Linearna Algebra

FAKLUTET POLITEHNIČKIH NAUKAELEKTROTEHNIKA(TELEKOMUNIKACIJE)

DETERMINANTE-SEMINARSKI RAD-

-LINEARNA ALGEBRA-

Predmet:Linearna algebra Mentor: Student:Prof. Dr. Branko Sarić Keranović EnisAsistent: PT-140/14-IIViši asist. Selmir Dadanović

JUNI 2015.

SADRŽAJ:1. UVOD..........................................................................................................................................22. DETERMINANTE II REDA......................................................................................................33. DETERMINANTE III REDA.....................................................................................................44. IZRAČUNAVANJE VRIJEDNOSTI DETERMINANTI..........................................................6

4.1. DETERMINANTE II REDA..............................................................................................64.2. DETERMINANTE III REDA.............................................................................................94.3 RAZVIJANJE DETERMINANTE PO ELEMENTIMA JEDNE VRSTE.........................10

5. OSOBINE DETERMINANTI...................................................................................................136. RAČUNAVANJE VRIJEDNOSTI DETERMINANTI PRIMJENOM OSOBINA.................19

7. LITERATURA......................................................................................................................23

2

1. UVOD

Determinante je prvi otkrio i proučavao G. W. Leibniz 1693. godine ispitujući rješenja sistema linearnih jednačina . Ali kasnije se za otkrivača determinanti smatra G. Cramer koji je1750. godine dao pravila rješavanja jednačina pomoću determinanata, a u međuvremenu je Leibnizovo otkriće palo u zaborav. Determinante se široko primjenjuju u matematici tek nakon K. J. Jacobija. Naziv determinante uveo je u matematiku K. F. Gauss.

3

2. DETERMINANTE II REDA

Rješavanjem sistema od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate:

a11 x+a12 y=b1a21 x+a22 y=b2

pod uslovom da je a11 a22−a21a12≠0 odnosno

a11

a21≠

a12

a22

dolazimo do rjesenja:

x=b1 a22−b2 a12

a11a22−a21 a12y=

a11 b2−a21 b1

a11a22−a21a 12

Ovdje se primjećuje da je imenilac i kod x i kod y isti i jednak je:

a11a22−a21a12

Ovaj imenilac može se napisati i u obliku kvadratne šeme:

koju zovemo determinantom II reda.

Brojevi a11 , a12 , a21 , a22 zovu se elementi determinante i poredani su u vrste i kolone.

Prvu vrstu čine brojevi a11 , a12 , a drugu a21 i a22 .

Prvu kolonu čine brojevi a11 a21 , a drugu a12 i a22 . .

Dijagonala koja spaja a11 i a22 naziva se glavna dijagonala, a dijagonala koja spaja a21 i a12 je sporedna dijagonala.

4

3. DETERMINANTE III REDA

Rješavanjem sistema od tri linearne jednačine sa tri nepoznate:

a11 x+a12 y+a13 z=b1a21 x+a22 y+a23 z=b2a31 x+a32 y+a33 z=b3

pod uslovom da je zajednički izraz u imeniocima različit od nule, dolazimo do rješenja:

x=a22a33b1+a12 a23 b3+a13 a23b2−a23 a32 b1−a12 a33b2−a22 a13b3

a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23 a32−a12a21 a33

y=a11a33 b2+a31 a23 b1+a13a21b3−a11a23 b3−a21a33 b1−a13 a31 b2

a11a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32−a13a22a31−a11a23 a32−a12a21a33

z=a11a22 b3+a12a31b2+a21 a32 b1−a11a32 b2−a12a21 b3−a31a22 b1

a11a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11a23 a32−a12a21 a33

Zajednicki izraz u imeniocima može se napisati u obliku kvadratne šeme:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|

koju zovemo determinantom III reda.

Determinanta III reda ima tri vrste i tri kolone.Dupli indeks kod elemenata ima značenje da pokazuje kojoj vrsti ili kojoj koloni pripada neki elemenat.

Na primjer : a11- element koji pripada prvoj vrsti i prvoj koloni.

5

Analogno zapisu determinante II ili III reda, moze se napisati i determinanta IV reda:

|

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

|

determinanta V reda:

|

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

a51 a52 a53 a54 a55

|

kao i determinanta n reda:

|

a11 a12 a13 ⋯ a1 n

a21 a22 a23 ⋯ a2 na31 a32 a33 ⋯ a3 n

⋮ ⋮ ⋮a a a ⋯ ann

|

6

4. IZRAČUNAVANJE VRIJEDNOSTI DETERMINANTI

4.1. DETERMINANTE II REDA

Kada se od proizvoda elemenata glavne dijagonale oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali, dobija se vrijednost determinante II reda:

|a11 a13

a21 a22

|=a11 a22−a21 a23

Primjer 1.

| 3 64 8

|=24−24=0

Primjer 2.

| log m −1log n 1

|=log m+ log n=log (m⋅n)

Primjer 3.

|a+bi b2 a a−b i

|=a2−b2 i2−2 ab=a2+b2−2 ab=(a−b )2

(i2=−1 )

Primjer 4.

| sin α cos α−cos α sin α

|=sin2 α+cos2 α=1

Primjer 5.

|

1−t2

1+t22 t

1+ t2

−2 t1+t2

1− t2

1+t 2

|=(1−t2 )2+4 t 2

(1+t 2)2=1+2t2+t 4

(1+t 2)2=

( 1+ t2 )2

(1+t 2)=1

7

Primjer 6.

Riješiti sljedeće jednačine:

a )

|3 y−1 1

2(3+3 y )

4 y y

|− |

− y

1

−1

3 y

|=0

3 y2− y−2 y (3+3 y )−(−3 y2+1 )=0−7 y−1=0

y=−17

b )

|log x 32 1

|=0

log x−6=0log x=6x=1006

8

Primjer 7.

Rješiti sljedeću nejednačinu:

|sin(π

3−x) 1

−1 2

| < 1+√3

2 sin(π3

−x)+1<1+√3

sin(π3 −x)<√3

2

2 kπ+2 π3

<π3

−x<2kπ+7 π3

k∈ {0 , ±1 , ±2 , … }

2 kπ+π3

<−x<2kπ+2 π

−2 kπ−2 π<x<−2 kπ−π3

−2 π ( k+1 )< x<−2π (k+1 )+5 π3

ili

2 kπ<x<2 kπ+5 π3

9

4.2. DETERMINANTE III REDA

Vrijednost determinante III reda moze se dobijati na više načina, ali dva su najčešće u upotrebi :

SARUSOVO PRAVILOSarusovo pravilo podrazumjeva da pored glavne dijagonale dopišemo njenu prvu i drugu kolonu

Izračunavanjem determinante III reda:

Polazeći iz gornjeg lijevog ugla (tj. od elementa ) množimo brojeve po dijagonalama kako je naznačeno na gornjoj šemi i ispred njih stavljamo znak + ;zatim polazeći od gornjeg lijevog ugla (tj. od elementa ) mnozimo brojeve po dijagonalama kao sto je prikazano na šemi, stavljajući ispred znak - .

Izračunavanjem determinante III reda:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|

pomoću tzv. Sarusovog pravila dobijamo rješenje:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|=a11a22 a33+a12 a23 a31+a21 a32 a13−a31a22 a13−a21a12a33−a32 a23 a11

10

4.3 RAZVIJANJE DETERMINANTE PO ELEMENTIMA JEDNE VRSTE ILI JEDNE KOLONE

Ako elemente determinante trećeg reda označimo sa dva indeksa (a ij ) , kao na primjer:

|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|

pri čemu indeks i označava vrstu, a indeks j kolonu, shvatamo da svaki element ima svoje mjesto u šemi.Ta mjesta mogu biti parna ili neparna, što zavisi od toga da li je zbir indeksa (i+j) paran ili neparan. Ispred parnog elementa stavljamo + , a ispred neparnog - .Ako se iz šeme determinante izostave elementi i-te vrste ili j-te kolone, elementi koji ostanu čine determinantu čiji je red za jedan niži od reda polazne determinante, a ta determinanta naziva se

SUBDETERMINANTA ili MINOR elemenata M ij i označava se.Tako na primjer,subdeterminanta elementa iz predhodne determinante je:

M 23=|a11 a12

a31 a32

|

Ako je elemenat na neparnom mjestu, onda je njegova subdeterminanta predznaka - , a ako je na parnom mjestu onda je predznaka + .

Subdeterminanta nekog elementa npr. a23 zajedno sa svojim predznakom zove se ALGEBARSKI KOMPLEMENT ili kofaktor i obilježava se :

A23= (−1 )2+3 M 23=−¿ M 23

Na osnovu svega sto je navedeno može se definisati razvijanje determinante po njenim vrstama i kolonama. Razvoj determinante po prvoj vrsti izgledao bi ovako:

11

|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|=a11 A11+a12 A12+a13 A13=

=a11|a22 a23

a32 a33

|−a12|a21 a23

a31 a33

|+a13|a21 a22

a31 a32

|=

=a11 (a22a33−a32 a23 )−a12 (a21 a33−a31a23 )+a13 (a21a32−a31 a22)=

=a11a22a33−a11 a32 a23−a12 a21a33+a12a31a23+a13a21a32−a13 a31 a22

Prema tome, vrijednost determinante III reda se dobija ako se pomnože elementi jedne vrste (u našem slučaju prve vrste) ili jedne kolone sa odgovarajućim kofaktorima i saberu se.Ovo pravilo za izračunavanje vrijednosti determinante III reda zove se LAPLASOVO PRAVILO. Laplasovo pravilo vrijedi za izračunavanje vrijednosti determinante bilo kojeg reda,počev od III pa nadalje.

Primjer 8.

|1 2 31 3 91 4 16

|=1⋅3⋅16+2⋅9⋅1+4⋅1⋅4−1⋅3⋅4−4⋅9⋅1−16⋅1⋅2=

=48+18+16−12−36−32=2

Primjer 9.

|a −a aa a −aa −a a

|=a| a −a−a a

|−a|−a a−a a

|+a|−a aa −a

|=

=a (a2−a2)−a (−a2+a2)+a ( a2−a2)=0

12

Primjer 10.

Riješiti sljedeće jednačine:

a )

|x2 4 9x 2 31 1 1

|=0

2⋅x2⋅1+4⋅3⋅1+9⋅x⋅1−(1⋅2⋅9 )−(1⋅3⋅x2)−(1⋅4⋅x )=02 x2+12+9 x−18−3 x2−4 x=0x2−5 x+6=0x1=3 x2=2

b )

|4 −2 x+3x+2 1 31 −1 x

|=0

2| x+2 31 x

|+| 4 x+31 x

|+| 4 x+3x+2 3

|=0

2 ( x2+2 x−3 )+( 4 x−x−3 )+(12−x2−3 x−2 x−6 )=0x2+2 x−3=0x1=−3 x2=1

Primjer 11.

Riješi sljedeću nejednačinu:

|x 2 13 1 xx 3 1

|>0

13

Razdvajanjem determinante po tzv. Sarusovom pravilu dobijamo:

−x2+3>0 /¿ (−1 )x2−3<0( x−√3 ) ( x+√3 )<0

−∞ −√3 √3 ∞x−√3 − − +x+√3 − + +( x−√3 ) ( x+√3 ) + − +

−√3<x<√3

5. OSOBINE DETERMINANTI

Radi lakšeg izračunavanja determinanti korisno je znati njihove osobine. One se mogu i dokazati, ali ja ću ih pokazati na determinantama III reda, mada sledeće navedene osobine važe i za determinante bilo kog reda.

1. Vrijednost determinante se ne mijenja ako vrste po redu zamijene mjesta kolona po redu.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|= |a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

|

Ovaj postupak zove se transpozicija ili preklapanje preko glavne dijagonale. Determinanta dobijena transpozicijom zove se transponovana determinanta.Primjer 1.

14

|1 2 3−2 4 −64 2 6

|=|1 −2 42 4 23 −6 6

|

| 4 −62 6

|+2| 2 32 6

|−4| 2 34 −6

|=| 4 2−6 6

|+2| 2 23 6

|−4|2 43 −6

|

24+12+2 (12−6 )−4 (−12−12 )=24+12+2 (12−6 )−4 (−12−12 )48=48

2. Determinanta mijenja svoj znak ako u njoj bilo koje dvije vrste ili kolone medjusobno zamijene mjesta.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|=−|a21 a22 a23

a11 a12 a13a31 a32 a33

|

Primjer 2.

|1 1 32 −2 −6−1 4 6

|=−|2 −2 −61 1 3−1 4 6

|

| 2 −65 6

|−| 2 −6−1 6

|+3| 2 −2−1 4

|=−(2| 1 34 6

|+2| 1 3−1 6

|−6| 1 1−1 4

|)−12+24−12−6+24+6=−(12−24−12−6−24+6 )

24=−(24 )24=24

3. Ako su elementi jedne vrste (kolone) jednaki sa elementina neke druge vrste (kolone), tada je vrijednost determinante jednaka nuli.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|=0

Primjer 3.

15

|3 4 13 4 12 1 5

|=0

| 3 42 1

|−| 3 42 1

|+5| 3 43 4

|=0

3−8−3+8+60−60=00=0

4. Determinanta se množi ili dijeli jednim brojem k, ako se tim brojem pomnože ili podijele svi elementi jedne vrste (kolone).

k⋅|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|= |k⋅a11 a12 a13

k⋅a21 a22 a23k⋅a31 a32 a33

|= |k⋅a11 k⋅a12 k⋅a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|

Primjer 4.

2|5 6 30 1 27 4 5

|=|10 6 30 1 2

14 4 5|=|

10 12 60 1 27 4 5

|

2( 5| 1 24 5

|−0| 6 34 5

|+7| 6 31 2

| )=10| 1 24 5

|−0| 6 34 5

|+14| 6 31 2

|=0| 12 64 5

|+| 10 67 5

|−2| 10 127 4

|

2 (25−40+84−21 )=50−80+168−42=0+50−42−80+1682⋅48=218−122=168−72

96=96=96

5. Ako su u determinanti elementi jedne vrste ili jedne kolone proporcionalni sa odgovarajućim elementima druge vrste ili kolone determinanta je jednaka nuli.

|a11 k⋅a11 a13

a21 k⋅a21 a23a31 k⋅a31 a33

|=0 |a11 a12 a13

k⋅a11 k⋅a12 k⋅a13a31 a32 a33

|

16

Primjer 5.

|−1 −2 11 2 4−2 −4 8

|=0

−| 2 4−4 8

|−| −2 1−4 8

|−2| −2 12 4

|=0

−16−16+16−4+16+4=00=0

|2 1 −14 2 −21 5 4

|=0

2| 2 −25 4

|−| 4 −21 4

|−| 4 21 5

|=0

16+20−16−2−20+2=00=0

6. Ako su svi elementi jedne vrste (kolone) jednaki nuli, vrijednost determinante je jednaka nuli.

|a11 a12 0a21 a22 0a31 a32 0

|=0

Primjer 6.

|0 8 40 9 10 −1 2

|=0

0| 9 1−1 2

|−0| 8 4−1 2

|+0| 8 49 1

|=0

0=0

17

7.Ako su u determinanti elementi neke kolone (vrste) dati kao zbir dva sabirka (ili istog konačnog broja sabiranja) tada je ona jednaka zbiru dvije determinante (ili zbiru konačnog broja determinante) jednog sabirka iz svakog elementa te kolone (vrste) i dopisivanjem elemenata ostalih kolona (vrsta) istim redom kao u datoj determinanti tj.

|a11+b11 a12 a13

a21+b21 a22 a23

a31+b31 a32 a33

|= |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|+ |b11 a12 a13

b21 a22 a23

b31 a32 a33

|

Primjer 7.

|10 2 52 1 88 4 2

|=|8 2 51 1 84 4 2

|+|2 2 51 1 84 4 2

|

−2| 2 88 2

|+| 10 58 2

|−4| 10 52 8

|=−| 2 54 2

|−8| 8 24 4

|+| 8 54 2

|−| 2 54 2

|+| 2 54 2

|−8| 2 −24 4

|

−8+128+20−40−320+40=−4+20+16−20−256+64−4+20+4−20−64+64−180=−180

8.Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju elementi jedne odgovarajuće vrste (kolone) predhodno pomnožene jednim istim brojem.

18

Primjer 8.

|2 1 54 3 1−1 3 0

| II vrsta − III vrsta |2 1 55 0 1−1 3 0

| I kolona−5⋅III kolona

=|−23 1 50 0 1−1 3 0

|=−| −23 11 3

|=70

19

6. RAČUNAVANJE VRIJEDNOSTI DETERMINANTI PRIMJENOM OSOBINA

Primjer 1.

Pokazati da je:

|x y x+ yy x+ y xx+ y x y

|=−2 ( x3+ y3)

I kolona+ (II kolona+ III kolona ) |2 x+2 y y x+ y2 x+2 y x+ y x2 x+2 y x y

|=−2 ( x3+ y3 )

izvlacenjem 2 x+2 y iz 1. kolone 2 ( x+ y )|1 y x+ y1 x+ y x1 x y

|=−2 ( x3+ y3 )

II vrsta−I vrsta 2 ( x+ y )|1 y x+ y0 x − y1 x y

|=−2 ( x3+ y3)

III vrsta−I vrsta 2 ( x+ y )|1 y x+ y0 x − y0 x− y −x

|=−2 ( x3+ y3)

2 ( x+ y ) (−x2+xy− y2)=−2 ( x3+ y3 )−2 ( x+ y ) ( x2−xy+ y2)=−2 ( x3+ y3 )−2 ( x3+x3)=−2 ( x3+ y3 )

20

Primjer 2.

|2 x+ y+z y zx x+2 y+z zx z z+ y+2 z

|=2 ( x+ y+z )3

I kolona+ (II kolona+ III kolona ) |2 x+2 y+2 z y z2 x+2 y+2 z x+2 y+z z2 x+2 y+2 z y x+ y+2 z

|=2 ( x+ y+ z )3

izvlcenjem 2x+2 y+3 z iz 1. kolone 2 ( x+ y+z )|1 y zy x+2 y+z z1 y x+ y+2 z

|=2 (x+ y+z )3

III vrsta− I vrsta 2 ( x+ y+ z ) |1 y z1 x+2 y+z z0 0 x+ y+ z

|=2 ( x+ y+z )3

izvlacenjem ( x+ y+z ) iz 3 . vrste 2 ( x+ y+z )2|1 y z0 x+2 y+z z0 0 1

|=2 ( x+ y+z )3

II vrsta − I vrsta 2 ( x+ y+z )2|1 y z0 x+ y+z 00 0 1

|=2 (x+ y+z )3

izvlacenjem ( x+ y+ z) iz 2 . vrste 2 ( x+ y+z )3|1 y z0 1 00 0 1

|=2 ( x+ y+z )3

2 ( x+ y+z )3 (1⋅| 1 00 1

|)=2 ( x+ y+z )3

2 ( x+ y+z )3=2 ( x+ y+z )3

21

Primjer 3.

|a−b−c 2a 2aab b−c−a 2b2c 2c c−a−b

|= (a+b+c )3

II kolona−I kolona |a−b−c a+b+c 2a2b −(a+b+c ) 2b2c 0 c−a−b

|=(a+b+c )3

izvlacenjem ( a+b+c ) iz 3. kolone (a+b+c )2|a−b−c 1 12b −1 02c 0 −1

|=(a+b+c )3

I vrsta+ III vrsta (a+b+c )2|a−b+c 1 02b −1 02c 0 −1

|=(a+b+c )3

I vrsta+ II vrsta (a+b+c )2|a+b+c 0 02b −1 02c 0 −1

|=(a+b+c )3

izvlacenjem ( a+b+c ) iz 1 . vrste ( a+b+c )3|1 0 02b −1 02c 0 −1

|=(a+b+c )3

( a+b+c )3=( a+b+c )3

22

Primjer 4.

|

x 5 2 x5 5 2 x2 2 2 xx x x x

|=0

I vrsta−II vrsta |

x−5 0 0 05 5 2 x2 2 2 xx x x x

|=0

( x−5 )|5 2 x2 2 xx x x

|=0

23

7. LITERATURA

Mr. Vene T. BogoslavovZbirka riješenih zadataka iz matematike IIIZavod za udžbenike i nastavna sredstva Beograd 2002.

Mr. Branislav StojnovićZbirka zadataka iz matematikeIP „SVIJETLOST“ D.D. Zavod za udžbenike i nstavna sredstva Sarajevo 1991.

Dr. Jovan D. KečkićMatematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole„NAUČNA KNJIGA“ Beograd. Zavod za udžbenike Novi Sad 1992.

Dr. Ernest StipanićMatematika za III razred usmjerenog obrazovanja„NAUČNA KNJIGA“ Beograd, 1979.

Dr. Milan DreševićElementi linearne algebre (IV izdanje)„KULTURA“ Književno-izdavačka zadruga Beograd 1991.

Gojko KabajdžićLinearna Algebra, analitička geometrija za IV razred usmjerenog obrazovanja - matematičko-tehničke struke (II izdanje)“NAUČNA KNJIGA“ Beograd, 1988.

Vladimir Stojanovic, Ninoslav Ćirić5 MATEMATESKOP 5, Odabrani zadaci za III razred srednje škole„MAEMATESKOP“, Beograd 1998.

Srđan Ognjanović, Živorad IvanovićMatematika III, Zbirka riješenih zadataka za II razred gimnazije i tehničke škole„KRUG“ Beograd, 2008.

24