3.2 勾股定理的逆定理

a2+b2=c2

““ 普林顿普林顿 322”322” 泥板泥板

　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干

了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的．

泥板摹真图

泥板上的神秘符号实际上是一些数组．

　　经过专家的潜心研究 ,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长 ,只要再添加一列数 (如图左边的一列 ),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．

　　那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？

画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）． A ． 3 ， 4 ， 3 ； B ． 3 ， 4 ， 5 ； C ． 3 ， 4 ， 6 ； D ． 5 ， 12 ， 13 ．

画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）． A． 3， 4， 3    ； B． 3， 4， 5； C． 3， 4， 6    ； D． 5， 12， 13．

判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．A ． 　　 ； B ． __________ ；　　C ． 　　 ； D ． _________ ． 　　　

锐角三角形 直角三角形钝角三角形 直角三角形

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

32 ＋ 32 ＞ 42

32 ＋ 42 ＝ 52

32 ＋ 42 ＜ 62

52 ＋ 122 ＝ 132

　　猜想：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？

　 如果三角形的三边长 a、 b 、 c 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2

，那么这个三角形是直角三角形 .

　 ∵ a2 ＋ b2 ＝ c2 ，

　 ∴△ ABC为直角三角形．

股

勾

弦

C

A

B

A

C B

　　如果三角形的三边长 a、 b、 c满足a2 ＋ b2 ＝ c2 ，那么这个三角形是直角三角形．

满足 a2 ＋ b2 ＝ c2 的三个正整数，称为勾股数．

这个结论与勾股定理有什么关系？

概念归纳概念归纳

勾股定理逆定理

像（ 3 ， 4 ， 5 ）、（ 6 ， 8 ， 10 ）、（ 5 ， 12 ， 13 ）

等满足 a2 ＋ b2 ＝ c2 的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．

a 3 6 9 12 … 3n

b 4 8 12 16 … 4n

c 5 10 15 20 … 5n

a 3 5 7 9 11 … 2n+1

b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋ 1)

c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋ 1)＋ 1

①从前 2 个表中你能发现什么规律？

②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．

利用勾股数可以构造直角三角形 .

1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ）．

A ． 3 ， 4 ， 5 ；　　　B ． 10 ， 6 ， 8 ；C ． 4 ， 5 ， 6 ；　　D ． 12 ， 13 ， 5 ．

试一试

C

2 ．若△ ABC的两边长为 8 和 15 ，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　）

A ． 161 ；　　 B ． 289 ；　　 C ． 17 ；　　 D ． 161 或 289 ．

D

知识运用 例 1 　很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．

例 2 　已知某校有一块四边形空地 ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠ A＝ 90° ， AB＝ 3m ， BC＝ 12m ，CD＝ 13m ， DA＝ 4m ， 若每平方米草皮需 100元，问需投入多少元？

变式： 要做一个如图所示的零件，按规定∠ B与∠ D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗 ？　

　设△ ABC的 3条边长分别是 a、 b、 c，且 a＝ n2－ 1 ， b＝ 2n，c＝ n2 ＋ 1 ．问：△ ABC是直角三角形吗？

拓展延伸：

　　若△ ABC的三边 a、 b、 c满足条件

a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ 338 ＝ 10a＋ 24b＋ 26c

，试判断△ ABC的形状 .

思考：

　　通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？

本课总结：