-
2.1. DIFERENCIABILIDAD 95
así como 8v f(a) := ~~ (a) := Dvf(a). (c) Si f = (JI,'" , fn)
tiene derivadas parciales en todos los puntos de U y ~ : U --->
lR., 1 'S j 'S m, 1 'S i 'S 71., existen y resultan continuas en
U
J
entonces se dice que f es de clase el en U. Se escribe fE
el(U,lR.n ).
Proposición 2.1.13 Supongamos f : U ---> lR.n , a un punto
del abierto U ~ lR.m , Of; v E lR.m y f = (JI , '" , f n). Entonces
la derivada direccional Dv f (a) existe sí y sólo si las derivadas
direccionales de las componentes de f , Dvfi(a), 1 'S i 'S 71. ,
existen; si es el caso ,
D"I(a) := (DvI, (a) , · .. , Dvln(a)).
En particular para v = ei , 1 'S i 'S m se tiene
8f 8fl 8fn-(a) = (-(a) , ,, · , -. (a)) (2.18)8Xi 8xj 8xj
2.1.3. La matrÍz jacobiana de la derivada
Determinemos ahora la representación mat.ricial de la derivada
df (a) en las bases canónicas de lR.m y lR.n .
Definición 2.1.14 La matr'ÍZ de la deTivada df(a) E L(lR.m,lR.n
) de una aplicación f : U ---> lR.n con respecto a las bases
canónicas de lR.m y lR.n se denota por l' (a) y se llama la matriz
jacobiana de f en a. Si f = (JI,'" , f n) se escribe también para
la matriz de 71. filas y m columnas f'(a)
8(J,,'" , fn ) (0.):= J' (a) 8(XI,'" ,xm )
Si n = m entonces det l' (a) se llama el jacobiano de f en a. Se
esc'ribe
l¡(a) := det J'(a)
Teorema 2.1.15 Sea f : U ---> lR.n una aplicación
d~ferenciable en el punto a del abierto U e lR.m . Entonces, si I =
(JI,' .. , fn) (a) Para todo v f; o E lR. m existe la derivada
direccional Dv f(a) E lR.n y se tiene
df(a)v = Dvf(a). (2.19)
En particular todas las derivadas parciales Djf(a) E lR.n
existen en a y
dfi(a)ej = DJf;(a) =: 8~fl (a), para 1 'S j 'S m, 1 'S i 'S 71.
(2.20) x·]
r UlI' "fD'!lLIN JEPTO. DE SfBLTOTECA!::.
/:31 H:~ lnTr ~ \ .FrF" G . " 'v 1E:Z
-
96 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
(b) Se tiene, con las 'identificaciones IRm = M (m, 1) , IR" = M
(n, 1) Y f = (J¡, . . . , f,,)t , para todo v E IRm
dJ¡ (a)v) ( ~~~ (a) :!.~: (a) ) ( ~¡ ) (2.21)df(a)v = : = :
(
dfn(a)v Mt(a) ~(a) Vm
Por lo tanto f' (a) = (~(a)) , donde i es el índice de fila y j
el índice de columna, f'(a) E M(n x m). Para (2.19) podemos
escribir también
m of df(a)v = Dvf(a) = .L OX (a)vi (2.22)
i=¡ ,
es decir Dvf(a) es combinación lineal de las derivadas parciales
en a.
Demostración. (a) Para O i- v E IRm , t > O y df(a) lineal se
obtiene
f(a + tv) - f(a) - df(a)(tv) = ~ [f(a + tv) - f(a) - df(a)v] . t
Ivl Ivl J
Como f es diferenciable en a, el límite del lado izquierdo para
t ----. O es O. Se sigue (2.19) y con eso (2.20). (b) Determinamos
la componente i , 1 S i S m, de la matriz columna df(a)v , es decir
(df(a)vk Entonces por (2.19): (df(a)v)i = (Dvf(a))i. Ahora por Lema
2.1.9 , (2.18), .Y v = v¡e¡ + ... + vmem obtenemos para 1 S i S
m
m
(Dvf(a))i = Dvfi(a) = df;(a)v = .L vjDf;(a)eJ
j=¡
m (Ofi of; )= .L vjDjfi(a) = O:1;¡ (a),··· , oX
j=l m (:J
y con lo cual (2.21) se obtiene en forma inmediata. _
Definición 2.1.16 La matríz fila en (2.22) , vista como vector,
es decir
of Of)~(a),··· , -;:;-:-(a) =: gradf(a) = : \7 f (a) (2.23)( UX¡
UX m
se llama el gradiente de la función Teal valuada f en la base
canónica de IRm .
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
En el sentido anterior podemos decir que las filas de la matríz
jacobiana f'(a) son los gradientes de las componentes de f = (J¡, .
.. ,fn). Para (2.22) podemos escribir con el product.o interno
canónico
df(a)v = (\1 f(a)), v)
Se concluye del Teorema 2.l.15 para f = (JI,' .. , fn) : U
------+ ~n diferenciable en a que todas las derivadas parciales de
cada una de las componentes de f existen en a sí y sólo si las
derivadas direccionales existen en a para todo v E ~m, v =1- O.
Corolario 2.1.17 Si f : U ------+ ~n es diferenC'iable en U y a
E U, entonces df : U ------+ L(~m, ~n) es continua en a sí y s610
si las derivadas parciales ~ : U ------+ ~n, 1 ~ i ~ m son
continuas en a sí y s610 si las derivadas direccionales Dvf : U
------+ ~n son continuas en a
Demostración. Se sigue con Teorema 2.l.15. Observar que df es
continua en a si para todo v =1- °la aplicación a' f-----> Df(a'
)v , a' E U es continua en a. _
Recíprocamente vemos, con un ejemplo, que la existencia de la
derivada direccional Dvf(a) , para todo v E ~n y hasta en una
vecindad de a, no implica que f sea diferenciable en a, ni siquiera
continua en a.
Ejemplo 2.1.18 Sea f : Ifl!2 ------+ Ifl! dada por f(O, O) y
f(x, y) = x 3yjx6 +y2 para (x, y) =1- (O, O) . En (x, y) =1- (O,
O), f es claramente continua. Para todo x =1- O tenemos f(x,x 3 ) =
~ y así f es discontinua en (0,0). Calculando las derivadas
direccionales para v = (VI, V2) =1- (O, O) obtenemos
~f(O,O):= lím f (tv J ,tv2) = lím t4vrV2 ov t~O t I.~O t 7V) +
t3v~
= lím tvrv2 = O t~O t4v~ + v~
Además resulta que la derivada direccional de f es incluso
lineal en v, es decir
of ot af o f o f o(tv) (x, y) = t ov (x, y), o(v + w) (x, y) =
ov (x, y) + OW (x, y)
'í/t E lR, v, W E ~2 Y u = (x, y) E ~2 fijo. En efecto es obvio
para (x, y) = (O, O) y se sigue en el otro ca..c:¡o, por cálculo de
una variable con y(t) := f(u + tv) de ~;(u) = y'(O).
97
-
98 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Se concluye así que es necesaria una condición adicional, a la
existencia de las derivadas parciales de f , para que la función
sea diferenciable en un punto a. Se probará ahora un criterio muy
práctico .
Teorema 2.1.19 (Criterio de diferenciabilidad) . Sean f : U
-----> IR", a un punto interior de U e IRtm y f = (JI,· · . , fn
). Si todas ¿as derivadas parciales de f existen en una vecindad de
a y son continuas en a , entonces f es diferenciable en a .
Demostración. Por Lema 2.1.9 basta considerar el ca.so n = 1, es
decir, f realvaluada. Como Djf es continua en a, para é > O
existe r > O tal que B(a; r) e U(norma euclídea en IRtm ) y
I Djf (x ) - Djf(a)1 < ~, '
-
2.1. DJFERENeJABJLIDAD
Ejemplo 2.1. 20 (D~[erenciación de una aplicación
rotacionalmente simétrica). Sea
-
100 CAPÍTULO 2.
para 1 < i S; n, de df : U en U. (c)
En un sentido geométrico se dice que una f : U rn;m ---->
rn;m es, o un campo vectorial en U Si f : U rn;m ---> rn; una
función con
de primer orden en U entonces
vf :U rn;n x f(x),· ,. ,
se llama el campo vectorial gradiente de f. Se escribe
gradf
y si introducimos el "vector - V = , Dm) con las componentes ,
... , Dm entonces escribir formalmente grad! Vf
como producto interno de V con f := v' f.
Introduzcamos además algunos y notaciones de amplio uso:
Si f : U ----> rn;m, U e rn;m, es un campo vectorial que
tiene derivadas ~. en todo 1 S; i, j m, entonces el campo divf
.
por
para x U
vergencia del campo f, div f (x) es la traza de la matriz
\Ix E U.
Si usamos el V = (DI,' " Dn) se escribir
V f = DI/¡ + .. + = d'ivf
Para m = 3, f ) X2, X3) se introduce además el campo vectorial
rotf ' U definido por
rotf (D2h f¡) = V x f (2,27)
y donde x se usa en el del vectorial en . rotf se llama la
rotaci6n del campo vectorial f : U ,Uc
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
2.1.4. El teorema de las derivadas cruzadas
Derivadas parciales de orden superior
Definimos derivadas parciales de orden superior, de una función
f : U ----> IR sobre un ab ierto U e IRffi, por recurrencia: Si
i, j E {l, . . . ,m} y la derivada parcial Di! (que se llR.ma una
derivada parcial de orden 1) está definida en U y si ex iste Dj
(DJ)(a) para algún a E U decimos que f tiene derivada parcial de
segundo orden, Dij f (a), en a dada por
Si Dijf(a ) está definida para todo a E U dec imos que f tiene
derivada de segundo orden Dijf en U. Para i = j escribimos también
Drf. Recursivamente se definen para k ;::: 2 derivadas parciales de
orden k en a E U, para ]1,'" , ]k E {l , ··· ,m}, si Djl · · · jk -
If está definida en una vecindad de a, por
si el lado derecho en (*) existen y Dj¡ .. jk se llama un a
derivada de orden k de f en a.
Definición 2.1.22 Si todas las derivadas parciales hasta el
orden k (k;::: 1) de f : U ----> IR existen en U y son continuas
decimos que f es de clase e k
en U. Si las derivadas parciales existen para todo k ;::: 1
decimos que f es de clase eoo en U. Se escribe f E eOO(U) := n
ek(U). Una derivada
kEl'I parcial de orden O de f es la fun ción f . Para una func
ión f : U ----> IRn , f = (JI,'" , fn) se dice que es de clase e
k (1 ~ k ~ ()()) en U si cada componente Ji lo es. Se escribe f E
ek (U, IRn ).
Observación 2 .1.23 (a) En general Di( Dj!) no será igual a Dj
(Di!) para i 1= j, es deci r las derivadas parcia les pueden
depender del orden en que se formen . (b) Por Teorema 2. 1.21 se
sigue, s i todas las derivadas pa rciales de orden k existen y son
continuas en U entonces también lo son las derivadas parciales de
orden econ O~ e< k y son funcion es diferenciables en U.
Claramente para O~ k ~ ()()
eOO(U) e ek+1 (U) e ek(u) e ... e eO(U) := e(u)
Además f E ek(U), k ;::: 1, sf y sólo si para todo 1 ~ j ~ m Djf
E ek- 1(U).
101
-
102 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Ejemplo 2.1.24 Para la forma cuadrática f : ]R.m -----t]R.
definida por m
lA 1 ~ mf(x) := X X = :2 0 ajkXjXk , X E IR = M(m , 1) j
,k=l
con A = (ajk) una matriz m por m simétrica, se tiene que f es de
clase coo(IRm),df(a)h = atAh y para la matríz de las segundas
derivadas parciales
fXlxl fXIX2 fXlx", ) J"(a):= (JXiXj(a)) := : : (a)
( fX 1n X l fX m xm
se tiene J"(a) A. En realidad las derivadas parciales de orden
> 3 se anulan en ]R.n.
Ejemplos de funciones de clase C k
Ejemplo 2.1.25 Con las reglas de diferenciación de funciones de
una variable obtenemos, si f, 9 : U -----t ]R. son real valuadas de
clase Ck en el abierto U e ~m, que también f + g, f·.9, Y (si, g(x)
f. O en U) f /g son de clase C k en U.
Ejemplo 2.1.26 Todo polinomio en dos variables, es decir p : ~2
----t ]R., definido por
2p(x, y) = ¿ aijXky€ aij E]R., (x, y) E ~ k,e=U
k/5:n
es obviamente una función continua, por ser suma finita de
productos de potencias de las proyecciones canónicas 'ir¡ (x, y) =
x, 'ir2(X, y) = y. Claramente p posee derivadas parciales D¡p(x,
y), D2P(x, y) que también son polinomios y por tanto continuos. Por
el Teorema 2.1.21 se sigue pE C¡ (~2). Como DIP y D2P son
polinomios y con eso de clase C l en ~2 , se sigue que P E C2(~2) .
Recursivamente obtenemos P E Ck (~2), \fk 2 O, es decir P E
coo(]R.2). Análogamente, todo polinomio en m variables y valores en
~n, P : ]R.m ----t ]R.n dado por
. i l i m( ) ¿ k
"'2 xP X a '¡ rn I ···xm it,··· ,im= O
con x = (XI," . ,Xm ) E ]R.m, ai¡ ... i m E ~n cumple P E coo
(~m).
-
2.1. DIFERENeIABILIDAD 103
Ejemplo 2.1.27 Toda función bilineal ! : )Rm X )Rn ----+)R es
una función de clase eoo en )Rm+n = )Rm X )Rn. En efecto, basta
observar que para
m n X = L Xie Y y = L Yjej a )Rn se sigue
i=J j=J
n n
!(x,y) = L LXiYj!(ei,ej) (*) i= J j=J
de donde es inmediato con Ejemplo 2.1.26 que! E eOO()Rm+n). En
realidad, las derivadas parciales de orden ~ 3 se anulan. Ya se
sabía de Proposición 2.l. 6 que ! era de clase el. Así el producto
interno en )Rn, el producto de matrices M (p, n) x M (n, m) M (p,
m) si se identifican M (p, m) = )Rpn,f-----+ M(n, m) = )Rnm y M(p,
m) = )Rpm lleva para la función bilineal
-
104 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
El Teorema de las derivadas cruzadas o Teorema de Schwarz
Supongamos f : U ~ ]Rm --> ]R, donde U es abier to y a E U.
Si para 1 :s: i , j :s: m , i 1= j existen las derivadas parciales
de segundo orden Dij f := Dj(DiJ) y DjiJ en a, cabe preguntarse si
el orden en que se han tomado las derivadas parciales es relevante.
Resulta que en general (DijJ)(a ) 1= (DJiJ)(a) aún si las derivadas
Dijf , DjiJ existen en todo U . En efecto,
Ejemplo 2.1.29 Sea f : ]R2 --> ]R dada por
xy(x2 _ y2 ) SI X2 + y2 > Of (x, y) = O x2 + y2
{ si (x,y) = (0,0)
Obviamente f E coo(]R2 '-. (O, O)). En (O, O) se verifica, por
cálculo directo , que (DuJ)(O,O ) = (D22 J)(0 ,0) = O. Para (D12J)
(0,0) obtenemos : Si y 1= O entonces f (O,y) = O con lo cual
, xy(x2 _ y2) (D¡f)(O,y) = limo (2 + 2) = -y, y 1= O
x~ x x y
y con eso
(D12J)(0, O) = D2 (D¡f)(0, O) = lím (D1f)(0 , y ) = -1 y~o y
.
En forma análoga se obtiene (D21 f)(0 ,O) = +1. Luego (D 12f)
(0, O) 1= (D21J)(0 ,0). Observe que D12f y D21f existen en todo JR2
Por el teorema que seguirá se tiene que (D 12 f) (X,y) = (D21f)(
X,y), para todo (x , y) =f. (O, O).
Por lo tanto es importante tener condiciones que impliquen que
el orden en que se toman las derivadas parciales sea irrelevante.
Hay diferentes condiciones que garantizan ésto.
Teorema 2.1.30 (de Schwarz generalizado). Sea f : U --> ]R
con U un abier-to en ]Rm. Supongamos que i , j E {1,· .. , m} y las
derivadas par-ciales DiJ, Djf existen en U. Además la derivada
par-cial Dijf := Dj (DiJ) exista en U y sea continua en e E U.
Entonces DjiJ existe en c y se tiene Dijf(c) = DjiJ(c).
Demostración. Como el enunciado involucra sólo dos variables,
mientras i las otras permanecen fijas, podemos suponer que m = 2,
es decir U ~ ]R2 , i =
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
1,j = 2,c = (a,b) E U. Sea h -=1= O,k -=1= O Y Q ~ U el
rectándulo cerrado determinado por los puntos (a, b) Y (a + h, b +
k). Si ponemos
6.(f, Q) := f(a + h, b + k) - f(a + h, b) - f(a, b + k) + f(a,
b), (*) o
entonces exis te (x, y ) E Q tal que
6.(f, Q) = hk(D 12 f)(X , y ).
En efecto , poniendo u(t) := f (t, b+ k) - f (t, b), a ::; t ::;
a+h Y aplicando dos veces el teorema de valor medio para funciones
de una variable, obtenemos
6.(f, Q) = u(a + h) - u (a) = hUf (x) = h [( D 1f) (.1:, b + k)
- (D 1f) (x, b) 1 = h· k . (D I 2f)(.1:, y)
Ahora bien, D¡2! es continua en e = (0., b) con lo cual, para e
> O dado, existe o> O tal que si Ihl , Ikl < o,
tenemos
I(D 12f)(a, b) - (D¡2.f)(X , 71)1 < e , V(x, y) E Q.
En particular
Tomamos O < Ihl < O fijo y hacemos k ---+ O. Por hipótesis
D2f existe en U y se obtiene de (*) y (**),
!(D2f)(a + h , b~ - (D2!)(a, b) _ (~12f)(a , b)! ::; e ,O <
Ihl < o
Como e > Oera arbitrario, se sigue por definición de la
derivada parcial, que D¡(D2f)(a,b) existe y es igual a (D
12f)(a,b),.
En la mayoría de las aplicaciones la siguiente versión es
suficiente:
Corolario 2.1.31 Si f E C 2(U) entonces Dij f = Djd en U ~ IRm ,
para todo 1 ::; i, j ::; m.
Como toda permutación (k l ,k2,'" ,kr ) de (1,2, .. · ,r) se
puede obtener por transposiciones de dos elementos, una aplicación
sucesiva de . Teorema 2.1.30 permite obtener
105
-
106 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Corolario 2.1.32 Sea f: U ~]Rm ----t ]R,f E Cr(U),r:::: 2 y
(jI,'" ,]r), una r-tupla de números naturales con 1 ::; jI, ... ,
jr ::; m. Si (k¡,' .. ,kr ) es cualquier permutación de (1,2, ...
,T), Y ponemos ('tI, ... ,ir) := (jk¡, ... ,.7k,..), entonces
Di1,j = D j ¡j2'-Jr f en U,
y en escritura más tradiczonal,
éY f 8r f en U.
8.Ti, .. ·8Xi28x;¡ 8Xjr .. ·8xJ2 8xj[
Como ilustración consideremos una función f : U ~ ]R:2 ----t]R,
(x, y) ----t f (x, y) de clase C 3 en U. Tenemos 23 = 8 derivadas
parciales de orden 3. Aparte de Dlllf =: Dy! y Dy tenemos las
derivadas mixtas de tercer orden
D 211 f , D 12¡f D l12 f D122 f D 21 2! D221f (*)
Veamos, como afirma Corolario 2.1.32, que las primeras tres son
iguales. En efecto, usando Teorema 2.1.10 se obtiene D 211 f = DI
(D21 J) = D¡ (D I2 J) = D l21 f Y D l21 f = DI [D2(DIJ)] = D 21
(D¡f) = D 12 (D 1J) = Dll2f.
Análogamente se verifica que las tres últimas derivadas
parciales en (*) también son iguales. Conclufmos con eso que a lo
sumo cuatro derivadas parciales de tercer orden son diferentes.
Otro enunciado que garantiza la independencia de las derivadas
parciales del orden en que éstas se formen lo da el Teorema que
sigue.
Primeramente, vamos a definir, por inducción sobre k, cuándo una
función es k veces diferenciable en un punto de su dominio. Para
eso sea, como siempre, U ~ ]Rm un abierto, a E U Y f : U ----+
]Rm.
Definición 2.1.33 Para k = 1 : f se dice una vez diferenC'lable
en a si f
es diferenC'lable en a.
Para k = 2 : f se d'ice dos veces diferenciable en a si existe
una vecindad V
de a tal que f es diferenciable en V y las denvadas parC'lales
if, 1 ::; i ::; m,
(q'líe existen en V), son diferenciables en a.
Para k :::: 2: Decimos que f es k + 1 veces diferenciable en a
si existe
vecindad V de a tal que f diferenciable en V y tI" 1 ::; 'Í, ::;
rn son k veces
diferenciables en a. '.
f se d'ice k veces d'iferenC'lable en D e U S'l es k veces
diferenciable para
todo a E D.
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Como ilustración, anotemos el caso particular k = 3 · : f es
tres veces diferenci ab le en a si f es diferenciab le en una
vecindad de V de a y las derivadas parciales ~ (que existen en V)
son diferenciables en V (lo que garantiza existencia de las
derivadas 8~i~fXj en V) y las derivadas parciales de segundo orden
son diferenciables en a (lo que garantiza la existencia de las
derivadas parciales de t.ercer orden en a).
Nota 2.1.34 a) f E Ck(V) implica f es k veces diferenciable en
U. (b) Si f E C k - 1(V) y las der ivadas parciales de orden k-l
son diferenciables en a entonces f es k veces diferenciable en a.
(c) f k veces diferenciable en vecindad W de a entonces f E Ck-
¡(W) .
Teorema 2.1.35 Sea f : V ------+ ~ con V e ~m abierto, a E V, Y
f dos veces difeTenciable en el punto a E V. Entonces para todo 1
:S i, j :S m se tiene
Demostración. Como en la prueba de Teorema 2.l.30, para
simplificar la notación y si n perder generalidad , podemos suponer
V e ~2 y a := (b, e) E U. Consideramos la función
cp(t) := f(b + t, c + t) - f(b + t, e) - f(b, e + t) + f(b,
e)
para t E (-é, é) Y é > O suficientemente pequeño. Con
r¡(x) = f (x, e + t) - f(x, e) (*)
es claro que cp(t) = r¡(b + t) - r¡(b) (* *)
Aplicamos el teorema de valor medio para funciones de una
variable a (**): existe O < e < 1 tal que cp( t ) = r¡'(b +
et)t y con (*) obtenemos cp(t) [O¡J(b + et, e + t) - D¡ f(b + et,
e)]t. Ahora bien, como D¡J : V ------+ IR es diferenciable en a =
(b, e) se siguen
D¡f(b + et, e + t) = D¡J(a) + Dllf(a)et + D2¡J(a)t + T¡(t) con
T¡ (t)lt ------+ O, para t ------+ O, y
D¡f (b + et, e) = D¡f(a ) + Dllf(a)et + T2(t)
con T2 (t )/t ------+ O, para t ------+ O. Por Jo tanto cp(t) =
D21f (e) t2 + T(t)t con T(t) = T¡ (t ) - T2(t).y se sigue lím ~ =
D2¡f(a).
I.~O .
Similarmente se obtiene con i)(t) := f(b + t , y)- f(b,y) que
t~/ii2 D 12 f(a) . Se sigue la afirmación del Teorema. _
107
-
108 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Observación 2.1.36 Del Teorema anterior se deduce en forma
similar como se hizo con Teorema 2.1.30 un resultado análogo al
Corolario 2.1.32 de dicho teorema, si la función f es k veces
diferenciable en a (k ~ 2).
2.1.5. Gradiente, diferencial y l-formas
Sea en lo siguiente f : U ~ IR una función definida en el
abierto U e IRm .Entonces se tiene , si f es diferenciable en U,
para la derivada o el diferencial de f en a E U, si v = (Vi,'" , vm
) E IRm,
df (a)v = J'(a) = Lm
Dd(a)vi (2.28) i=l
o también si, V se escribe como columna, v E M (n x l),
df(a)v = J' (a) . v (producto matricial)
Aquí J' (a) = (D¡f(a)··· Dmf(a)) E M(l x m), visto como vector,
es el único z de IRm que, con respecto al producto interno canónico
(-, '), cumple
(z, v) = df(a) v, para todo v E IRm .
Como df(a) E L(IRm , IR) = (IRm )*, la anterior igualdad es una
representación de df (a) por z con respecto a (-, .). El vector z =
(D¡f(a),· .. , Dmf (a)) se llama (Definición 2.1.16) el gradiente
de f en a, con respecto al producto interno canónico.
Más general se define, si e,') =: B es un producto interno
arbitrario en IRm como gradiente de f en a , con respecto a B, al
único vector de IRm , denotado ahora por gradBf(a) que cumple
(gradBf(a), v) = df(a)v, para todo v E IRm (2.29)
Si (-,.) está dado por (x, y) := L0=¡ CijXiXj con una mat rfz
(invertible) simétrica, entonces es fácil determinar la relación
que existe entre grad f (a) y gradB f (a) )0 cual dejamos como
ejercicio.
Propiedades geométricas del vector grad f (a)
Supongamos f : U ~ IR con grad f(a ) -::¡. O en U. Como
propiedades IR1TIgeométricas mas importantes de grad f : U ~
anotamos:
(a) grad f (a) apunta en la dirección donde f es creciente y
entre todas las d'irecciones pam las cuales f es creciente, la
dirección del gmdiente es la de crecimiento más rápido.
-
2.1 . DIFERENeIABILIDAD
Precisemos estas afirmaciones: Como w = grad f(a) .¡:. o,se
tiene
Dwf(a) = grad f(a) . w = [ grad f(a)[2 > O.
Esto nos dice, si usamos la regla de la cadena, que se probará
más adelante, que para un camino diferenciable, A : (-é, é) ---+ U,
A(O) = a, en el dominio de f, la función real f o A: (é,é ) ---+ IR
tiene derivada
df(a)w = Dwf (a) = (f o A)'(O) > O (*)
y si f y A son de clase el, entonces (fOA)'(t) > O en una
vecindad de t = O. Por lo tanto f o A es una función creciente en
esa vecindad de O. Esto es lo que se quiere decir cuando se afirma
que f crece en dirección del gradiente. Ahora bien (*) vale también
para todo v E IRm con grad f(a)v > O pero el crecimiento en
dirección de v = grad f(a) es más rápido en el siguiente sentido,
si v E IRm con [v [ = [grad f( a) [ , entonces
Dvf(a) ~ Dwf(a) , donde w = grad f(a) .
En efecto, con Cauchy-Schwarz se sigue
Dvf(a) = grad f(a) , v ~ Igrad f(a)1 Iv[ = Igrad f(a)1 2
= Dwf(a)
(b) grad f (a) es ortogonal o nonnal a la "superficie de nivel"
de f que pasa por el punto a E U.
Sea c := f (a) y
f-I(C) = {x [xEU, f(x)=c}CU
el conjunto f- I (c) se llama conjunto de nivel de f. Con grad
f(a) .¡:. o y continuo sobre f-l(C), se puede probar que f-l(c)
tiene en todo punto un plano tangente, generado por "vectores
velocidad" y la afirmación que grad f(a) es ortogonal a f-l(C)
quiere decir que es ortogonal a los vectores velocidad en el punto
a de cualquier camino, diferenciable en t = O tal que A(O) = a y f
(A(t)) = e, si t E (-e:,é). En efecto se sigue de f (A(t)) = O para
tE (-é,é) Y la regla de la cadena (que se probará más adelante)
que
0= (f o A)'(O) = Lm
Dd(a)A~(O) = grad f(a) • A'(O) ;=1
109
-
110 CAPÍTULO 2, APLICACIONES DIFERENCIABLES
lo que significa grad f(a) -.l >/(0) y donde >/(0) E IRm
es el "vector velocidad" del camino en a = '\(0),
El diferencial de f en a
Demos ahora, para una función diferenciable f abierto U E IRm un
sentido preciso a las fórmulas
U ----; IR, sobre un
df(a) = m
¿ D;f(a)dxi i=l
(2,30)
rn
df = ¿D;f dXi (2,31) ,:=1
que, en textos de cálculo, sólo son expresiones formales,
Sabemos que para a E U Y x E IRm se tiene
m
df(a)x = ¿ D;f(a)xi' (2,32) i=1
Sea el,' , , , en la base canónica en IRm y e7, , , , ,e;" E
(IRm)* := L(IRm , IR) la base dual, es decir ei ej = bij para 1 ~
i, j ~ rn, Todo f E (IRm )* se deja escribir como f = al e~ + ' , ,
+ ane~con coeficientes únicos ai E IR, Para x = (Xl,'" ,Xm ) E IRm
se tiene eix = ,Ti, 1 ~ i ~ 'm, es decir ei = 'ir;, donde 'iri es
la proyección canónica sobre la componente i en IRm ,
Como las proyecciones 'iri E (IRm)* son funcionales lineales
(continuos) se tiene para su derivada (o diferencial) en cualquier
a E IR m , d'iri(a) = 'ir; Y así d'iri : IR'" ----; (IRm ) * es de
valor constante 'ir;,
Con abuso de notación se escribe 'iri(X) = x;(x) = Xi, es decir
se escribe también Xi para la función 'ir; (algo de frecuente uso
en los textos de Cálculo cuando se escribe y = y(x), ahorrando así
un símbolo extra para la función); Xi adquiere por 10 tanto doble
significado, Con esta identificación se tiene dXi (a) = Xi para
todo a E IRn (igualdad en IRm) *) y
dx; : IRm ------? (IRmr, a ------? dXi(a) = Xi, (2,33)
Con eso (2,32) se escribe, correctamente, como
m m
df(a)v = ¿ D;f(a)vi = ¿ D;f(a)dxi(a)v ti E IRm , a E U i-=J
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
o, en forma equivalente a nivel de funciones sobre rn;.m,
m
df(a) = L DJ(a)d:r:i(a) a E U i=1
y, con otro abuso de notación, por tener dXi valor constante Xi
E (rn;.m) * según (2 .33), se escribe (en forma incorrecta)
df(a) = LIn
DJ(a)dxi para a E U (E rn;.m)*? (2.34 ) 'i=1
lo cual es (2.30). Se debe interpretar aquí a dXi como una
proyección. Con esa interpretación los dTi, 1 ~ i ~ m, son una base
del espacio dual, la base dual a la base canónica e1, ... , em . Se
obtiene de (2.34) una fórmula correcta si se escribe
df = Lm
DJ dXi : U -+ (rn;.m)* (2.35) i=1
lo cual es (2.31) y donde los dXi tienen el significado
verdadero. Es común
usar las escrituras (2.30) y (2.31).
Definamos ahora en forma más general:
Formas diferenciales de grado 1
Definición 2.1.37 Una forma diferencial de grado 1 o una l-forma
sobre un conjunto n w(x) E (rn;.m)*
Como fue explicado anteriormente (y la interpretación descrita)
dX1, ... , dX m forman la base dual a la base canónica el," . , em
de (rn;.m), es decir dXiV = Vi si V = (VI,'" ,Vm ) E rn;.m. Toda
l-forma w se escribe entonces
w(:r:) = a1(T)dT1 + ... + an(x)dx m , x E n
donde ai : n --+ rn;., 1 ~ i ~ m, son funciones reales únicas,
es decir
(2.36)
(ahora los dXi en su significado correcto).
111
-
112
Supongamos Q U e IR: m un abierto. dice qlte es de clase en U, O
S;; k S;; 00, si y sólo si para todo x f-----t es de clase en U sí
y sólo las
1r1Pr¡tp< al,'" ,am en (2.36) son de clase ek en U.
El ejemplo más simple de una 1-forma de clase se obtiene por el
diferencial de una j : U ---t IR: de cla.'le En efecto, para
cada
E IR:17lx E U , v se tiene dj(x)v 1D;j(X)Vi, lo que por lo
anteriormente es dj con f E (U), l.:Si m.
Es una natural, si toda 1 w en U es la de una función j : U IR:
, es decir dj w en U.
2.1.39 Una sobre el abierto U
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
F = (a], . .. ,am ) de clase C] en U tenga un potencial en U, es
necesario que se satisfagan en U las condiciones de
integrabilidad
oaj oa'i - - - = O, para 1::; i, j ::; m (2 .37)0.1:, ox j
Para m = 3 esto significa, por (2,27), rotF = O, es decir V x F
= o. Resulta que se requieren hipótesis topológicas sobre U para
que las condiciones de integrabilidad (2.37) sean también
suficientes. No se considerará este asunto aquí. Se puede probar
que la forma de clase Coo en JR:2" {o}, y definida por w = ad,1: +
bdy, d.x = dx], dy = d.X2, con coeficientes
-y ,x 2a(x, y) = 2 2' b(x, y) = 2 2 para (x,y) EJR: " {o}
x +y x + Y
es cerrada pero no exacta en JR:2 " {o}. Esto muestra que las
condiciones de integrabilidad no son suficientes.
2.1.6. La regla de la cadena
La versión intrínseca de la regla de la cadena que demostraremos
a continuación dice, en esencia, que la derivada de la ap licación
compuesta 9 o f, es la compos ición de las derivadas de f y 9
tomadas en puntos adecuados. Este resultado justifica también la
definición de derivada que se ha dado. Para derivadas parciales no
es válida la regla de la cadena.
Teorema 2.1.41 (regla de la cadena). Sean U ~ JR:m, V ~ JR:n
abiertos, f : U -----> JR:n diferenciable en el punto a E U con
f (U) ~ V Y 9 : V -----> JR:P diferenciable en el punto f (a) .
Entonces 9 o f : U -----> JR:P es diferenciable en a y se tiene
para d(g o 1) (a) E L (JR: m , JR:P),
d(g o 1)(a) = dg(J(a)) o df(a) (2.38)
Demostración. Sean b = f(a), A := df(a), B := dg(b). Veamos que
con
r(h) := (g o 1)(a + h) - (g o 1)(a) - BAh Ihl < 8
se cumple r( h) / Ihl ----> O para h ----> O. Sean
rJ(h) = f(a + h) - f(a ) - Ah Ihl < 8 (a)
rg(k) = g(b + k) - g(b) - Bk Ikl < 8'. (b)
113
-
114 2.
Por hipótesis tenemos (h)/Ihl opara h -----+ O Y rg Ikl O para k
-----+ O. Sea
k
6 y > IIAII. la última se oDtlene, observando que T g (h)) =
O para
k = = O,
Tg -----+ O para h -----+ O
Podemos con (a), y (el
o flla+h.)-(q o J) + k) - g(b) = Bk +
+ T¡(h)) +
Se si!:rue r(h) B (h) + , y el estimativo
$IIBII +
de donde usando (d) y la /Ihl opara h -----+ O, que /(h) -----+
O para h -----+ O. 111
Nota 2.1.42 Es fácil ver de la prueba que el teorema es válido
si se reemplazan IRm y IRn por normados E y F. Además es fácil ver,
si f E (U, y g E el ( , que la aplicación
:U
es continua en U, es decir f g E IR").
dice que Teorema 2.1.41 es una versión intrínseca de la de la
cadena dado que en su formulación no se hace uso de base y con eso
de coordenadas. A continuación reformularemos el Teorema 2.1.41
introduciendo lo cual es importante para el cálculo concreto de
derivadas.
Corolario 2.1.43 las condiciones del teorema antenor se tiene:
Si f es de clase ek en U y g de en V, entonces g o f es de clase en
U.
-
2.1. DIFERENeIABILIDAD ll5
Demostración. La fórmula (2.38) en el teorema anterior se
escribe, a nivel funcional, como
d(g o f) = (dg o f) o df: U ~ L(lR,m,II~.p),
o equivalentemente,
(g o f)1 = (gl o f) . !' : U ~ M (p, m), (2.39)
donde o indica composición de funciones y . producto de
matrices. Si definimos la función bilineal
1-'- : M(p, n) x M(n, m) ~ M(p, m)
por I-'-(T, S) := T· S (producto de matrices), entonces (2.39)
se escribe como
(g o f)1 = J-L o (g 0.[, !') (2.40)
donde (g o f , 1' ) : U ~ M(p, n) x M(n , m) es la función con
coordenadas glo f y 1'. Veamos que el lado derecho en (2.4 0) es de
clase ek en a . En efecto, se sigue con Ejemplo 2.1.27 que 1-'- :
IR,np X IR,nm ~ IR,pm es de clase eoo , es decir 1-'- E ek para
todo k :2 O. Procedemos inductivamente: Sean f de clase el en U y 9
de clase el en V. Entonces, por definición, l' es de clase eo en U
y gl de clase ea en V. Se sigue gl o f E ea en U y con eso 1-'- o
(gl o f, 1' ) E eo en U, con lo cual (g o f)1 E eo en U lo que
significa 9 o f E el en U. Sea ahora k :2 2 Y la afirmación cierta
para
lk - 1. Se tiene l' E ek- en U, por hipótesis de inducción. Se
sigue de 1 l(2.40) que (g o f)1 E ek - en U, gl o f E ek - en U por
hipótesis y con eso
1-'-0 (gl o f , 1' ) E ek- 1 en U. Por hipót.esis de inducción
se sigue de (2.40) que (g o f)1 E ek- 1 en U, es decir 9 o f E ek
en U.•
La regla de la cadena es de gran utilidad tanto para
consideraciones teóricas como para el cálculo concret.o de
derivadas. Para esto último expresémosla en términos de derivadas
parciales. Escribimos x = (Xl,'" ,Xm ) E U, Y = (Yl,'" ,Yn) E V, f
= (f¡, ... , fn ) : U c;: IR,m ~ V c;: IR,n , 9 = (gl,'" ,gp) : V
c;: IR,n ~ IR,P, 9 o f = (gl o f ,··· ,gp o f) de manera que (g o
f)i = gi o f, 1 :::; i :::; n. Como a la com posición de operadores
lineales corresponde la multiplicación de sus matrices, obtenemos
directamente del teorema anterior.
Corolario 2.1.44 Bajo la hipótesis de Teor-ema 2.1.41, las
matrices jacobianas f'(a), gl(f(a)) y (g o f)1(a) de las
aplicaciones f, 9 y 9 o f en los
-
116 2.
puntos están bien definidas y se en términos de producto de
matrices
o f)1(a)
Equivalentemente, en términos de der"lvadas y en escr'itura
tradise tiene pa.ra la. entrada (i,J) de o f)'(a), 1 :S í:S p, 1
j:S m,
w' ., (a) (a) (2.42)
para m n pIe identificando matrices 1 x 1, con se tIene. en
términos de producto de números reales,
o
que es la conocida de la cadena para funciones de una
variable.
Nota 2.1.45 l' es una matríz n por m y una matriz p por 11, con
lo cual, en es una matriz p por m. En una notación clásica del
cálculo pero
errores, es común formular la forma: Se escribe. introduciendo
"variables",
1 k:Sn Zj l:Sj p
y la fórmula en suprimiendo los
1 :Si :S p, 1:S j :S m
Esta escritura está demasiado comprometida con el de lI variable
ll para de vista funcional actual. que Zi en el lado
en realidad otra cosa que Zi en el lado derecho. Esto errores,
particularmente cuando se calculan derivadas de orden Para mayor
familiarización anotemos algunos casos de la explícitamente, en
forma de corolarios: El primero, teniendo en cuenta que una función
h : D lRm -7 ~p diferenciable sí sus funciones h 1, ... , hp son es
en
esencial de la regla de la cadena y la que basta recordar.
-
2.1. DJFERENCJABJLIDAD 117
Corolario 2.1.46 Sean f = (JI,' . . , f n) : U IRn, 9 : V IR, o
o
f (U) - : 1 --> V, con V - = (A 1, . . . , '>- n), un
camino en V, diferenciable en a. Sea x = (X I ,'" ,.xn) E V, 9 =
(gl,'" ,gp) : V IRP una función
o
diferenciable en .>-(a) E V. Entonces gOA es diferenciable en
a, (g o A),(a) = g/(.>-(a) )· X (a) es una matriz p x 1,
producto de las matrices X (a) E M (n, 1) y g/(A (a)) E M (p ,n) y
sus componentes son
d(g¡ o A) (a) = t Ogi (A(a)) . dA k (a) l ~i~ p (2.44 ) dt OXk
dt
k=l
Si escribimos .>- (t) = (X ¡(t), ... ,xn(t)) = x(t),
obtenemos una escritura aún más tradicional
d(gi o A) (a) = t Ogi (x( a)) . dXk (a)
dt OXk dt
k=1
Nota 2.1.48 9 o A es, geométricamente, un camino en IRP,
diferenciable en a. La ecuación (g o .>- )/(a) = g/(A (a)) . X(a
) nos dice que el operador lineal dg (A(a)) E L(IRn, IRP) , cuya ma
tríz es g/(.>-(a)) E M(p,n ), lleva el vector tangente A/ (a) a
la curva A en el punto .>- (a) , en el vector ti?-ngente (go
A)'(a) a la curva 9 o A en el punto (g o A)(a ).
Si 9 : V IRP tiene derivada direccional Dvf(a), para a lgún a E
V, v E IRn, entonces si A : (-E,E) ---> U es el camino A(t) =
a+tv y escribimos el vect.or Dvg(a) E IRP como matríz p x 1 se
tiene Dvg(a) = (g o A)'( O) . Si 9 es diferenciable en a, entonces
la regla de la cadena nos da,
Dvg(a) = g/(A(O)) . '>-/ (0) = g/ (A(O))V v E IRP = M(p,
1)
= dg(a)v
UNlVllJlSIDAO NA ' lONA!. DI! COLOW'~ .a:u~ ",u~.oa.LlN
r>E PTO . DE BrB U OTECA' RI III .f Tr-e ,\ "FFE" Glh lEZ
-
118 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
En el numeral 2.1.5 apelamos al caso particular p = 1 de ésta
fórmula. La regla de la cadena nos muestra además, si 9 es
diferenciable, que
para calcular a Dvg(a ), podemos tomar cualquier camino
diferenciable con A(O) = a y >.'(0) = v.
Para la derivada tenemos las siguientes reglas de diferenciación
.
Teorema 2.1.49 Supongamos f , g : U
-
2.1 . DIFERENCIABILIDAD
Estas son las entradas de la matríz 1 x m que representa n a d(J
g) (a) ,
d U) (a) en las bases canónicas de IR m y IR. Se sigue (b), (c).
También tenemos que f . 9 y f / 9 son de clase C k en U si f y 9 lo
son , por Corolario 2.l.44, ya que Tn y q son de clase Coa. Veamos
(d ): Sabemos que!{J, por ser bilineal en IR n x IR n , es de clase
Coa en su dominio. Además
d!{J(a, b)(v, w) = !{J(v, b) + !{J(a, w) , V(v, w) E IR n x IR n
(*)
Aplicando la regla de la cadena a !{J(J, g ) := !{J o (J, g)
obtenemos para todo v E IR n
d!{J(J, g)(a) . v = d(!{J o (J, g))(a) . v = d!{J (J(a ) , g(a
)) . (df (a) . v, dg(a) v)
= !{J( df(a ) . v, g(a)) + !{J(J(a) , dg(a) . v),(.)
lo que queríamos probar. Se s igue además, s i f , 9 son de
clase C k en U, entonces también !{J(f, g) lo es. Observemos que m:
IR x IR ----> IR, m(u, v) = u . v en la demostrac ión de (b) es
una función bilineal, de ma nera que (d) da otra vez (b) .
(e) Sólo fa lta demostrar la afirmación para f +9 y c· f. Basta
observar que 1R 2nla apli cación a : IR n x IR n = ----> IR n
dada por a(x, y) = x + y es bilinea l
y con eso Coaen su dominio. También (3 : IR n ----> IRn , (3x
= c . x es lineal y con eso coa. Con f + 9 = a o (J, g) y cf = (3 o
f se sigue la afirm ación, si f , 9 son de clase C k en U.•
Es importante anotar que en la regla de producto , (d) , se debe
respetar el orden de los factores f , 9 si !{J no es simétrica.
Corolario 2.1.50 Toda fun ción racional en m variables es de
clase Coa en su dominio.
Ejemplo 2 .1.51 Apliquemos la regla del producto en unos casos
concretos: (a) Sea!{J: 1R3 x 1R 3 ----> 1R3 , (a, b) ----> a
x b el producto vectorial en 1R3
y f , 9 : J ----> 1R3 funciones diferenciables en el
intervalo J e IR. Entonces f x g:=!{JO (J,g) : J ----> 1R 3 ,
con
!{Jo (J,g )(x) = !{J(J(x) , g(x)), x E J
es diferenciable en J y se tiene (J x g)' = l' x 9 + f X 9' (por
ser 1 ~ IR podemos cancela r h en (d))
119
-
120 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
(b) Sean U ~ ~m abierto, f : U -- ~ (real valuada), F U __ JR.11
diferenciables en a E U; entonces el producto
fF: U -- ~m, (JF)(x) = f(x)· F(x), x E U
es diferenciable en a y para h E ~m se tiene
(JF)'(a)h = (J'(a)h)· F(a) + f(a)(F'(a)h) = [F(a)J'(a) +
f(a)F'(a)] h
es decir, a nivel matricial, (J F)'(a) = F(a)J'(a) + f(a)F'(a) .
(c) Calculamos la derivada de la "Inversión en O", es decir
xi : ~n " {o} __ ~" " {o} con i(x) = Ix1 2 '
La función x f---7 Ix /2 = (x, x) tiene en a E ~11 = M (n, 1) la
derivada 2a, y asf para f(x) = dP en a f. o se obtiene J'(a) = -~.
Para i = f · id se sigue, con el ejemplo anterior,
i'(a) = 2(a,a) + _1_. E = --;'(la/ 2 . E - 2 (a , a)) lal4 lal 2
lal
donde E es la matrfz unitaria en ~n. Con eso es claro que i' (a)
es una matrfz simétrica.
Definición 2.1.52 Sean U, V E ~n abiertos y f : U -+ V
biyectiva. Deci- ' mos que f es un dijeomorfismo (de abiertos) si j
y f-l son diferenC'iables. Si f y j-l son de clase ek , k ~
l,decimos que f es un difeomorfismo de clase ek . Para k = O, f se
llama un homeomorfismo de U sobre V.
Para posterior uso y como una aplicación de la regla de la
cadena, extendamos el resultado obtenido en Ejemplo 2.1.6 referente
a la operación de inversión de matrices o, equivalente, a la
inversión de operadores lineales. Usamos la identificación canónica
M(n, n) = ~n2.
Proposición 2.1.53 Sea U := GL(JR.l1 ) ~ JR.n2 el conjunto de
las matrices invertibles en M(n, n) y f : U -- ~n2 la apl-icación
f(X) = X- 1 para X E U. Entonces f es un difeomorfismo de clase eoo
de U sobre U.
Demostración. Por ejemplo 2.1.6 sabemos que f es diferenciable
en U y
dj(X)V = -X- 1VX- 1 , para X E U y V E ~n2.
http:GL(JR.l1
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Se sigue que la derivada direccional existe y está dada, para X
E U y V E ]Rn
2 , por
Dvf(X) = -X-IVX- 1
Sean V E ]Rn2 fijo y tpv : ]Rn2 x]Rn2 ----; ]Rn2 la aplicación
bilineal tpv(X, Y) = XVY, para X, Y E ]Rn2. Si (1,1) : U ----; ]Rn2
X ]Rn2 es la aplicación dada por (1,1)(X) = (X-I,X- I ), X E U,
entonces tenemos
Dv f = tpv o (1,1) : U ----; ]Rn2
.
Por el Teorema 2.1.21 se sigue, con la continuidad de f, que f E
Cl(U~. Por lo tanto (1,1) E e1(U). La aplicación tpv es de clase
eoo en ]Rn2 x]Rn . Con eso se sigue que Dv f = -tpv o (1,1) es de
clase el en U y se concluye que f E e 2 (U).Obtenemos así,
inductivamente, que f E ek(U), I¡Jk E N, es decir f E eOO(U) .•
2.1. 7. El teorema del valor medio
Para una función continua f : [a, b] ~ ]R ----; ]R,
diferenciable en el intervalo abierto (a, b), se sabe, del análisis
en una variable, que existe un punto x E (a, b) tal que
f(b) - f(a) = f'(x)(b - a) (*)
Este teorema, conocido bajo el nombre de teorema del valor
medio, es muy útil en muchas situaciones. En particular se sigue de
(*), si l' es acotada en (a,b) y M := sup {I1'(x)1 I x E (a,b)}, la
desigualdad ..
If(b) - f(a)1 S /VI lb - al· (**)
El valor de la igualdad (*) es limitado dado que sobre el punto
x no se sabe más que encontrarse en el intervalo (a, b) y así, en
realidad, no se conoce. Para aplicaciones lo importante es poder
deducir la desigualdad (**).
Para funciones de m variables, pero IR-valuadas, se puede
obtener con la regla de la cadena, el análogo de (*) Mientras que,
para funciones ]Rn-valuadas sólo se obtiene una desigualdad (**).
Comenzamos con el caso de funciones ]R-valuadas.
Teorema 2.1.54 Sea U ~ ]Rm un abi.eno y a, b E U tal que el
segmento S [a, b] := {x Ix = tb + (1 - t)a, O S t SI} esté
contenido en U. Sea f : U ----; ]R una función continua sobre el
segmento S [a, b] y diferenciable en
121
-
122 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
los puntos del segmento con O < .A < 1, es deciT en el
segmento abieTto S(a, b). Entonces existe O < e < 1 tal
que
f (b) - f(a) = Lm
Dif(a + eb)(bi - ai) = df(a + eb)(b - a), i= l
= (\lf(a +eb), b-a)
lo que es una generalización de (*). En paTticular, lJ(b) -
f(a)1 ::; M lb - al si IIdf( x) II ::; M en S(a , b)
Demostración. Basta considerar la aplicación 9 = f o, : [0 , 1]
----7 IR, donde ,(t) = tb + (1 - t)a = 0.+ t(b - a), O ::; t ::; 1
Y aplicar el teorema de valor medio para funciones de una variable.
En efecto, con la regla de la cadena (m = 1,n E N,p = 1) obtenemos
dg(t ) = df(g(t)). d,(t) Y con el teorema de valor medio g(O) =
f(b), g(l) = f(b) se obtiene un e, O < () < 1, tal que
f(b ) - f(a) = g(l) - g(O) = dg(O) . 1 = df(a + eb)(b - a)
= f'(a + eb) . (b - a) = Lm
Dif(a + eb)(bi - ai). i=1
lo que basta para probar el teorema. _
Nota 2.1.55 En el caso f : U t;;;; IRm ----7 IR n , n > 1, se
muestra fácilmente con un ejemplo, que en general no se tiene una
igualdad f(b) - f(a ) = df(x)(b - a), donde x es un punto adecuado
del segmento S (0., b) t;;;; U.En efecto, consideremos el caso m =
1, n = 2, f = (/1,12) : IR ----7IR2 , f(x) = (f¡(x),h(x)) = (cos
x,sen x), [a , b] = [0,27r] t;;;; IR. Entonces f(27r)-f(0) = (O, O)
Y f'( x) = (-sen x, cos x) con lo cual 1f'(x)1 = 1, es d ecir f'(x)
=f. O para todo x E IR, de donde resulta que f(27r)- f(O) =
dI(x)(27f) = f'(x)(27r) es imposible , con x E (O, 27r).
Para funciones IRn-valuadas se cumple el siguiente resultado,
también conocido como teorema de valor medio.
Teorema 2.1.56 Sea U t;;;; IRm abierto y convexo, M ~ O Y f : U
----7 IRn . Si f es diferenciable en U y tal que" df (x)" ::; M,
para todo :r E U, entonces
If(b) - f(a)1 ::; M lb - al , Va, b E U, (2.45 )
es decir la función f es L'ipschitz en U.
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Demostración. Si f(b) = f(a) la afirmación es trivial. Sean a, b
E U con f(a) -1- f(b) . Si
-
124 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
{x Ix + t(y - x), O::; t ::; 1} está contenido en U. Entonces,
si se define la matriz n x m , A = (aij), por
.1 A := f' (a + t(b - a))dt (*)!C. O
es decir aij = .I~l ~~; (a + t(b - a))dt, 1 ::; i ::; n, 1 ::; j
::; m, entonces para b - a E IRm = M(m , 1) se tiene, con f = (JI,
'" ,fn)t,
f(b) - f(a) = A · (b - a) (**)
Demostración. Tomamos el camino de clase el, rectilfneo, cp(t)
:= a + t(b - a), O ::; t::; 1. Entonces cp(t) E U para O::; t ::; 1
Y cp(O) = a, cp(l) = b. Con f = (JI,'" , fn) y g(t) := fj (cp(t)) =
fj(a + t(b - a)) es claro, con la regla de la cadena y el teorema
fundamental del cálculo, que
fj(b)- fj(a) = g(l)-g(O) =./0t dd~ (T)dT = /\./0t \7 fj(a + t(b
- a))dt, b - a) para 1 ::; j ::; n. Claramente esto, con (*) , es
equivalente a (**). _
Como aplicación anotamos:
Lema 2.1.59 Si f : U --) IR es 'una función de clase el en el
abierto convexo U S;;; IRm ya E U, entonces existen funciones
continuas ql , ... ,qm de U en IR tal que
m
f(x) - f(a) = ¿ qi(X)(Xi - ai ), \::jx E U (+ ) i=l
y en el punto a se tiene DJ(a) = qi(a) , para 1 ::; i ::; m.
Demostración. Usamos la fórmula de Hadamard con n = l. Entonces,
con a,x E U,
f(x) - f(a ) = \7 f(a + t(x - a)), x - a)(ll = t [ll DJ(a + t(x
- a))dt] (Xi - ai)
i=l . O
y basta poner qi(X):=.J~ DJ(a + t(x - a))dt, 1 ::; i ::; m, x E
U. Por continuidad de DJ se sigue fácilmente que qi es una función
continua. Se obtiene la representación (+) y es trivial que qi(a) =
DJ(a). _
-
2.1 . DIFERENCIADILIDAD
Para m = 1 el Lema es trivial ya que se siguc de la definición
de diferenciabiliclad de j en a.
Como otra aplicación de la regla de la cadena y de los
resultados anteriores probemos, si j : U ---- V es un difeomorfismo
entre abiertos U, V ~ IRn y j E Ck, con k ~ 1, entonces también
j-I, que por definición se sabe quc es diferenciable, es de clase C
k en V. Además se prueba sin dificultad (ejercicio) que la
dimensión es una invariante para difeomorfismos.
Proposición 2.1.60 Sea f : U ---- V un homeomorfismo entre
abiertos U, V ~ IRn. Si j E Ck(U), con k ~ 1, Y j-I e8
dijerenciable en V, entonces j-I E Ck(V).
Demostración. Sean :r E U, Y := j( x) E V, Y 9 = j-I. De Iv = 9
o j y Iv = j o 9 se sigue, con la regla de la cadena,
IIR" = dg(y) o dj(x ) y IlRn = dj(x) o dg(y),
con lo cual dg(y) y df(x) resultan invertibles. Por lo tanto
dg(y) = [dj(g(y))¡-I , "iy E V (*)
Sea G L(lRn) ~ M (n, n) el conj unto de las matrices in
vertibles y I nv : GL(lRn) ---- GL(lRn ) la aplicación L Inv(L) :=
L- 1 . A nivel de funt--t ciones podemos escribir a (*) como
g' = Inv o l' o 9 : V ---- GL(lRn). (**)
En Proposición 2.1.53 se probó Inv E Coo(GL(lRn)). Ahora bien 9
E CO(V) y l' E CO(U) por ser k ~ 1. Esto implica con (**) que g' E
CO(V) con lo cual 9 E C1(V). Procediendo recursivamente con (**) se
sigue 9 = j-I E Ck(V) si j E Ck(U) .•
Nota 2.1.61 (a) Como muestra el ejemplo j : IR ---- IR, j(x) =
x3 , X E IR, existen homeomorfismos de IR sobre IR con j E COO(IR)
donde j - l no es diferenciable . (b) Como se sigue de la primera
parte de la demostración, si j es un difeomorfismo de U sobre V, es
decir j es un homeomorfismo de U sobre V con j y j-l apenas
diferenciable, en tonces dj(x), x E U, es invertible, es decir un
isomorfismo de IRn sobre IRn o, equivalente, }¡(x) := det(f'(x)) es
diferente de cero en U. El Teorema de la aplicación inversa, que se
demostrará más adelante , nos dará un recíproco local de este
hecho, si dj es continua.
125
-
126 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
2.1.8. La fórmula de Taylor
Probaremos en este numeral, como una generalización del teorema
de valor medio, la fórmula de Taylor para funciones de m variables.
Hay diferentes versiones que difieren en la representación del
denominado resto de la fórmula. Para formularla en forma concisa y
similar a l caso de una variable real usaremos la escritura con
multi-índice introducida por L. Schwartz y de amplio uso en
ecuaciones diferenciales parciales.
Una m-tupla de números enteros no negativos o: = (O:¡,'" ,O:m) E
Nmse llama un multi índice y se define 10:1:= O:¡ + ... + O:m, o:!
= O:¡! 0:2! ... O:m.!, x a := X~l X~2 ... x~m, Da f := Dr l D~2 ...
D~m f, así como
(=) :=~ parax=(x¡,'" ,xm)E~m, kEN. Claramenteparax=(x¡,··· ,xm.)
E IRm y k ~ 1 entero se tiene
m
(x¡ + ... + xm)k = L Xjl'" (*)xJk JI o" ,Jk
Todo sumando de la suma se puede escribir (por conmutatividad
del producto en ~) en la forma estandar
x · ... x · = xa: 1 xa:2 ... xa:m = JI Jk ¡ '2 m
x a (**)
donde el multi-índice o: está dado por O:i = card {f Ue = i, 1 ~
f ~ k} para 1 ~ i ~ m. Claramente 10:1 = k y para todo o: con 10:1
= k habrá varios productos en la suma para los cuales se tenga
(**). Podemos escribir la suma en (*) como
(x¡ + ... + xm)k = L aa:xa 1a: I=k
y donde los coeficientes se siguen de
Lema 2.1.62 (Fórmula polinomial). Para x = (X¡, ... , x m ) E
IRm y todo k, m E N se tiene
xa:(x¡ + ... + xm)k = k! L -, == L (k) xa: (2.46)0:. o:
, 1a:I =k 1a: I=k
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Demostración. Sea k E N Y (.T¡, . .. .Tm) E IRm . La afirmación
es trivial si m = 1 Y en el caso m = 2 t enemos la conocida fórmula
binomial. Hacemos inducción sobre m. Sea.T = (b,.Tm ), X = (.T¡" ..
·.Tm-¡) Y a = (;3,am),{3 = (a¡,··· , am-¡) y la fórmula válida para
m - 1 (m;::: 2). Se tiene para m
(.T¡ + ... + xm)k = t (a:) (x¡ + ... .Tm_ ¡)k - dm.T~m Cl'm
=O
k
=¿
Por lo tanto la fórmul a (2.46) vale para todo m ;::: 1. •
Para funciones 1 : U --> IR, U e IRm abierto y h E IRm
introduzcamos el operador diferencial. h· \7 := h¡D¡ + .,. + hmDu
definido por (h· \7)1 = h¡ DI! + ... hmDm1 así como sus potencias
definidas recursivamente por
y (h· \7)n1 = (h· \7)((h· \7t-¡ 1) , n;::: 1
para funciones 1 con derivadas parciales hasta el orden n en U.
En particular se tiene (h· \7)n : cn(u) --> C(U). Claramente (h·
\7t tiene la forma
(h. \7 )n = (h¡ D¡ + +hm · .. Dm )n m
¿ h i¡' " h i" D i¡".i", n;::: 1 (2.47) i1,,··in=1
Si aplicamos la fórmula polinomial, vemos que para cada multi
índice a = (a¡,· .. a m ) con lal = n ex isten
n-tuplas (j¡, ... ,jn)
con 1 ::; jr ::; m,l ::; r ::; m donde el número 1 aparece a¡
veces, ' " , el número m aparece a m veces. Probamos ahora
Teorema 2.1.63 (Fórmula de Taylor con resto de Lagrange). Sean U
e IRm un abierto , a E U Y h E IRm tal que el segmento S (a, a + h)
esté contenido en U (caso particular U convexo) . Sea 1 : U -->
IR de clase
127
-
128 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
en u, r 2: 0, y las derivadas de orden r sean el segmento
abierto S a + h) particular J E C 1'1-¡ existe (J, 0< (J < 1,
tal que
1 + . \1tJ(a) + +
n=ü n!
con R,.(a + h) = y, en escrítum con
J + h) ha: + +
donde + h) =
Demostración. Es una directa de la fórmula de con resto de para
funciones de una variable. En a+hEU con h y definimos 1+;:: con;::
adecuado. Entonces 9 es de clase es diferencíable en (0,1) La
fórmula de Tavlor para funciones de una variable implica
J ~ -' ~ + -(7' + 1)[ con O (J 1
de la cadena y
+ . \1)f(a + th)
g" + hj= Lm
j=1
(h· \1)2 f(a + th)
y recursivamente con i¡,' .. ,ik E {1,· .. m} se obtiene, en
general,
m g(k)(t) O S t S 1
i1!""Jk=1
+
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
si 1 ::::; k < r + 1 Y para k = r + 1 la fórmula es válida
para O < t < 1. Por otro lado g(k)(t), 1 ::::; k ::; r + 1 se
escribe, con la fórmula polinomial, en la forma
Q
(h. \7)k f(a + th) = k! ~ D f(a + th)L- a!
IQ I=k
con O ::::; t ::::; 1 para 1 ::::; k < r + 1 Y O < t <
1 para k = r + 1. Con (*) se obtienen las afirmaciones del teorema.
_
El polinomio de Taylor.
Si ponemos en las fórmulas de Taylor (2.48), (2.49) x = 0.+ h
entonces el primer término en el lado derecho queda
r 1 Trf [a; xl := L"I ((x - a) . \7)n f(a) (2 .51 )
n.n=O
El polinomio T r f [a, xl se llama el polinomio de Taylor de
orden r de f en a. Dejamos para el lector la prueba de
Proposición 2.1.64 El polinomio de Taylor Tr f [a ;xl es el
único polinomio P(x) = ¿ aQ(x - a)Q , lal ::::; r, de grado::::; r
que, en el punto a coincide con f y todas sus derivadas parcia.les
hasta el orden r.
Con hipótesis algo más fuertes obtenemos la siguiente versión de
la fórmula de Taylor, la cual es útil en muchas situaciones y se
reduce a la fórmula de Hadamard (Teorema 2.1.58) en el caso r =
O..
Teorema 2.1.65 (Fórmula de Taylor con resto integral). Sean U un
abierto en IRm y f: U ~ IR con f E Cr + 1 (U), r 2:: O. Si a E U Y
hE IRm
son tal que el segmento S [a ,0.+ h] está contenido en U (por
e.templo si U es convexo), entonces existe un (), O < () < 1,
tal que
r 1 f(a + h) = L -:;;(h. \7r f(a) + Rr (a + h)
n=O
= TrJ[a; a + h] + Rr(a + h)
129
-
130 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
donde
1 {1Rr(a + h ) = r! Jo (1 - t f (h . V f +1 f(a + h )dt (2.52
)
= (r + 1) .ll (1- t)" ( L ~!DO f(a + Bh)hO ) dt lo l=r+1
Demostración. Es similar al teorema anterior aplicando la
fórmula de Taylor con resto integral del análisis en una variable.
Se omiten los detalles .
• Para ilustrar el ahorro en términos a calcular en la fórmula
(2.49) com
parada con (2.48) escribamos la fórmula (2.49) explícitamente en
el caso m = 3, r = 3. Para eso ponemos a = (x , y , z) , h = (u, v,
w) y Dx := DI, Dy := D2 , Dz := D3. Se sup rimen los argumentos en
el lado derecho de la fórmula. Si ex = (al,ex2,ex3) se tiene para
lexl::; 3.
lexl = O: ex = (0,00) ex! = 1 lexl = 1: ex = (1, O, O) , (O, 1,
O) , (O, 0,1) ex! = 1, 1,1 lexl = 2: ex = (2, O, O) , (0,2, O), (O,
O, 2) ex! = 2, 2,2
(1 , 1,0), (1 , 0, 1), (O , 1, 1) 1,1 , 1 lexl = 3: ex =
(3,0,0),(0 , 3, 0) , (0,0 , 3), (2, 1, 0) ex! = 6, 6,6,2
(2 ,0,1) , (1,2,0), (1,0 , 2), (0, 2, 1) 2, 2, 2, 2 (0, 1, 2)
2
Con eso podemos escribir para (2.49)
f(x + u, y + v, z + w) = f + (Dx f u + Dyfv + Dzfw) 1 2 1 2 1 2+
'2Dxx fu + '2Dyyfv + '2Dzz fw
+ Dxy fuv + D xz fu .w + Dyzfvw 1 . 3 3 3+ 6(Dxxx f u + Dyyyfv +
D:m fw )
+ ~ (Dxxyfu2V + Dxxz fu2w + Dxyyfuv2 + DX2Z fuw2+ + Dxu fuw 2 +
Dyyzfv2w + Dy2Z fuw 2) + R3
Se ve fácilmente que hay una economfa de 24 términos comparado
con fórmula (2.48) .
La siguiente versión de la fórmula de Taylor da solo un
comportamiento asintótico del resto y no un estimativo en t.érminos
de f. Para eso observemos
-
2.1 . DIFERENCIABILIDAD 131
primeramente el caso donde f es diferenciable en e l punto a del
abierto U ~ IRm y f : U --> IR. Entonces, para Ihl
suficientemente pequeño,
m
f(a + h) = f (a) + ¿ Dd(a) h i + Rl (a + h ) (2.53) i = 1
donde las derivadas parciales Dd(a), 1 :s i :s n, están
definidas en a y R 1(a + h )j Ihl O para Ihl '-> O Queremos
obtener un a fórmula que generalice ésto para f con mayor grado de
dife renciabilid ad . Obtendremos (2.53) como caso particular del
teorema . Supondremos para eso, que f es k veces diferenciable en
un punto (Definición 2.1.33).
Teorema 2.1.66 (Fórmula de Taylor cualitativa). Sean U ~ IRm un
abierto , a E U Y f : U --> IR 1'- veces diferenciable en a con
l' > 1. Entonces , para Ihl sufic ientemente pequeño se
tiene
r 1 f(a + h ) = ¿ I (h"ilt f (a) + Rr(a + h) (2.54 )
n. 71=0
donde R r( a+h )j Ihlr --> O para h --> O o,
equivalentemente, con x = a+h,
f( x) = Trf [a, xl + R,.(x)
y Rr(x) j Ix - a,j" -->, para x --> a.
Demostración. A d iferencia de las dos fórmulas anteriores no
podemos usar , para su demostración, el caso particular en IR. Sea
V una bola de radio o> O centrada en a , con V ~ U. La
función
Rr(a +. ) : V --> IR ,
dada implícitamente por (2.54 ) es 1'-veces diferenciable en a y
todas las derivadas parciales hasta el orden l' se anulan en a En
efecto, basta observar la forma explícita de los términos del
polinomio de Taylor en la demos trac ión de Teorema 2.1.63. P ar a
probar (2.53) usamos inducción sobre l' . Para l' = 1 se tiene (2.
523 que es la diferenciabilidaid de f en a. Sea cierta la afir
mación para 1 :s 1'. Si se dan las hipótesis de diferenciabilidad
para l' + 1 entonces, como ya se mencio nó , Rr+l (a + .) se anula
para todas las derivadas pa rciales de orden menor o igual a l' + 1
en a . Diferenciando la expresión para R r+ 1(a+·) obtenemos que D
iRr+l (a+·) satisface las hipótesis de diferenciabilidad con l' (1'
2 1) en a y todas las derivadas parciales de
~I~.'-·IONAL DE C OLO m {A (fOI. \IH __ u 1',:
":: !' TC) . DE B I BLTUTE AS . , I lTF.(' .. r F" G l EZ
-
132 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
orden hasta r se anulan en a . Como DJ4+1 (a + .) es el resto de
la fórmula de Taylor para Di! en a , se tiene, por hipótesis de
inducción
Di RT+l (a + h) ----> O para h ----> O Ihl
r
Aplicamos el teorema de valor medio (Teorema 2.1.54 ) a R,.-1.
1(a + .) y obtenemos, para h --t O,
1 Rr+ 1(a + h) 1 IdRr+¡(a + eh) . hl _ IdR1"+1 (a + eh)Pii 1
IhI T+1 Ihl'+1 - Ih¡r
< IIdRr+1(a+eh)II' I ~1 < IIdRT +1(a + eh)1I Ihl
T Ihl - Ihl T
< ~ 1 Di Rr+1 (a + eh 1 < ~ 1 D i R1'+ J (a + eh)
1----> - L Ihl T - L lehlr o .
•=1 .=1
Se sigue la afirmación del teorema. _
Nota 2.1.67 Estimativo para RT (en la fórmula de Taylor con
resto de Lagrange) . Observe que si se co nsideran sólo los dos
primeros términos del lado derecho en Teorema 2.1.63, se obtiene la
aproximación afín h ----> f(a) + df(a)h de la función h o-----;
f(a + h). Si ignoramos el resto en 2.48, el lado derecho es un
polinomio en las m variables h 1,'" , hm de grado?:: r. El
polinomio de Taylor de f en a , da una aproximación de f(a+h) para
h pequeños. Para que (2.48) en Teorema 2.1.63 sea de utilidad
práctica, es necesario obtener un estimativo explícito del resto Rr
. Esto es posible si se pueden acotar las derivadas parciales de
orden r + 1 en el segmento S(a , a + h)
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
dondeusamos (lh'II+lh;I+"'+lh~W+ l =. f Ih~11Ih~21 " 'lh~r+ ll
1.1,'" ,1. r +l=l
m
para r E N. Con la relación L Ih~1 :; vm' Ih'I obtenemos
finalmente i=¡
Cmr+I /2 1R,.(a + h')1 < . Ih'l r+l, h' = a + sh o< s <
1 (*)- (r+ 1)1
y tenemos una cota explíci ta para Rr (a + .) sobre S (a, a + h
) que se puede hacer tan pequeña como se quiera para Ihl
suficientemente pequeño. Obsérvese que en lo anter ior r ~ 1 es
fijo
Nota 2.1.68 (f real analítica) Si suponemos ahora que f E COO(U)
y existe una constante M > O tal que para todo x E S(a , a + h)
~ U
entonces el estimat. ivo (*) en Nota 2.1.67 es válido con C =
Mr+l, es decir Mr+lmr+I/2
11R,.(a +- h')1 :; Ih' lr+ , Vr ~ ro, h' = a + sh, O< s <
1
(r + 1)!
Y se sigue lím R,.(a + h') = O, Vh' = a + sh, O::; s :; 1. Se
obtiene r - oo
00 1 f(·x) = ~ -((x - a) . 'VT f(a) '
-
,...
134 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
la cual es también de utilidad para ciertas construcciones en el
análisis (particiones de la unidad), Se verifica con facilidad f E
COO(IR) , f(k)(O) = O, para todo k 2: Oy f (x) > O para x =1- O.
Con eso f no es real analítica en ningún intervalo abierto que
contenga a O
2.1.9. Puntos críticos y extremos relativos
Sea f : U IR y A
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD 135
directa del cálcu lo diferencial no es posible. Veremos a
continuación , si f y A sat isfacen hipótesis adecuadas, son
suficientemente "suaves", los posibles extremos relativos pueden
ser determinados usando cálcu lo diferencial. Se su pondrá inicia
lmente que A = U es un conj unto abierto en IRm.
Formas Cuadráticas
Para la determinación de extremos relat ivos de fun ciones f : U
--; IRm --; IR es útil considerar formas cuadráticas las cuales
están relac ionadas con derivadas de segundo orden de .f.
Definición 2.1.72 Una función Q : IRm --; IR definida por
m
Q(x) = L h~jXiXj para x = (X l ,' " , X m ) E IRm ',j= 1
y donde (h; j) es una matriz real simétrica m por m, se llama
una forma cuadrática y A := (hij ) se llama la matriz de la forma
Q.
Usando escritura ma tricial e identifi cando a IRm con M (m ,
1),es decir escribiendo los elementos de IRm como "vec tores
columna", se puede escr ibir toda forma cuadrática en la form a
Q( X) = x t Ax, para X E IRm = M(m, 1)
Claramente Q y A se corresponden en forma biunívoca.
Una forma cuadrática Q es un polinomio homogéneo de grado 2 en m
var ia
bles y con eso Q E C O, '
-
136 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Ejemplo: Sea Q : IRm ~ IR dada por Q(x) = xI+" ,+ x; - (X;+ I+..
·+x;,.) con 1 :S i :S m. La matriz de Q es una matriz diagonal
cuyas primeras i entradas son 1 y el resto -1. P ara i = m , Q es
definida posi t iva y para todo 1 :S i < m, Q es indefinida.
Es fácil ver , si Q es una form a cuadrática definid a (positiva
o negativa), entonces su matriz A es necesariamente inverti blc, es
decir a lo sumo matrices invertibles determinan form as cuadráticas
definidas. En efecto, de Q (x) = x tA x =1= O para x =1= O se sigue
Ax =1= O para x =1= o. Es decir Ay = O sólo tiene la solución
trivial y con eso A es invertible.
Por medio de los valores propios Al ,' .. , Am de la matr iz A =
(hij ) de la forma cuadrática, es decir las rafees del polinomio
caracterfstico p(A) = det(A - AI) , que son todos reales, por la
simetrfa de A = (hiJ),se obtiene fácilmente un criterio sobre el
comportamiento de Q :
Proposición 2.1. 74 (Criterio 1). Sea Q : IRm ~ IR una forma
cuadrática con matriz A (simétrica) y Al , ... , Am los valores
propios reales de A (a) Q es definida positiva ~ Ai > O , 1:S i
:S m. (b) Q es definida negativa ~ Ai < O, 1:S i :S m. (e) Q es
sem idefinida positiva (respectivamente semidefinida negativa) ~ Ai
~ O , 1 :S i :S m (respectivamente Ai :S O, 1 :S i :S m). (d) Q es
indefinida existe un valor propio positivo y un valor propio
negativo.
Demostración. Basta observar que para A simétrica existe una
matriz ortogonal T tal queT- IAT = 6 , donde 6 es una matriz
diagonal que tiene como entradas los valores propios Al, ... , Am
de A Observando qu e T- l = T t e introduciendo nuevas coordenadas
por x = Tu se sigue con Q(x) = x tAx
Q(u) = Q(Tu) = (Tu)t ATu = u/Tt ATu = utT- l ATu 111
= u t 6u = LAiUr i=l
Es fác il ver que (U I ,' " ,um ) son las coorrtienadas del
punto .Y = (X I,'" ,xm ) en la base ortonormal (VI,' .. ,vm ) de
IRm formada por los vectores propios de A normalizados, IVi l = 1,
1 :S i :S m , correspondientes a los valores propios Al ,' .. , Am
E IR . Además T = (VI , ' .. )vm ). Como T es invertible y con eso
x = O~ u = O para x = Tu, se siguen las propiedades de Q de las
propiedades de Q, que son obvia.s. _
Aparte de este criterio que requiere, en principio, el cálculo
de las rafces de un polinomio de grado m , el polinomio
característico de A, hay también un criterio, debido a A. Hurwitz,
que requiere sólo métodos algebraicos.
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD 137
Proposición 2.1.75 (Criterio lI). SeaQ:]R,m ------>]R, una
forma cuadrática con matriz simét'r1.ca A = (h ij ) E M (m, m).
Sean A n , 1 :::; n :::; m las matrices menores principales de A ,
es decir
1 :::; i, j :::; n, 1 :::; n :::; m.
Entonces:
(a) Q es definida positiva O, 1:::; n :::; m (b)
Qesdefinidanegativa 0, l:::;n :::; m (c) Q es indefinida. si no se
cumple ( a) ni (b), es decir e:r:iste 1 :::; n :::; m/2 con det.
A2n < O.
Demostración. Escribimos A = (~n ~) en bloques. Para h = (h¡,'"
,hn)E ]R,n = M (n, 1) sea h = (h, O) E ]R,m = M (m, 1). Se tiene
entonces
Ah = (~n ~) h = (~n ~) y con eso para la form a cuadrática Q
A:
(*)
(a) ==}: Si A E ]R, es valor propio de An , entonces existe h E
]R,n con Ihl = 1 Y Anh = Ah. Con (*) se sigue A = (h, Anh) = (h, An
) > O. Como det An es el producto de sus valores propios se
obt.iene det An > O. (a)~: Procedemos por inducción: para n = 1
la afirmación es obvia. Sea cierta para n - l. Como dct A > O, a
lo sumo un número par de valores propios pueden ser negativos.
Supongamos vectores propios ortonormales u, v E,]R,m
correspondientes a valores propios negativos. Entonces se tiene
QA(W ) < O para W =¡I:. O y W E span {u , v } . Como dimspan {u
, v} = 2 existe un vector O =¡I:. h E ]R,m -l con h = (h, O) E span
{u, v}. Por hipótesis de inducc ión se tiene que Am - 1es definida
positiva y con (*) se sigue Q A (h) = QA m -l (h) > O Y así una
contradicción. Hemos probado (a) . La afirmación (b) se sigue en
forma inmed iata de (a) pasando a - A y la hipótesis en (c )
implica que para algún n 2: 1, A2n tiene valores propios positivos
y nega tivos y con eso, por (*) resulta también A indefinida. _
Este cr iterio sólo es práctico para m pequeño por el a lto
número de operaciones que requiere el cálculo de determinantes para
m "no pequeño" . En este último caso es preferible basarse en el
Criterio 1, usando un método numérico. P or s u importancia
práctica para la determinación de extremos de fun ciones de dos
variables consideramos en form a completa el caso m = 2.
http:sim�t'r1.ca
-
138 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Proposición 2.1. 76 para m 2). Para la forma cuadrática
(a b)Q(x, y) = ax" + , (x, E IR:2 , cuya matnz. es A be'
tiene
2 a ac° y > °b
(b) ~ a < O Y ac b2 > O ~ a? 0, e? ° Y oc b2 > O ~ a O,
ü y ac b2 ? Ü 2
ac b < ° Demostración. Las aC1VIH:!:::i se de la
para y=ü
Q(x, ala (~ + %) 2 + para y t 0, atO {
Y2 2b'!:. + para y t 0, 0=0 y l1li
Definición 2.1. 77 Sea f : U IR: dos veces en el abier. to U
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
parciales Di! (a), 1 :::; i :::; m, se anulan. Si f es dos veces
diferenciable en a, donde a es un punto crítico de f , decimos que
a es un punto crítico no degenerado, .si la matriz Hessiana
(Dijf(a)) es invert'ible (o no singular), es decir det(Dij f (a))
:f O.
Sabemos del cálculo de funciones de un a variable , que si f t
iene un extremo local en a,entonces todas las derivadas parciales
de primer orden se anulan en a, es decir a es un punto cr íti co de
f. Por lo tanto, s i U ~ IRm es un ab ierto y f d iferenciable en
U, los posibles extremos locales deben buscarse entre los puntos
críticos de f en U. Desafortunad amente no todo punto crítico a de
f da un valor extremo local de f.
P ara m = 1, si a E IR es un punt.o crítico de f , 1'(0,) = °y
si 1" (0,) :f 0, es decir s i la ma triz Hcss iana con la única
entrada f"(a ), que identificamos con el número f"(a) , es
invertible, entonces f tiene en a un extremo local; si 1"(0, ) >
ü un mínimo local y s i 1"(0, ) < ü un máx imo local. Con eso,
en todo punto crítico no degenerado se tiene un ext remo loca l de
f. Observamos que en este caso se tiene pa ra el Hessiano de f en
a: 1" (0, ) :f ° f" (a) h2 > 0, o bien f" (a) h2 < O, si h :f
O. Así para m = 1 no existe el caso indefinido .
Para m > 1, la situación es diferente: en un punto crítico a,
aún si es no degenerado, f puede no tener un ext remo loca l. Como
condición suficiente reconoceremos que el Hess iano de f en a sea
definido (positivo o negativo).
Observación 2.1.79 Se puede mostrar para f : U S; IRm ~ d e
clase C2 en U, que los punt.os críticos a E U no degenerados,
tienen la propiedad de ser a is lados, es dec ir existe un a
vecindad V(a) de a que no contiene otro pu nto crítico . Se sigue
de es to que los puntos críticos no degener ados en U son
cont.ables y a lo sumo se pueden ac umula r en la frontera de U.
Dejamos estas afi rmac iones como ejercicio.
Para extremos rel a tivos se tiene el siguiente criterio, cuya
demostración se basará en la fórmula de Taylor cualitativa.
Teorema 2.1.80 Sea U S; IRm un abierto, f : U ~ IR dos veces
diferenciable en a E U (en particular f E C2 (U)) y a un punto
crítico de f. Si H (a) = HJ (a) es el Hessiano de f en a ,
entonces
(a) H (a) definida positiva, implica que f tiene en a un mínimo
local estricto y a es un punto crítico no degenerado.
(a') Si f tiene 1m, mlnimo local en a, entonces H (a)u ;::: O,
l::Ju EIRm , es decir H (a) es sernidefinida positiva, (condición
necesaria).
139
-
140 2. APLICACIONES
que f tzene en alm mú:úmo local
Si f tiene un má.Timo local en
decir
(c) H(a) es entonces f no tiene en a un extremo local.
Demostración. la fórmula de cualitativa. Para O < Ihl r5 se
tiene en el punto crítico a.
1 + h) = + 2H(a)h + R?(a + (*)
= e~J+ ........-"-'-.....,,--'donde R2 O para h ---> O. H(a)
es continua y por definida c;;: lP!.m para H
la existencia de un 1] > Otal que ~H(a) (¡~I) 1J para todo O
Ihl < oo. Por otro lado existe O< 6' < 6 tal que
-'---;,,---'- < 1J, 1::1 O< Ih I < 6'.
eso, para todo O < Ihl < /jI, la entre corchetes en (*) es
Se
/jI< + 1::10<
es deCIr] la) valor mínimo relativo estricto. Sabemos que para
toda forma cuadrática definida o la matriz de es necesariamente
un Dunto crítico no degenerado. Se sigue en forma similar a
Probemos (c): Si es existenu,'u lP!.m, u.,v::j= O tal que H > O
Y < O. H (a) como forma cuadrática es homogénea de
2. Con eso I::It ::j= O :
O Y (tu I < o. de (*), para t ::j= O suficientemente + f(a) y
< . Por lo tanto f no tiene en a un valor extremo locaL Las
afirmaciones y se de la demostración de (c). l1li
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Observación 2.1.81 Si f E C2 (U) podemos usar en la demostración
anterior la fórmula de Taylor con resto de Lagrange o resto
integral. Así, en este caso, si la forma Hessiana es semidefinida
positiva en una vecindad de a se tiene un mínimo relativo, no
necesariamente estricto, en a.
Ejemplo 2.1.82 Si la forma Hessiana es sólo semidefinida en el
punto crítico a no se puede deducir un ext.remo relativo en a.
Basta considerar en IR2
las funciones
f( X,y)=X2 + y4 ,g(x, y ) =x2 y h(x,y)=x2 +y3
las cuales tienen como punto crítico a = (O, O) y la matriz
Hessiana (~ ~), la cual es semidefinida positiva. Se ve claramente
que (O, O) es punto minimizante aislado para f, no aislado para 9 y
para h, y ni minimizante ni maximizante local.
En el caso rn = 2, una aplicación de Proposición 2.l. 76 Y del
teorema anterior, da el siguiente result.ado:
Teorema 2.1.83 Sea U ~ IR2 un abierto, f : U ----> IR dos
veces diferenciable en a E U (en particular f E C2(U)) y a 'un
punto crítico de f, es decir D x f(a) = Dyf(a) = O. Entonces (a) Si
para el Hessiano de f se tiene en a = (xo, Yo)
entonces f tiene en a un máximo relativo estricto si D."C."Cf(a)
< O Y un mínimo relativo estricto si Dxx f (a). > O. El punto
a es un punto crítico no degenerado . (b) Si f tiene en a = (xo,
Yo) un extremo relativo entonces se cumple en a.
y además se tiene en a Dxx f ~ O Y Dyyf ~ O si el extremo
relativo es un máximo relativo y D."Cxf ~ O Y Dyyf ~ O, si el
extremo relativo es un mínimo relativo . (c) Si se tiene en a =
(xo,Yo), Dxx f' Dyyf - (Dxyf)2 < O, entonces f no tiene en a un
extremo relativo . Decimos q1J.e a es punto de silla de f.
Ejemplo 2.1.84 Sea f : (x, y ) = (x+y)2 -12xy, para (x, y) E
IR2. Se tiene, en escritura abreviada, Dxf = 3(x, y)2 - 12y,Dyf =
3(x + y)2 - 12x .
141
-
142 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Dxf = Dyf = °lleva a x = y y entonces a las dos soluciones x = y
= 0, x = y = l. Ahora bien, con Dxxf = 6(x + y) , Dxyf = 6(x + y) =
12, Dyyf = 6(x + y) se obtiene
Dxxf . Dyyf - (DXyf)2 = 144(x + y - 1) y con eso S"¿ x=y=O~
{-144 < ° Dxx f . Dyyf - (Dxyf) = +144 > O S2 x=y= l.
Por lo tanto, en x = y = 0, f no tiene un extremo local y en x =
y = 1 se tiene un extremo el cual , por D xx f(l, 1) = 12 > 0,
resulta ser un punto minimizante de f·
Observación 2.1.85 Es claro, como mostra mos con ejemplos
simples y se sabe del caso particular m = 1, si el Hessiano de f en
un punto crítico es semidefinido (positivo o negativo) , entonces
en ese punto crítico puede haber ci no un extremo relativo. Se
podría pensar en considerar más términos en la fórmula de Taylor
para poder decidirlo. Pero las cosas se complican en el caso m >
l.
Apliquemos las condiciones necesarias para un valor extremo de
Teorema 2.l.? para probar el principio del máximo débil para
[unciones armónicas.
Definición 2.1.86 Sea U ° tal que máx [f + c( xi + ... + x;J]
< M. Claramente el máximo de fE. en
au ' v " J.
U es ~ M. Por lo tanto el valor máximo de f, es tomado en alglin
punto a E U. Aplicamos condición (b') de Teorema 2.1.80. Sc
tiene
H(a)u := u t j"(a)u ::; 0, Vu E ]Rn = M (n, 1)
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
Esto significa, por el Criterio 1 (Proposición 2.1.74), que
todos los va lores propios de f~/(a) so n S Ü. Eso equivale a que
la traza de .f" (a) es ~ O, pues es la suma de los valores propios.
Así
Por otro lado claramente 6j,, (a) = 2n . é > O ya que j es
armónica en U. Por lo tanto J.L > M lleva a una contradicción.
Se tiene máx j = máxj _
V Bu.
Aplicación 2.1.88 (Problema de Dirichlet). Sea n ~ IRn un
dominio acotado. Entonces dada f : an -----> IR continua, se
busca una función continua h : n -> IR tal que (1) hin es a
rmónica y (2) h I an = f. Se escribe
en (P D ) { 6~ :.~ en
El resultado anterior (Principio del máximo débil) nos dice que
el problema (PD) tiene a lo s llmo un a solución (clás ica) ya que
la diferencia de dos soluciones se a nula sobre an y con eso
tambien sobre n.
2.1.10. Integrales con parámetro
Importa ntes fun ciones del Aná lisis se definen o se pueden
expresar por integra les que dependen de uno o varios parámetros.
Más preciso : consideramos una fun ción j(x, t) de valores reales q
ue depende de una variable real t y además de varios "parámetros" X
I, " ' , X m , los cua les reunimos para obtener X = (X I , '" ,xm
) E U e IR m . Si t t-----> j (x,t), para X fij o, tE [a, b] ,
es integrable (Rieman n) podemos considerar la función
'b F(.r) := j (x, t)dt, xEUI. o
Se darán cond icio nes suficientes que impliquen la
diferenciabilidad de F y permitan obte ner las de rivadas parciales
de F por "diferenciación bajo el signo de la integral" . El teorema
correspondi ente se conoce también como regla de Leibniz.
Resultados de este tipo son de impor tanc ia básica, por ejemplo,
en el cálculo de variaciones. No consideraremos aquí el caso de
integrales impropias ya que el marco adecuado para ese caso es la
integral de Lebesgue. (Ver Cap ít ulo 5).
Teorema 2.1.89 (Regla de Leibniz) . Sean U e IR un conjunto
abierto en IRn y f: U x [a , b] -----> IR una función que
satisface
143
-
144 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
(a) Para todo x E U la fu.nción t >----> f (x, t) es
integrable pa.ra [a , b]
(b) Para algún i , 1 S i S m , la derivada parcia.l #f existe
para todo 8J(x, t) E U x [a , b] y a : U x [a, b] - lR es continua.
x,
Entonces la función F (x) := J: f (x, t)dt, x E U, tiene
derivada parcial g:, para todo x E U, la cual es continua en U, y
se cu.mple
oF /'6 Of~(x) = ~(x, t )dt . v X, . a v X,
Demostración. Sean X o E U y E > O dado. Se tiene
F (xo + s e;) - F(xo) _ /'0 ~( )d I ~ x o , t t (*)
s . Q v X;1
= li6 [f (xo + s e;'st) - f (xo, t) - :~; (x o, t )] dt I ,6 I [
Of Of ] IS .
/ a OXi (~o + eS ei, t) - O,T; (xo, t) dt con o
-
2.1. DIFERENCIABILIDAp 145
Demostración. Consideramos sobre [e, d] las funciones
Sabemos que el integrando de 01 es una función continua de x y
por el teorema fundamental del Cálculo 0; (y) = 1: f(y, t)dt, para
e < y < d. La [unción 02 se puede diferenciar para e < y
< d por el teorema anterior y se obtiene 0;(y) = J~ f(y , t)dt.
Por lo tanto 0 '1 (y) = 0;(Y) en e < y < d. Se sigue 01 (y) -
02 (y) = constante en e < y < d y por continuidad también en
e y d; por tan to 01 = 02 en [e, d] ya que 01 (e) = 02(e) = O.•
Otra aplicación concreta de Teorema 2.1.89 lo da
Ejemplo 2.1. 91 (Aplicación Regla de Leibniz) . Consideremos la
función definida por
._ j'l e-(I+y"2):¡;2 F (x) .- 2 dy para x E IR
. O 1 + Y
Claramente podemos ap licar la regla de Leibniz:
j'l _(1+y2)x2
F'( x) = -2.x( 1 + y2) e 2 dy . O 1 + y
,1 "2 "2 2 1 "2o
= -2 .x e-(l+y )x dy = -2e- x 10+ e-u duo o / O
Por otro lado para G(x) := (.i; e- u "2 duf se tiene G'(.x) =
2.r;e- u2 du,
e-x. 2
Por lo tanto (F + G)' = O y así F + G = e con e E IR.. Evaluando
en x = O se obtiene e = F(O) = .101 1!~2 = arctan 1 = ¡. Obtenemos
así
x2(l:e- u2 du)2 = ¡ - F(x), para x E]R.. Como O :::; F(x) :::; c
se sigue u2 con x -> +00, (/~coe- duf = :;¡: Se obtiene así el
valor de una de laso
integrales más famosas del análisis y la teoría de
probabilidades:
Podemos dar aquí un a respuesta parcial a la existencia de un
potencial para un campo vectorial f : U ---> ]R.n (Ver
Proposición 2.l.40 y lo que sigue) .
-
146 CAPÍTULO 2, APLICACIONES DIFERENCIABLES
Definición 2.1.92 Sea U E IR n un conjunto abierto, Decimos que
U es un conjunto estelar, si existe X o E U tal que pam todo x E U
el segmento
S [xo, x] := {(1 - t)xo + tx I O::; t ::; 1}
está contenido en U; decimos tamb'ién que U es estelar con
respecto a xo' Claramente, si U es convexo, entonces U es estelar
con respecto a todo X o E U.
Proposición 2.1. 93 Sean U E IRn un abierto estelar con respecto
a Xo y f E Cl (U, IRn) un campo vectorial que satisface en U las
condiciones de integrabilidad
ofj _ oh = O j ,k=l ,"' ,n (*)OXk OXj
( rot f = O en UJ. Entonces f posee un potencial en U, es decú',
existe FE C2 (U, IR) con f = grad F y está dado por
j'l
F(x) := f(x o + t(x - xo)) . (x - xo)dt (**) , O
Demostración. Por la regla de Leibniz se sigue F E el (U, IR) Y
con h = (h l ," . ,hn ) := x - X o obtenemos
8F j 'l 8 (n )8x (x ) = ~ L fJ(x o + th)h j dt (***) k O VX k
)=1
Con ~ = 6jk y las condiciones (*) se sigue de (***)
8F j'1 [ n aj 1-(x) = h(xo + th) + L ~1 J (,2'0 + th)th) dt 8 Xk
. O j=! VXk
= ./0{Id
dt [t h(xo + th)] dt
= [t h(xo + th) 1 : ~6 = h(xo + h) = ,h(x)
lo cual queríamos probar. _
Observación 2.1.94 (1) Si U e IRn es un dominio (abierto ,
conexo), en· tonces el potencial de un campo continuo f : U
----> IRn está determinado (si existe) salvo una constante ,
Observe que dos puntos en U se pueden unir con una curva poligonal
sobre un dominio U.
-
2.1. DIFERENCIABILIDAD
(2) Se necesitan condiciones topológicas adicionales (U debe ser
simplemente conexo) para r¡ue (*) sea necesario y suficiente para
la existencia de un potencial. (3) Nótese que (**) da una manera
concreta para determinar un potencial F de J en u. Observación
2.1.95 Podemos usar el Teorema 2.1.90 para definir la integral de
Riemann de una función continua sobre un rectángulo Q := [al, b¡] x
... x [am , bml e ~n por integrales iteradas (de una variable
real). Sea para eso J : Q -->~, (y¡,' .. Ym) --> J(y¡, . ..
,Ym) continua. Integrando sucesivamente sobre los interva los [a¡
,b¡ ] , . , , , [am , bml se define con y = (y¡, , , . , Ym) E
~m
;' ¡'bm( ¡'b2(¡'bl ))J(y)dy:= ' , , J(y¡,. , . , Ym)dYI dY2."
dYm , Q . Qm . 0.2 , a l
y el teorema anterior garant.iza que esta definición es
independiente del orden de las integraciones sucesivas, Se puede
extender así el teorema de diferenciación a funcion es cont.inuas J
: U x Q --> R Aplicamos esta extensión:
Ejemplo 2.1.96 Tómese sobre el cubo Q S; ~3 una funci ón
(densidad) continua J-i : Q --> ~ y la función No : ~3 "Q -->
~ dada por No(x) = l/ lxl (norma euclídea); defínase
J-i( x):= /" J-i(Y) No(x - y)dy , x E IR 3 " Q . ./Q
Se prueba, por cálculo directo, aplicando repetidamente el
Teorema 2,1.90 que /l. E C2(~3 " Q ) y 6.u = O en ~3 " Q es decir
J-i es armónica en ~3 " Q. (Observe que la fun ción.1: >--->
No(."C-Y) es armónica en IR3 " {y}). Dejamos los (simples) detalles
como e.iercicio,
U S; IR ffiEjemplo 2.1.97 (B,A, Schwar:t), Sea J : U --> IRm
con abierto una función que sat.isface
a 2 l(a) Las derivadas parciales Ha , !!.L y aa existen en U.a .
X l. a)1 X l. aX J
ar afk2(b) ~a y a son continuas en U,Xl X f Xj
a2 r a2 r' 2Entonces: a 'a ' = --'=....L-' en U.existe en U y
vale --'=....L- a-ifdx.Xl aXl ~ XlX l, I X'1 a
Indicación: Se pueden suponer m = 2 Y U un rectángulo. Se aplica
el teorema fundamental del cálculo y el teorema de diferenciación
bajo la integral. Es éste el resultado que, originalmente, se debe
a B,A. Schwarz (1873) y con la prueba que se indica,
147
-
148 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
2.2. El Teorema de la función inversa
abiertos. Por un difeomorfismo f : U ----. V es una blyecclón
que junto con su inversa es difereneiable. En f es un homeomorfismo
de U sobre V.
Como muestra el f : IR ,IR, ' .r E un homeomodismo puede ser
diferenciable, hasta de clase coo. sin que su inversa sea
diferenciable. Por la proposición 2.1.60 se si f : U ----. V es un
difeo
1 E (V). Además la de dos un y si ambos son de CA: 1 entonces
también la composición lo es.
Sea f : U V un difeomorfismo entre abiertos V C;;; IR71 . Con la
: IR71de la cadena obtenemos que df IR" es, para todo
lo que equivale a decir que la matriz de f, , es no para todo .r
E U. que una necesaria para
---1que f . U V sea un si f es difcrenciable en U, es que ....
,-- -....,.,
sea un Cabe oreguntar si vale el recíproco, es decir si l' (:t)
es no singular para
que f . U ---1 f(U) V es un Se darían así de f a de de su
derivada lo que
que un número, det(f' , sea diferente de cero para x E U.
relación a esta pregunta consideramos:
Ejemplo 2.2.1 f : IR" IR" dada por cos y, eX sen Para f¡(x,y)
eL' cos y, = eL' cos y se tiene .f¡, h E con lo
fE . Para la matriz obtenemos
cos y sen y y) E(eeX eL' )sen y cos y
y para el Jf(x, y) ,y)) > O. Por otro lado es fácil ver que f
no es
1, Y¡) , Y2) Xl X2 1\ Y2 YI + 2krr kEZ
-
2.2. EL TEOREMA DE LA F UNCIÓN INVERSA
Además f (IR 2 ) = IR2 " {(O, O)}. Pero f es inyect iva en una
vecindad de cualquier (x, y) E IR2 , por ejemplo en IR x (y - 11",
Y + 7T). En términos de variab le compleja se t.iene f( z) = cZ , Z
E e = IR 2.
El ejemp lo anterior muestra que la respuesta a la pregunta
planteada es negativa, pero resu lta positiva s i la plan teamos en
un sentido local.
Definición 2.2.2 Sea f : U --> IR m con U ~ IRm abierto.
Decimos que f es un difeomorfismo local, si para todo x E U exis t
e un abierto Vx con x E Vx ~ U,tal que f I Vx : Vx --> IRm es un
difeomorfismo sobre un abierto Wx ~ IRm , Si f E Ck(U) y f es un
difeomorfismo local, decimos que f es un difeomorfismo local de
clase C k en U.
Sabemos, por Proposición 2.1.?, que para un difeomorfismo local
de clase C k en U, (f ¡Vx)- 1 : Wx --> Vx , x E U, es también d
e clase ck en Wx ' Clarament.e todo d ifeomorfismo de U sobre V es
un difeomorfismo local.
IR mLema 2.2.3 Sea.f: U ~ --> IRm con U abiert o. Entonces:
(a) Si f es 71,n difeomorfismo local, entonces f es una aplicación
abierta, es decir V U' ~ U abierto, f ( U') es 71,11. abierto en IR
m . E n particular se tiene que f (U) = : V es un abierto en IR m .
(b) Si f es un dif eomor:fismo local, entonces f es un
difeomorfismo (glo bal) de U sobre el abierto V := f(U) sí y sólo
si f es inyectiva.
Demostración. (a) Sea U' ~ U a biert.o. Si U' ~ Vx para algún x
E U tal que f I Vx es un difeomorfismo, entonces f (U ' ) es un ab
ierto en IRm . En efecto, si f I Vx : Vx --> W x un
homeomorfismo sobre el a biert.o Wx tenemos f(U' ) ~ Wx abier t.o
en Wx y con eso también en IRm . Si U' ~ U es abierto arbitrario ,
entonces tenemos U' = U (V-r n U') y f (U ' ) = U f(Vx n U' ),
xEU x EU
donde VI n U' ~ Vx es un ab ierto. Se sigue f(U ' ) es abierto
en Rm . Para (b) oasta observar, con (a), que V := f(U) es ab ierto
en Rm .•
Para la d emost. rac ión dcl t.eorema de la func ión inversa
usaremos el s iguiente resultado q ue, a pesar de su simplicidad,
es de gran u t ilidad para proba r la existencia.Y unicidad de
solucioncs de muchos problemas del AnáliS IS.
Teorema 2.2.4 (de punto fijo para contr·acciones). Sea (X, d) un
espacio métrico completo y f : X --> X una contracci6n de X en
X, es decir, existe una constante A E ,O ~ A < 1 tal que
d(f (x), f (y )) ~ Ad(x, y) Vx, y E X.
149
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150 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Entonces, dado X o E X arbitrario, la sucesión X n = f (x n -
¡), n E N, converge hacia un x E X , que es el único punto en X con
f(x) = x (punto fijo de f J.
Demostración. De la propiedad de contracción se sigue por
inducción d(Xk+I, Xk) ~ )..kd(Xl, xo), para k E N y con esto
p-I (P-I )d(Xk+p, Xk) ~ ~ d(Xk+I+1Xk+i) ~ ~ )..k+i d(XI, xo)
)..k < --d(XI,X o ) Vk,p E N. - 1-)..
Como O ~ ).. < 1 se sigue que (xn ) es una suceslOn de
Cauchy, y con la completez de X obtenemos que (xn ) es convergente.
Sea x = lím Xn' De
n-->CXl
X n = f(x n -¡) y la continuidad de f se sigue
x = lím X n = f( lím x n - ¡) = f(x). n ----+00 n ----+ 00
Si Y E X es otro punto fijo de f obtenemos d(x, y) = d(J('f),
f(y) ~ )..d (x, y), es decir (1 - )..)d(x,Y) ~ °y con (1 - ).. )
> °que d(x, y) = 0, es decir x = y.•
Teorema 2.2.5 (de la función inversa) . Sean U 'un abierto en
[Rm y f : U --> ~m con f E Ck(U), k 2: 1. Si a E U, b := f(a) y
df(a) E L(~m, ~m) es invertible, entonces (a) Existen abiertos V, W
~ ~m con a E V, bE W y tal que f : V --> W, una función de clase
C k , es biyectiua en V (b) Si 9 : W --> V es la inversa de f
IV, entonces 9 E Ck(W).
Observación 2.2.6 Si escribimos la ecuación vectorial y = f (x)
en componentes f = (JI,' .. , f m), se obtiene la siguiente
formulación clásica de la conclusión del teorema: El sistema de m
ecuaciones en 111, variables
YI = .f¡ (Xl. ... , X m )
{ Ym = fm (X 1 , .. , , Xm )
puede ser resuelto o despejado hacia las variables Xl,'" , Xm,
en términos de las variables YI, .. . , Ym, si nos restringimos a
vecindades suficientemente pequeñas de a y b. Las soluciones Xl =
91 (YI, ... ,Ym), ... ,Xm 9m(Yl ,' .. ,Ym) son únicas y también de
clase Ck si f lo es .
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2.2. EL TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Demostración. (Teorema 2.2.5). (a) Sean a E U, A := df(a) y ex
:= (2 1IA-III )- l > O. Como df: U -----; L(~m,~m) es continua,
existe una bola abierta B(a)
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152 CAPÍTULO 2. APLICACIONES DIFERENCIABLES
Con eso se tiene IRm es inyectiva sobre U, es un problema
topológico y no un problema del cálculo diferencial. Se puede
consultar [ J al respecto .
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2.3. EL TEOREJ\!IA DE LA FUNCI6N IMPLÍCITA 153
2.3. El teorema de la función implícita
2.3.1. Funciones implícitas
En textos element.ales de Cálculo se usa a menudo un resultado,
en formulación poco precisa, según el cual una ecuación f (x ,y) =
e define implícitamente a una de las variables, x ó y, como función
de la otra, incluyendo propiedades de diferenciabilidad. Sin hip
ótesis bien definidas sobre f una tal conclusión es en general
falsa como mu estran ejemplos simples. Es nuestro objetivo
demostrar un teorema de esa índole para funciones f : n -----) ]Rn
donde n e ]Rm X ]Rn
Comenzamos con unas consideraciones preliminares en