3^ Lezione • Disequazioni algebriche . • Disequazioni di 1° . • Disequazioni di 2° . • Disequazioni fattoriali . • Disequazioni biquadratiche . • Disequazioni binomie . • Disequazioni fratte . • Sistemi di disequazioni . Corso di Analisi: Algebra di Base • Allegato Esercizi .
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3^ Lezione
• Disequazioni algebriche .
• Disequazioni di 1° .
• Disequazioni di 2° .
• Disequazioni fattoriali .
• Disequazioni biquadratiche .
• Disequazioni binomie .
• Disequazioni fratte .
• Sistemi di disequazioni .
Corso di Analisi: Algebra di Base
• Allegato Esercizi .
DISEQUAZIONI DI 1° GRADO :
Per disequazione si intende una diseguaglianza tra due espressioni algebriche. I simboliche rappresentano tale diseguaglianza sono detti simboli di maggiorazione (>) e diminorazione (<).
Risolvere una disequazione significa determinare un insieme di valori da assegnare allavariabile x affinché risulti verificata la diseguaglianza data.
ax b+ > 0 ax⇒ > xb ⇒− > − b
a
Es. 2 4x − > 0 x⇒ > 2
da notare che il valore di x = 2 non fa parte dell’insieme delle soluzioni.
Equivalentemente potremo rappresentare l’insieme delle soluzioni trovate tramite ladefinizione di intervallo ( insieme di numeri reali limitato da due estremi , inclusi o esclusi , dallostesso) .
E quindi dire che x > 2 equivalentemente significa : ] [+∞∈ℜ∈∀ ,2: xx (intervallo aperto)
Es. 2 4x ≥ 2≥⇒ x
in questo caso il valore di x = 2 fa parte dell’insieme delle soluzioni.
E cioè saranno soluzioni della disequazione tutte le [ [x ∈ +∞2,
Sarà possibile comunque verificare se le soluzioni sono corrette considerando un valoredell’intervallo ( per es. x = 3 ) e sostituirlo alla diseguaglianza data :
04)3(2 ≥− 02046 ≥⇒≥−⇒ che sicuramente verifica.
2
- +
2
- +
Da notare che se avessimo 042 ≥−− x e quindi il coefficiente del termine incognitonegativo, converrà cambiare segno a tutti i termini della disequazione ricordando che conessi cambierà necessariamente anche il verso.
Di qui allora si avrà : 2042 −≤⇒≤+ xx
DISEQUAZIONI DI 2° GRADO :
Es . 2 3 1 02x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0
0132 2 =+− xx equaz. associata
=
==
±=
12
1
4
13
2
1
21
x
xx
-2
- +
ax bx c2 0+ + > a > 0 ax bx c2 0+ + <
1) ∆ > 0 x x< 1 e x x> 2 1) ∆ > 0 x x x1 2< <
2) ∆ = 0
−
ℜ∈∀a
bx
2\ 2) ∆ = 0 /∀ ∈ ℜx
3) ∆ < 0 ∀ ∈ ℜx 3) ∆ < 0 /∀ ∈ ℜx
da cui si ha :
2
1≤x , 1≥x
Es . 4 4 1 02x x+ + > ∆ = − =16 16 0
∀ ∈ℜx \ x = − = −
4
8
1
2
Da ricordare che un polinomio di 2° grado il cui discriminante sia nullo rappresenta sempreil quadrato di un binomio.
Per cui 4 4 1 02x x+ + = ( ) 012 2 =+⇒ x
Es. x x2 4 5 0+ + ≥ ∆ = − = − <16 20 4 0
∀ ∈ℜx
Es. 3 5 1 02x x+ + < ∆ = − = >25 12 13 0
3 5 1 02x x+ + = x 12
5 13
6=
− ±
+ - +
12
1
2
1−
− −
< <− +5 13
6
5 13
6x
Es. 9 6 1 02x x+ + < ∆ = − =36 36 0
/∀ ∈ ℜx
e infatti ricordiamo che :
( ) 0131690 22 <+=++⇒=∆ xxx
+ < 0 non può mai essere vero !
Es. 9 6 1 02x x− + ≤ ∆ = 0
/∀ ∈ ℜx \ xb
ax= − ⇒ =
2
1
3
Es. 4 2 2 02x x+ + < ∆ < 0
/∀ ∈ ℜx
3
1
6
135
6
135 +−−−
Ricordiamo come fatto importante che un’equazione di 2° grado del tipo :
il cui discriminante sia ∆ ≥ 0 è sempre scomponibile
nella forma :
E quindi se abbiamo 2 3 1 02x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0
possiamo scrivere equivalentemente : ( )21
21x x−
⋅ − ≥ 0
DISEQUAZIONI FATTORIALI :
Derivano da tutte le disequazioni di grado uguale o superiore al 2°.
A x B x C x( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ ........ ⋅ ≥Z x( ) 0
Risolveremo tali tipi di disequazioni discutendo la positività di ogni singolo fattore ; quindischematicamente avremo :
A x
B x
C x
Z x
( )
( )
( )
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
( )
≥≥≥
≥
0
0
0
0
ax bx c2 0+ + =
( ) ( )a x x x x− ⋅ − =1 2 0
Riprendendo l’esempio di sopra abbiamo che :
( ) ( )x x− ⋅ − ≥12 1 0 Risolveremo quindi come segue :
( )x − ≥12 0
2
1≥⇒ x
( )x − ≥1 0 1≥⇒ x
e cioè sarà verificata per valori esterni alle due soluzioni.
Dobbiamo infine unire tramite prodotto i risultati finali della disequazione :prenderemo comerisultati che verificano la disequazione quelli che sono concordi con il segno iniziale dellastessa. E quindi in questo caso abbiamo che :
x ≤1
2 , x ≥ 1
DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE
Così come già affrontato per le equazioni , anche per le disequazioni di 4° grado mancanti deitermini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA.
Simbolicamente si avrà : ax bx c4 2 0+ + >
La risoluzione di tale tipo di disequazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :
dopo aver posto x t2 = andremo a risolvere una semplice disequazione di 2° grado nellavariabile t per riportarci infine , dopo una ulteriore sostituzione , alle corrispondenti disequazionipure nella variabile x .
12
1
+ - +
12
1
Es. 024 >++ cbxax posto x t2 = 02 >++⇒ cbtat
tb b ac
a
t
t1
2
21
2
4
2=
− ± −=
==
. . . .
. . . .
=
=⇒
22
12
tx
tx
4 3 1 04 2x x− − ≤ txposto =⇒ 2 0134 2 ≤−−⇒ tt
e quindi risolvendo in t troviamo − ≤ ≤ +1
41t il che porta a :
− ≤ ≤ +1
412x
+≤≤−ℜ∈∀
⇒
+≤
−≥⇒
111
4
1
2
2
x
x
x
x
le soluzioni finali saranno date dalla unione delle singole soluzioni;
E quindi avremo che 11 +≤≤− x .
Ricordiamo che la soluzione poteva essere trovata anche in altra maniera :
4 3 1 04 2x x− − ≤ 0134 22 ≤−−⇒=⇒ tttx e poiché ∆ ≥ 0
ricordando che ( ) ( ) 00 212 =−⋅−⇒=++ ttttacbtat allora avremo :
( )41
41 0t t+
⋅ − ≤ da risolvere come disequazione fattoriale :
( )41
41 02 2x x+
⋅ − ≤ ⇒
+≥−≤⇒≥−
ℜ∈∀⇒≥+
1;101
04
1
2
2
xxx
xx
E quindi avremo che : 11 +≤≤− x .
Es. 0132 24 ≥+− xx ( ) 012
12 22 ≥−⋅
−⇒ xx
≥−
≥−⇒
01
02
1
2
2
x
x
+≥−≤
+≥−≤
1;12
1;
2
1
xx
xx
e quindi 1−≤x ; 2
1
2
1+≤≤− x ; 1−≥x
DISEQUAZIONI BINOMIE
Come visto per le equazioni anche per le disequazioni di grado superiore al 2° costituite da unpolinomio di soli due termini ( binomio ) si parla di disequazione binomia .
La forma sarà del tipo 0>+ baxn
La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazionefattoriale .
12
1
2
11 ++−−
+ - + - +
11 +−
+ - +
Es: risolvere : 014 <−x
( )( ) 1101101 224 +<<−⇒<+−⇒<− xxxx
Es: risolvere : 083 ≥−x
( )( ) 2042208 23 ≥⇒≥++−⇒≥− xxxxx
Es: risolvere : 0646 >−x
( ) ( ) ( )( ) 2,2016440202 242323266 +>−<⇒>++−⇒>−⇒>− xxxxxxx
Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,possiamo risolvere una disequazione binomia in maniera più semplice:
a) come una disequazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,b) come una disequazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice ,( se di indice n-dispari ).
Sinteticamente :
Riesaminando gli esempi precedenti si ha :
Es: risolvere : 014 <−x ⇒ 1114 +<<−⇒< xx
)(0
)(0
)(,0
disparina
bx
a
bxbax
parina
bx
a
b
a
bxbax
parina
bx
a
bx
a
bxbax
nnn
nnnn
nnnn
−−>⇒−>⇒>+
−−+<<−−⇒−<⇒<+
−−+>−−<⇒−>⇒>+
Es: risolvere : 083 ≥−x ⇒ 2288 3 333 ≥⇒≥⇒≥⇒≥ xxxx
Es: risolvere : 0646 >−x ⇒ 2,2646 +>−<⇒> xxx
Es: risolvere : 033 ≤+x ⇒ 333 333 −≤⇒−≤⇒−≤ xxx
Es: risolvere : 058 >+x ⇒ ℜ∈∀⇒−> xx 58
DISEQUAZIONI FRATTE
Così come le equazioni fratte , le disequazioni si presentano nella forma :
0)(
)(≥
xB
xA opp. 0
)(
)(≤
xB
xA
La loro risoluzione ricalca identicamente il metodo usato per le fattoriali :quindiindipendentemente dal segno si discuterà la positività del singolo numeratore edel singolo denominatore.E quindi sarà :
0)(
0)(
>
≥
xB
xA di qui ci comporteremo come per le fattoriali
N.B. come si può notare per la realtà di una frazione il denominatore non può essere mai nullo ( quindi B x( ) > 0 e non B x( ) ≥ 0 ).
Es. 01
652
≥−
+−x
xx
1010
3;20650 2
>⇒>−⇒>
≥≤⇒≥+−⇒≥
xxD
xxxxN
quindi il risultato finale sarà + < ≤1 2x , x ≥ 3
Es. ( )
073
422 ≤
−−
xx
xx
( )
3
7;00730
4
00420
2 ><⇒>−⇒>
≥≥
⇒≥−⇒≥
xxxxD
x
xxxN
per cui avremo :
3
7;00
4;00
><⇒>
≥≤⇒≥
xxD
xxN
da cui i risultati finali che sono : 7
34< ≤x
0 3
7
0 4
321
- + - +
0 3
7 4
+ + - +
SISTEMI DI DISEQUAZIONI :
Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di due o più disequazioni . Risolvere talesistema significa determinare quell’insieme di valori da attribuire alla incognita x affinché lesingole diseguaglianze siano contemporaneamente verificate ( valuteremo le intersezioni dellalinea continua).
Es.
2 4 0
3 2 0
1
10
2
x
x
x
x
− <
− + ≥+−
>
andiamo a risolvere singolarmente ogni disequazione ;
+>−<
+≤≤−
<
1;1
3
2
3
2
2
xx
x
x
e quindi non essendo la linea continua presente contemporaneamente per le tre disequazioni,concluderemo che il sistema non ha soluzioni.
-1 3
2
3
2 +− +1 +2
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE
ESERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Esercizi della 3°lezione di Algebra di base
pino s treu
pino s treu
pino s treu
pino s treu
pino s treu
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pino s treu
pino s treu
pino s treu
pino s treu
pino s treu
pino s treu
Risolvere le seguenti disequazioni di primo e di secondo grado :
1. 3 7 0x − ≥
3
773073 ≥⇒≥⇒≥− xxx
2. 3 27 0x − ≤
92730273 ≤⇒≤⇒≤− xxx
3. − + ≥4 16 0x
401640164 ≤⇒≤−⇒≥+− xxx
4. 063 ≥−− x
2063063 −≤⇒≤+⇒≥−− xxx
5. 0135 ≥−x
5
1301350135 ≥⇒≤−⇒≥− xxx
6. 3 4 1 02x x− + <
13
1
13
1
3
1201
40143
0143.'0143
2
1
21
2
22
<<⇒⇒
=
==±=⇒>=∆=+−⇒
=+−<+−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxx
xxassociataequazlrisolvendoxx
3
7
9
4
-2
5
13
7. 2 3 2 02x x+ − >
2
1,2
2
1
2
4
2530250232
0232.'0232
2
1
21
2
22
>−<⇒⇒
=
−==±−=⇒>=∆=−+⇒
=−+>−+
xxnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxx
xxassociataequazlrisolvendoxx
8. x x2 6 3 0+ − >
323,323
323
323123012
4036
036.'036
2
1
21
2
22
+−>−−<⇒⇒
+−=
−−==±−=⇒>=∆=−+⇒
=−+>−+
xxnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxx
xxassociataequazlrisolvendoxx
3
1 1
-2 2
1
323 −− 323 +−
9. x x2 4 5 0− − ≤
51
5
19209
4054
054.'054
2
1
21
2
22
≤≤−⇒⇒
=
−==±=⇒>=
∆=−−⇒
=−−≤−−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxx
xxassociataequazlrisolvendoxx
10. − − + <x x2 3 0
2
131,
2
131
2
131
2
131
2
13101303
03.'03
2
1
21
2
22
+−>
−−<⇒⇒
+−=
−−=
=±−
=⇒>=∆=−+⇒
=+−−<+−−
xxnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxx
xxassociataequazlrisolvendoxx
11. ( ) ( )− − − − + >x x x2 2 1 82 2
( ) ( ) ( ) xxxxxxxx 8144448122 2222 >+−−++⇒>+−−−−
-1 5
2
131 −−
2
131 +−
( )
11
1033'033
03308383814444
21
22
2222
+<<−⇒⇒
±=⇒=−<−⇒
<−⇒>−++−⇒>+−−++⇒
xnidisequaziolerelativatabellalapere
xxassociataequazionelrisolvendox
xxxxxxxxx
12. x 2 12 0+ <
ℜ∈∀/⇒⇒
<−=∆=+<+
xnidisequaziolerelativatabellalapere
poichèxassociataequazlrisolvendox 048012.'012 22
13. 9 25 02x − >
3
5,
3
5
3
5
09000259.'0259
21
22
>−<⇒⇒±=⇒
>=∆=−>−
xxnidisequaziolerelativatabellalaperex
poichèxassociataequazlrisolvendox
-1 +1
3
5−
3
5+
14. − − <4 6 02x
ℜ∈∀⇒⇒
<−=∆=+<−−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
poichèxassociataequazlrisolvendox 096064.'064 22
15. 16 5 02x + >
ℜ∈∀⇒⇒
<−=∆=+>+
xnidisequaziolerelativatabellalapere
poichèxassociataequazlrisolvendox 03200516.'0516 22
16. 1
52 5 02x x− + ≤
{ }
5
52
002510.'0525
1
21
22
=
−ℜ∈∀/⇒−==⇒
=∆=+−≤+−
xancheo
xnidisequaziolerelativatabellalaperea
bxx
poichèxxassociataequazlrisolvendoxx
5
17. ( )7 3 4 2 12x x x x− − + ≥ +
( )
ℜ∈∀⇒⇒
<−=∆
⇒=++>++⇒
>++⇒+>++−⇒+≥+−−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
xxassociataequazionelrisolvendoxx
xxxxxxxxxx
0104
0112'0112
011212123712437
22
222
18. ( )8 3 2 3 12− ≥ + −x x
( )
3
101
3
101
3
101
3
101
3
101010
40323
.'0323032313238
2
1
21
2
222
+−≤≤−−⇒⇒
+−=
−−=
=±−=⇒>=∆=−+⇒
≤−+⇒≥+−−⇒−+≥−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
x
xxpoichèxxassociata
equazlrisolvendoxxxxxx
3
101 −−
3
101 +−
19. − −
≤ −2
21 2
3
4
2xx
ℜ∈∀⇒⇒
<−=∆⇒=+≥+⇒
−≤−+−⇒−≤
+−−⇒−≤
−−
xnidisequaziolerelativatabellalapere
xassociataequazionelrisolvendox
xxx
xxx
xx
040052'052
4
3222
24
321
42
4
321
22
22
222
20. ( )
−−>−−
8
3
2
13232 2 xxx
( ) ( )
ℜ∈∀/⇒
⇒<−=∆
⇒=+−⇒
<+−⇒+>−+−⇒
+−>+−−⇒
−−>−−
x
nidisequaziolerelativatabellalaperexx
associataequazionelrisolvendoxxxxx
xxxxxxx
09564
015318864
'0153188648
9
2
118248
8
9
2
3291242
8
3
2
132322
2
22
22
Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo :
21. x x x3 24 7 4 0− + − ≥
0474 23 ≥−+− xxx tramite Ruffini
( )( ) 0431 2 ≥+−− xxx
( )( )ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥+−
≥⇒≥−⇒≥+−−⇒
xxx
xxxxx
07043
1010431
22
per cui si ha :
1≥x
22. − − + + ≤x x x3 22 5 6 0
0652 23 ≤++−− xxx tramite Ruffini
( )( ) 061 2 ≤+−−+ xxx
( )( )23025
0606
101
061 222
+≤≤−⇒>=∆⇒≤−+⇒≥+−−
−≥⇒≥+
⇒≤+−−+⇒x
xxxx
xx
xxx
per cui si ha :
2,13 +≥−≤≤− xx
+ 1
- +
+ 1 - 4 + 7 - 4
x = +1 + 1 - 3 + 4
+ 1 - 3 + 4 0
- 1 - 2 + 5 + 6
x = - 1 + 1 + 1 - 6
- 1 - 1 + 6 0
- 3 - 1 + 2
+ - + -
23. x x3 5 2 0− + ≥
0253 ≥+− xx tramite Ruffini
( )( ) 0122 2 ≥−+− xxx
( )( )21,21
024
012
202
0122 22
+−≥−−≤⇒
>=∆
⇒≥−+
+≥⇒≥−
⇒≥−+−⇒
xx
xx
xx
xxx
per cui si ha :
2,2121 +≥+−≤≤−− xx
24. x x x3 22 2 0− − + ≤
022 23 ≤+−− xxx tramite Ruffini
( )( ) 021 2 ≤−−− xxx
( )( )2,1
0902
101
021 22
+≥−≤⇒>=∆⇒≥−−
≥⇒≥−
⇒≤−−−⇒xx
xx
xx
xxx
per cui si ha :
21,1 +≤≤+−≤ xx
21−− 21+− + 2
- + - +
- 1 + 1 + 2
- + - +
+ 1 - 2 - 1 + 2
x = + 1 + 1 - 1 - 2
+ 1 - 1 - 2 0
+ 1 0 - 5 + 2
x = + 2 + 2 + 4 - 2
+ 1 + 2 - 1 0
25. x x3 8 8 0− − <
0883 <−− xx tramite Ruffini
( )( ) 0422 2 <−−+ xxx
( )( )51,51
054
042
202
0422 22
+>−<⇒
>=∆
⇒>−−
−>⇒>+
⇒<−−+⇒
xx
xx
xx
xxx
per cui si ha :
5151,2 +≤≤−−< xx
26. x x x4 3 27 17 0+ + ≤
( ) 01770177 22234 ≤++⇒≤++ xxxxxx
( )ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥++
ℜ∈∀⇒≥⇒≤++⇒
xxx
xxxxx
0190177
00177
2
222
per cui si ha :
{ } 00 =−ℜ∈∀/ xancheox
-2 51− 51+
- + - +
0
+ +
+ 1 0 - 8 - 8
x = - 2 - 2 + 4 + 8
+ 1 - 2 - 4 0
27. x x4 23 2 0− + ≤
023 24 ≤+− xx tramite Ruffini
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )( )( ) 0211
01211.0221
2
223
≤−+−⇒
≤+−+−⇒⇒≤−−+−
xxx
xxxxteparzialmenraccexxxx
( )( )( )2,20802
101
101
02112
2
≥−≤⇒>=∆⇒≥−
−≥⇒≥+≥⇒≥−
⇒≤−+−⇒
xxx
xx
xx
xxx
per cui si ha :
21,12 +≤≤−≤≤− xx
Potevamo risolvere anche la disequazione come biquadratica :
( )( ) ( )( )
2,2
1,1
2
1021021
om2
1
2
13023
'01023023
2
2222
2
1
21
2
2224
+≥−≤
+≥−≤⇒
≥
≥⇒≤−−⇒=≤−−⇒
=
==±=⇒=+−
>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−
xx
xx
x
xxxtxndorisostitueett
notevoleiotrinilperet
ttttassociata
equazionedalletttxpostoxx
2− -1 +1 2+
+ - + - +
+ 1 0 -3 0 + 2
x = + 1 + 1 + 1 - 2 - 2
+ 1 + 1 - 2 - 2 0
per cui si ha :
21,12 +≤≤−≤≤− xx
28. 0127 24 >+− xx
( )( ) ( )( )
2,2
3,3
4
3043043
om4
3
2
170127
'0101270127
2
2222
2
1
21
2
2224
+>−<+>−<
⇒
>
>⇒>−−⇒=>−−⇒
=
==±=⇒=+−
>=∆⇒>+−⇒=⇒>+−
xx
xx
x
xxxtxndorisostitueett
notevoleiotrinilperet
ttttassociata
equazionedalletttxpostoxx
per cui si ha :
2,33,2 +>+<<−−< xxx
2− -1 +1 2+
+ - + - +
-2 3− 3+ +2
+ - + - +
29. 0134 24 ≥−− xx
( ) ( )
1,11
4
1
014
1401
4
14
om1
4
1
8
2530134
'02501340134
2
2
222
2
1
21
2
2224
+≥−≤
ℜ∈∀⇒
≥
−≥⇒
≥−
+⇒=≥−
+⇒
=
−==
±=⇒=−−
>=∆⇒≥−−⇒=⇒≥−−
xx
x
x
x
xxtxndorisostitueett
notevoleiotrinilperet
ttttassociata
equazionedalletttxpostoxx
per cui si ha :
1,1 +≥−≤ xx
30. 0583 24 ≤+− xx
( ) ( )
3
5,
3
5
1,1
3
5
1
03
5130
3
513
om
3
5
1
3
140583
'014
05830583
2
2
222
2
1
21
2
2224
+≥−≤
+≥−≤⇒
≥
≥⇒
≤
−−⇒=≤
−−⇒
=
==
±=⇒=+−
>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−
xx
xx
x
x
xxtxndorisostitueett
notevoleiotrinilperet
ttttassociata
equazionedalletttxpostoxx
-1 +1
+ - +
per cui si ha :
3
51,1
3
5+≤≤+−≤≤− xx
31. 015 ≥−x
015 ≥−x tramite Ruffini
( )( ) 011 234 ≥++++− xxxxx
ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :
( )( ) 101011 234 ≥⇒≥−⇒≥++++− xxxxxxx
quindi più direttamente si avrà che se :
11101 555 ≥⇒≥⇒≥⇒≥− xxxx
3
5− -1 +1
3
5+
+ - + - +
+1 0 0 0 0 - 1
x = +1 +1 +1 +1 +1 +1
+1 +1 +1 +1 +1 0
32. 0325 <+x
0325 <+x tramite Ruffini
( )( ) 0168422 234 <+−+−+ xxxxx
ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :
( )( ) 2020168422 234 −<⇒<+⇒<+−+−+ xxxxxxx
quindi più direttamente si avrà che se :
( ) 223232032 5 5555 −<⇒−<⇒−<⇒−<⇒<+ xxxxx
33. 0137 ≥−x
direttamente si avrà che : 777 1313013 −≥⇒−≥⇒≥+ xxx
34. ( ) 063 ≥+x
ora poiché : ( ) ( )( )( ) 066606 3 ≥+++⇒≥+ xxxx
da cui per l'esponente dispari ( n° dispari di fattori ) : ( ) 606 −≥⇒≥+ xx
+1 0 0 0 0 +32
x = -2 - 2 +4 -8 +16 -32
+1 -2 +4 -8 +16 0
35 . 0273 ≤−x tramite Ruffini
( )( ) 0933 2 ≤++− xxx
ora poiché il polinomio di secondo grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali , 0<∆ ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si hache :
( )( ) 3030933 2 ≤⇒≤−⇒≤++− xxxxx
quindi più direttamente si avrà che se :
332727027 3 5333 ≤⇒≤⇒≤⇒≤⇒≤− xxxxx
36. 01311 ≥−− x
direttamente si avrà che : 111111 1313013 −≤⇒−≤⇒≥−− xxx
37. ( ) 044 ≥+− x
ora poiché : ( ) ( )( )( )( ) 04444044 ≥+−+−+−+−⇒≥+− xxxxx
da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : ( ) ℜ∈∀⇒≥+ xx 06
+1 0 0 -27
x = +3 +3 +9 +27
+1 +3 +9 0
38. 016 ≥−x
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 101
10101101
3
3332323
−≥⇒≥+
≥⇒≥−≥+−⇒≥−
xx
xxxxx
e quindi :
1,1 ≥−≤ xx
più semplicemente si poteva procedere in questo modo :
1,11,1:
1,10101
33
236
≥−≤⇒≥−≤
≥−≤⇒≥−⇒=≥−
xxxxquidie
ttttxpostox
39. 014 <−x
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ℜ∈∀⇒>+
>−<⇒>−<+−⇒<−
xx
xxxxxx
01
1,10101101
2
2222222
e quindi : 11 <<− x
-1 +1
+ - +
-1 +1
+ - +
40. ( ) 0326 ≤−x
ora poiché : ( ) ( )( )( )( )( )( ) 0323232323232032 6 ≤−−−−−−⇒≤− xxxxxxx
da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : 032: =−ℜ∈∀/⇒ xx
o meglio la disequazione è verificata da : 2
3032 =⇒=− xx
Risolvere le seguenti disequazioni fratte :
41. x
x
x
x
−−
− <−1
2 23
3
( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1,000
1,20200
1
2
2
3
12
633
12
0
12
2266
12
66
12
132
12
16133
22
1
2
22
2222
><⇒>−⇒>
>−<⇒>−+⇒>⇒>
−−+⋅⇒
−−+
<−
⇒−
+−−<
−+−−
⇒
−−−
<−
−−−⇒
−<−
−−
xxxxD
xxxxN
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
e quindi :
10,2 ≠>−< xconxx
42. x
x
x−>
+3 5 6
2
( ) ( )
0020
062500
2
625
2
625
2
0
2
65
2
662
2
65
2
32
2
653
22
22
>⇒>⇒>ℜ∈∀⇒>+−⇒>
⇒<+−⇒
+−>⇒+>+−⇒
+>
−⇒
+>
−
xxD
xxxN
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
-2 0 +1
+ - + +
e quindi :
0<x
43. 4 1
2 1
11
x
x x
++
− >
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )0,
2
1020
2
31,
2
31
01220
012
122
12
0
12
122
12
2
12
124
12
12
12
12141
1
12
14
2
2
2
222
>−<⇒>+⇒>
+>
−<⇒
>−−⇒>
⇒>+
−−⇒
+>
+−−
⇒++
>+
−−+⇒
++>
++−+⇒>−
++
xxxxD
xx
xxN
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
x
e quindi :
2
31,0
2
31,
2
1 +><<
−−< xxx
0
- +
2
1−
2
31 − 0
2
31 +
+ - + - +
44. 21
2
4 1
2x
x
x
x−
−−
<−
( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2020
000
22
2222
0
22
284
22
2284
22
214
22
1224
2
14
2
12
22
>⇒>−⇒>>⇒>
⇒>−
⇒
−<
−⇒
−+−−
<−
+−−⇒
−−−
<−
−−−⇒
−<
−−
−
xxD
xN
x
x
x
x
xx
xxx
x
xxx
x
xx
x
xxxx
x
xx
e quindi :
2,0 +>< xx
45. − +
−−
−≤
x
x
x
x
1
1
5
20
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2,1
0230
1,3
1
02860
021
286
021
2860
21
5522
021
15210
2
5
1
1
2
2
2
222
><⇒>+−⇒>
≥≤⇒
≥+−⇒≥
⇒≥−−+−⇒
≥−−+−
⇒≤−−
+−−++−⇒
≤−−
−−−+−⇒≤−
−−+−
xx
xxD
xx
xxN
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
xx
xxxx
x
x
x
x
0 +2
+ - +
e quindi :
2,3
1+>≤ xx
46. 2 3
3
2
2 2
3
2
x
x
x
x
+−
+− +
−≥
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
3,1
031019
21021190
0312
2119
0312
2119
312
9393
312
6326464
312
313
312
233212
2
3
22
2
3
32
222
><⇒>−−⇒>
≥⇒≥−⇒≥
⇒≥−−
−⇒
≥−−
−⇒
−−+−−
≥−−
−++−−−+⇒
−−−−≥
−−+−−++−⇒≥
−+−+
−+
xx
xxD
xxN
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
xxxxxx
xx
xx
xx
xxxx
x
x
x
x
e quindi :
3,19
211 +>+≤<+ xx
3
1+ +1 +2
+ - - +
+1 19
21+ +3
- + - +
47. 16 2
2 54+
−−
>x
xx
( )
2
50520
4
335,
4
335
012080
052
1208
52
1208
52
0
52
208
52
2652
52
524
52
26524
52
261
2
2
22
>⇒>−⇒>
+>−<⇒
>−−⇒>
⇒<−
−−⇒
−−−
>−
⇒−
−>
−−+−
⇒
−−
>−
−+−⇒>
−−
+
xxD
xx
xxN
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
x
e quindi :
4
335
2
5,
4
335 +<<+
−≤ xx
48. x
x
x
x
−−
− <−−
5
2 6
1
2
2 3
3
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 3030
104400
32
44
32
44
32
0
32
64
32
35
32
322
32
35
3
32
2
1
62
5
>⇒>−⇒>>⇒>−⇒>
⇒>−−
⇒
−−<
−⇒
−−<
−+−−⇒
−−<
−−−−⇒
−−<−
−−
xxD
xxN
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
4
335 −
2
5+
4
335 +
- + - +
e quindi :
3,1 >≤ xx
49. 3
32
2 1
92
x
x
x
x− +≥ −
+−
( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )3,3090
10
4297,
10
4297
019750
033
1975
33
1975
33
0
33
12182
33
93
33
1292
33
33
33
122
3
3
9
122
3
3
2
2
2
222
2
2
+>−<⇒>−⇒>
+−≥−−≤⇒
≥−+⇒≥
⇒≤+−−+⇒
+−−+≥
+−⇒
+−−−−≥
+−−−⇒
+−+−−
≥+−
+−⇒
+−+
−≥−
−⇒
−+
−≥+−
xxxD
xx
xxN
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
e quindi :
310
4297,
10
42973 +<≤
+−−−≤<− xx
+1 +3
+ - +
-3 10
4297 −−
10
4297 +− +3
+ - + - +
50. ( )1
1 1
1
2
2
x
x
x
x
x−<
−−
−−
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )
( )2020
21,21
0120
02
12
101021
1210
21
13
21
0
21
13
21
12
21
2
21
112
21
2
2
1
11
1
2
2
223
23232
22
<⇒>−⇒>
+>−<⇒
>−−⇒>
⇒<−
−−⇒
≠⇒≠−⇒<−−
−−−⇒<
−−++−
⇒
−−<
−−++−
⇒−−
−++−−<
−−−
⇒
−−−−−−
<−−
−⇒
−−
−−
<−
xxD
xx
xxN
x
xx
xxpostoxx
xxx
xx
xxx
xxxx
xxx
xx
xxxxx
xx
x
xx
xxxx
xx
x
x
x
x
x
x
e quindi :
21,221 +><<− xx
21− +2 21+
+ - + -
Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni :
51. x x
x x
2
2
4 0
2 3 0
− >
− − + <
>−<><
⇒
>−+
>−⇒
<+−−
>−1,3
4,0
032
04
032
042
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
di qui si ha :
4,3 >−< xx
52. − + − >
− >
2 5 3 0
1 0
2x x
x
<
<<⇒
<−<+−
⇒
>−>−+−
12
31
01
0352
01
0352 22
x
x
x
xx
x
xx
di qui si ha :
ℜ∈∀/
-3 0 +1 +4
+1 2
3+
53.
x x
x
x
2 2 1 0
3 3 0
15 5 0
− + >
− + ≤− ≥
( ) { }
≥
≥−ℜ∈∀
⇒
≥−≥−
>−⇒
≥−≤+−
>+−
3
1
1
1
013
01
01
0515
033
012 22
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
di qui si ha :
1>x
54.
x x
x x
x x
2
2
2
2 4 0
0
2 1 0
+ + >
− <
− − + >
+−<<−−
<<ℜ∈∀
⇒
<−+
<−
>++
⇒
>+−−
<−
>++
2121
10
012
0
042
012
0
042
2
2
2
2
2
2
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
di qui si ha :
210 +−<< x
3
1+ +1
21−− 0 21+− +1
55. ( )5
2
2
6
3
22
1
32
1
4
2
x xx
x xx
−+
< −
−+ >
++
( )
ℜ∈∀
<
>+−
<−⇒
++>
+−
−<
−−
⇒
++
>+−
−<+
−
x
x
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
23
20
017154
02023
12
1233
12
2444
6
918
6
215
4
12
3
1
22
3
6
2
2
5
222
di qui si ha :
23
20<x
56. ( )
x x x
x x x
2
2
1
4
2
21
1
2
1 1
−−
−< +
−
− + ≥ −
( )
≥≤
+<<−
≥−
<−⇒
−≥−−
−+<
+−−⇒
−≥+−
−+<
−−
−
2,0
33
02
03
11
4
224
4
421
11
2
11
2
2
4
1
2
2
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
23
20+
di qui si ha :
03 ≤<− x
57.
x x
x
x
3 2 0
2 5 0
4 0
− <
− − >− <
( )
>
−<
+>−<
>⇒
>−
>⇒<−
⇒
>−<+<−
⇒
<−>−−<−
42
5
2,2
0
02
002
04
052
02
04
052
02
22
33
x
x
xx
x
x
xxx
x
x
xx
x
x
xx
per la disequazione fattoriale si ha :
20,2 +≤<−≤ xx
e quindi il sistema diventa :
>
−<
+≤<−≤
42
5
20,2
x
x
xx
3− 0 3+ 2
2− 0 2+
- + - +
di qui si ha :
ℜ∈∀/ x
58. ( )
+>
−
−>+
−
2
3
5
1
322
12
42 xx
xxx
( )
+>
−<
>
>−−
>−⇒
+>
−
−>
−−
⇒
+>
−
−>+
−
4
1615,
4
1615
9
10
01752
0109
10
155
10
22
4
128
4
24
2
3
5
1
322
12
4222
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
xxx
di qui si ha :
4
1615 +>x
2
5− 2− 0 2+ +4
4
1615 −
9
10+
4
1615 +
59.
x x x
x xx
−−
−<
+− >
1
3
3
2
3
2
1
4
3
2
2
+>−<
>
>+−
>−⇒
>−+
<+−−
⇒
>−+
<−
−−
625,625
10
7
0110
0710
4
4
4
61
6
9
6
9322
2
3
4
1
2
3
2
3
3
1
222
xx
x
xx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
di qui si ha :
625 +>x
60. ( )
2 2
3
1
6
2
3
1 3
2
2
x x x
x x
−+
− +>
−
+ − − > −
( )
ℜ∈∀
+−>
−−<
>+−
>−+⇒
>+−
−>
+−−⇒
−>−−+
−>
+−+
−
x
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
8
1131,
8
1131
02
074
02
6
24
6
144
31
3
2
6
1
3
22
2
2
2
2
2
2
625 − 10
7+ 625 +
di qui si ha :
8
1131,
8
1131 +−>
−−< xx
8
1131−−
8
1131 +−
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