3-валсан интеграл

Лекц 6

1. • Гурвалсан интегралын тодорхойлолт ба чанар.

• Гурвалсан интегралыг бодох.

• Гурвалсан интегралд хувьсагчийг солих.

• Туйлын координатын системд хоёрлосон интегралыг бодох.

• Гурвалсан интегралын хэрэглээ.

1

Гуравласан интеграл

Огторгуйд, S битүү гадаргуугаар зааглагдсан V биетийн бүх цэгүүд дээр

u = f(x, y, z) гэсэн тасралтгүй функц тодорхойлогдсон байг.

V биеийг ∆v1, . . . ,∆vn гэсэн дурын жижиг биетүүдэд хувааж, хуваалтын

∆vi хэсгийн эзлэхүүнийг ∆vi–ээр тэмдэглэе.

Хуваалтын ∆vi хэсэг бүр дээр ∀Pi(xi, yi, zi) ∈ ∆vi цэг сонгон авъя.

Vn =n∑

i=1

f(Pi)∆vi

нийлбэрийг u = f(x, y, z) функцийн V муж дээрх интеграл нийлбэр гэнэ.

2

∆vi мужийн дурын хоёр цэгийн хоорондох зайн дээд торгон заагийг энэ

мужийн диаметр гэж нэрлээд diam∆vi гэж тэмдэглэе.

λ = max{diam∆vi, i = 1, n}

Хэрэв λ→ 0 үед V муж дээрх интеграл нийлбэрийн хязгаар V мужийн хуваалт,

Pi цэгийн сонголтоос хамаарахгүй оршин байвал энэ хязгаарыг f(x, y, z)-ээс V

биетээр авсан гуравласан интеграл гэж нэрлээд∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz=

∫ ∫

V

∫f(P )dV = lim

λ→0

n∑

i=1

f(Pi)∆vi (1)

гэж тэмдэглэнэ.

3

Гурван давхар интеграл

Битүү S гадаргуугаар зааглагдсан V биет дараах 3 чанарыг хангаж байг.

Үүнд:

1). V биетийн S гадаргууд харъяалагдахгүй дотоод цэгийг дайрсанOz тэнхлэгтэй

параллель шулуун бүхэн S гадаргууг хоёр цэгээр огтлон гарна.

2). V биетийн Oxy хавтгай дээрх проекц Д нь зөв муж байна.

3). Координатын аль ч хавтгайтай параллель хавтгайгаар, V биетийг огтлоход

үүссэн хэсэг бүхэн 1 ба 2 нөхцөлийг хангасан байна.

Дээрх гурван нөхцөлийг хангасан V биетийг гурван хэмжээст зөв муж гэнэ.

Эллипсоид, тетраэдр, тэгш өнцөгт параллелопипед зэрэг нь зөв биет болно.

4

V бие дээрээсээ z = ψ(x, y), доороосоо z = χ(x, y) гадаргуугаар зааглагдсан

байг. V биетийн Oxy хавтгай дээрх проекц Д нь

y = ϕ1(x), y = ϕ2(x) (ϕ1(x) ≤ ϕ2(x)), x = a, x = b

шугамуудаар зааглагдсан үед:

JV=

b∫

a

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

ψ(x,y)∫

χ(x,y)

f(x, y, z)dz

dy

dx=

b∫

a

dx

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

dy

ψ(x,y)∫

χ(x,y)

f(x, y, z)dz (2)

интегралыг 3 давхар интеграл гэнэ.

5

Жишээ: J =

1∫

0

dx

1−x∫

0

dy

1−x−y∫

0

1

(1 + x + y + z)3dz интегралыг бод.

F (x, y) =

1−x−y∫

0

dz

(1 + x + y + z)3= −1

2· 1

(1 + x + y + z)2

∣∣∣∣1−x−y

0

=1

2·[

1

(1 + x + y)2− 1

4

]

Φ(x) =

1−x∫

0

dy

1−x−y∫

0

dz

(1 + x + y + z)3=

1∫

0

F (x, y)dy =1

2·

1−x∫

0

[1

(1 + x + y)2− 1

4

]dy =

=1

2·[ −1

1 + x + y

]∣∣∣∣1−x

0

=1

2·[

1

1 + x− 3 − x

4

]

J =

1∫

0

Φ(x)dx =1

2·

1∫

0

[1

1 + x− 3 − x

4

]dx =

1

2·[ln(1 + x) − (3 − x)2

8

]∣∣∣∣1

0

=1

2ln 2− 5

16

6

Чанар1: Хэрэв V муж координатын аль нэг хавтгайтай па-раллель хавтгайгаар

V1, V2 мужид хуваагдсан бол V мужаар авсан 3 давхар интеграл, V1 ба V2

мужаар авсан 3 давхар интегралуудын нийлбэртэй тэнцэнэ.

Чанар2: Хэрэв m ба M нь f(x, y, z) функцийн V муж дээрх хамгийн бага

ба хамгийн их утга бол V мужаар авсан 3 давхар интеграл–JV нь m · V ≤JV ≤M · V нөхцөлийг хангана.

Чанар3: Хэрэв u = f(x, y, z) нь V муж дээр тасралтгүй бол

JV =

b∫

a

dx

ϕ2(x)∫

ϕ1(x)

dy

ψ(x,y)∫

χ(x,y)

f(x, y, z)dz = V · f(x0, y0, z0)

тэнцлийг хангах P0(x0, y0, z0) цэг V мужаас олдоно.

Үүнд: V нь V биетийн эзлэхүүн.

7

Гуравласан интегралыг бодох

Теорем: Хэрэв f(x, y, z) функц V зөв муж дээр тасралтгүй байвал f(x, y, z)

функцээс V мужаар авсан гуравласан интеграл, V мужаар авсан гурван

давхар интегралтай тэнцэнэ. ө.х. (1)(2) буюу

∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

b∫

a

dx

ϕ1(x)∫

ϕ1(x)

dy

ψ(x,y)∫

χ(x,y)

f(x, y, z)dz (3)

Хэрэв V биет дээр f(x, y, z) ≡ 1 бол V биетээр авсан гуравласан интеграл нь

V биетийн эзлэхүүн болно.

V =

∫ ∫

V

∫dxdydz

8

z = ψ(x, y)

z = χ(x, y)

a y=ϕ

1 (x)

y=ϕ

2 (x)

bD

z

x

y0

Figure 1:

∫∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

∫

D

∫dxdy

ψ(x,y)∫

χ(x,y)

f(x, y, z)dz (4)

9

Гуравласан интегралд хувьсагчийг солих

1◦ Oxyz координатын системд өгөгдсөн V биет, O′uvw огторгуйн V ′ биетийн

хооронд харилцан нэг утгатай

x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = h(u, v, w)

гэсэн харгалзаа өгөгдсөн байг.

V биетийн эгэл хэсэг ∆V болон V ′ биетийн эгэл хэсэг ∆V ′-ийн хувьд

ds limλ→0

∆V

∆V ′ = |J | (λ = diam∆V ′)

тэнцэтгэл биелж байг. Энэ үед

∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫

V ′

∫f [ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), h(u, v, w)] · |J |dudvdw

10

болно.

Үүнд:

J =Д(x, y, z)

Д(u, v, w)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

11

2◦ Цилиндр координатын системд шилжих.

Огторгуйд П хавтгай, түүнд перпендикуляр Oz тэнхлэг авч үзье. П хавтгай

дээр О цэгт туйлтай ТКС авбал ЦКС тодорхойлогдоно.

− огторгуйн дурын цэг.

N− нь цэгийн П хавтгай дээрх проекц.

N цэгийн П хавтгай дээрх ТК-ыг (ρ, ϕ) гэе.

М цэгийг Oz тэнхлэг дээр проекц-лоод Mz гэж тэмдэглэе.

OMz чиглэлт хэрчмийн хэмжээг z–гэе.

12

Ингэж тодорхойлогдсон ρ, ϕ, z гурвалуудыг (тоонуудыг) M цэгийн цилиндр

координатууд гэнэ.

M(ρ, ϕ, z) 0 ≤ ρ <∞, 0 ≤ ϕ < 2π, −∞ < z <∞

ϕ

ρM1

M(ϕ, ρ, z)

z

z

x

y

Figure 2:

13

ρ– тогтмол байхад цилиндр

ϕ– тогтмол бол хагас хавтгай

z– тогтмол бол П хавтгайтай перпендикуляр хавтгай үүснэ.

цэг ТӨКС-д (x, y, z), ЦКС-д (ρ, ϕ, z) координаттай гэвэл тэдгээр коодинатууд

нь дараах томъёогоор холбогдоно.

x = ρ cosϕ

y = ρ sinϕ

z = z

(5)

ρ =√x2 + y2

tgϕ =y

xz = z

(6)

(5) томъёог ЦКС–ээс ТӨКС–д, (6) томъёог ТӨКС-ээс ЦКС–д шилжих томъёо

гэнэ.

14

f(x, y, z) функцээс V биетээр авсан интеграл нийлбэр зохиож хязгаарт

шилжвэл :∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫

V ′

∫f(ρ cosϕ, ρ sinϕ, z)ρdρdϕdz

болно.

Үүнд: ρ нь хувиргалтын якобианы абсолют хэмжээ.

J =Д(x, y, z)

Д(ϕ, ρ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂ϕ

∂x

∂ρ

∂x

∂z∂y

∂ϕ

∂y

∂ρ

∂y

∂z∂z

∂ϕ

∂z

∂ρ

∂z

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

−ρ sinϕ cosϕ 0

ρ cosϕ sinϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= −ρ sin2ϕ− ρ cos2ϕ = −ρ

=⇒

|J | = | − ρ| = ρ.

15

3◦ Бөмбөлөг (сфер) координатын системд шилжих.

–огторгуйн дурын цэг.

N– нь цэгийн П хавтгай дээрх проекц.

Тэгвэл

ρ = |OM |– нь огторгуйн M(x, y, z) цэгт харгалзах, координатын эх хүртэлх

зай буюу радиус вектор.

ϕ = ̂(ON,Ou)– нь радиус векторынOxy хавтгай дээрх проекцынOx тэнхлэгтэй

үүсгэх өнцөг.

θ = ̂(OM,Oz)– нь радиус векторын Oz тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцөг

гэсэн тоонуудыг цэгийн сфер (бөмбөлөг) координатууд гэнэ M(ρ, ϕ, θ).

ϕ–уртраг, θ–өргөрөг, ρ–радиус вектор.

0≤ρ<∞, 0≤ϕ<2π, 0≤θ<π

16

ρ тогтмол байх цэгүүд сфер,

ϕ тогтмол байх цэгүүд хагас хавтгай,

θ тогтмол байх цэгүүд цэг дээр оройтой конус үүсгэнэ.

ϕ

θ

ρ

M1

M(ϕ, ρ, θ)

z

z

x

x

yy

Figure 3:

17

x = ρ sin θ cosϕ

y = ρ sin θ sinϕ

z = ρ cos θ

(7)

ρ =√x2 + y2 + z2

cos θ =z√

x2 + y2 + z2

tgϕ =y

x

(8)

f(x, y, z) функцийн V биетээр авсан интеграл нийлбэр зохиож хязгаарт шилжвэл:

∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫

V

∫f (ρ cosϕ sin θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cos θ)·ρ2 sinϕdρdϕdθ

болно. Үүнд: ρ2 sinϕ нь хувиргалтын Якобианы абсолют хэмжээ.

18

x = ON ·cosϕ, y = ON ·sinϕ, z = ρ·cos θ, ON = ρ·sin θ

=⇒

J =Д(x, y, z)

Д(ρ, ϕ, θ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣

sin θ cosϕ sin θ sinϕ cos θ

−ρ sin θ sinϕ ρ sin θ cosϕ 0

ρ cos θ cosϕ ρ cos θ sinϕ −ρ sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ρ2 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣

sin θ cosϕ sin θ sinϕ cos θ

− sin θ sinϕ sin θ cosϕ 0

cos θ cosϕ cos θ sinϕ − sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣= −ρ2 sin θ

=⇒

|J | = ρ2 sin θ

19

Жишээ. u = x2 + y2 функцээс√x2 + y2 + z2 = 2 хагас бөмбөрцөг ба

x2+y2 = 3z параболоидоор зааглагдсан огторгуйн битүү V мужаар авсан гурвалсан

интегралыг ол.

Үнэн хэрэгтээ√x2 + y2 + z2 = 2

x2 + y2 = 3z

}⇒ z2 + 3z − 4 = 0

болж, z = 1 хавтгай дээр өгөгдсөн гадаргуунууд огтолцоно.

Огтлолд√

3 тэнцүү радиус бүхий тойрог үүсэх ба ө.х. x2 + y2 = 3 цилиндр

дотор манай муж бүхлээрээ оршино.

Иймд OXY хавтгай дээрхи мужийн проекц x2 + y2 ≤ 3 дугуй үүсгэнэ. Эндээс

(3) томъёо ёсоор интеграл

J =

∫∫

V

∫x2 + y2dxdydz =

√3∫

−√

3

dx

√3−x2∫

−√

3−x2

dy

√4−x2−y2∫

x2+y2

x2 + y2dz

байна.

20

Хэрэв цилиндр координатад шилжвэл

J =

2π∫

0

dθ

√3∫

0

dρ

√4−ρ2∫

ρ2

3

ρ3dz = 2π ·

√3∫

0

(√

4 − ρ2 − ρ2

3)ρ3dρ = 2π · (−79

5)

21

Жишээ. u =1√

a2 − x2 − y2 − z2функцээс V = {(x, y, z)|x2 + y2 + z2 ≤ a2}

мужаар авсан интегралыг ол.

Интегралыг бөмбөрцөг координатын системд бодъё.

Бөмбөрцөг координатад хувьсагчдийн квадратуудын нийлбэр x2 + y2 + z2 = ρ2

болж хялбарчлагдана.

Тэгвэл интегралын доорхи илэрхийлэл1√

a2 − x2 − y2 − z2=

1√a2 − ρ2

болно.

22

Иймд∫ ∫

V

∫dxdydz√

a2 − x2 − y2 − z2=

∫ ∫

V ′

∫1√

a2 − ρ2ρ2 sinϕdϕdθdρ =

=

2π∫

0

dθ

π∫

0

dϕ

a∫

0

ρ2 sinϕ√a2 − ρ2

dρ =

=

2π∫

0

dθ

π∫

0

sinϕdϕ

−ρ

√a2 − ρ2

∣∣∣a

0+

a∫

0

√a2 − ρ2dρ

=

= 2π ·π∫

0

sinϕdϕ · a2π

4= a2π2

байна.

23

Гуравласан интегралын хэрэглээ

1◦ Огторгуйн тэгш өнцөгт координатын системд V зөв бие-тийн эзлэхүүнийг

V =

∫ ∫

V

∫dxdydz (9)

томъёогоор олно.

Цэг бүр дээрх нягт нь ρ = ρ(x, y, z) байх V биетийн хувьд:

2◦ биеийн масс

M =

∫ ∫

V

∫dxdydz (10)

3◦ биеийн координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулсан статик момент

24

MXY =

∫ ∫

V

∫zρ(x, y, z)dxdydz

MXZ =

∫ ∫

V

∫yρ(x, y, z)dxdydz

MY Z =

∫ ∫

V

∫xρ(x, y, z)dxdydz

(11)

4◦ биеийн хүндийн төвийн координат

x =MY Z

M, y =

MXZ

M, z =

MXY

M(12)

5◦ биеийн, координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулсан инерцийн моментууд

25

IX =

∫ ∫

V

∫(y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz

IY =

∫ ∫

V

∫(x2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz

IZ =

∫ ∫

V

∫(x2 + y2)ρ(x, y, z)dxdydz

(13)

6◦ биеийн, координатын хавтгайнуудтай харьцуулсан инерцийн моментууд

IXY =

∫ ∫

V

∫z2ρ(x, y, z)dxdydz

IXZ =

∫ ∫

V

∫y2ρ(x, y, z)dxdydz

IY Z =

∫ ∫

V

∫x2ρ(x, y, z)dxdydz

(14)

IX = IXY + IXZ , IY = IXY + IY Z , IZ = IXZ + IY Z

26

7◦ биеийн, координатын эхтэй харьцуулсан инерцийн момент

I0 =

∫ ∫

V

∫(x2 + y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz (15)

I0 = IXY + IXZ + IY Z

томъёогоор тус тус олдоно.

Нэгэн төрлийн биетийн хувьд ρ(x, y, z) ≡ 1 гэж тооцно.

27

Жишээ. x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x цилиндрүүд ба z = x2 + y2 параболоид

болон x+ y = 0, x− y = 0, z = 0 хавтгайнуудаар хашигдсан биеийн эзэлхүүнийг

ол.

Биеийн эзэлхүүнийг цилиндр координатад бодъё.

Гадаргуунуудын тэгшитгэл нь уг системд ρ = cosϕ, ρ = 2 cosϕ ба z = ρ2

хэлбэртэй байна.

28

Иймд эзэлхүүн

V =

∫ ∫

V

∫ρdρdϕdz =

π

4∫

−π

4

dϕ

2 cosϕ∫

cosϕ

dρ

ρ2∫

0

ρdz =

π

4∫

−π

4

dϕ

2 cosϕ∫

cosϕ

ρ · ρ2dρ =

=

π

4∫

−π

4

ρ4

4

∣∣∣∣2 cosϕ

cosϕ

dϕ =15

4

π

4∫

−π

4

cos4 ϕdϕ =15

4

(3π

8+ 1

)

байна.

29

Жишээ. R радиустай бөмбөрцөгийн цэг бүр дээрхи нягт нь координатын эх

хүртэлх зайн кубтэй пропоциональ ба координатын эхээс нэгж зайд γ тэнцүү бол

бөмбөрцөгийн массыг ол.

Бодлогын нөхцөл ёсоор нягт нь f(x, y, z) = k(√x2 + y2 + z2)3 байна.

Энд k нь пропоционалийн коэффициент бөгөөд нягт нь координатын эхээс нэгж

зайд γ тэнцүү гэдгээс пропоционалийн коэффициент k = γ байна.

Иймд

M =

∫ ∫

V

∫f(x, y, z)dxdydz =

R∫

0

dρ

2π∫

0

dθ

π∫

0

ρ2 sinϕ · γρ3dϕ =

= 2πγ

R∫

0

ρ5dρ

π∫

0

sinϕdϕ =2

3γπR6

30

Жишээ.x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 эллипсээр зааглагдсан нэгэн төрлийн биеийн

нэгдүгээр октантад харъяалагдах хэсгийн хүндийн төвийг ол.

Бидний авч үзэж буй бие нэгэн төрлийн учир (10) томъёо ёсоор уг биеийн масс

эзэлхүүнтэй нь тэнцүү хэмжээний нэгж байна.

Нөгөө талаас a, b ба c хагас тэнхлэгүүд бүхий эллипсоидийн эзэлхүүн

V =4

3πabc

байдаг.

Иймд биеийн масс

M =πabc

6байна.

Одоо зөвхөн MOX , MOY ба MOZ статик моментүүдийг олоход хангалттай.

31

Энд

x = aρ cos θ sinϕ

y = bρ sin θ sinϕ

z = cρ cosϕ

(0 ≤ ρ <∞, 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π)

координатын хувиргалт ашиглах бөгөөд хувиргалтын якобиан нь

J(θ, ρ, ϕ) = abcρ2 sinϕ

байна.

MOX =

∫∫

V

∫xf(x, y, z)dxdydz =

π

2∫

0

dθ

π

2∫

0

dϕ

1∫

0

abcρ2 sinϕaρ cos θ sinϕdρ =πa2b

16

MOY =

∫∫

V

∫yf(x, y, z)dxdydz =

π

2∫

0

dθ

π

2∫

0

dϕ

1∫

0

abcρ2 sinϕbρ sin θ sinϕdρ =πab2

16

32

MOZ =

∫∫

V

∫zf(x, y, z)dxdydz =

π

2∫

0

dθ

π

2∫

0

dϕ

1∫

0

abcρ2 sinϕcρ cosϕdρ =πab2c

16

Иймд (12) томъёогоор хүндийн төв M(xc, yc, zc) = (3

8a,

3

8b,

3

8c) гэж олдоно.

33