Первообразная Интеграл
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Первообразная Интеграл
Содержание Понятие первообразной Неопределенный интеграл Таблица первообразных Три правила нахождения первообразных Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции (1) Площадь криволинейной трапеции (2) Площадь криволинейной трапеции (3) Площадь криволинейной трапеции (4) Пример (1) Пример (2)
Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b), если на нем производная функции F(x) равна f(x):
Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием.
)x(f)x(F
Примеры1. f(x) = 2x; F(x) = x2 F(x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x F(x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x F(x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.
c)x(Fdx)x(f
Где С – произвольная постоянная (const).
Примеры
3344
3 xx441С
4x;С
4xdxx.4
xxxx eCe;Сedxe.2
xsinCxcos;Сxcosxdxsin.3
ACAx;CAxAdx.1
xcos
1Cxtg;Cxtgdxxcos
1.5 22
Три правила нахождения
первообразных1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) – первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть первообразная для f(x) + g(x).2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то функция kF(x) есть первообразная для kf.3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b).
1k
Площадь криволинейной трапеции
a b x
y
y = f(x)
0
)a(F)b(F
dx)x(fSb
aABCD
A B
CD
x =
a
x =
b y = 0
Площадь криволинейной трапеции (1)
a b x
y
y = f(x)
0A B
CD
x =
a
x =
b
y = 0
b
aABCD dx)x(fS
)b(F)a(F
a b x
y
y = f(x)
0
y = g(x)
A B
CD
MP
ABMPABCDPMCD SSS
b
a
b
a
b
a
dxxgxf
dxxgdxxf
Площадь криволинейной
трапеции (2)
a b x
yy = f(x)
0
y = g(x)
A B
CD
MP
b
a
b
a
b
a
dxxgxf
dxxgdxxf
ABMPABCDPMCD SSS
Площадь криволинейной
трапеции (3)
Пример 1: вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
x
y
y = x
2
y = x
+ 2
-1 2A
B
OD
C
2
ABOCDABCDВОС SSS
2
1
2
1
2 dxxdx2x
4,5215
312
21
3842
2
1
322
1
2
3x2x
2xdxх2х
a b x
y
y = f(x)
0y = g(x)
ABC
D
с
Е
СDBAEDCАЕDВ SSS
с
a
b
сdxxgdxxf
Площадь криволинейной
трапеции (4)
Пример 2:
2 8 x
y = (x – 2) 2
0A BC
D
4
yy = 2√8 – x
4
вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
СDBADСАDВ SSS
8
4
4
2
34
2
8
4
2
3x8x84
32xdxх-82dx2-x
348484
388884
322
324 33
Пример 2: вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х
= 8, у = 0
3113
340
332
38
Related Documents
