4-2. DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN L Muhammad Musafar K 302 10 009 4-2-1 DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMANN L. Muhammad Musafar K. Telah ditunjukkan bahwa fungsi keadaan setimbang ) p (f0 r merupakan solusi dari persamaan (4-2). Fungsi tersebut disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann. Untuk menemukan bentuk fungsi dsitribusi Maxwell-Boltzmanntinjau persamaan (4-2), 0 ffff) 0 (2 ) 0 (1 ) 0 (2 ) 0 (1 = − ′ ′ (4-2) Lakukan logaritma pada kedua sisi persamaan tersebut, ) 0 (2 ) 0 (1 ) 0 (2 ) 0 (1 ffff′ ′ = ( ) ( ) ) 0 (2 ) 0 (1 ) 0 (2 ) 0 (1 fflog fflog ′ ′ = ) 0 (2 ) 0 (1 ) 0 (2 ) 0 (1 flog flog flog flog ′ + ′ = + (4-12) Karena { } 2 1 p , p r r menyatakan momentum keadaan awal dan { } 2 1 p , p ′ ′ r r momentum keadaan akhir suatu tumbukan, maka persamaan (4-12) merupakan sebuah bentuk hukum kekekalan. Jika p (r χ merupakan besaran terkait dengan molekul yang memiliki momentum p r , sedemikian sehingga berdasarkan persamaan (4-12), ) p () p (2 1 r r χ χ + bersifat kekal ketika terjadi tumbukan antara molekul yang memiliki momentum 1 p r dan 2 p r . Dengan demikian, solusi persamaan (4-12) adalah ) p (flog ) 0 (r χ = Atau dalam bentuk umum dapat dituliskan sebagai, ... ) p () p () p (flog 2 1 ) 0 (+ + = r r r χ χ Jika spin molekul diabaikan, maka selama terjadinya tumbukan biner besaran yang bersifat kekal adalah momentum dan energi kinetik. Oleh karena momentum dan energi kinetik merupakan fungsi dari p r maka ) p (flog ) 0 (r dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ( ) 2 0 p p r r − . Sehingga, ( ) 2 0 ) 0 (p p ) p (flog r r r − ≈
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Telah ditunjukkan bahwa fungsi keadaan setimbang ) p( f 0r
merupakan solusi dari
persamaan (4-2). Fungsi tersebut disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann. Untukmenemukan bentuk fungsi dsitribusi Maxwell-Boltzmann tinjau persamaan (4-2),
0 f f f f )0( 2
)0( 1
)0( 2
)0( 1 =−′′ (4-2)
Lakukan logaritma pada kedua sisi persamaan tersebut,
)0(
2
)0(
1
)0(
2
)0(
1 f f f f ′′=
( ) ( ) )0( 2
)0( 1
)0( 2
)0( 1 f f log f f log ′′=
)0( 2
)0( 1
)0( 2
)0( 1 f log f log f log f log ′+′=+ (4-12)
Karena { }21 p , p rr
menyatakan momentum keadaan awal dan { }21 p , p ′′ rr
momentum keadaan
akhir suatu tumbukan, maka persamaan (4-12) merupakan sebuah bentuk hukumkekekalan. Jika p(
r
χ merupakan besaran terkait dengan molekul yang memiliki
momentum pr
, sedemikian sehingga berdasarkan persamaan (4-12), ) p( ) p( 21
rr
χ χ +
bersifat kekal ketika terjadi tumbukan antara molekul yang memiliki momentum 1 pr
dan 2 p
r
. Dengan demikian, solusi persamaan (4-12) adalah
) p( f log )0( r
χ =
Atau dalam bentuk umum dapat dituliskan sebagai,
... ) p( ) p( ) p( f log 21 )0( ++=
rrr
χ χ
Jika spin molekul diabaikan, maka selama terjadinya tumbukan biner besaran yangbersifat kekal adalah momentum dan energi kinetik. Oleh karena momentum dan
Berdasarkan kenyataan fisis bahwa semakin tinggi energi atau momentum molekul,
maka jumlah molekul yang memiliki keadaan tersebut semakin sedikit maka nilai β pada persamaan tersebut harus bernilai negatif. Dengan demikian dapat dilakukan
penggantian β oleh –A. Sehingga,
( )20 p p A )0( Ce ) p( f
rr
r −−= (4-13)
Dengan menerapkan persamaan (3-5),
∫= pd )t , p ,r ( f n 3rr
maka dari persamaan subtitusi persamaan (4-13) menghasilkan
Jadi konstanta A berhubungan dengan energi kinetik rata-rata, yang diberikan olehhubungan
m4
3 A
ε = (4-18)
Subtitusi nilai A pada persamaan (4-18) ke dalam persamaan (4-14) menghasilkan
n1
m4
3C
2 / 3
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ×=
π ε
nm4
3C
2 / 3
⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛ =πε
(4-19)
Untuk menghubungkan energi rata-rata dengan besaran yang dapat terukur langsung,kita harus mencari persamaan keadaan terkait dengan fungsi distribusi keadaansetimbang. Oleh karena itu, kita harus menghitung tekanan yang didefenisikan olehgaya rata-rata tiap satuan luas yang bekerja pada sebuah permukaan gas . Tinjaupermukaan gas seperti ditunjukkan dalam gambar 4-1 dimana permukaan tersebut
memiliki arah normal disepanjang sumbu x. Sebuah molekul hanya dapat menumbukpermukaan ini hanya jika komponen x daripada momentumnya bernilai positif, yaitu
0 px > . Jadi molekul tersebut akan kehilangan momentumnya sebesar x p2 ketika
menumbuk permukaan tersebut. Jumlah molekul yang dipantulkan oleh permukaantersebut tiap detik adalah jumlah molekul yang terkandung dalam silinder tersebut,
dengan 0vx > . Jumlahnya adalah, pd ) p( f v 3 )0( x
v
. Oleh karena itu, tekanan yang
dihasilkan oleh gas dengan kecepatan rata-rata nol adalah
Persamaan ini disebut distribusi Maxwell-Boltzmann yang menyatakan probabilitasmenemukan sebuah molekul dengan momentum p
r
dalam gas yang berada pada
keadaan setimbang.
Jika tumbukan antara molekul dengan dinding kontainer gas bersifat elastis sempurna,
maka ) p( f )0( r
tidak akan berubah akibat tumbukan tersebut karena ) p( f )0( r
hanya
bergantung pada besar momentum. Sedangkan besar momentum sebelum dan setelahtumbukan tumbukan biner tidak mengalami perubahan sebagai mana telah dibahassebelumnya (lihat pasal 3.2 Tumbukan Biner ).
Untuk gas dengan 0 p0 =r
, kita defenisikan kecepatan yang paling mungkin daripada
dan telah diperoleh sebelumnya bahwa (lihat persamaan 4-22)
kT 2
3
pd ) p( f
pd ) p( f )m2 / p(
3 )0(
3 )0( 2
==∫
∫r
r
ε
maka
kT
2
3
m
2v2 ×=
Sehingga,
m
kT 3v2 =
Dengan demikian,
m
kT 3
pd ) p( f
pd ) p( f v
v
2 / 1
3 )0(
3 )0( 2
rms =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
= ∫∫
r
r
(4-25)
Pada temperatur kamar kelajuan untuk molekul gas oksigen berorde 105 cm/detik.
Plot ) p( f p4 )0( 2 r
π terhadap m / pv = ditunjukkan dalam Gambar 4.2. Terlihat bahwa
) p( f )0( r
tidak bernilai nol ketika v melebihi kecepatan cahaya. Ini karena kita
menggunakan dinamika Newtonian untuk molekul tanpa koreksi dinamika relativistik.
Error dapat diabaikan karena cv << , dimana kita peroleh 2mckT = . Dengan demikian,
untuk molekul hidrogen K 10T 13≈ .
Tinjau distribusi pada keadaan setimbang untuk gas dengan konsentrasi rendahdibawah pengaruh gaya eksternal yang bersifat konservatif, yang mana diberikan oleh
Selanjutnya akan diturunkan besaran-besaran termodinamika untuk gas dengankonsentrasi rendah (dilute gas). Temperatur gas telah didefenisikan oleh persamaan (4-22), dan telah diperoleh persamaan keadaan. Dengan defenisi tekanan, kerja yangdilakukan oleh gas ketika volume gas mengalami peningkatan sebesar dV adalahPdV . Energi dalam didefenisikan oleh,
NkT 2
3N )T ( U == ε (4-30)
Dari persamaan ini terlihat bahwa energi dalam hanya bergantung pada temperatur.
Dari hukum pertama termodinamika, panas yang terserap oleh sebuah sistemdidefenisikan sebagai,
PdV dU dQ += (4-31)
Ini berarti bahwa ketika panas ditambahkan pada sebuah sistem maka sistem tersebutakan melakukan kerja mekanik dan menyebabkan molekul bekerja dengan energi dU .Dari persamaan (4-31) dan (4-30) diperoleh kapasitas panas pada volume konstan,
Nk23C V =
Analogi bagi hukum kedua termodinamika adalah teorema H Boltzmann, dimana Htelah diidentifikasi sebagai negatif entropi tiap satuan volume dibagi oleh konstantaBoltzmann,
Vk
SH −= (4-33)
Jadi, teorema H menyatakan bahwa untuk volume tertentu (contohnya, gas terisolasi)entropi tidak pernah meningkat, sebagaimana dinyatakan dalam hukum keduatermodinamika.
Untuk meyakinkan bahwa persamaan (4-33) benar, maka akan dihitung nilai H padakeadaan setimbang. Dari teorema Boltzmann, pada persamaan (4-3) dinyatakan bahwa