27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1)

การหารลงตว และ จ านวนเฉพาะ

โดย

ผชวยศาสตราจารย ดร. ยศนนต มมาก

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน 2. เนอหาตอนท 1 การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ

- ขนตอนวธการหาร - การหารลงตว - จ านวนเฉพาะ

3. เนอหาตอนท 2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย - ตวหารรวมมาก - ขนตอนวธของยคลด - จ านวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย

4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวน 7. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบผสอน และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (การหารลงตว และ จ านวนเฉพาะ) หมวด เนอหา ตอนท 1 (1/2) หวขอยอย 1. ขนตอนวธการหาร 2. การหารลงตว 3. จ านวนเฉพาะ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถหาผลหารและเศษเหลอทสอดคลองขนตอนวธการหาร 2. เขาใจบทนยามการหารลงตวและสมบตเบองตน 3. เขาใจบทนยามและสามารถยกตวอยางจ านวนเฉพาะ 4. เขาใจขอความของทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. บอกขอความของขนตอนวธการหารได 2. หาผลหารและเศษเหลอทสอดคลองขนตอนวธการหารได 3. ตรวจสอบการหารลงตวและพสจนสมบตเบองตนได 4. บอกบทนยามและยกตวอยางจ านวนเฉพาะได 5. บอกขอความของทฤษฎบทหลกมลของเลขคณตได 5. เขยนจ านวนเตมบวกมากกวา 1 ทก าหนดใหเปนผลคณของจ านวนเฉพาะได


3

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

ทฤษฎจ ำนวนเบองตน

ขนตอนวธการหาร

การหารลงตว

จ านวนเฉพาะ

ตวหารรวมมาก

ขนตอนวธของยคลด

จ านวนเฉพาะสมพทธ

ตวคณรวมนอย


4

1. ขนตอนวธการหาร


5

1. ขนตอนวธการหาร

การสอนเรองทฤษฎจ านวนเบองตน ผสอนควรทบทวนความรเกยวกบสมบตเบองตนของจ านวนเตมใหผเรยนกอน เชน

เซตของจ านวนเตม { , 3, 2, 1,0,1,2, } เซตของจ านวนเตมมสมบตปดส าหรบการบวก การลบ และ การคณ แตไมมสมบตปดส าหรบ

การหาร และใหผเรยนดตวอยางในสอการสอน 2 ตวอยางแรก

เมอผเรยนไดแนวคดในเรองผลหารและเศษเหลอ จากตวอยางขางตนไปแลว ผสอนอาจยกตวอยางการแบงของเพมเตมไดอก ดงน ตวอยาง เศษเหลอทเปนไปไดทงหมดเมอเราแบงสงของจ านวนหนงออกเปน 5 กอง กองละ ๆ ก น แนวตอบ ผสอนยกตวอยางสงของจ านวนตาง ๆ กน เชน 8, 10, 17, 21, 29 แลวน ามาแบงเปนหากอง ใหผเรยนบอกเศษเหลอตาง ๆ ทเปนไปไดทงหมด ซงจะพบวา เศษเหลอทเปนไปไดทงหมดมคาเปน 0, 1, 2, 3 หรอ 4 หลงจากนใหน าผเรยนเขาสบทเรยนเรองขนตอนวธการหาร และ ตวอยาง (1) – (3) จากสอการสอน


6

ผสอนใหผเรยนดตวอยางการหาผลหารและเศษเหลอส าหรบจ านวนเตม a และ b ตางๆ ในสอการสอนตอไปน


7

ผสอนควรเนนย าผเรยนเกยวกบการจ าขนตอนวธการหาร ดงน ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษเหลอ

และ เศษเหลอมคามากกวาหรอเทากบศนยและนอยกวาคาสมบรณของตวหาร ซงในบางครงผลหารและเศษเหลออาจไมไดมาจากการตงหาร โดยตองปรบคาโดยการจดรปดงแสดงในตวอยางขอ (2) และ (3) และผสอนอาจใหผเรยนท าแบบฝกหดตอไปน

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 1

จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร a ดวย b เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน

1. 140a และ 15b 2. 373a และ 8b 3. 122a และ 11b 4. 215a และ 12b 5. 504a และ 14b


8

ผสอนอาจเพมเตมโดยใหบทนยามของจ านวนคและจ านวนคโดยอาศยขนตอนวธการหารจากการหารจ านวนเตมดวย 2 ดงน

บทนยาม จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน 2a k เมอ k เปนจ านวนเตม

จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน 2 1a k เมอ k เปนจ านวนเตม

ตวอยาง จงแสดงวา ผลคณของจ านวนคสองจ านวนยอมเปนจ านวนค วธท า ให a และ b เปนจ านวนค จะไดวา 2 1a k และ 2 1b เมอ k และ เปนจ านวนเตม ดงนน

(2 1)(2 1)

4 2 2 1

2(2 ) 1

ab k

k k

k k

และ 2k k เปนจ านวนเตม ท าใหเราสรปไดวา ab เปนจ านวนค # หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจเพมตวอยางเชงพสจนดงน

ตวอยาง เมอหารจ านวนเตม a ดวย 5 มเศษเหลอเปน 2 จงหาเศษเหลอจากการหาร 4a ดวย 5 วธท า เนองจากเมอหารจ านวนเตม a ดวย 5 มเศษเหลอเปน 2 โดยขนตอนวธการหารเราเขยน a ไดในรป

5 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม ดงนน

4 20 8

4 5(4 1) 3

a q

a q

เพราะวา 4 1q เปนจ านวนเตม ดงนน เศษเหลอจากการหาร 4a ดวย 5 มคาเปน 3 #


9

ตวอยาง ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 3 มคาเปน 0 หรอ 1 วธท า โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2 กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2(3 ) 3(3 )a q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 0 กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1a q q q q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 1 กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2 2(3 2) 9 12 4 3(3 4 1) 1a q q q q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 1 จากทง 3 กรณ สรปไดวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 3 มคาเปน 0 หรอ 1 #

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 2

1. จงพสจนวาผลบวกของจ านวนคและจ านวนคเปนจ านวนค 2. จงพสจนวาผลคณของจ านวนคและจ านวนคเปนจ านวนค 3. เมอหารจ านวนเตม a ดวย 6 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอจากการหาร 2 5a ดวย 6 4. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 5 มคาเปน 0,1 หรอ 4

5. ให a เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ จงแสดงวา 2( 2)

3

a a เปนจ านวนเตม


10

2. การหารลงตว


11

2. การหารลงตว

จากขนตอนวธการหาร เมอน าจ านวนเตม a หารดวยจ านวนเตม 0b จะมเศษเหลอ r โดยท 0 r b ถาเศษเหลอมคาเทากบศนย เรากลาววา b หาร a ลงตว ซงจะศกษารายละเอยดกนในหวขอน

ผสอนควรยำเกยวกบสญลกษณของกำรหำรลงตว “ | ” และ ขอตกลงวำในกำรเขยน

|b a หรอ |b a ใหเขำใจวำตวหำร b ตองไมเทำกบศนย และอำจยกตวอยำงเพอสรำงควำมคนเคยเกยวกบกำรหำรลงตวและไมลงตวแกผเรยนเพมเตมได


12

ตอไปผสอนอธบายสมบตเบองตนของการหารลงตวในทฤษฎบทตอไปน โดยผสอนควรยกตวอยางประกอบแตละขอและใหผเรยนศกษาบทพสจนเพมเตมจากสอการสอน

ทฤษฎบท ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม (1) | 0b , |b b และ 1| a (2) ถา |b a แลว | ( )b a , ( ) |b a และ ( ) | ( )b a (3) ถา |c b และ |b a แลว |c a (4) ถา |b a และ 0a แลว b a (5) ถา |c a และ |c b แลว | ( )c ax by เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใด ๆ

เชน 3 | 0 , ( 2) | ( 2) , 1| 25

เชน จำก 3 |15 จะไดวำ 3 | ( 15) , ( 3) |15 และ ( 3) | ( 15)


13

เชน ถำ 2 | 6 และ 6 |18 จะไดวำ 2 |18 หรอ ถำเรำม 2 | x และ |x y จะสรปไดวำ 2 | y นนคอ y เปนจำนวนค

เชน 4 |12 จะได 4 12 6 | ( 18) จะได 6 18 18 ( 5) | ( 20) จะได 5 5 20 20

เชน จำก 4 | 8 และ 4 |12 จะสรปไดวำ 4 | (8 12) และ 4 | (8( 3) 12(101)) เปนตน ยงกวำนน ถำ a และ b เปนจำนวนค จะสรปไดวำ ax by จะเปนจำนวนคเสมอ ทกจำนวนเตม x และ y


14

ผสอนอาจใชทฤษฎบทขางตนพสจนสมบตของจ านวนเตมเพมเตมดงน

ตวอยาง ให , ,a b c และ d เปนจ านวนเตมซง |a b และ |c d จงแสดงวา |ac bd วธท า สมมตวา |a b และ |c d ดงนน มจ านวนเตม q และ q ทท าให b qa และ d q c ท าให ( )( ) ( )( )bd qa q c qq ac เพราะวา qq เปนจ านวนเตม ดงนน |ac bd # ตวอยาง จงแสดงวา 33 | ( )a a เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ วธท า ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ สงเกตวา 3 2( 1) ( 1)( 1)a a a a a a a โดยขนตอนวธการหาร จะมจ านวนเตม q และ r ซง

3a q r โดยท 0,1r หรอ 2 กรณ 1 0r เราไดวา 3 | a ท าให 3 | ( 1)( 1)a a a กรณ 2 1r นนคอ 3 1a q ท าให 1 3a q ดงนน 3 | ( 1)a สงผลให 3 | ( 1)( 1)a a a กรณ 3 2r นนคอ 3 2a q ท าให 1 3 3 3( 1)a q q ดงนน 3 | ( 1)a สงผลให 3 | ( 1)( 1)a a a

จากทกกรณ เราสรปไดวา 33 | ( )a a #

ตวอยาง จงแสดงวาจ านวนคทไมเทากบศนยหารจ านวนคไมลงตว วธท า ให a เปนจ านวนคทไมเทากบศนย และ b เปนจ านวนค จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ k และ เปนจ านวนเตม สมมตวา a หาร b ลงตว จะไดวา มจ านวนเตม q ซง b qa ท าให 2 1 (2 ) 2( )q k qk ดงนน 1 2( ) 2 2( )qk qk เพราะวา qk เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา 2 |1 ซงเปนขอขดแยงเพราะวา 2 1 เพราะฉะนน จ านวนคทไมเทากบศนยหารจ านวนคไมลงตว #


15

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารลงตว

1. จงแสดงวา 9 | 0, 4 | ( 68), 5 | 225, ( 17) | 340, ( 6) | ( 174) 2. จงแสดงวา 8 | ( 14), 12 | 5, ( 7) | 40 3. ก าหนดให ,a b และ d เปนจ านวนเตม

จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ ก) ถา 2|d a แลว |d a ข) ถา | ( )d a b และ |d a แลว |d b ค) ถา | (2 )d a b และ | (5 2 )d a b แลว |d a

4. จงแสดงวา ก) ถา |1a แลว 1a ข) ถา |a b และ |b a แลว a b

5. จงแสดงวา ถา a เปนจ านวนค แลว 28 | ( 1)a 6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวาสมาชกในเซต { , 2, 4}a a a ตองมตวทหารดวย 3 ลงตว


16

3. จ านวนเฉพาะ


17

3. จ านวนเฉพาะ

เราทราบมาแลววา ส าหรบจ านวนเตมบวก 1a ใด ๆ จะไดวา 1| a และ |a a โดยอาจมหรอไมมจ านวนเตมบวกอนอกทหาร a ลงตว ในหวขอน เราจะพจารณาจ านวนเตมบวก 1p ซงมเพยง 1 และ p เทานนทเปนจ านวนเตมบวกทหาร p ลงตว ซงเราเรยกวา จำนวนเฉพำะ

ส าหรบจ านวนเตม a และ b ถา |b a จะไดวา ( ) |b a ดงนนเราใหนยามจ านวนเฉพาะดงน

หลงจากผเรยนไดศกษาบทนยามของจ านวนเฉพาะ และ จ านวนประกอบพรอมทงตวอยางจากสอการสอนแลว ผสอนควรใหผเรยนยกตวอยางจ านวนเฉพาะและจ านวนประกอบเพมเตม ทงนผสอนควรย าวา 1 ไมเปนทงจ านวนเฉพาะและจ านวนประกอบ และจากบทนยามเราพจารณาจ านวนเฉพาะทเปนจ านวนเตมบวกเทานน

หำกผเรยนสงสยเกยวกบขอสงเกตของจำนวนประกอบน ผสอนอำจอธบำยวำ ถำ n เปนจำนวนประกอบ แสดงวำ n ยอมมตวหำรทเปนจำนวนเตมบวก d นอกจำก 1 และ n และจำก |d n จะไดวำ d n โดยยกตวอยำงจำนวนประกอบเชน 18 มตวหำรอนทมำกกวำ 1 และนอยกวำ 18 เชน 2,3,9 เปนตน


18

ในเรองตอมาจะกลาวถงการเขยนจ านวนเตมทมากกวา 1 เปนผลคณของจ านวนเฉพาะ

พรอมทงยกตวอยางการเขยน 700 เปนจ านวนเฉพาะโดยการตงหารสน เพอน าไปสกรณทวไป ซงเรยกวา “ทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณต (Fundamental Theorem of Arithmetic)”

เรำอำจเขยนทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณตในรปสญลกษณไดดงแสดงไวในสอกำรสอน ซงผสอนอำจใหผเรยนกลบไปดตวอยำงกำรเขยน 700 เพอ ผเรยน ภำพ ทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณตชดเจนยงขน


19

ผสอนอาจเพมเตมทฤษฎบททเกยวกบจ านวนเฉพาะอยางงาย ซงเปนผลจากทฤษฎบทหลกมลทาง

เลขคณตใหผเรยนทมความสามารถสง ดงน ทฤษฎบท A ทกจ านวนเตมบวก 1n จะมจ านวนเฉพาะ p ท |p n พสจน เนองจาก 1n โดยทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต จะไดวา

1 2

1 2rk k k

rn p p p โดยท ip เปนจ านวนเฉพาะ และ ik เปนจ านวนเตมบวก ทก 1, 2, ,i r ดงนน 1 |p n #

ทฤษฎบท B มจ านวนเฉพาะอยเปนจ านวนอนนตตว พสจน สมมตวามจ านวนเฉพาะอย r ตว ไดแก 1 2, , , rp p p ให 1 2 1rN p p p ดงนน 1N โดยทฤษฎบท A จะมจ านวนเฉพาะ p ท |p N เพราะฉะนน 1 2{ , , , }rp p p p ท าใหไดวา 1 2| rp p p p ดงนน จะไดวา 1 2| ( )rp N p p p เพราะฉะนน |1p ซงเปนขอขดแยง จงสรปไดวา มจ านวนเฉพาะอยเปนจ านวนอนนตตว #


20

ทฤษฎบท C ถา n เปนจ านวนประกอบ แลวจะมจ านวนเฉพาะ p n ท |p n พสจน ให n เปนจ านวนประกอบ ดงนน 1n และ มจ านวนเตม d ซง 1 d n และ |d n เพราะฉะนน มจ านวนเตม 1e ซง n de สมมตวา d n และ e n ดงนน de n ซงเปนขอขดแยง เพราะฉะนน d n หรอ e n โดยไมเสยนยทวไปสมมตวา d n เนองจาก 1d ดงนน มจ านวนเฉพาะ p ท |p d สงผลให |p n เพราะฉะนน p n และ |p n # หมายเหต จากทฤษฎบทขางตนจะไดวา ถาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ a ทกจ านวนหาร a ไมลงตว แลวจะไดวา a เปนจ านวนเฉพาะ ตวอยาง จงพจารณาวา 149 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม วธท า จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 149 169 13 คอ 2,3,5,7 และ 11 และทกตวหาร 149 ไมลงตว ดงนน 149 เปนจ านวนเฉพาะ #


21

ตอไป ผสอนอาจพดถงการหาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ n เมอก าหนดจ านวนเตมบวก

n มาให โดยอาศยทฤษฎบท C วธการนเรยกวา ตะแกรงเอรำทอสเทนส (Sieve of Eratosthenes) ซงมขนตอนดงน

1. ให 1 2 32, 3, 5, , kp p p p เปนจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ n 2. เขยนจ านวนเตมตงแต 2 ถง n 3. วงกลม 1 2p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 2 ลงตว ยกเวน 2 4. วงกลม 2 3p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 3 ลงตว ยกเวน 3 5. วงกลม 3 5p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 5 ลงตว ยกเวน 5

ท าเชนนตอไปเรอยๆ จนถง kp “จำนวนเตมบวกทเหลออยจะเปนจำนวนเฉพำะทงหมดทนอยกวำหรอเทำกบ n ”

ตวอยาง จงหาจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100 วธท า จ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100 10 คอ 2,3,5 และ 7 เขยนจ านวนเตมตงแต 2 ถง 100 แลวลบจ านวนทหารดวย 2,3,5 และ 7 ลงตวทไมใชตวมนเอง จะไดจ านวนทเหลออยคอจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

31 37

41 43 47

53

4 6 8 9 10

12 14 15 16 18 20

21 22 24 25 26 27 28 30

32 33 34 35 36 38 39 40

42 44 45 46 48 49 50

51 52 54 55 56 57 58 60

62 63 64 65 66 68 69 70

72 74 75 76 77 78 80

81 82 84 85 86 87 88 90

91 92 93

59

61 6

94 95 9

7

71 73 79

6 98

8

9

3 89

97 9 100


22

แบบฝกหดเพมเตม เรอง จ านวนเฉพาะ

1. จ านวนตอไปนจ านวนใดบางเปนจ านวนเฉพาะ จ านวนใดบางเปนจ านวนประกอบ

73, 207, 503, 1023, 1499, 2011, 2525 2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ

604, 925, 4022, 8259, 10101, 10! 3. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 3 1n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 4. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 4 2 1n n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 5. จงหาจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 200


23

สรปสาระส าคญประจ าตอน


24

สรปสาระส าคญประจ าตอน

สาระส าคญของทฤษฎจ านวนเบองตน (ตอนท 1) ประกอบดวยเนอหาหลกทผสอนควรย าแกผเรยนทงหมด 4 เรองคอ

ผสอนอำจยำกำรจำขนตอนวธกำรหำรงำย ๆ วำ “ตวตง = (ตวหำร ผลหำร) + เศษเหลอ” โดยทเศษเหลอจะตองมคำมำกกวำหรอเทำกบศนยและนอยกวำคำสมบรณของตวหำร และในกรณทกำรหำรมเศษเหลอเปนศนย เรำกลำววำเปน “กำรหำรลงตว” ผสอนอำจยำเกยวกบสญลกษณอกครงวำ กำรหำรลงตวใชสญลกษณ “ | ” ไมใช “ / ”


25

3. 4.

ผสอนทบทวนนยำมของจำนวนเฉพำะ และ จำนวนประกอบ พรอมทงยกตวอยำงกำรเขยนจำนวนเตมบวกทมำกกวำ 1 เปนผลคณของจำนวนเฉพำะ โดยอำจยกตวอยำงทมควำมซบซอนยงขน เชน 3 4 231752 2 3 7 หรอ 44733 3 13 31 37 เปนตน


26

เอกสารอางอง

1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรำยวชำเพมเตมคณตศำสตร เลม 1 ชนมธยมศกษำปท 4 – 6 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพฯ: สถาบนฯ.

2. สเทพ จนทรสมศกด. (2533). ระบบจำนวน. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดพทกษการพมพ.

3. อจฉรา หาญชวงศ. (2542). ทฤษฎจำนวน. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.


27

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


28

แบบฝกหดระคน

1. จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร 2345a ดวย 157b 2. จงแสดงวาผลบวกของจ านวนคสองจ านวนยอมเปนจ านวนค 3. จงหาจ านวนสมาชกในเซต {201,202, ,300} ทหารดวย 4 ลงตว 4. ถา |bc ac และ c เปนจ านวนเตมโดยท 0c จงแสดงวา |b a 5. ถา | ( )m a b และ | ( )m c d จงแสดงวา | ( )m ac bd 6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา 23 | (2 7)a a 7. จงตรวจสอบวา 229 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม เพราะเหตใด 8. จงเขยน 4028 ในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ 9. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 4 4n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 10. จ านวนเตมบวกทงหมดทหาร 210 ลงตว มทงหมดกจ านวน


29

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


30

เฉลยแบบฝกหด

เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 1

1. 9, 5q r 2. 46, 5q r 3. 12, 10q r

4. 18, 1q r 5. 36, 0q r


เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 2

1. ให a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค

จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ ,k เปนจ านวนเตม

ดงนน 2 (2 1) 2( ) 1a b k k

เพราะวา k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา a b เปนจ านวนค

2. ให a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค

จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ ,k เปนจ านวนเตม

ดงนน 2 (2 1) 2(2 )ab k k k

เพราะวา 2k k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา ab เปนจ านวนค

3. เนองจากเมอหารจ านวนเตม a ดวย 6 มเศษเหลอเปน 3

โดยขนตอนวธการหารเราเขยน a ไดในรป 6 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม

ดงนน 2 5 2(6 3) 5 12 11a q q

ซงจดรปไดเปน 2 5 6(2 1) 5a q

เพราะวา 2 1q เปนจ านวนเตม ดงนน เศษเหลอจากการหาร 2 5a ดวย 6 มคาเปน 5


31

4. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 5 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1, 2, 3 หรอ 4

กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5a q เมอ q เปนจ านวนเตม

จะได 2 2 2(5 ) 5(5 )a q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 0

กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม

จะได 2 2 2 2(5 1) 25 10 1 5(5 2 ) 1a q q q q q

ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 1


จะได 2 2 2 2(5 2) 25 20 4 5(5 4 ) 4a q q q q q



จะได 2 2 2 2(5 3) 25 30 9 5(5 6 1) 4a q q q q q



จะได 2 2 2 2(5 4) 25 40 16 5(5 8 3) 1a q q q q q


จากทง 5 กรณ สรปไดวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 5 มคาเปน 0,1 หรอ 4


32

5. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2

กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม

จะได 2 2

2( 2) 3 ((3 ) 2)(9 2)

3 3

a a q qq q

เปนจ านวนเตม


จะได 2 2

2( 2) (3 1)((3 1) 2)(3 1)(3 2 1)

3 3

a a q qq q q



จะได 2 2

2( 2) (3 2)((3 2) 2)(3 2)(3 4 2)

3 3

a a q qq q q


จากทง 3 กรณ สรปไดวา 2( 2)

3

a a เปนจ านวนเตม


เรอง การหารลงตว

1. 0 0 9, 68 ( 17) 4, 225 (45) 5, 340 ( 20) ( 17), 174 29 ( 6) 2. 14 ( 2) 8 2, 5 0 12 5, 40 ( 5)( 7) 5 3. ก) ผด เชน 24 | 6 แต 4 | 6

ข) ถก เนองจาก | ( )d a b และ |d a โดยทฤษฎบทขอ (5) จะไดวา | ( )d a b a ดงนน |d b ค) ถก เนองจาก | (2 )d a b และ | (5 2 )d a b โดยทฤษฎบทขอ (5) จะไดวา | ((2 )( 2) (5 2 ))d a b a b ดงนน |d a

4. ก) สมมตวา |1a โดยทฤษฎบทขอ (4) 1a จากทฤษฎบทขอ (1) เราไดวา 1| a ดงนน โดยทฤษฎบทขอ (4) จะได 1 a เพราะฉะนน 1a ท าใหไดวา 1a ข) สมมตวา |a b และ |b a โดยทฤษฎบทขอ (5) เราไดวา a b และ b a ดงนน a b ท าใหไดวา a b


33

5. สมมตวา a เปนจ านวนค ดงนน 2 1a k เมอ k เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน 2 2 21 (2 1) 1 (4 4 1) 1 4 ( 1)a k k k k k เนองจาก k เปนจ านวนเตม ท าใหไดวา k หรอ 1k ตองเปนจ านวนค ดงนน ( 1)k k เปนจ านวนค นนคอ ( 1) 2k k q เมอ q เปนจ านวนเตม ท าใหไดวา 2 1 8a q เพราะฉะนน 28 | ( 1)a

6. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2 กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม นนคอ 3 | a กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 (3 1) 2 3 3 3( 1)a q q q นนคอ 3 | ( 2)a กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 4 (3 2) 4 3 6 3( 2)a q q q นนคอ 3 | ( 4)a จากทง 3 กรณ สรปไดวา มสมาชกในเซต { , 2, 4}a a a ทหารดวย 3 ลงตว


34

เฉลยแบบฝกหด เรอง จ านวนเฉพาะ

1. 73, 503, 1499, 2011เปนจ านวนเฉพาะ และ 207, 1023, 2525 เปนจ านวนประกอบ

2. 2 2604 2 151, 925 5 37, 4022 2 2011, 8259 3 2753, 8 4 210101 3 7 13 37,10! 2 3 5 7

3. เมอ 1n เราไดวา 3 1 2n เปนจ านวนเฉพาะ

เนองจาก 3 21 ( 1)( 1)n n n n

สมมตวา 1n จะได 1 2n และ 2 1 2n n

ดงนน 3 1n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n

4. เมอ 1n เราไดวา 4 2 1 3n n เปนจ านวนเฉพาะ

เนองจาก 4 2 2 21 ( 1)( 1)n n n n n n

สมมตวา 1n จะได 2 1 2n n และ 2 1 2n n

ดงนน 4 2 1n n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n

5. โดยใชวธตะแกรงเอราทอสเทนส เราไดวา จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 200 คอ

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,

107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199


35

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 14q และ 147r

2. ให a และ b เปนจ านวนค

จะไดวา 2a k และ 2b เมอ ,k เปนจ านวนเตม

ดงนน 2 2 2( )a b k k

เพราะวา k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา a b เปนจ านวนค

3. เนองจ านวนท 4 หารลงตวสามรถเขยนไดในรป 4k เมอ k เปนจ านวนเตม

สมมตวา 4 {201,202, ,300}k ดงนน 201 4 300k

ท าใหไดวา k ตองเปนจ านวนเตมโดยท 50.25 75k

เพราะฉะนนในเซต {201,202, ,300} มจ านวนเตมท 4 หารลงตวทงหมด 25 ตว

4. สมมตวา |bc ac และ c เปนจ านวนเตมโดยท 0c

ดงนน มจ านวนเตม q ซง ac qbc

เนองจาก 0c จะไดวา a qb เพราะฉะนน |b a

5. สมมตวา | ( )m a b และ | ( )m c d

ดงนน a b mk และ c d m เมอ ,k เปนจ านวนเตม

ท าใหไดวา ac bc mkc และ bc bd bm

เพราะฉะนน ( ) ( )ac bc bc bd mkc bm

นนคอ ( )ac bd m kc b

เพราะวา kc b เปนจ านวนเตม ดงนน เราสรปไดวา | ( )m ac bd


36

6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ

โดยขนตอนวธการหาร จะมจ านวนเตม q และ r ซง 3a q r โดยท 0,1r หรอ 2

กรณ 1 0r เราไดวา 3a q ท าให 2 2(2 7) 3 (2(3 ) 7)a a q q ดงนน 23 | (2 7)a a

กรณ 2 1r นนคอ 3 1a q

ท าให 2 2 2(2 7) (3 1)(2(3 1) 7) 3(3 1)(6 4 3)a a q q q q q ดงนน 23 | (2 7)a a

กรณ 3 2r นนคอ 3 2a q

ท าให 2 2 2(2 7) (3 2)(2(3 2) 7) 3(3 2)(6 8 5)a a q q q q q

ดงนน 23 | (2 7)a a

จากทกกรณ เราสรปไดวา 23 | (2 7)a a

7. จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 229 256 16 คอ 2,3,5,7,11 และ 13

และทกตวหาร 229 ไมลงตว ดงนน 229 เปนจ านวนเฉพาะ

8. 24028 2 19 53 9. เมอ 1n เราไดวา 4 4 5n เปนจ านวนเฉพาะ

เนองจาก 4 2 24 ( 2 2)( 2 2)n n n n n

สมมตวา 1n จะได 2 2 2 2n n และ 2 2 2 2n n

ดงนน 4 4n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n

10. เนองจาก 210 2 3 5 7

ดงนน ถา | 210m จะไดวา 2 3 5 7a b c dm เมอ 0 , , , 1a b c d

เพราะฉะนน ตวหารของ 210 มทงหมด 16 ตว คอ

1, 2, 3, 5, 7, 2 3, 2 5, 2 7, 3 5, 3 7, 5 7, 2 3 5, 2 3 7, 2 5 7, 3 5 7, 2 3 5 7


37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


38

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


39


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


40


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

27 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ตอนที่1 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ

Documents