4 ( 32102) 5 2 2560elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/859/course/summary/ความน่าจะ... · ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ......

เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 4 (ค32102)

ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2560

เรอง ความนาจะเปน 1

ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………

ชน ม.5 หอง……………………….. เลขท …………………………..

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

วชาคณตศาสตร 4 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง ความนาจะเปน

1

ความนาจะเปน (Probability)

1. กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจ านวนวธการทงหมดท

เปนไปไดของเหตการณหนงๆ

ตวอยางท 1 จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครงโดยการใช

แผนภาพตนไม

ตวอยางท 2 นายบญช นางสมศร และนายสมบต ตองการถายภาพรวมกนโดยยนเรยงในแนวเสนตรง จงหาวธ

ทงหมดทคนทง 3 ยนเรยงในการถายภาพ โดยการใชแผนภาพตนไม

ตวอยางท 3 มเดกชาย 3 คนคอ แทฮน มนกก มนเซ และเดกหญง 2 คน คอ ซารงและดาอล ถาใหจบคเตนร า

กนจะสามารถจบคไดทงหมดกวธ โดยการใชแผนภาพตนไม


2

1.2 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

กฎการนบ (กฏการคณ)

ถาในการท างานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท 1 สามารถท างานไดทงหมด 1n วธ



ขนตอนท k สามารถท างานไดทงหมด kn วธ

จ านวนวธการท างานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ 1 2 3 kn n n n วธ

หมายเหต การแบงงานเปน k ขนตอนในแตละขนตอนงานยงไมเสรจสนตองเรมจากขนท 1 แลวตอเปน

ขนท 2,3, … จนถงขนท k งานจงจะส าเรจเสรจสนดงแผนภาพ

เรมตน สนสด

ขนท 1 2 3 k

จ านวนวธ 1n 2n 3n kn

ตวอยางท 4 จงหาจ านวนวธทเหรยญจะแสดงหนาทเปนไปไดจากการโยนเหรยญ 2 เหรยญหนงครง


3

ตวอยางท 5 นายปองตองการแตงตวไปจบสาว ซงในการแตงตวตองใสเสอ กางเกและเนกไท โดยนายปองมเสอ

อย 4 ส กางเกงอย 3 สและเนกไทอย 2 ลายคอลายหมพหกบลายมกกเมาส แลวนายปองจะแตงตวไดกแบบ

ตวอยางท 6 ฟวเจอรผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเปลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะม

วธการแจกกวธเมอ

1) ไมมเงอนไข 2) ไมใหซ าคน

ตวอยางท 7 มลกเตา 2 ลก เมอท าการโยนจะมวธการขนหนาของลกเตาทงสองกแบบ เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) แตมรวมกนเปนเลขค

ตวอยางท 8 ตองการสรางจ านวนทม 3 หลกโดยเลขแตละหลกเลอกจากตวเลข 2,3,5,6,7 และ 9 จะสราง

ทงหมดกวธเมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) เลขแตละหลกไมซ ากน 3) จ านวนทสรางมคานอยกวา 400

4) เปนจ านวนค 4) เปนจ านวนคและเลขแตละหลกไมซ ากน

5) หารดวย 5 ลงตวและคามากกวา 500


4

ตวอยางท 9 ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจ านวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก ไดน ารม

ตดตวมาดวยและไดน ารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน เมองานเลก

จงหาวธทงหมดทคนทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง

ตวอยางท 10 เบลลามเสอสแดงลายตางกน 2 ตว มสน าเงนลายตางกน 2 ตว และสขาว 1 ตว มกระโปรงสแดง

1 ตว สน าเงนลายตางกน 2 ตว จงหาวธทเบลลาจะสวมเสอและกระโปรงไปเทยวเปนชดตางกนไดทงหมดกชดถา

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) เบลลาตองการใสเสอสแดง 3) เบลลาตองการใสกระโปรงสน าเงน

ตวอยางท 11 สนามกฬาแหงหนงมประตเขาออก 8 ประต ถาคนๆหนงเดนเขาและออกจากสนามกฬาแหงนจะ

ท าไดกวธถา

1) เขาประตใดและออกประตใดกได

2) เขาและออกสนามกฬาโดยไมซ าประตเดม

3) เขาประตใดตองออกประตนน


5

ตวอยางท 12 มถนนจากกรงเทพถงสระบร 4 สาย มถนนจากสระบรถงนครราชสมา 3 สาย และมถนนจาก

นครราชสมาถงขอนแกน 2 สาย ถาตองการเดนทางไปและกลบระหวางกรงเทพกบขอนแกนโดยผานสระบรและ

นครราชสมาจะมวธเลอกเดนทางไดทงหมดกวธโดย

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ขาไปและกลบใชเสนทางไมซ ากน

ตวอยางท 13 จงหาวธในการจดนกเรยนชาย 3 คนและนกเรยนหญง 2 คน โดยม นายแฟรงค

และนางสาวปลา รวมอยดวย ยนเรยงแถวเสนตรง ถา

1) ใหนางสาวปลายนหวแถว 2) ใหนายแฟรงคยนหวแถวและนางสาวปลายนทายแถว

3) ใหนกเรยนชายยนหวแถวและทายแถว 4) ใหนกเรยนหญงยนหวแถวและทายแถว

5) ใหปลายนหวแถวและนกเรยนหญงยนทายแถว

6) ใหแฟรงคยนหวแถวและนกเรยนชายยนทายแถว


6

ตวอยางท 14 ครอบครวหนงยายมาจากตางจงหวด มบตร 4 คนทตองเขาโรงเรยน ถามโรงเรยนทนกเรยนทงส

จะเขาเรยนจะเขาโรงเรยนได 5 โรงเรยน จะมวธการเลอกเขาไดกวธ ถา

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) บตรทง 4 คน อยโรงเรยนไมซ ากน

กฎการบวก (Addition principle)

ในการพจารณาวาการจะน าวธการในแตละสงทเราท าไดมาบวกกนหรอมาคณกนนนใหเราพจารณา

วางานนนๆ เสรจงาน ตามทโจทยตองการหรอยง

ถางานนนสามารถแบงออกเปน k กรณ โดย

กรณ 1 สามารถท างานเสรจสนได 1n วธ



กรณ k สามารถท างานเสรจสนได kn วธ

จ านวนวธการท างานทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ

ตวอยางท 15 ในการเดนทางจากบานณเดชไปบานญาญาม 2 วธหลกคอ ปนจกรยานไปจนถงบานญาญาเลย

กบนงรถไฟฟาตอสองแถวแลวตอมอเตอรไซครบจางอกท โดยจกรยาน 3 คนและรถไฟฟาม 4 เทยวและรถสอง

แถวม 5 เทยว มอเตอรไซครบจางม 2 เทยว แลวณเดชจะสามารถเดนทางไปหาญาญาไดทงหมดกวธทไมซ ากน


7

ตวอยางท 16 ในการสรางเลข 3 หลกโดยหามใชตวเลขซ าจากเลข 0 – 9 จะสรางเลขคสามหลกไดทงหมดก

จ านวน

ตวอยางท 17 ถงใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกนอย 10 ลก เปนสแดง 3 ลก สขาว 5 ลก สด า 2 ลก สมหยบ

ลกแกวจากถงสองครงๆละลกโดยไมใสคน จ านวนวธทจะหยบไดลกลกทสองเปนสแดงเทากบเทาใด

ตวอยางท 18 มสลาก 6 ใบมความหมาย 1-6 ก ากบไว ใหสมหยบสลาก 2 ครงๆละใบ ถาครงแรกไดเลขคใหใส

สลากใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไมตองใสสลากกลบคน

1) วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด

2) วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใด


8

Worksheet 1: กฎการนบเบองตน

ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย

1. ตองการสรางเลข 2 หลก จากเลขโดด 4 ตวคอ 1,2,3,4 จะสรางเลขไดทงหมดกจ านวนเมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ใชเลขซ ากนไมได

3) เปนเลขค 4) เปนเลขค

5) เปนเลขคทใชเลขโดดซ ากนไมได

2. มนกเรยนจ านวน 3 คน อยในหองทมประตเขา-ออกทงหมด 4 ประต จงหาจ านวนวธทคนเหลานจะออกจาก

หองทางประตตางๆ ดงกลาว

3. มคน 5 คน นงรถไฟไปเทยวมทนง 2 ตอน ตอนหนาม 2 ทนง ตอนหลงม 3 ทนง จะมวธในการนงทแตกตาง

กนกวธ ถาทกคนขบรถได

4. หมายเลขโทรศพท 6 หลก ทขนตนดวยหมายเลข 723 จะมทงหมดกหมายเลข

5. ตองการสรางจ านวนทม 4 หลกและมคามากกวา 2500 โดยสรางจากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 เมอ

1) เลขแตละหลกไมซ ากน 2) เลขแตละหลกอาจซ ากนได

6. ตองการสรางจ านวนทมคามากกวา 1,000 นอยกวา 4,500 โดยใชเลขไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกวธ

7. มชาย 4 คน หญง 3 คน ตองการถายรปหม ยนเปนแถวตรง 1 แถว จงหาจ านวนวธในการถายรปของคนกลม

น เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ชายยนสลบทกบหญง

8. ตองการสรางค าจากตวอกษรของค าวา Elementary โดยสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน

และค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาจ านวนค าทงหมด

1) ตวอกษรทง 4 ตว จะเปนตวใดกได 2) ตวอกษรทง 4 ตว เปนพยญชนะลวน


9

2. แฟคทอเรยล (Factorial)

ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลวผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

n! 1 2 3 4 n หรอ n! n (n 1) (n 2) 3 2 1 เราเรยก n! วา แฟคทอเรยล

โดย 0! = 1

1! = 1

2! = 2 1 = …………………….

3! = 3 2 1 = …………………….

4! = 4 3 2 1 = …………………….

5! = 5 4 3 2 1 = …………………….

6! = …………………………. = …………………….

ตวอยางท 19 จงหาคาตอไปน

1) 6!

4! 2) 7!

2!5!

3) (n 1)!

(n 1)!

4)

2(n!)

(n 1)!(n 1)!


10

ตวอยางท 20 จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล

1) 9 8 7 6 2) 11 10 9 8 7

3) n(n 1)(n 2)(n 3) 4) 2 2 2n(n 1)(n 4)(n 9)

ตวอยางท 21 จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) (n 1)!

(n 2)!

= 1320

2) (2 n)!

(n 10)!10!

= (2 n)!

(n 7)!7!


11


1) 6!(n 1)! = 8!(n 3)! 2) 4!(n 1)!

(n 1)!

= 6!

3) 6!(n 1)!

(n 2)(n 1)!

= 3!

4) 8! n!

(n 10)! = 10!n!

(n 8)!


12

Worksheet 2: Factorial

1. จงหาคาตอไปน

1) 4!0! = ……………………………………………… 2) 10!

9! = ………………………………………………

3) 8!

5! 3! = ……………………………………………… 4) 10!

6! 4! = ………………………………………………

5) 13!

10! 4! = ……………………………………………… 6) 7!

2!5! = ………………………………………………

7) 13!

10! 6! = ……………………………………………… 8) 12!

6! 6! = ………………………………………………

2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปแฟกทอเรยล

1) 7 8 9 10 = …………………………..………..……… 2) n(n 1)(n 2)(n 3) = ………………………..

3) n(n 1)(n 2) (n 8) = …………………..…….. 4) 60 59 58 = ………………………………………

5) 2 4 4n (n 1)(n 4) = ……………………………………………………………..………………………………………………

3. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปไมมแฟคทอเรยล

1) n!

(n 1)! 2) n!(n 1)!

(n 1)!(n 2)!

3) (3n)!

(3n 2)! 4) (n 1)!(n 1)!

2(n 3)!(n 2)!


13

4. จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) n(n 1)!

(n 1)!

= 6n 2) 2n!

5! = (n 3)!

3) 5!n!

(n 4)! = 30n!

(n 5)!

4) (25)4!(n 1)(n 2)!

n 3

= 7!(n 3)!


14

3. วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

วธเรยงสบเปลยน เปนวธการทน าสงของจ านวนหนงมาจดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหค านงถง

ต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ โดยเราจะศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ

1) วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถก าหนด

ต าแหนงหวแถวและทายแถวได

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด n สงเทากบ n! วธ

ตวอยางท 23 เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจ าเกาอไดกวธ

ตวอยางท 24 มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง 7 คนไดกวธ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ชายและหญงนงสลบทกนทละคน

ตวอยางท 25 ถาน าเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจ านวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซ ากน จะจดได

ทงหมดกวธ


15

ตวอยางท 26 จงหาจ านวนวธในการจดล าดบตวอกษรจากค าวา “also”

การหางานของการจดสงของทตองการยนตดกน

ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวน าไปรวมกบสงของอนๆแลวน าไปจดเรยง

ขนท 2 ท าการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน)

ตวอยางท 27 สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป จะมวธจดใหยนทงหมดกวธ

เพอ

1) ไมมเงอนไข 2) พอและแมยนตดกน 3) พอและแมยนรมทง2ดาน

ตวอยางท 28 มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถวตรง 1

แถว จงหาจ านวนวธในการยนถายรป เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ครยนอยรมแถว 3) นกเรยนหญงยนตดกน


16

ตวอยางท 29 มผชาย 4 คน หญง 3 คน มานงบนบนมานงแถวยาว จะมวธนงไดทงหมดกวธ เมอ

1) เพศเดยวกนนงตดกน 2) ชายทง 4 คนนงตดกน

3) หญงทง 3 คนนงตดกน 4) ชายและหญงนงสลบทกน

ตวอยางท 30 มนกเรยน 6 คน และนกเรยนหญง 6 คนมายนเรยงแถวยาว จงหาจ านวนวธทจะจดใหนกเรยน

ยนแถวตรงทงหมด เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) เพศเดยวกนยนตดกน 3) ชายและหญงยนสลบทกนทละคน

4) ชายและหญงยนสลบทกนทละ 2 คน 5) ชายและหญงยนสลบทกนทละ 3 คน


17

ตวอยางท 31 ในการจดเรยงหนงสอในแนวเสนตรง โดยมหนงสอวทยาศาสตร 3 เลมทแตกตางกน คณตศาสตร

3 เลมทแตกตางกน ภาษาองกฤษ 2 เลมทแตกตางกน ภาษาไทย 1 เลม จะมวธการจดเรยงทงหมดกวธ

1) หนงสอหมวดเดยวกนอยตดกน

2) หนงสอหมวดคณตอยตดกน หมวดวทยาศาสตรอยตดกน

3) หนงสอหมวดคณตอยตดกน หมวดองกฤษอยตดกน

4) ใหหนงสอหมวดคณตศาสตรเทานนอยตดกน

5) ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกน

6) ใหหนงสอหมวดองกฤษเทานนอยตดกนและอยรมสด


18

การหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน

ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวน าทเหลอมาจดเรยง

ขนท 2 หาต าแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวท าการจดเรยงสงของ

ตวอยางท 32 มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ

1) ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน 2) ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน

ตวอยางท 33 สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาว

จะมวธการยนกวธเมอ

1) บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมด

2) บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด


19

ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ r สง (r n )

จะจดไดทงหมด n!

(n r)! วธ

อาจใชสญลกษณ nrP หรอ n,rP แทนจ านวนวธในการจดเรยงล าดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด

โดยจดครงละ r สง ดงน n,rP = n!

(n r)!

ตวอยางท 34 จงหาคา n จากขอตอไปน

1) 7,5P 2) 6,2P

3) n,4P = n,22 P

ตวอยางท 35 การเลอกตงสมาชกเพอด ารงต าแหนงสโมสรรวม 3 ต าแหนงคอ ประธาน รองประธานและ

เลขานการ ในการสมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงต าแหนง 10 คน จงหาจ านวนวธทผสมครเหลานจะไดรบ

เลอกตง


20

ตวอยางท 36 ในการจบฉลากชงรางวล 2 รางวลเนองในโอกาสวนปใหมของนกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน ได

ท าสลากขน 30 ใบ แตละใบมชอนกเรยนแตละคน จากนนใหคณครประจ าชนจบสลากน 2 ครง ครงละใบ ผมชอ

ในฉลากใบแรกและใบทสอง จะไดรบรางวลท 1 และท 2 ตามล าดบ จงหาจ านวนวธทงหมดทนกเรยนเหลานจะ

ไดรบรางวล

ตวอยางท 37 ตองการสรางจ านวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซ ากน จะสรางได

ทงหมดกจ านวน เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

3) แตละหลกสลบเลขคและเลขค

ตวอยางท 38 ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน โดยเลอกมาจากค าวา ENTRANCE จะ

สรางไดทงหมดกค า โดยค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมายกได เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ

3) มสระอยางนอย 1 ตว


21

ตวอยางท 39 มเกาอทงหมด 8 ตวเรยงเปนแถวยาว มคนทงหมด 4 คนคอ นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง

ตองการนงบนเกาอ จงหาจ านวนวธในการนง เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) คนทง 4 คน ตองนงตดกน

3) นาย ก. นงเกาอตวแรก และนาย ข. นงเกาอตวสดทาย

การเรยงสบเปลยนสงของ n สงทไมแตกตางกนทงหมด(มบางสงซ ากน)

d = 1 2 k

n!

n ! n !...n !

ตวอยางท 40 ตวอกษรในค าวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทไมจ าเปนตองมความหมายได


ตวอยางท 41 ตวอกษรในค าวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทงหมดกวธ เมอ

1) อกษรทไมซ ากนอยตดกน

2) อกษรทซ ากนในกลมเดยวกนอยตดกน


22

ตวอยางท 42 มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถาน าตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจ านวนทม 7 หลก จะสรางได

กวธ เมอ 1) ไมมเงอนไข 2) มคามากกวา 2 ลาน

ตวอยางท 43 นกเรยนกลมหนง 12 คน เปนนกเรยนชาย 7 คนและนกเรยนหญง 5 คน โดยทนกเรยนแตละคนม

ความสงเทากน ถาตองการใหนกเรยนทงหมดมาเขาแถวหนากระดานเรยงหนง จะมวธการยนเขาแถวกวธ เมอ

ตองการให ถามองจากหวแถวไปยงหางแถวแลวจะพบวา

1) นกเรยนยนเรยงตามล าดบความสง

2) นกเรยนชายยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า

3) นกเรยนชายยนตดกนทง 7 คนและยนเรยงตามล าดบความสงและนกเรยนหญงยนเรยงล าดบจากสงไปหาต า

ตวอยางท 44 พยาบาลผหนงมหนาทเรยกคนไขเขาตรวจรกษาทละคน ถามคนไขทงหมด 7 คน ในจ านวนนม

แดน บม บกและป รวมอยดวย พยาบาลผนจะมวธเรยกคนไขเขาตรวจจนครบ 7 คน ทงหมดกวธ เมอ

1) แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบมไดเขาตรวจกอนบก

2) แดน ไดเขาตรวจกอนบม และนายบกไดเขาตรวจกอนป


23

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม (Circular permutation)

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบวงกลมจะ

ไมสามารถระบต าแหนงหวแถวหรอทายแถวได เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอยพวงมาลบเปนวงกลม

วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท

1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ (n 1)! วธ

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม

ถามสงของทแตกตางกน n สง จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมทพลกไดเทากบ (n 1)!

2

วธ

ตวอยางท 45 จงหาจ านวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง

ตวอยางท 46 มเกยคง 2 คน และเกยควน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2) เกยคง 2 คน ยนตดกนเสมอ

3) เกยคง 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ 4) เกยคง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ


24

ตวอยางท 47 มคน 8 คน ในจ านวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง

จะมวธนงกวธ เมอ

1) Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอ

2) Boy Nong และ Pat นงแยกจากกนเสมอ

3) Boy นงตดกน Nong แตไมตดกน Pat

ตวอยางท 48 มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน โดยมนายกอไผและนางสาวกอบว รวมอยดวยจะ

จดเรยงแบบวงกลมไดทงหมดไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) นายกอไผและนางสาวกอบว ยนตดกน

3) ชายและหญงสลบทกนทละคน 4) ชายและหญงสลบทกนทละ 2 คน

ตวอยางท 49 นองแมก ทาส 5 ส บนสเหลยมลกบาศกหนาเกลยงทกหนา หนาละส โดยทไมใหหนาททาสเดยวกน

อยตดกน จะมวธการทาสทงหมดกวธ


25

ตวอยางท 50 นองพลอยรองพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน โดยทดอกไมมสขาว

2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม 2) สขาวอยตดกนและสแดงอยตดกน

ตวอยางท 51 มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก น ามารอยพวงมาลยไดกวธ ทแตกตาง

เมอมเงอนไขดงน

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ใหสขาวสลบทกบสชมพ

3) ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกน

ตวอยางท 52 มคนทงหมด 5 คน จดใหนงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ

1) จดทละ 3 คน 2) จดทละ 4 คน 3) จดทละ 5 คน


26

โจทยแบบอยางนอย

โจทยขอนเปนตองแบงเปนกรณซงบางครงอาจจะแบงๆไดหลายกรณมากและเสยเวลาในการคด ลองมา

พจารณางานทอยตรงขามกบโจทยตองการถางานทอยตรงขามนนหาไดงายกวากจะใชหลกการคลายๆกบเรองเซต

เขามาชวยแกโดยท

n(E) = n(U) n(E ) หรอเรยกวา

n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)

ตวอยางท 53 ในการสรางเลข 4 หลกจากเลข 2,4,5,6,7,8 จะสรางเลขสหลกทมการใชเลขซ ากนอยางนอย 2

หลกไดกจ านวน

ตวอยางท 54 มโรงแรม 6 แหง อยากทราบวานกทองเทยว 4 คน จะเลอกพกโรงแรมดงกลาวโดยมนกทองเทยว

อยางนอย 2 คน พกโรงแรมเดยวกน

ตวอยางท 55 ครอบครวหนงยายมาจากตางจงหวด มบตร 4 คนทตองการเขาโรงเรยน ถามโรงเรยนทนกเรยนทง

สามจะเขาได 5 โรงเรยน จะมวธการเลอกเคาโรงเรยนไดกวธ ถามบตรอยางนอย 2 คนอยโรงเรยนเดยวกน


27

Worksheet 3: การเรยงสบเปลยน

ค าชแจง : แสดงวธท าลงสมด พรอมลอกโจทย

1. จงหาจ านวนค าทเกดจากการสลบทของตวอกษร ของค าวา HISTORY มทงหมดกค า เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) พยญชนะทกตวอยตดกน

3) ไมมสระตวใดอยตดกน

2. มหนงสอแตกตางกน 7 เลม ประกอบดวยคณตศาสตร 3 เลม จงหาจ านวนวธในการจดเรยงหนงสอแบบแถวยา

แถวเดยว เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) หนงสอคณตศาสตรตองอยตดกน

3) หนงสอคณตศาสตรตองแยกกนทง 3 เลม

4) หนงสอคณตศาสตรอยหวแถวทายแถว

3. คร 1 คน นกเรยนชาย 4 คนและนกเรยนหญง 4 คน ยนถายรปหมเปนแถวยาวแถวเดยว จงหาจ านวนวธในการ

ยนตามเงอนไข ตอไปน

1) ไมมเงอนไข 2) ครยนตรงกลาง

3) นกเรยนชายยนตดกนทงหมด 4) นกเรยนชายยนแยกกน

5) นกเรยนชายและนกเรยนหญง ยนสลบทกนละ 1 คน

6) ครอยหวแถวและนกเรยนหญงอยหวแถว

7) นกเรยนหญงยนแยกกน

8) ครยนอยรมและนกเรยนชายยนตดกน

4. จงหาจ านวนค าจากการสลบทตวอกษรของค าวา “Teacheraward” โดยใหตวอกษรทซ ากนอยตดกนเมอ

1) ไมมเงอนไข 2) ขนตนดวยสระ

3) ขนตนดวยพยญชนะ 4) พยญชนะอยตดกน

5) อกษรทซ ากนอยรม

5. มนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 3 คน นงบนเกาอยาวแถวเดยว 8 ตว จงหาจ านวนวธในการนงทแตกตางกน

ทงหมด เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) ชายนงตดกนและหญงนงตดกน

3) ไมมชายคนใดนงตดกน 4) ชายนงสลบทกบหญง


28

6. มนกเรยนกลมหนงมจ านวน 6 คน ตองการใหนกเรยนทง 6 คน นงเกาอแถวยาวแถวเดยว อยางนอย 1 คน จะ

มวธการนงทแตกตางกวธ

7. ตองการสรางค าใดกไดจากค าวา “Politician” จะสรางไดทงหมดกค า เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) อกษรตว i อยตดกนหมด

3) อกษรตว i อยรม 4) อกษรตว i อยแยกกนหมด

8. มหนงสอทแตกตางกนทงหมด 5 วชา ในแตละวชาม 2 เลมทเหมอนกน ถาตองการจดหนงสอ เปนแถวยาวแถว

เดยว จะจดไดกวธ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน

3) หนงสอทอยรมทง 2 ดาน เปนวชาเดยวกน

9. จงหาจ านวนวธในการสรางตวเลข 5 หลก จากเลขโดด 5 ตว ดงน 0,1,2,3,4 จะสรางไดกจ านวนโดยหามใชเลข

ซ ากน เมอ

1) จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000

2) จ านวนทสรางมคามากกวา 10,000 และเปนจ านวนค

การสบเปลยนเชงวงกลม

10. มนกเรยนชาย 4 คน และหญง 2 คน มายนรอบเสาธงเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยนทงหมด เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) ชายยนตดกน

3) หญงยนตดกน 4) ผหญง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

11. มนกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 3 คน จงหาจ านวนวธทจะจดนกเรยนทง 7 คน ยนเปนวงกลม จะจด

ไดทงหมดกวธ

1) ชายยนตดกนหมด 2) นกเรยนหญงยนตดกน

12. คณะกรรมการผใหญบานจ านวน 4 คน พรอมภรรยาไดรวมกนรบประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาจ านวน

วธในการจดนง เมอ

1) ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว

2) ประธานตองนงในต าแหนงทก าหนดไว และภรรยาของประธานตองนงตดกบประธาน

3) สาม ภรรยาแตละคตองนงตดกน

4) เพศเดยวกนนงตดกน


29

13. มลกปดสจ านวน 10 ลก ลกละ 1 ส ถาน าลกปดทงหมดมารอยเปนก าไรขอมอ จะไดก าไรทแตกตางกนกวง

เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) สด าและสขาวอยตดกน

3) สน าเงนไมตดกบสเหลอง

14. มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน น านกเรยนทงหมดมายนเปนวงกลม จงหาจ านวนวธในการยน

ของนกเรยนทง 12 คน เมอ

1) ชายสลบทกบหญงทละ 1 คน 2) ชายสลบทกบหญงทละ 2 คน

3) ชายสลบทกบหญงทละ 3 คน


30

4. วธการจดหม (Combination)

A = {1,2,3,4}

B = {2,1,3,4}

C = {4,1,2,3}

D = {3,4,1,2}

เซต A,B,C และ D ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดค านงถงต าแหนงเปนส าคญ ซงลกษณะของ

วธการจดหมกไมไดค านงถงต าแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง

ท าใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ r สง จากสงของทแตกตางกน n สง

แทนดวยสญลกษณ

n

r

หรอ nrC หรอ n rC หรอ n,rC = n!

r!(n r)!

ตวอยางท 56 จงหาคาตอไปน

1) 5,2C 2) 10

8

3) 10

10


31


1) n,n 1C = 20 2) n,n 2C = 45

3) n 1,n 3C = 36 4) n 1,nC = 100


1) n ,12C = n ,4C 2) n ,12C = n ,10C


32

ตวอยางท 59 สมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการน าเสอไปเทยวจ านวน 4 ตว จะมวธจดเสอไปเทยวได


ตวอยางท 60 มนกเรยนทงหมด 12 คน เปนนกเรยนชาย 8 คน และนกเรยนหญง 4 คน จงหาจ านวนวธในการ

เลอกกรรมการจ านวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน โดยมเงอนไขตอไปน

1) ไมมเงอนไข

2) เปนนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน

3) กรรมการตองเปนชายอยางนอย 1 คน

ตวอยางท 61 บนเสนรอบวงวงกลมหนงมจดคงท 8 จด จงหา

1) จ านวนเสนตรงทลากเชอมระหวางจดสองจด

2) จ านวนรปสามเหลยมทมจดเหลานเปนจดยอดมมของรปสามเหลยมทง 3 มม


33

ตวอยางท 62 มนกเรยนทงหมด 10 คน เปนชาย 6 คน และหญง 4 คน ถาตองการเลอกตวแทนจากคนกลมนมา

4 คน จงหาจ านวนวธในการเลอกตวแทนทงหมด เมอ

1) ไมมเงอนไข 2) ไดจ านวนผชายมากกวาจ านวนผหญง(มทงชายและหญง)

3) ไดจ านวนผชายเทากบจ านวนผหญง 4) ไดทงผชายและผหญง

ตวอยางท 63 นกเรยนหองหนงม 15 คน เปนนกเรยนชาย 10 คน หญง 5 คน แบงนกเรยนออกเปน 3 กลมเพอ

ไปท างานตามใบงานท 1,2 และ 3 โดยทใบงานชนท 1 ตองการชาย 8 คน ใบงานชนท 2 ตองการหญง 2 คน และ

ใบงานชนท 3 ตองการ 5 คน จงหาจ านวนวธทจะแบงนกเรยนไปท างาน 3 ชนงานน


34

ตวอยางท 64 ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษรทไมซ ากน 4 ตว และไมจ าเปนตองมความหมายจากค า

วา “Published” จะสรางไดกค า เมอ

1) มพยญชนะ 2 ตว และสระ 2 ตว 2) มทงพยญชนะและสระ

3) มจ านวนพยญชนะและสระเทากนและใหสระอยตดกน

4) มทงพยญชนะและสระ โดยใหสระอยหวและทาย


35

Worksheet 4: การจดหม

1. จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) n,3C = 50,47C 2) n,7C = n,5C

3) n,3P = n,43C 4) n 2,3

n,2

C

C

= 4

2. ในการแขงขนฟตบอลซงประกอบดวยทมทงหมด 7 ทม จะจดใหทกทมแขงขนแบบพบกนหมด จงหา

1) แตละทมตองแขงขนกบทมอนๆกครง

2) มการขางขนทงหมดกครง

3. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก ประกอบดวยสแดง 4 ลก สขาว 3 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบลกบอล 3 ลก

จากกลองน จงหาจ านวนวธท

1) ไดลกบอลสแดง 1 ลก 2) ไดลกบอลสขาวอยางนอย 1 ลก

4. ขอสอบวชาฟสกสชดหนงม 8 ขอ นายมารโอตองท าขอสอบ 5 ขอจาก 8 ขอ นายมารโอ จะมวธในการเลอกท า

ขอสอบกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม 2) มารโอตองท าขอ 1 และขอ 2

5. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด ชดละ 13 ใบ คอชดโพแดง ดอกจก โพด าและขาวหลามตด จงหาจ านวน

วธในการหยบไพจากเงอนไขตอไปน

1) 3 ใบ 2) 13 ใบ

3) 5 ใบโดยตองเปนโพแดงทงหมด 4) หยบไพ 4 ใบใหครบชด

5) 10 ใบโดยเปนโพแดง 3 ใบ โพด า 2 ใบและขาวหลามตด 5 ใบ

6. ตองการน าตวอกษรจากค าวา “Summarize” มาสรางเปนค าใหมประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว โดยไม

จ าเปนตองมความหมาย โดยมเงอนไขตอไปน

1) ไมมเงอนไข 2) มพยญชนะอยางนอย 1 ตว

3) มพยญชนะ 2 ตวและสระอยตดกน 4) มพยญชนะสลบทกบสระ

7. มสาม ภรรยาจ านวน 4 ค ถาตองการน า 6 คนมานงรอบโตะกลม จะจดไดกวธเมอ

1) ไมมเงอนไข 2) ชายและหญง นงสลบทกน

3) ตองเปนสาม ภรรยากนทง 3 คและแตละคตองนงตดกน

4 ( 32102) 5 2 2560elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/859/course/summary/ความน่าจะ... · ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ......

Documents