3A Metodo Grafico C Mohr

Unidad temtica 3 Anlisis de esfuerzos en un punto*Mtodo Grafico. Circulo de Mohr3a.Parte

3.5 Mtodo grafico. Circulo de MohrExiste una interpretacin grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemn Otto Mohr (1882) a partir del uso de un crculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. *Pag 11

3.5 Mtodo grafico. Circulo de MohrLas ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramtricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuacin 3.1:*(3.1 y 3.2)

*Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, sx, sy, txy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, mientras que s y t son variables.

*Por lo tanto (sx +sy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuacin (3.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuacin (3.11) se transforma en: Esta ecuacin es anloga a la de una circunferencia: (x-c)2 + y 2= R2

*(3.13)Por lo que la circunferencia ser de radio y centro:11Construccin del circulo de Mohr

La figura 3.5 representa el crculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.

El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmtica de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectngulo CDA.

Se puede comprobar fcilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa grficamente la variacin de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2). *

*Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional

Construccin del circulo de Mohr*Dado el estado de esfuerzos biaxial: sx > sy, sytxysxa) (sx , -txy )b) (sy , tyx )abtyx

*t-t- s + sXYbacos mins maxt maxs nt min12122q12q22q22q12q = -120xs xt xy

Problema propuesto (Mtodo Grfico Circulo de Mohr) :Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar :

a) Los esfuerzos componentes sx, txy para q x = -30o

b) Los esfuerzos principales normales s1, s2 .

c) Su direccin y orientacin

d) Los esfuerzos principales cortantes t1, t2 y sn

e) Su direccin y orientacin *Caso 1

Mtodo Grfico: Circulo de MohrIdentificar el estado de esfuerzos

sx = + 500MPa (T)sy = - 300MPa (c) txy = - 100MPatyx = 100MPa2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.

3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centmetros; (10,-2) y (-6, 2).

4Trazar los ejes s vs. t en el papel milimtrico

Marcar los puntos a y b y unirlos con una lnea. Indicar el eje X de Ca y el y de CbMarcar el origen O y el centro C*abXYCost- s- t

8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales.

Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes:midiendo en el papel milimtrico cada punto indicado en la figura a partir del origen:

s Max =10.3cmx50=515MPa(+) s Min = -6.3cm x50=-315MPa t Max = 8.3cm x50= 415MPat Min = -8.3cm x50= -415MPa sn = 2cm x50 = 100MPa*abXYCos2121ttmax-t-s

*abXYos2t-t-s

Obtencin de la direccin de los esfuerzos principales normales y cortantes Los ngulos en el circulo son el doble del valor real.

2q Max = +15o q 1 =+ 7o2qMin = - 165 q 2 = - 85.5o 2q Max = + 105o q 1 =+52.5o2q Min = - 75o q 2 = - 37.5o

*abXYCos(s1 ,0)(t2 , s n)(t1 , s n)(s2 ,0)2121t2q 12q 22q 22q 1-s-t

Obtencin de las orientacin de los esfuerzos principales normales y cortantes. Con los ngulos anteriores se inicia la orientacin con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la direccin: q1 considerando su signo y aplicando la convencin; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X. ver orientacin del probl. Mtodo analtico*

Obtencin de las componentes de esfuerzos sx, txy para qx=-30o y sus correspondientes componentes a 90o ; sy, tyx . Se marca en el circulo a partir del eje X el ngulo 2q trazndose el nuevo eje X desde el centro del circulo C y la interseccin ser el punto cuyas coordenadas son: sx, txy luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y en cuya interseccin con el circulo representa el punto con coordenadas sy, tyx .*

*t-t- s + sxybacoCalculo de: sx , txy para q= -30o y sy y t xy para q = -30 + 90 = 60o21ab5A-Psx =+4.4cmx50=220MPatxy =-8cmx50=-400MPa

UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoMC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL*MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANLUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoMC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL*MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANLUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoMC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL*MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANLUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoMC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL*MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANLUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoUT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo GraficoMC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL*MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL