3. Fluid Flow

Fluid Flow

GAS FLOW RESERVOIR

Gas flow reservoir berpegang prinsip pada Darcy’s LawDarcy’s law :

dimana : V = kecepatan fluid, cck = permeability, darcyμ = viscosity, cp Dari persamaan di atas diketahui bahwa kecepatan aliran (V) berbanding lurus dengan gradien tekanan (dP/dS)

dS

dPkV

Selain itu pada hubungannya dengan suatu media berpori, maka akan didapat laju alir suatu fluida melewati fluida itu, yaitu:

Dari persamaan di atas terdapat harga A yang tergantung dari media pori yang dilewati, apabila media pori tersebut berbentuk silindris, maka : A = 2 π r hDimana : r = jari-jari silindris

h = tinggi silindris

dS

dPKAq

Pada saat terjadi radial flow, maka perlu dilakukanmodifikasi Darcy’s Law, yaitu:

PwfPe

rw

reln

kh2q

PwfPekh2

rw

relnq

dPh2k

r

drq

dr

dPrh2K

dr

dPrh2Kq

2

PwfPeP

PTz

TPPwfPe

rwreln

kh2q

P

T

Tz

Pqq

Tz

Pq

T

P

z

q

m

scmm

scmsc

sc

sc

mm

msc

mm

mm

sc

sc

sc

sc

Kemudian dalam keadaan standar (standarcondition), darcy law menjadi :

Dimana:

Qsc = scf/dayK = darcyH = feetPe = PsiaPwf = Psia

rw

relnTz

PwfPekh3.70q

mm

22

sc

Zm = mean deviation factor [Pm, Tm]Tm = mean temperatur, °Rre = Radius drainage, ftrw = radius well bore, ft

DIFFUSIVITY EQUATION

zy

2

xx

x

xzy

2

xx

x

x

zxz,x2

yyvyzyz,y

2

xxUxzyz,y,

2

xxx

tz

Uz

y

Uy

x

x

t

pzyx

yxy,xz

zzvzyxy,x

2

zzvzzxz,x,

2

yyy

t

pxy

2

zz

z

zxy

2

zz

z

z

zx

2

yy

y

yzx

2

yy

y

y

Jika semua dibagi dengan Δx Δy Δz :

t

P

z

Vz

y

Vy

x

Vx

t

P

z

Vz

y

Vy

x

Vx

DARCY :

xKx

Ux

yKy

Uy

zKz

Uz

Bila gaya gravitasi diabaikan, maka :

t

Pzkz

z

yky

y

xkx

x

tz

kz

zy

ky

yx

kx

x

znRT

Pm

V

m

znRTPV

Jika n = 1, maka :

z

P

zRT

MPKZ

zy

P

zRT

MPKy

yx

P

zRT

MPKx

xzRT

MP

t

Bila m, μ dan T = Konstant (reservoir condition)

z

P

z

PKz

zy

P

z

PKy

yx

P

z

PKx

xz

P

t

Bila K = Konstant

z

P

z

P

zy

P

z

P

yx

P

z

P

zz

P

tK

z

P

z

1

zy

P

z

1

yx

P

z

1

xz

P

tk2

222

Bila z = 1, C = 1/P, maka :

2

22

2

22

2

222

z

P

y

P

x

P

t

P

K

c

Diffusivity Equation cartesian (x,y,z)

zkz

z

yky

y

xkx

xt

P

x

z

y

dzzU

dPPKz

dz

d

dyzU

dPPKy

dy

d

dXzU

dPPKx

dx

d

z

P

dt

d

Bila dalam kondisi M,U, dan T adalah konstant :

Bila permeabilitas konstant, ke segala arah, maka :Kx=Ky=Kz=K

dzz

dPP

dz

d

dyz

dPP

dy

d

dxz

dPP

dx

d

z

P

Kdt

Ud

dz

dP

z

1

dz

d

dy

dP

z

1

dy

d

dx

dP

z

1

dx

d

z

P

Kdt

Ud 222

Diffusivity Equation non Cartesian

zkz

z

k

r

1

r

xrkx

r

1

t

P2

Dimana :X = r cos θY = r sin θR = Z = zΘ = arc tan (Y/K)

Bila gravitasi diabaikan, maka :

22 yx

dzU

kzdp

dz

d

deU

dpk

de

d

r

1

dzU

rkrdp

dr

d

r

1

dt

dP2

Untuk perfect radial flow harga Ko=0, Kw = 0.

dt

dpc

dt

dp

dp

dP/1c

dt

dp

dp

d

dt

d

drU

dpkrr

dr

d

r

1

dt

dp

dt

dP

RT

M

2

1

dt

dP

RT

MP

dt

dPz

dz

dp

Z

1

RT2

M

dr

dp

dr

dp

MP

RT

RT

M

2

1

dr

dp

dT

dP

RT

M

2

1

dr

dP

RT

MP

T

dPzP

dp2/1pdpzRT

mp

2

2

2

2

2

Diffusivity Equation untuk Perfect Radial Flow

dt

dp

ZRTz

1

U

krr

dr

d

r

1

drU

dpkrr

dr

d

r

1

dt

dp

2

Bila K,M,U dan T konstan, maka:

dt

d

z

r

dr

d

r

1

dt

d

kt

c

dp

d

z

r

dr

d

r

1

dt

d

kt

c

2

22

dr

)P(d

r

d

r

1

dt

)(d

kt

c

r

)P(dr

dz

d

z

1

r

1

dt

)(d

kt

c

dz

d

z

r

dr

d

r

1

dt

d

kz

c

22

22

22

Bila z tidak konstan, tapi uniform space, maka:

atau

atau

Untuk radial flowideal : Z = 1 Maka persamaan:

0dr

)p(d

z

r

dr

d

r

1

0dt

dp

2

0dr

)p(rd

dr

d

r

1 2

Bila Steady State, Maka:

Menjadi: = konstan

Bila suatu bilangan :

Maka: , konstan

Dengan: h = ketebalank = permeabilitas

dt

dprp

rkh2

dr

dprp

rkh2

Sedangkan

r

Pkrh2Q

r

PkU

Hukum darcy

Flow Rate

rfQ

rfP

ttankonsPQ

r

PP

krh2PQ

Bila :Q = (+) adalah injeksi dengan notasi qwQ = (-) adalah produksi dengan notasi qw

2

PwPkh2rw

rlnPwQw

dPPkh

2r

drPwQw

PPkh

2r

rPQ

22

P

rw

r

rw

Tscz

qPsc

zT

PwQw

Tsc

TzPscqPwqw

rwreln

PwPekhPwQw

PwPekh

2rwrelnPwQw

sc

sc

sc

22

22

Proses Isocronal

Psc

Tsc

z

Pmqq

TzPsc

Tsc

rwreln

PwPekhq

rwreln

PwfPekh

Tsc

TzPscq

zT

qP

Tscz

Pscq

msc

22

sc

22

sc

sc

sc

Maka dari persamaan tersebut dihasilkan :

Bila Pm adalah mean pressure

Maka

TmPscz

PmTscPwPe

rwreln

kh2q

msc

2

PwfPePm

TmPscz

TscPwPe

rwreln

kh2q

m

22

sc

Atau dalam satuan praktis adalah:

Dimana:q = rate aliran (scf/day)K = permeabilitas, darcyh = ketebalan, ftPe= tekanan dasar reservoir, psiaPw= tekanan alir dasar sumur, psiaTm= temperatur rata-rata, oR

rwrelnTmz

PwPekh3.70q

m

22

sc

Zm= faktor deviasi rata-rata , f (Pm, Tm)μ = viscositas, cpre = radius pengurasan, feetrw = radius wellbore, feet

Bila

Maka

rwrelnzT

kh3.70c

22sc PwPeCq

HORIZONTAL FLOW EQUATION

Dasar persamaan differensial dari hukum Darcyuntuk lajualir gas radial yang horizontal adalah :

Keterangan dari simbol dari persamaan tersebut diAtas adalah sebagai berikut :qgr = flow rate gas pada radius r (res bbl/day)r = jari – jari (ft)h = ketebalan (ft)μ = viskositas gas (cp)

dr

dp

1000

krh21271,1qgr

k = permeabilitas formasi (md)p = tekanan (psi)1,1271 = pengkonversian konstanta dari

darcy unit ke field unit.

Ekuivalen dari qgr pada hubungan gas flow pada kondisi standar adalah qbr , dalam standard cubic feet per day dan berhubungan dengan qgr , yakni :

zTp

zpTqq

b

bgrbr 615,5

r

drdpp

Tzpq

zkhTx

bbr

bb

2109764,3

Dari kedua persamaan tersebut di dapat :

Steady State FlowPersamaan horizontal flow kemudian dapatdiintegralkan untuk (pw dan rw) untuk beberapanilai di reservoir (p dan r) memberikan persamaan :

r

rw

p

pwbb

bb

r

drdp

z

p

Tpq

zkhTx

2109764,3

Dan untuk Tb = 520 R Pb = 14,7 dan zb = 1Maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi::

rw

rdp

z

px

Tq

kh p

pwb

ln2703,0

dpz

pdp

z

pdp

z

p o

wow

p

p

p

p

p

p

222

Pada bagian dari persamaan

tersebut dapat diperluas dengan memberikan : :

p

pwdpzp )(/2

Pada bagian adalah sebuah versi

dari transformasi integral kirchoff dan untuk hubungan ini dinyatakan sebagai real gas potential atau real gas pseudo pressure.

p

pwdpzp )(/2

Ini biasanya dinyatakan dengan ,jadi:

orpm )(

dpz

ppm

p

po

2)(

Dengan menggunakan real gas pseudopressure

rw

r

Tq

dpkhw

b

ln)(703,0

Atau

rw

r

kh

Tqbw ln

703,0

Dimana q adalah laju produksi gas dalam mcfd pada14,7 psia dan 60oF . Pada bagian dimana r = re,maka:

rw

r

kh

qT ewe ln1422

NON DARCY FLOW

Hukum Darcy dibuat untuk merepresentasikan alirangas dengan kecepatan tinggi pada media yangberpori. Ketika korelasi data untuk aliran air dengankecepatan tinggi yang melalui media berpori,Forchheimer menemukan bentuk persamaan :

2uk

u

dL

dp

Pada beberapa kasus, penambahan kecepatan lain :

Dimana:u = Kecepatan Darcy = q/2πrhβ = koeffisien kecepatan pertamaρ = densitasγ = koeffisien kecepatan kedua

322 uuk

u

dL

dp

Faktor lain yang mempengaruhi aliran gas padamedia berpori adalah efek slip Klinkenberg.Persamaannya adalah :

Dimana :k = permeabilitas absolut, mdka = apparent permeabilitas, mdb = koefisien slipP = tekanan rata-rata, psia

p

b1kka

Efek Klinkenberg hanya pada tekanan rendah.

Persamaan darcy

dikombonasikan dengan non dracy flow komponen,maka

atau

S

2

1

rw

rln

kh

qT1422 ewe

2ewe FqS

2

1

rw

rln

kh

qT1422

Dq diinterpretasikan sebagai rate yang tergantungpada skin faktor.Persamaan steady state dengan kecepatan tinggidapat di tuliskan :

DqS

2

1

rw

rln

kh

qT1422 ewe

rerwh

zqT

rw

reqPwPe

1110161.3ln*

2

21222

Dimana

Dari non-Darcy term,

kh

Tzq1422*q

rerwh

kqTPwPe

1110161.32

21222

Jadi, persamaan aliran steady state pada kecepatantinggi dan adanya efek skin adalah :

DqS

rw

rln

kh

Tqz1422PwPr e22