Integral
Integral
Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Contoh
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatubilangan konstan.
Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.
Notasi :
IxxfxF = )()('
3
3
1)( xxF =
2)( xxf =
CxxF += 3
3
1)(
f x dx F x C( ) ( )= +2
Sifat-sifat Integral Tak Tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
++
=+
Cr
xdxx
rr
1.1
1
+−= Cxdxx cossin.2
, r -1
+= Cxdxx sincos.3
+= Cxdxx tansec.4 2
+−= Cxdxx cotcsc.5 2
3
Sifat-sifat Integral Tak Tentu
B. Sifat Kelinieran
C. Integral dengan substitusi
Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
Contoh: Hitung
Misal u = 2x + 1 → → sehingga
a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )+ = +
+=+== cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
( )sin 2 1x dx+
dxxgdu )('=
dxxdu 2= dudx21=
( ) =+ duudxx sin2
112sin ( ) CxCu ++−=+−= 12cos
2
1cos
2
1
4
Sifat-sifat Integral Tak Tentu
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsidari u
Contoh: Hitung
13 += xu 23xdx
du=
23x
dudx =Jawab : Misal
Maka
+ dxxx 5103 )1(
+ dxxx 5103 )1(
3x
== duxux
duxu 310
2
510
3
1
3
Integranfungsi dari
u dan x
3xCtt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta
substitusi dengan menggunakan hubungan 13 += xu 13 −= ux
sehingga
−=−=+ duuuduuudxxx 1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu +−= 11
33112
361
Cxx ++−+= 113
331123
361 )1()1(
5
Notasi Sigma ()
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan...21
1
n
n
i
i aaaa +++==
k k k k nk
n sukui
n
= + + + ==
... 1
( ) = = =
+=+n
i
n
i
n
i
iiii blaklbak1 1 1
.1
=
+=
n
i
nni
1 2
)1(.2
=
++=
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(.3
=
+=
n
i
nni
1
2
3
2
)1(.4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika
6
Integra Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang menggambarkan luas daerah.
Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].
bxxxa n == ...10
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian
},...,,,{ 210 nxbxxxaP ===
disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai 11
|,||||| −
−== kkkknk
xxxxMaksP
],[ 1 kkk xxc −3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1x 1−kx kx
kx
kc
7
Integral Tentu
a b2x 1−kx kx
kx
kc
4. Bentuk jumlah Riemann
=
n
k
kk xcf1
)(
0|||| →P
=
→
n
Pk
kk xcf1
0||||)(lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann
=
→
= =
→
=n
k kx
kcf
n
b
a
n
k kx
kcf
Pdxxf
1)(lim
1)(
0|||lim)(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sebagai
)( kcf
8
Contoh
Hitung −2
0
2 dxx
Jawab: Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjangn
x 2=
0 2
x xxx
1x 2x 1−ixix 1−nx
sehingga
00 =x
nxx 2
1 0 =+=
n.xx 22
2 20 =+=
ni
i xix 20 =+=
………………………………………………
9
Contoh
(ii) Pilih ii xc =
(iii) Bentuk jumlah reiman
( ) ( ) = =
−=n
i
n
i
nni
ii xcf1 1
22 2 ( )=
−=n
i
nn
i
1
442
==
−=n
i
n
i ni
n 112
144
nn
n
)n(n
n
22
4
2
14
2+−=−
+=
(iv) Jika →n
( ) −=+−=−→
2
0
2 222nn
limdxx
10
Integral Tentu
Catatan:Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakanluas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garisx = a dan x = b
Sifat integral tentu
p f x q g x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )+ = +
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( ) = +
11
Integral Tentu
f x dx
a
a
( ) = 0 ( )f x dx f x dx
a
b
b
a
= − ( )3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka −
=
a
a
dxxf 0)(
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )= −
2
0
Contoh: Hitung −
++
3
3
24 7 dxxxx
Jawab :
7)()()( 24 +−+−−=− xxxxf )(724 xfxxx −=++−= f(x) ganjil
07
3
3
24 =++−
dxxxx
12
Teorema Dasar Kalkulus(TDK)
TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh: Selesaikan integral tentu
Jawab: Misal u = 2x → du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )= −
( )sin 2
2
x dx
( ) ( ) 1cos2cos2
12cos
2
12sin
2/2
−=−−
=−=
xdxx
−= xdxx 2cos2
12sin
13
Contoh
Hitung −
5
1
|2| dxx
Jawab :
−−
−=−=
22
222
x,)x(
x,x|x|)x(f
( ) ( ) −+−−=−5
1
2
1
5
2
222 dxxdxxdx|x|5
2
2
21
2
1
2
21 22 xxxx −++= −
= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
= ½+9/2 = 5
14
TDK II (Pendiferensial Integral Tentu)
• Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka
Secara umum
)('))(()(
)(
xuxufdttfD
xu
a
x =
)()( xfdttfD
x
a
x =
)('))(()('))(()(
)(
)(
xuxufxvxvfdttfD
xv
xu
x −=
15
Contoh
+=
2
4
31)(
x
dttxG +=
x
dttxG1
31)(
.
Hitung G’(x) dari
a. b.
Jawab:
a.31)( ttf += 31)(' xxG +=
b.31)( ttf +=
2)( xxu =
)()(1)(' 232 xDxxxG +=
612 xx +=
16
Soal Latihan
A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila
5103)( 2 ++= xxxf
)6720()( 572 +−= xxxxf
f xx x
( ) = +1 6
3 7
f xx x
x( ) =
− +2 3 13 2
2
f x x( ) =−3
4
1.
2.
3.
4.
5.
17
Soal Latihan
( )x x dx2 3
4 2−
( ) ( )x x x dx2 2
3 2 2 3− + −
3 3 72
x x dx+
( )5 1 5 3 22 3
x x x dx+ + −
3
2 52
y
y
dy
+
( )( )cos sin4
2 2 2x x dx−
Selesaikan integral tak tentu berikut
6.
7.
8.
9.
10.
11.18
Soal Latihan
B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )
0
5
f xx x
x x( )
,
,=
+
−
2 0 2
6 2 5
f x
x x
x
x x
( )
,
,
,
=
−
0 1
1 1 3
4 3 5
1.
2.
3. f(x) = |x -1|
3
1
3
4
2)( xxxf −=4.
19
Soal Latihan
Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut
3 12 3
1
0
x x dx+
−
8 7 22
3
3
t t dt+
−
x
x x
dx
2
31
3 1
3
+
+
sin cos
/2
0
2
3 3x x dx
2
0
sin dxx
dxxx +−8
0
8625.
6.
7.
8.
9.
10.
20
Soal Latihan
Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari)(' xG
G xt
dt
x
( ) =+
1
12
1
G xt
dt
x
x
( ) =+
1
12
2
G x t dt
x
( ) sin= +
+
2
2
12
=x
dssxG
)2tan()(
dtt
xG
x
+
=
3
031
1)(
11.
12.
13.
14.
15.21
Soal Latihan
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt
txf
x
+
+=
0
21
1)(
Jika f kontinu pada tentukan f(4). −=
2
0
)1(cos)(dan],0[
x
xxdttf 17.
dtt
xx
++
2
42
2
31dan],4[ )2('fJika f kontinu pada , tentukan
.
18.
Hitung +→
x
xdt
t
t
x0
4
2
30 16
1lim19.
22