摺紙證明勾股定理 II

Origami Math in LKJH

摺紙證明勾股定理 II

新北市林口國中 /數學輔導團交大 AMA團隊　李政憲[email protected]

AMA Working Group in NCTU


正方形色紙


向左摺出任意線段形成長方形

設左邊的長度為 a ，右邊的長度為 b

a b


向左摺出任意線段形成長方形

則摺進來的長度為 b ，剩餘的長度為 a

Q1 ：請問剩餘白色長方形　　的長與寬分別為多少？

b

a

a-b

a+b

長： a+b寬： a-b


將摺進來底下的角向上翻摺

b

a


將摺進來底下的角向上翻摺

b

aQ2 ：請問綠色長方形的面積　　為多少？故摺起來的三角形為

等腰直角三角形

a ab


將摺進來的部份向外翻

b

a


將摺進來的部份向外翻


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺

Q3 ：請問摺進來的三角形　　面積為多少？b

a 2

ab


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第一次摺的直角三角形


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第一次摺的直角三角形

Q4 ：請問兩個直角三角形所　　形成的角度為多少度？o

o x x

90o

o

x


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第二次摺的直角三角形

Q5 ：請問兩個綠色三角形的　　三邊長度是否完全相同？　　為什麼呢？

o

o

是


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第二次摺的直角三角形

Q6 ：請問兩個綠色三角形的　　三邊長度是否完全相同？　　三個角度呢？

同理所形成的角度亦為 90 度

是角度均相同


右下角翻開還原


右下角翻開還原


摺出圖示摺痕，將直角三角形向內摺，邊對齊第三次摺的直角三角形



Q7 ：請問目前整個四邊形是　　哪種四邊形？為什麼呢？

正方形四邊等長且四個角為直角



Q8 ：請問中間白色四邊形是　　哪種四邊形？為什麼呢？

正方形四邊等長且四個角為直角



Q9 ：請問白色四邊形的邊長　　與面積分別為多少呢？b

ab

ba

2ba

邊長

面積

a-ba-b



設此時正方形的邊長為 c c

Q10 ：請列出此時正方形與　　四個小三角形及中間　　白色正方形面積關係？

22 42

cab

ba

222 22 cabbaba

222 cba

a-b


將四個直角三角形向外翻

c



Q11 ：請列出整個正方形　　與四個直角三角形　　及中間白色正方形　　的面積關係？

ba

c

22 42

cab

ba

222 22 cabbaba

222 cba



設此時正方形的邊長為 c c

Q12 ：請問此時正方形總面積　　與減少部份總面積各為　　多少？

2c

abab

242

b

ac



c



ba

c

A

B

C

D

E


分別過 A、 D兩點摺出與邊長的垂線後還原

Q13 ：請問圖中與△ ABE　　　全等的不同三角形　　　共有幾組？

ba

c

A

B

C

D

E

五組


沿 B點向下剪至 F點

ba

c

A

B

C

D

E

F


將矩形 AFBE沿 AF邊後翻

ba

c

A

B

C

D

E

F


將矩形 AFBE沿 AF邊後翻

b

A

B

C

D

F

aE Q14 ：請問目前減少的總　　　面積為多少？

abab

22


將矩形 AHDG沿 DG邊後翻

b

A

B

C

D

F

G

H



bB

C

D

F

GA

H

Q15 ：請問目前減少的總　　　面積為多少？

abab

242



bB

C

D

F

G

Q16 ：請問目前剩下的總　　　面積為多少？

22 ba

aE

A

H a


將兩圖翻開對照

bB

C

D

F

G

Q17 ：請問兩者減少的總　　　面積各為多少？

c b

a

c

ab2均為

a


將兩圖翻開對照

Q18 ：請問兩者剩下的總　　　面積各為多少？

c b

a

c

22 ba 2c =

bB

C

D

F

G

a


參考資料：

• Pythagorean Theorem and its many proofs ：http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

• Origami Proof of the Pythagorean Theorem : http://www.youtube.com/watch?v=z6lL83wl31E

摺紙證明勾股定理 II

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