UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA HESSIANA Y JACOBIANA DOCENTE : Lic. MINAYA SALINAS SEGUNDO OSCAR INTEGRANTES : HUAMAN CAMONES Clinton Yeferson GARCIA LOYOLA Ibette Pamela ALVA FLORES Roosbelth Eufrain CICLO : III AÑO ACADEMICO : 2014-II HUARAZ 2014
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UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
HESSIANA Y JACOBIANA
DOCENTE : Lic. MINAYA SALINAS SEGUNDO OSCAR
INTEGRANTES : HUAMAN CAMONES Clinton Yeferson
GARCIA LOYOLA Ibette Pamela
ALVA FLORES Roosbelth Eufrain
CICLO : III
AÑO ACADEMICO : 2014-II
HUARAZ 2014
ING. DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
HESSIANA Y JACOBIANA Página 2
ÍNDICE
CAPÍTULO I
HESSIANA
1.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….3
1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES…..4
1.2.1. Observación…………………………………………………………..4
1.3. EJEMPLOS………………………………………………………….………..5
CAPÍTULO II
JACOBIANA
2.1. DEFINICIÓN………………………………………………………………….7
2.2. JACOBIANO DE UNA FUNCION DE n VARIABLES…………………….8
2.3. TRANSFORMACIONES………………………………………….…………..8
2.3.1. COORDENADAS CILINDRICAS……………………….…………..8
2.3.2. COORDENADAS ESFÉRICAS………………………..……………9
2.4. EJEMPLOS………………………………………………………………….10
BIBLIOGRAFÍA
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HESSIANA Y JACOBIANA Página 3
CAPÍTULO I
HESSIANA
1.1. DEFINICIÓN
Dado una función 3:f D definida en el conjunto
Abierta D de 3 , si las derivadas de segundo orden:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2, , , , , , , ,
f f f f f f f f f
x x y x z y y x y z z z x z y
Existen en el punto 0 0 0( , , )P X Y Z , a la matriz cuadrada de orden 3
definida por:
Se llama MATRIZ HESSIANA de una función f en P y se denota
( )H f
PROPIEDAD: La matriz Hessiana es simétrica.
( , , ) ( , , )x y z f x y z
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
( )
f f f
x y x z x
f f fH f
x y y z y
f f f
x z y z z
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HESSIANA Y JACOBIANA Página 4
1.2. MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES
Una función cuadrática 𝐹 = 𝑅𝑛.
→ 𝑅 es una función cuyo valor en
1, , n es dado por 𝐹(𝛼) = 𝜋 ∑ ℎ𝑖𝑗𝑛𝑖=1 𝛼𝑖𝛼𝑗 donde 𝐻 =
[ℎ𝑖𝑗]𝑛𝑥𝑚
es una matriz simétrica de orden 𝑛𝑥𝑛, esto es:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ...
...
n
n
ij nxn
n n nn
h h h
h h hH h
h h h
y
En forma matricial la forma cuadrática está definida por:
11 12 1 1
21 22 2
1
1 1
1 2
...
...( ) . . ( ,..., )
... ...
...
n
n nnt
n ij i j
i j
n n nn n
h h h
h h hF H h
h h h
1.2.1. Observación: Se observa que el desarrollo de una forma
cuadrática, en términos de las variables 1( ,..., )nα α , corresponde
a un polinomio homogéneo de grado 2, donde los coeficientes de
los términos cuadráticos (𝑖2) son los elementos de la diagonal de
la matriz simétrica H, y cada coeficiente de un término,
rectangular es el doble de elemento ijh de la misma matriz( i j )
t tH H H transpuesta de H
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1.3. EJEMPLOS:
1.3.1. Hallar la matriz hessiana de la función 3 3( , ) 9 1f x y x y xy
Solución
Luego la matriz hessiana de f es 6 9
( ( , ))9 6
xH f x y
y
1.3.2. Dada la función 2 2 2( , , ) 2 5 3 6 2 1f x y z x y z xy xz yz ,
hallar la matriz Hessiana.
Solución
1.3.3. Identificar los puntos críticos de la función f(x, y) y determinar sus
tipos: f(x, y) = x + y2 bajo el vínculo son lineal representado por la