airnya adalah1 2
3V r hp = cc.
Akan ditentukan dh
dt
untuk h = 15 cm dan dV
dt
= -5
cc/det (V berkurang seiring waktu).
Dari1020
r
h = diperoleh
1
2r h= , sehingga volume
airnya adalah ( )21 1 1 3
3 3 12V h h hp p = = . Akibatnya
1 12 2
12 43
dV dh dh
dt dt dt h hp p = ◊ = .
Dengan data h = 15 cm dandV
dt = -5 cc/det diperoleh
2
4 4 4
225 45( 5) 0,03
dh dV
dt dt h p p p ◊= ◊ = - = - = - cc/det (h berkurang seiring waktu)
Garis singgung di titik kritis tidak ada: ( ) ( ) f c f c- +π¢ ¢
y
maks.lokal
f naik f f trn
( ) f x¢ + + +Ø- - -
0 c x
Maksimum Lokaldi titik (c, f (c))
y f naik
f trn f
min lokal( ) f x¢ + + +Ø- - -
0 c x
Minimum Lokaldi titik (c, f (c))
y f naik
bukan f eks.lokal f naik
( ) f x¢ + + +Ø+ + +
0 c x
Titik (c, f (c)) bukanEkstrim Lokal
y f trn
bukan f eks.lokal
f trn
( ) f x¢ - - -Ø- - -
0 c x
Titik (c, f (c)) bukanEkstrim Lokal
Contoh Masalah Ekstrim
Contoh Untuk fungsi f ( x) = x3
- 3 x, (a) tentukan semua titik stasionernya,(b) tentukan selang kemonotonannya, (c) tentukan semua titik ekstrim lo-kal dan jenisnya, (d) gambarkan kurva f dan kurva turunannya.
(d) Kurva f dan f ¢:2( ) 3 3 3( 1)( 1) f x x x x= - = + -¢
f ¢( x)
-1 1 x
f ( x)
x
3( ) 3 f x x x= -
(a) Turunan pertama dari fungsi f adalah 2( ) 3 3 3( 1)( 1) f x x x x= - = + -¢
Dari ( ) 0 f x =¢ diperoleh x = -1 dan x = 1, de-ngan f (-1) = 2 dan f (1) = -2. Jadi titik stasio-
ner dari fungsi f adalah (-1,2) dan (1,-2).
(b) Selang kemonotonan fungsi f ditentukan darites tanda ( ) f x¢ berikut.
(-•,-1) (-1,1) (1,•)
f ′( x) + + + + + 0 − − − − − 0 + + + + +
-1 1 x
f naik f turun f naik
maksimum minimum (lokal)
Fungsi f monoton naik pada selang (-•,-1)
dan selang (1,•). Fungsi f monoton turun pa-
da selang (-1,1).
(c) Fungsi f mencapai maksimum di -1 dan mi-
nimum di 1, dengan titik maksimum (-1,2)dan titik minimum (1,-2).
Titik Belok Fungsi y = f ( x) mencapai titik belok di c Œ D f jika di sekitar
c terjadi perubahan kecekungan dari f . Titik beloknya adalah (c, f (c)). Kondisinya adalah fungsi y = f ( x) terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. ( ( ) f c = ±•¢ atau tak ada)
Ilustrasi Fungsi f ( x) = x3 mencapai titik belok di 0 karena f cekung ke
atas untuk x > 0 dan f cekung ke bawah untuk x < 0.
Uji Turunan untuk Kecekungan dan Titik Belok
Uji Turunan Kedua untuk Kecekungan Untuk fungsi y = f ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I ,
jika ( ) 0 f x >¢¢ pada I , maka fungsi f cekung ke atas pada I ;
jika ( ) 0 f x <¢¢ pada I , maka fungsi f cekung ke bawah pada I .
Uji Turunan Kedua untuk Titik Belok Untuk fungsi y = f ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I , jika
fungsi f mencapai titik belok di c Œ I dan ( ) f c¢¢ ada, maka ( ) 0 f c =¢¢ .
Untuk fungsi y = f ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I , jika( ) 0 f c =¢¢ dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f ,
maka fungsi f mencapai titik belok di c.
Uji Turunan Ketiga untuk Titik Belok Untuk fungsi y = f ( x) yang mem- punyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c, jika ( ) 0 f c =¢¢
dan ( ) 0 f c π¢¢¢ , maka fungsi f mencapai titik belok di c.
Grafik fungsi kontinu digambarkan berdasarkan informasi selang kemono-tonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, semuatitik belok, semua asimtot, dan beberapa titik lain yang diperlukan.
Contoh Gambarkan grafik fungsi f ( x) = 2 /3 5/35 x x- .
Fungsi f kontinu pada
(jelaskan mengapa!).Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah
10 5 51/ 3 2 /3 1/ 3
3 3 3( ) ( 2), 0 f x x x x x x- -= - = - - π¢ ,
( )2/3 5/3
1/32/ 3
0 0 0
( ) (0) 5 50
(0) lim lim lim x x x
f x f x x
x x x f x
Æ Æ Æ
- --
= = = - = ±•¢
(limit kiri di 0 adalah -• dan limit kanan di 0 adalah •)10 10 104/3 1/3 4 /3
9 9 9( ) ( 1), 0 f x x x x x x
- - -= - - = - + π¢¢ ; (0) f ¢¢ tidak ada.
Titik kritis dari fungsi f tercapai jika ( ) 0 f x =¢ atau ( ) f x¢ tidak ada, yang
menghasilkan x = 0 dengan f (0) = 0 dan x = 2 dengan f (2) = 33 4 ª 4,76.
Titik kritis dari fungsi f ¢ tercapai jika ( ) 0 f x =¢¢ atau ( ) f x¢¢ tidak ada,
yang menghasilkan x = -1 dengan f (-1) = 6 dan x = 0 dengan f (0) = 0.
Tanda ( ) f x¢ :min lokal maks lokal
- - - - - - - - - - - + + + + + + 0 - - - f turun 0 f naik 2 f turun
Dalam pemecahan soal cerita yang terkait dengan menentukan maksimumatau minimum, cobalah beberapa langkah berikut ini.
Gambarkan masalahnya beserta peubah untuk besaran yang terlibat.Tuliskan fungsi Q yang akan dicari maksimum/minimum mutlaknya.Gunakan kondisi yang diberikan agar Q menjadi fungsi satu peubah.Tentukan titik kritis dari Q dan tentukan maksimum atau minimumnya.Dalam kasus ekstrimnya tunggal, maka ekstrim ini akan menjadi maksi-mum atau minimum mutlak dari Q.
Contoh Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan
alas persegi. Jika luas permukaan kotak ditetapkan 432 cm2, tentukan ukur-an yang mempunyai volume terbesar.
x
y
y
x
Misalkan alas kotak adalah x cm dan tingginya y cm, maka volume kotak adalah
V = x2 y cm2
Karena luas permukaan kotaknya 432 cm2, maka
x2
+ 4 xy = 432
Untuk menentukan maksimum dari V , buatlah V menjadi fungsi satu pe-
ubah. Dari x2 + 4 xy = 432 diperoleh 4 xy = 432 - x
2, sehingga108
4 x
x y = - .
Gantikan hasil ini ke V = x2
y, diperoleh ( )12 3
4
1084 108 x
xV x x x= - = - .
Turunan pertama dan kedua dari V adalah3 2
4108V x= -¢ dan
3
2V x= -¢¢ .
Titik stasioner dari V :3 2
4108 0V x= - =¢ fi
3 2
4108 x = fi x = 12, dengan
nilai y yang terkait adalah108 1212 4
6 y = - = .
Karena (12) 0V =¢ , (12) 18 0V = - <¢ , dan ekstrimnya tunggal, maka V
mencapai maksimum mutlak di x = 12. Kesimpulan Ukuran kotak: 12 ¥ 12 ¥ 6 cm dengan volume 864 cm3.
Contoh Tentukan jarak terdekat dari titik A(0,3) ke parabol P: x = y2.
Misalkan titik Q( x, y) pada parabol P jaraknyaterdekat ke titik A(0,3), maka
2 2( 3) j AQ x y= = + - .
Karena x = y2, maka j dapat ditulis sebagai fung-
si satu peubah,
4 2 4 2( ) ( 3) 6 9 j y y y y y y= + - = + - + .
Titik stasioner dari j: Dari3 3 2
4 2 4 2 4 2
4 2 6 2 3 ( 1)(2 2 3)
2 6 9 6 9 6 9( ) 0
y y y y y y y
y y y y y y y y y j y
+ - + - - + +
+ - + + - + + - += = = =¢
diperoleh y = 1 karena (2 y2 + 2 y + 3) definit positif. Karena y < 1 fi 0, j <¢
y > 1 fi 0 j >¢ , dan ekstrimnya tunggal, maka j mencapai minimum mut-
lak di y = 1 dengan x yang terkait adalah x = 1.
Kesimpulan Jarak terdekat dari (0,3) ke P: x = y2
adalah j(1) = 5 .tembok 20 m
tembok pagar10 m
y
x
Contoh Sebuah kebun berbentuk persegi panjangakan dipagari seperti pada gambar. Bagian pojokkebun berupa tembok siku-siku sepanjang 20 me-ter dan 10 meter tak perlu dipagari. Jika tersedia40 meter pagar, tentukan luas minimum dan mak-simum kebun yang dapat dipagari.
Jika ukuran kebun adalah x ¥ y meter, maka x + y + ( x - 20) + ( y - 10) = 40.
Akibatnya 2 x + 2 y = 70, sehingga y = 35 - x.
Dari x ≥ 20 dan y = 35 - x ≥ 10 diperoleh 20 £ x £ 25. Luas kebun adalah
L( x) = x(35 - x) = 35 x - x2, 20 £ x £ 25.
Karena ( ) 35 2 0 L x x= - <¢ untuk 20 £ x £ 25, maka L monoton turun pa-
da selang [20,25], sehingga titik kritisnya adalah x = 20 dengan L = 300
dan x = 25 dengan L
= 250. ( Ekstrim mutlak pada selang tutup) Jadi luas minimum dan maksimum kebun adalah 250 m2 dan 300 m2.
Metode Titik Tetap Akan ditentukan x yang memenuhi f ( x) = 0 dengan f ( x)
= x - g( x), sehingga solusi r memenuhi g(r ) = r . Untuk ini mulailah dari x1,dilanjutkan x2 = g( x1), x3 = g( x2), º , xn+1 = g( xn), dengan harapan diperoleh
xn yang mendekati r untuk n yang membesar tanpa batas.
Jika g kontinu pada [a,b] dan g( x) Œ [a,b], maka g mempunyai paling se-dikit satu titik tetap r pada [a,b].
Jika g terdiferensialkan dan $ M > 0 ' | ( )| 1g x M £ <¢ " x Œ [a,b], maka r
tunggal dan xn+1 = g( xn), x1 Œ [a,b] menghasilkan xn Æ r untuk nÆ •.
Contoh Tentukan akar persamaan 3( ) 3 5 0 f x x x= - - = .
Metode bagi dua Karena f (2) = -3 dan f (3) = 14, maka 2 < r < 3. Gunakan
a1 = 2, b1 = 3, m1 = 2,5, h1 = 0,5, dan seterusnya, diperoleh r = 2,2790188.
Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.
No. Pernyataan Jawab
1. Fungsi f ( x) = | x2 - 2 x | mempunyai lebih dari satu titik kritis. B S
2. Jika x = c adalah titik stasioner dari y = f ( x), maka kurva f mencapai ekstrim di c. B S
3. Jika kurva y = f ( x) mencapai maksimum lokal di x = c, maka f ¢(c) = 0. B S
4. Jika fungsi y = f ( x) kontinu pada selang [a,b], maka $ c Œ [a,b] ' ( ) maks ( ).a x b
f c f x£ £
= B S
5. Jika f ¢(c) tidak ada, maka kurva y = f ( x) tidak mungkin mencapai ekstrim di x = c. B S
6. Jika f ¢( x) ada pada selang I yang memuat c dan f ( x) > f (c) + f ¢(c)( x - c) " x Œ I , ma-ka fungsi f cekung ke atas pada selang I . B S
7. Jika f ¢( x) ada pada dan f ≤(c) = 0, maka (c, f (c)) adalah titik belok kurva y = f ( x). B S
8. Pernyataan | sin x | £ | x | " x Œ dapat dibuktikan dengan teorema nilai rata-rata. B S
9. Jika n bilangan ganjil positif, maka kurva f ( x) = xn mencapai titik belok di x = 0. B S
10. Terdapat kurva y = f ( x) yang mencapai titik belok di c Œ D f tetapi f ¢(c) tidak ada. B S
Soal yang Terkait dengan Kemonotonan, Ekstr im, Kecekungan, dan Titik Belok
11.Jika turunan dari y = f ( x) adalah f ¢( x) = ( x - 1)2
( x - 2), tentukan (a) selang kemonotonan dan ti-tik ekstrim dari kurva f beserta jenisnya dan (b) selang kecekungan dan titik belok dari kurva f .
12.Tentukan semua titik ekstrim dan titik belok dari kurva 2
22( 1)
1( ) , .
x
x f x x
++
= Œ
13.Jika fungsi f ( x) = ax3 + bx
2 mencapai titik belok di (1,2), tentukan konstanta a dan b.
14.Jika fungsi ( ) b x
f x a x= + mencapai titik belok di (1,4), tentukan konstanta a dan b.
15.Jika kurva f ( x) = ax3 + bx
2 + cx mencapai titik belok di (1,2) dan persamaan garis singgung di ti-
tik beloknya y = -2 x + 4, tentukan konstanta a, b, dan c.
16.Jika kurva f ( x) = ax3 + bx
2 + cx + d mencapai ekstrim lokal di (0,3) dan titik belok di (1,-1), ten-
tukan konstanta a, b, c, dan d . 17.Tentukan selang di mana kurva f ( x) = 3 x2 + x | x | cekung ke atas.
Soal yang Terkait dengan Grafik Fungsi Kontinu
Untuk soal 18 sampai dengan 23, pada setiap fungsi f yang diberikan;(a) daerah asalnya,(b) selang kemonotonan dan semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya,(c) selang kecekungan dan semua titik beloknya,(d) sketsa grafiknya setelah menentukan asimtotnya bilamana ada.
18. f ( x)=
3 x
4
-
4 x
3
19. f ( x)=
3 x
5
-
5 x
3
20.
2
2
1
1( )
x
x f x
-
+=
21. ( ) 1 f x x x= - - 22. f ( x) = sin x + cos x, 0 £ x £ 2p 23.3
Soal yang Terkait dengan Masalah Ekstrim untuk Soal Cerita
24.Pada daerah D yang dibatasi kurva y = 27 - x2 dan sumbu x dibuat persegi panjang dengan alas pada sumbu x dan dua titik sudut lain pada kurva, tentukan luas persegi panjang yang terbesar.
25.Talang air akan dibuat dari lembaran seng dengan lebar 30 cm dengan cara melipatnya menjadi
tiga bagian sama panjang. Jikaq
adalah sudut antara dinding talang dengan bidang horisontal,tentukan q agar talang dapat menampung sebanyak mungkin air.
26.Sebuah kotak antik dengan alas persegi (bujur sangkar) dibuat agar volumnya 2 dm3. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atas kotak Rp 100 per cm2 serta biaya bidang sisinya Rp 50 per cm2,tentukan ukuran kotak yang biaya pembuatannya paling murah dan biaya termurahnya.
27.Tentukan titik pada hiperbol x2 - y2 = 2 yang jaraknya terdekat ke titik (0,1).
28.Dalam sebuah kerucut lingkaran tegak berjari-jari R dan tinggi T dibuat tabung dengan lingkaran bawah pada bidang alas kerucut dan lingkaran atas pada selimut kerucut. Tentukan tinggi tabungyang volumnya paling besar.
Kunci Jawaban
1. B 2. S 3. S 4. B 5. S 6. B 7. S 8. B 9. S 10. B 11. (a) kurva f turun untuk x < 2, naik untuk x > 2,
ttk min di x = 2 (b) ckg ke ats pada (-•,1) dan pada ( )53,• , ke bwh pada ( )5
31, , ttk blk di x = 1 dan 53 12. ttk
min (-1,0) dan ttk maks (1,4), ttk blk (0,2), ( 3,2 3), dan ( 3,2 3)- - + 13. a = -1. b = 3 14. a = 3, b = 1
15. a = 4, b = -10, dan c = 10 16. a = 2, b = -6, c = 0, dan d = 3 17. (-•,•) 18. D f = (-•,•), f naik pada
(1,•), f turun pada (-•,0) dan pada (0,1), ttk min (1,-1); f ckg ke ats pada (-•,0) dan pada ( )23 ,• , ke bwh
pada ( )230, , ttk blk (0,0) dan ( )162
3 27,- 19. D f = (-•,•), f naik pada (-•,-1) dan pada (1,•), f turun pada
(-1,0) dan pada (0,1), ttk min (1,-2) dan ttk maks (-1,2); f ckg ke ats pada
( )
2
2
,0- dan pada
( )
2
2
, ,• ke bwh
pada ( )22,- -• dan pada ( )2
20, , ttk blk ( )2 7 22 8,- dan ( )2 7 2
2 8,- 20. D f = (-•,•), f naik pada (-•,0),
f turun pada (0,•), ttk maks (0,1); f ckg ke ats pada ( )33,- -• dan pada ( )3
3 ,• , ke bwh pada ( )3 33 3,- , ttk
blk ( )3 13 2,- dan ( )3 1
3 2, , as datar y = -1 21. D f = (1,•), f naik pada ( )54 ,• , f turun pada ( )5
41, , ttk min ( )5 34 4, ,
f ckg ke ats pada D f 22. D f = (-•,•), f naik pada ( )40,p dan pada ( )54 ,2p
p , f turun pada ( )54 4,p p , ttk maks
( )4, 2 ,p ttk min ( )54 , 2p - ; f ckg ke ats pada ( )3 7
4 4,p p , ke bwh pada ( )340, p dan pada ( )7
4 ,2p p , ttk blk ( )3
4 ,0p
dan ( )7
4
,0p 23. D f = (-•,•) - {-1,1}, f naik pada ( ), 3- -• dan pada ( )3,• , f turun pada ( )3, 1- - ,
(-1,0), (0,1), dan ( )1, 3 ; ttk maks ( )3, 3 3- - , ttk min ( )3,3 3 ; f ckg ke ats pada (-1,0) dan pada (1,•),
ke bwh pada (-•,-1) dan (0,1), ttk blk (0,0); as tegak x = -1 dan x = 1, as miring y = 2 x.
y
0 x
(1,-1)
f ( x) = 3 x4
- 4 x3
y
(-1,2)
0 x
(1,-2)
f ( x) = 3 x5
- 5 x3
y
(0,1)
-1 0 1 x
-1
2
21
1( )
x
x f x
-
+=
y
(1,1)
0 x
( ) 1 f x x x= - -
y
0 p /4 5p /4 2p x
f ( x) = sin x + cos x
y
y = 2 x
-1 0 1 x
3
22 1( ) x x f x -=
24. 108 25. q = 60∞ 26. 10 ¥ 10 ¥ 20 cm dan Rp 60 ribu 27. ( )3 12 2,± 28. tinggi tabung = 1