3. Linearna nezavisnost (3.01) Linearna nezavisnost Za skup vektora S = {v 1 , v 2 , ..., v n } kaˇ zemo da je linearno nezavisan skup kadgod je jedino rjeˇ senje homogene jednaˇ cine α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + α n v n = 0 za skalare α i trivijalno rjeˇ senje α 1 = α 2 = ... = α n =0. Ako postoji netrivijalno rjeˇ senje za α-e (tj. najmanje jedan α i 6= 0) date homogene jednaˇ cine, skup S je linearno zavisan skup . Drugim rijeˇ cima, linearno nezavisni skupovi su oni koji ne sadrˇ ze zavisne relacije, i linearno zavisni skupovi su oni skupovi u kojima je najmanje jedan vektor kombinacija svih osalih. Po dogovoru prazan skup je uvijek linearno nezavisan. (3.02) Linearna nezavisnost i matrice Neka je Am × n matrica. (i) Svaka od sljede´ cih tvrdnji je ekvivalentna tvr¯ denju da kolone matrice A formiraju linearno nezavisan skup. . ker(A)= {0}. . rang(A)= n. (ii) Svaka od sljede´ cih tvrdnji je ekvivalentna tvr¯ denju da redovi matrice A formiraju linearno nezavisan skup. . ker(A > )= {0}. . rang(A)= m. (iii) Kada je A kvadratna matrica, svaka od sljede´ cih tvrdnji je ekvivalentna tvr¯ denju da je A nesingularna. . Kolone matrice A formiraju linearno nezavisan skup. . Redovi matrice A formiraju linearno nezavisan skup. (3.03) Najve´ ci nezavisi podskupovi Ako je rang(A m×n )= r, tada vrijede sljede´ ce tvrdnje: (i) Najve´ ci nezavisni podskup kolona koji se moˇ ze izvu´ ci iz A sadrˇ zi taˇ cno r kolona. (ii)Najve´ ci nezavisni podskup redova koji se moˇ ze izvu´ ci iz A sadrˇ zi taˇ cno r redova. (iii) Me¯ du ostalim mogu´ cnostima za odabir, r osnovnih kolona iz A sadrˇ ze jedan najve´ ci nezavisni podskup kolona iz A. (3.04) Osnovne tvrdnje o nezavisnosti Za neprazan skup vektora S = {u 1 , u 2 , ..., u n } u vektorskom prostoru V , sljede´ ce tvrdnje su taˇ cne. (i) Ako S sadrˇ zi linearno zavisan podskup, tada i sam S mora biti linearno zavisan. (ii) Ako je S linearno nezavisan, tada je i svaki podskup od S tako¯ der linearno nezavisan. (iii) Ako je S linearno nezavisan i ako je v ∈V , tada produˇ zeni skup S prod = S∪{v} je tako¯ der linearno nezavisan ako i samo ako v 6∈ span(S ). (iv) Ako je S⊆ R m i ako je n > m, tada S mora biti linearno zavisan.