2011-08-3020112015Material de Estudio Macro Eco No Mia I (1)

UniversidaddeChileDepartamentodeEconomaMacroeconomaIMaterialdeEstudio1SemestrePrimavera2008Sebasti anBustosDavidCobleOscarLanderretcheJuliode20081Este materialde estudio correspondea una recopilaciondel curso MacroeconomaIde laFacultad de EconomayNegocios delaUniversidaddeChiledictadoendistintossemestres porlos profesores SebastianBustos, DavidCoble,OscarLanderretche,JorgeLorcayChristopherNeilson.Muchosdelosejercicioshansidoelaboradosporlosayudantesdel curso: RudyCanales, JuanIgnacioElorrieta, NicolasFranz, FedericoHuneeus, Cristobal Gamboni,MarioGiarda, PabloGutierrez, EduardoJimenez, Nicol as Lillo, MariaLuisaMaino, FranciscoMarcet, ClaudiaMartnez, AlexisMontecinos, EugenioRojasyDamianRomero. Seagradececualquiercomentario, errorotypoalmail [email protected] 11. DosFuerzasfundamentales:Consumo eInversion 51.1. Comentes de Consumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. Mercado nanciero y volatilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Friedman y Modigliani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Riqueza, sustituci on e ingreso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Impuestos o deuda?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5. Consumo seg un los Keynesianos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.6. Consumo seg un los Keynesianos 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.7. Equivalencia Ricardiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.8. Ingreso permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.9. Deuda excesiva?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.10. Cambios en la tasa de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.11. Euler de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.12. Shocks permanentes o transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.13. Keynesian update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.14. Variaci on del consumo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.15. Variaci on del consumo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Comentes de Inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. Efectos de la concavidad/convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Volatilidad seg un Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3. Costos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Un cambio anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5. Inversi on y shocks no anticipados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Matem aticos de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Consumo Intertemporal y subsidios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3. Consumo Intertemporal y amigos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4. Consumo y restricciones de liquidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.5. Ahorro y Crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.6. Consumo en tres actos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.7. Detalles de la optimizacion del consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.8. Consumo en dos perodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.9. Restricciones de liquidez, seguridad social y bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.10. Seguridad social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.11. Consumo y restricciones de liquidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.12. Franco, Milton y mucha diversi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4. Matem aticos de Inversi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.1. Q de Tobin: Versi on Plain vanilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.2. Tobin y Bernanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4.3. Transantiago y Q de Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.4.4. Depreciaci on, impuestos e inversi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.4.5. Nivel de capital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591Contenidos MacroeconomaI-Primavera20081.4.6. Costos de Ajuste e Inversi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612. Laeconoma abierta 632.1. Comentes de tipo de cambio y cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.1. Interes de autarquia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2. Cuenta corriente y estados futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.3. Metzler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.4. Fluctuaciones cambiarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.5. Decisiones separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.6. Transables - No Transables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.7. Tipo de cambio y PPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1.8. Tipo de cambio y productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.9. Consecuencias del exito exportador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.10. Decit de CC de EE.UU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.11. Est atica Comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.12. Evidencia de decisiones separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.13. CC y cambios impositivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.14. Productividad cambiaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.15. Terremoto cambiario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.16. Versiones de PPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.17. CC y Q de Tobin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2. Matem aticos de tipo de cambio y cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.1. CC y el ahorro-inversi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.2. Costos de ajuste y cuentas internacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3. Consumo optimo y cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.4. Trabajo, capital y el tipo de cambio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2.5. Desalineamientos del tipo de cambio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2.6. El Regreso de G, BC, Cuenta Corriente y Q de Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.7. Economa Abierta y CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.2.8. Inversi on optima y la Cuenta Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.2.9. La tasa de interes y la cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2.10. Equilibrio con dos pases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.2.11. Desalineamiento del tipo de cambio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.12. Inversion optima y la cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.2.13. Enfermedad Holandesa (Chilena?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053. Crecimiento ydesarrollo 1113.1. Comentes de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.1.1. An alisis de la post-guerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.1.2. El Chile de los noventas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.1.3. Comentes Varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.4. Convergencia entre economas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.5. Convergencia entre economas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.6. Solow y la acumulaci on 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.7. Solow y la acumulaci on 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.8. Solow y la acumulaci on 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.9. Las diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.10. Crecimiento en tres actos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.11. Ramsey y la oferta de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.12. Evidencia de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.13. Impuestos y decisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.14. Las tres diferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1.15. Aguante Chaiten! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.16. Control de natalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.17. Las mismas conclusiones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.1.18. Financiamiento del gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.1.19. Recomendaciones de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172Contenidos MacroeconomaI-Primavera20083.1.20. Trabajo, impuestos y Ramsey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.1.21. Ramsey, Centralizado o descetralizado?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.1.22. Extensiones de Solow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1.23. Shocks y la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1.24. M as de Solow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.2. Matem aticos de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.1. Crecimiento e impuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.2. Crecimiento end ogeno y exogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.3. Crecimiento con tasa de ahorro variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2.4. Servicios p ublicos y derechos de propiedad en el modelo de Ramsey . . . . . . . . . 1273.2.5. Ramsey y Highbridge School of Economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.2.6. Reminiscencias de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2.7. Crecimiento y la evidencia emprica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.2.8. Solow versus Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.2.9. Cambios en la productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2.10. Estados Hundidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.2.11. Crecimiento con Postinor 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.2.12. Ramsey Tributario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.2.13. Ramsey, IVA y elecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594. Dineroyestabilizacion 1644.1. Comentes de dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.1. Dinero y tipo de cambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.2. Demanda por Dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.3. Dinero y el rol del Estado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.1.4. Dinero y el rol del Estado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.1.5. Dinero y el rol del Estado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.1.6. Kiyotaky y Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.7. Ingreso de capitales y precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.8. Multiplicador monetario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.9. Otros tipos de Dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.1.10. Cantidad de dinero e inaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.1.11. Ecuaci on cuantitativa del dinero y tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.1.12. Dicotoma clasica y neutralidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.1.13. Dinero como un activo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.14. La vigencia de Baumol-Tobin/Allais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.15. El efecto del Encaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.16. Elasticidad de la demanda por dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.1.17. Poltica monetaria seg un Poole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.1.18. EL control del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.1.19. Expectativas y el precio de los activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.1.20. Expectativas y la curva de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2. Matem aticos de dinero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.2.1. Teora Cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.2.2. Multiplicador Monetario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.2.3. Demanda por dinero e Inaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.2.4. El Condorbank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.2.5. Se noreaje e Hiperinaci on a la Cagan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2.6. Teora Cuantitativa y Se noreaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.2.7. Dinero y Shopping Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.2.8. Poole y Poltica Monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2.9. El regreso de House e instrumento de poltica optima . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2.10. La demanda por dinero de Condorito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.2.11. Friedman vs Baumol Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.2.12. Baumol-Tobin y descuentos electr onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.2.13. Cuando el dinero es neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923Contenidos MacroeconomaI-Primavera20085. Lanuevaofertaydemandaagregada(Modelos Neo-Keynesianos) 1945.1. Comentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.1.1. Phillips 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.1.2. Expansi on de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.1.3. Islas de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.4. Calvo y Rotemberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.5. Nueva Curva de Phillips 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.1.6. Nueva Curva de Phillips 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.1.7. Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.1.8. Ecuaciones NKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.1.9. La hip otesis de Milton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.1.10. Relaciones de Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.1.11. Relaciones de Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.1.12. Efectos de shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.1.13. Diferencias en las Reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.1.14. Una des-inaci on, M agica?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.15. La observaci on de Phillips. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.16. El principio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.17. Forward-Looking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.18. Evidencia de la Nueva Curva de Phillips para Chile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.19. Se nales para los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.1.20. Implicancias de la Nueva Curva de Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.1.21. La importancia de ser creble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.22. La Crtica de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.23. Islas de Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.24. Leyendo a Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.1.25. Efectividad seg un Mishkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.1.26. La critica de Valdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.1.27. Solo y unicamente inaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.1.28. Meta y salarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.2. Matem aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.2.1. Una economa Neo-Keynesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.2.2. En busca del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.2.3. El objetivo de la autoridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.2.4. El comportamiento seg un distintas reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.2.5. Macroeconoma en el Mundo de Papel (Mache) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.2.6. Macroeconoma Callejera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136. Topicosdepoltica economica 2166.1. Comentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1.1. Soluciones a la incoNsistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1.2. Lo que implica el horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.1.3. Decit scal de los conservadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.2. Matem aticos de Inconsitencia din amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.2.1. La tentaci on del Banco Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.2.2. Reputaci on y inconsistencia din amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.2.3. La trampa de la inaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.2.4. Contratos para Bancos Centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2.5. Inconsistencia temporal y poltica monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274Captulo1DosFuerzasfundamentales:ConsumoeInversion1.1. ComentesdeConsumo1.1.1. MercadonancieroyvolatilidadMientras m as acceso tienen los consumidores al mercado de capitales, m as se endeudan, por ende, gen-eran una mayor volatilidad de la economa. Es correcto?Respuesta:Falso.Al tenerm asaccesoal mercadodecapitales, losindividuospodr ansuavizarsuconsumointertem-poralmente. Si asumimos agentes racionales, las variaciones del consumo ser an producidas s olo porshocksaleatorios, lo que hace que la economa se vuelva menos vol atil, ya que el consumo y el ahorro (la inversi on)s olo cambiarancuando existansorpresas en la economa. Es posibleargumentar, sin embargo, que en unaeconoma en que los agentes se sobreendeudan, es decir, copan completamente su capacidad de endeudarse,se tienden a limitar las posibilidades de endeudamiento lo que, nalmente, tiende a limitar las posibilidadesdequeel consumo seaunmecanismosuavizadordel ingreso.Laraz onesquesiunconsumidorusacom-pletamente sus lneas de credito ya no podra suavizar shocks negativos adicionales al ingreso. Sin embargo,estonoresultadel accesoal mercadodecapitalessinodesuusoexcesivo, loque, nalmentereejaunaincorrecta evaluaci onde riesgos de credito por parte de los intermediariosnancieros.1.1.2. FriedmanyModiglianiQue elementocom uncomparten lateora delasteoras delconsumodeFriedmanydeModigiliani?Que diferencia? Cuando son matematicamente muy diferentes?Respuesta:Elelemento en com un quecompartenestas teorasesqueambasse fundamentanen suponerque estamosenunmundodeconsumidoresconutilidadmarginal decrecientequeintentan,porende,suavizarsuspa-tronesdeconsumo. Ladiferenciacentral esel conceptodeagentequeseest aanalizando. Enel casodeteora delCiclo de Vida,modelamosagentes nitos, individuos.En el caso de la teora del Ingreso Perma-nente, dinastas de individuos u hogares. Una forma de conectar las dos teoras es a traves del concepto de.altruismo,esdecir,lavaloraci onqueledaunageneracional consumodelasiguiente.Sialosagenteslesimportael bienestardesudescendenciaentoncesexistir aaltruismoyser aunbuensupuestomodelaragentes quesecomportancomosi tuvieranhorizontes innitos. Si el altruismoes unmal supuestodecomportamiento, entonces, las dos teoras ser an matematicamente diferentes.51.1. COMENTESDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20081.1.3. Riqueza,sustituci oneingresoCual esladiferenciasentreel efectoriqueza, sustituci oneingresoenlateoradelaelasticidaddelconsumo a la tasa de interes? Explique matematicamente.Respuesta:Usandolasiguienteexpresi on(queresultadeunaoptimizaci onutilizandounaformafuncional CRRA),podemos observar tres vas por la cuales la tasa de interes afecta el consumo:C1 =11 +1(1 +r)1 1_Y1 +Y21 +r_(1.1)EfectoSustituci on: Un aumento en la tasa de interes hace m as atractivo ahorrar hoy y as se reduceel consumo presente.EfectoIngreso: Una tasa mas alta le entrega mayoresrecursos a los que tenan ahorroy le reduceel ingresoalosqueerandeudores.Porelloesteefectoesambiguo. Al buscarsuavizarsuconsumointertemporal aumenta el consumo presente. La tension entre el efecto sustituci on y efecto ingreso seve en el termino (1 +r)1 1. Dependiendo del valor que tome, predominar a un efecto u otro.EfectoRiqueza: Este efecto es a traves del terminoY1 +Y21+rdonde una tasa mas alta disminuye elvalor presente de la riqueza. Este efecto refuerza el efecto sustituci on.1.1.4. Impuestosodeuda?Si el scoseendeudaparaaumentarel gastogeneraefectosmacroecon omicosdiferentesdecuandoaumenta los tributos. Es correcto? Siempre? C omo se llama la teora que discute esto y cuales son suslmites?Respuesta:El aporte de David Ricardo (rescatado por Roberto Barro) es reconocer que el sco debe cumplir una restric-ci onpresupuestaria intertemporal, aligual que lo hacenlosagentes privados.La teora dela EquivalenciaRicardiana propone que cualquier cambio en el timing de los impuestos no tiene efectos sobre la economa.Esdecir, quelorelevantedesdeel puntodevistadel presupuestodelosindividuosprivadosesqueellosinternalizan el comportamiento del gasto p ublico y su nanciamiento en sus decisiones. Es decir, si el scoaumenta el gato nanciado con deuda, los privados internalizan que en alg un momento del tiempo tendr anquepagarlosimpuestosnecesarios. Sinembargo, esimportantereconocerquedetr asdelaEquivalenciaRicardiana hay un conjunto de supuestos crticos. Por estos motivos esta teora no se cumple cuando:Existen restriccionesdeliquidezqueimpidenquelosindividuospuedanendeudarsepara deshacerelefecto del cambio tributario.Lagentenotienehorizonteinnito(sonmortales)onolesentregautilidadloqueocurraconsusdescendencia.Existe incertidumbre (sobre quien va a pagar)y distorsiones(impuestos proporcionalesa actividadeseconomicas).Estructurastributariasprogresivasoconexcencionesquegeneranquenotodoslosagentesdeunaeconoma paguen los impuestos que nancian la deuda.Algunos individuosson miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).61.1. COMENTESDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20081.1.5. Consumoseg unlosKeynesianos1Quejusticaci onteorcapodradarud. encontradel usodelateoradeconsumokeynesianaparaexplicar el movimiento del consumo de una economa?Respuesta:La principal justiaci on teorica para no usar esta teora es que no incluye variables relevantes. La funci onde consumo keynesiana es de la forma:Ct(Yt) = C +c Yt(1.2)De la ecuaci on (1.3) podemos observar que esta no depende de cambios en la tasa de interes, aumentospermanentesotransitoriosdel nivel deingresofuturo, cambiosenlasexpectativas, presenciadeactivosnancieros, etc; quesonvariables relevantesqueinuyensobreel comportamientodel consumo. Esporesto que es necesario contar con teoras que incluyan estas variables.1.1.6. Consumoseg unlosKeynesianos2Utilizando la siguiente funci on keynesiana de consumo derive las tres conjeturas de Keynes con respectoal comportamiento del consumo. Cual(es) de las tres conjeturas cree ud. que no se ajusta(n) a la realidad?Ct = C +c Yt(1.3)Tip:Describa deque dependeelconsumo, obtenga lapropensi on marginal a consumir,la propensi onmedia y analize su evolucion en el tiempo.Respuesta:De (1.3) podemos notar 3 cosas:1. El consumo depende s olo del ingreso y no incluye cosas como ingreso futuro o tasa de interes.2. La propensi on marginal al consumo es:CtYt= c < 1Loquenosdicequeanteunaumentoenel ingreso(Yt),el consumoaumentar amenosquepropor-cionalemente con respecto al ingreso.3. La propensi on media al consumo es:CtYt=C +c YtYt=CYt+cY analizamoscomo cambia la PMeC con respecto aYt,PMeCYt= CY2t(1.4)De(1.4)podemosverquelafunci onkeynesianapredicequeamedidaqueaumenteel nivel dein-greso, el consumoir adisminuyendo. Estaconclusi onsellam oEstancamientoSecularyfueunapreocupaci onparaloseconomistasdelaepoca, hastaqueSimonKuztnetsdemostroqueestonosecumpla.71.1. COMENTESDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20081.1.7. EquivalenciaRicardianaEl gobierno de Gambonilandia ha decidido emitir bonos por un monto de $ 1.200 millones de d olares.Por este concepto, elgobierno recaudar a mucho dinero y podr a realizar todos los proyectos queantes nopodan ser realizados. Entonces Es el gobierno Gambonilesmas rico debido a esta emisi on? Sea claro ensu razonomiento y explicite sus supuestos.Respuesta:Depende. Si secumplen ciertossupuestos, la teora delaEquivalenciaRicardiana delProf.RobertBarro nos dice que el gobierno enfrenta una restricci on intertemporal, por lo tanto, emitir bonos hoy (ten-erm asrecursoshoy), signicadisponerdemenosrecursosma nana. Esporestoquenosepuededecirqueel gobiernoGambonilesesm asricohoy; est asimplementetrayendoingresosfuturosal presente,vaendeudamiento. Esta teora no se cumple, cuandoExisten restriccionesdeliquidezqueimpidenquelosindividuospuedanendeudarsepara deshacerelefecto del cambio tributario.La gente no tiene horizonte innito (son mortales).Existe incertidumbre (sobre quien va a pagar)y distorsiones(impuestos proporcionalesa actividadeseconomicas).Estructurastributariasprogresivasoconexcencionesquegeneranquenotodoslosagentesdeunaeconoma paguen los impuestos que nancian la deuda.Algunos individuosson miopes (no toman en cuenta el futuro lejano).1.1.8. IngresopermanenteEn un modelo de consumo intertemporal, un aumento en la tasa de interes genera una cada del consumodebido a que el ingreso permanente disminuye. Comente.Respuesta:Enunmodelodeconsumointertemporalexistentresefectos:sustituci on, ingresoyriqueza.Esciertoqueunaumentodelatasadeinteres,porefectosustituci on,disminuyeel ingresopermanente.Sinembargo,para saber el efecto nal necesitamos saber que pasa con los otros dos efectos. Esto hace que el comente seafalso o incierto.1.1.9. Deudaexcesiva?TodosloshabitantesdeGambonilandia estanendeudados. Esm as, duranteel ultimoa nolosGam-bonileses hanmostradoconsistentementenivelesdeconsumomayoresasusnivelesdeingresosactuales.Anteestasituacion,Crist obalGamboni lepreguntaaud. si estasituaci onespreocupanteyqueriesgosexisten. Explique bajo que esquema teorico esta situacion no sera preocupante y comente como se llega aesta conclusion.Respuesta:EstasituacionnoserapreocupantebajounesquemadeHip otesisdel IngresoPermanenteoCiclodeVida. Estas dos teoras complementarias nos dicen que los agentes son racionales y que desean suavizar susniveles de consumo a traves del tiempo.Estas teoras complementarias establecen que los individuos maximizan su utilidad del consumo a lo largodesuvida.Comoresultadodeesteproblemademaximizaci on,podemosverquelosindividuospreferir anun nivel de consumo constante a traves de sus vidas.Si los agentes preven un nivel deingreso permanente mayoren el futuro, esta teora nos indicaraqueesnatural quelosindividuosdeseenendeudarsepara aspodertener un nivel deconsumo constante eneltiempo.81.1. COMENTESDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20081.1.10. CambiosenlatasadeinteresSi un individuo es acreedor neto, una disminuci on de la tasa de interes aumentara indudablemente suconsumo presente. Comente.Respuesta:Ante una disminuci on de la tasa de interes, no sabemos como cambiar a el nivel de consumo de un individuoque es acreedor neto. Por una parte el efecto sustituci on hara m as barato el consumo presente respecto delfuturo por lo que consumir a m as y disminuir a su ahorro. Pero por otra sus activos disminuir an su retornodisminuyendolosfrutosdesuahorroinicial. Porefectoingresoentoncesel individuoquerr aaumentarsuahorroydisminuir asuconsumo.El efectonal depender adelamagnituddelosefectossustituci oneingreso. El efecto nal sera ambiguo.1.1.11. EulerdeConsumoEl nivel deconsumo optimointertemporal nosoloconsiderael cumplimientodelarestricci onpre-supuestariaintertemporal sinoqueadem asdependedecuantosealadistribuciondeingresostotalesencada perodo del tiempo. ComenteRespuesta:El problemaqueenfrentaunconsumidordedosperodosrequiereoptimizarel consumodebiendocumplirlarestricci onpresupuestariaintertemporal queb asicamentenosdicequelasuma deingresosdebeserex-actamente igual a la suma de consumo, ambos en valor presente.Las decisiones de consumo se hacen independientes de la trayectoria de ingresos en el tiempo. En un casoextremo, el consumidor podra querer consumir todo hoy y tener todos sus ingresos en el futuro. Obviamente,el supuesto implcito es que los consumidores tienen acceso al mercado de capitales pudiendo traer riquezafutura al presente y al reves, pudiendo de esta manera suavizar su consumo, independiente de la distribuci onde los ingresos en el tiempo.1.1.12. ShockspermanentesotransitoriosSupongaqueunapersonarecibeunincrementodesueldoqueestimaserapermanenteenel tiempo.Seg un lo aprendido con las Teoras de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, que ocurrir a con su nivel deconsumo? C omo cambia su respuesta si el aumento es transitorio?Respuesta:Las Teoras de Ciclo de Vida e Ingreso Permanente, enunciadas por Modigliani y Friedman respectivamente,nos dicen que si los individuos quieren mantener una consumo constante a lo largo de su vida (y tiene unavida sucientemente larga), consumir an la anualidad de su riqueza, la que corresponde a la tasa de interesque rinde la totalidad de su riqueza. La primera supone individuos con vidas nitas y la segunda con vidasinnitas,porlocual enloindicadoporModigliani suponequeadem asel individuoconsumopartedel lariqueza con lo cual llega al nal de su vida sin riqueza.Si el individuo experimenta un aumento de su salario, y este es permanente en el tiempo, aumentara lasuma presente detodossus ingresosfuturos (su riquezatotal). Deesta formaelconsumo decadaperiodoaumentar aproporcionalmenteal incrementodesusalario. Encambio, si el aumentodesalarioescon-sideradocomotransitorio, el consumoseincrementar amenosque1a1. Larazon?El mayoringresoquedurar asoloalgunosperodosdebeserdistribuidodurantetodalavida, porloqueencadaperodoseconsumir a solo una fraccion de este ingreso.1.1.13. KeynesianupdateDelcomente anterior, ud.sabe quelafunci onkeynesiana nologra predecirdemanera satisfactoria elcomportamiento del consumo de una economa. Que cree ud. que la funci on keynesiana esta omitiendo yquepodraserrelevanteparalasdecisionesdeconsumo?Describalasteoras deconsumoquetratande91.1. COMENTESDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008resolver estos problemas.Respuesta:Lafunci onkeynesianaomitefactoresrelevantescomoingresofuturoesperado, shocks, tasadeinteresypreferencias de los individuos. Esto hace que sus predicciones de corto plazo no sean muy buenas.Buscandosolucionaresteinconveniente,distintosautoresdise narondistintasteorasparadescribirelconsumoquehacanenfasisencadaunodelosfactoresrelevantesdescritosanteriormente.Estasteorasson:1. ConsumoIntertemporal(Fisher): Irving Fisher desarroll o un modelo de agentes racionales y pre-visores que toman decisiones de consumo intertemporal. Este modelo hace enfasis en las preferenciasy en las restricciones a la cual est an sometidos estos agentes.2. CiclodeVida(Modigliani):Modigliani us ocomobaseparasuteorael modelodeFisher, perohizoincapieenel hechodequeel ingresodeunagentevaraatravesdesuvidayqueel ahorropermitesuavizar el consumo en todos los perodos.3. IngresoPermanente(Friedman): Esta hip otesis es complementaria a la de Modigliani. Friedmanhizoenfasis enel car acter transitorioyno-transitoriodel ingresoyconcluy oquelareacci ondelindividuo ante cambios en el ingreso depender a si este es de car acter transitorio o no.1.1.14. Variaci ondelconsumo1Expliqueporquelasvariacionesdel consumosonimpredeciblessi losconsumidoresobebedecenalahip otesis de ingreso permanente y tienen expectativas racionales.Respuesta:Deacuerdo ala hip otesisdeingreso permanente,losagentesseenfrentan auna renta uctuante yhacentodoloposibleporparasuavizarel consumoatravesdel tiempo. Encualquiermomentodel tiempo, ladecisiondeconsumoesoptimaseg unlasexpectativasdeingresodel agente.Amedidaquepasael tiempo,los agentes van cambiando sus decisiones de consumo de acuerdo porque agregan informacion nueva que hacecambiarsusexpectativas.Siestamosbajoel supuestodeexpectativasracionales, losindividuosutilizar antodalainformaci ondisponibleparaformarsusexpectativas, porloquecambiosenel consumo,i.e., unarevisi on de las expectativas de ingreso futuro, solo puede ocurrir si el individuo es sorprendido. Por eso,los cambios en el consumo obedeceran a un paseo aleatorio.1.1.15. Variaci ondelconsumo2Quecomponentesdelademandaagregada(ydetiposdeconsumo)sonmasomenosvolatilesenterminos relativos? Explique conceptual y empricamente.Respuesta:Lademandaagregada, eneconomacerrada, est acompuestaporconsumo, inversi onygastodel estado.Adicionalmente,paraefectosdeestapregunta esconvenientedesagregarel consumoendoscomponentes:durableyno durable.Empricamentesi es quecalculamosla varianzadecadacomponente entorno a susrespectivas tendencias, descubrimos que la inversi on es mas vol atil que el consumo y que el consumo durable,asuvez, esm asvolatil queel consumonodurable. Laraz onteoricaesdoble: primero, laexistenciadeutilidad marginal decreciente (que expresamos matem aticamente con la concavidad de la funcion de utilidad)y la existencia de costos convexos de ajuste de la inversi on. El resultado de esto es que los agentes intentaransuavizar la trayectoria de consumo y, en cambio, tratar an de concentrar la inversion en ciertos perodos parahacer uso de las economas de escala en la inversi on. Esta misma racionalidad explica que el consumo durablesea mas vol atil que el consumo no durable, o dicho de otro modo, la mayor volatilidad relativa del consumodurableesundemostraciondequelosconsumidoresenfrentancostosdeajusteconvexo. Finalmente, esinteresante notar que el gasto scal es, por lo general, m as estable que el resto de los componentes del gastodebidoa las rigidecespropiasdelproceso presupuestario y, en elcaso dechile,a la mec anica de lasreglasdel Balance Estructural.101.2. COMENTESDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera20081.2. ComentesdeInversi on1.2.1. Efectosdelaconcavidad/convexidadTantolaconcavidaddelafunci ondeutilidaddelosconsumidoresylaconvexidaddelafunci ondecostos generan efectos amortiguadores sobre la economa. Es correcto?Respuesta:Laconcavidaddelafunci ondeutilidadeslaexpresi onmatematicadelautilidadmarginal decrecientedelos consumidores que genera el comportamiento de suavizaci on de los patrones de consumo y, por lo tanto,contribuye a la estabilizaci on de los ciclos de la economa. La convexidad de la funci on de costos de inversiones una expresi on matematica de la existencia de costos jos a la inversi on que hace que los agentes intentenconcentrarenciertosperodoslainversi on, generandounatrayectoriamasvol atil deestecomponentededemanda. Porende, el comentoescorrectoenloquerespectaalafunci ondeutilidadyfalsoenloquerespecta la funci on de costos.1.2.2. Volatilidadseg unTobinUna economa donde las rmas enfrentan un funci on de costos convexa (crecientes a tasa creciente) esmenos volatil que una en donde las rmas enfrentan costos concavos (decrecientes a tasa creciente). En elcontexto de la teora deQ de Tobin, comente.Respuesta:Verdadero. Si lasrmasenfrentancostosconvexos, losajustesdel nivel decapital,i.e. losnivelesdein-versi on, se har ande forma paulatina. En cambio, si las rmas enfrentan costos c oncavos, estos ajustes sehar andegolpe. Enel primerescenariolainversionesmenosvol atil queenel segundo, luego, ceterisparibus, la primera economa ser a menos vol atil.1.2.3. CostosdeajusteExplique endetallela importancia delaconcavidad/convexidad dela funci ondecostos deajuste delcapital enunmodelodeinversi on. Dependiendodesurespuesta, quedecisionescreequetomaranlasempresas en uno u otro caso?Respuesta:Enprimerlugar, recordemosquelaintenci ondelasrmasesmaximizarsusbeneciosalalolargodeltiempo(maximizaci onintertemporal).Dadoesto,noserairrelevantelaestructura deloscostosdelain-versi on. Comobiensabemos, si estafunci onesconcava, entoncesdichos costosserancrecientesatasadecrecientepor cuanto la mejoropci onser a realizargrandes inversionesen capital en poco tiempo. Porelcontrario,silafuncionesconvexa,tendremosqueloscostosserancrecientesatasacrecienteporcuantonoser aoptimorealizargrandes cambiosenunperiododecortoplazopuestoquelos costos explotar anal invertirmarginalmenteencapital. Apartirdeestasituaci on, lasinversionesencapital serealizar anpaulatinamente en el tiempo.1.2.4. UncambioanticipadoSupongaunaeconomaconcostosdeajustedeinversionconcavos.1Anteunanunciodeunafuturadisminucion de la tasa de interes, que har an con su inversi on las empresas?Respuesta:La teora de la Q de Tobin vista durante el semestre nos ayuda a entender como las empresas distribuyen enel tiempo su inversi on. Una disminuci on anunciada (y creble) de la tasa de interes hace que las empresascomiencen a realizar en forma anticipada.Enel casomascom un, enel quelasempresastienencostosdeajustesconvexos, mientrasmayoresla inversionmas costosoes parala empresa realizarelajuste porlo que desear adistribuiren eltiempo el1Primeraderivadapositivaysegundanegativa.111.2. COMENTESDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.1: Din amica del modelo con cambioAnticipado de la tasa de interesK=0qKq1=0 q2=01qKrIt1 t2ajuste.Sinembargo,si loscostossonconcavos,comoindicaestecomente, lo optimoser a realizartodalainversion en un solo momento, lo que se conoce como inversi on abultada o lumpy.1.2.5. Inversi onyshocksnoanticipadosEl da Martes 10 de Junio, el Banco Central emiti o el siguiente comunicado En su reuni on mensual depolticamonetaria, el Consejodel BancoCentral deChileacord oaumentarlatasadeinteresdepolticamonetaria (TPM) en 50 puntos base, hasta 6,75 % anual.En el contexto de la teora de laQ de Tobin, como afectara esto las decisiones de inversion de las rmas?Suponga que este cambio en la TPM era totalmente inesperado y que la funci on de costos de las rmas esconvexa. Explique la din amica y graque el movimiento de las variables de relevantes en el tiempo.Respuesta:Dado que la disminuci on de la tasa de interes era totalmente inesperada por las rmas, el precio sombradel capital instalado, q, caer a de golpe por debajo de 1.Enunesquemadermasenfrentandocostosconvexos,lasrmastienendicultadesparacambiarsucapacidadinstalada.Porlotanto,lasrmasgradualmenteirandes-invirtiendohastallegaraunnivel decapital instalado inferior al que exisita antes del cambio en la tasa de interes. (ver gura (1.1))121.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.2: Restricci on IntertemporalY1, C1Y2, C21001501.3. MatematicosdeConsumo1.3.1. ConsumointertemporalConsidere una persona que vive dos perodos, t y t +1, y sus ingresos son de 100 y 150 respectivamente.Si la tasa de interes es del 15 %:1. Determine la restricci on presupuestaria de este individuo y grafquela.Respuesta:La restricci on presupuestaria es:C1 +C21 +r= Y1 +Y21 +r(1.5)Reemplazando los valores entregados, tenemos que:C1 +C21,15= 100 +1501,15(1.6)Gr acamente se puede ver en la gura 1.2.2. Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos perodos. Encuentre el valorde este.Respuesta:Tomando (1.5) y reemplazandoC1 = C2 = C, tenemos queC1(1 +r) +C2= (1 +r)Y1 + Y2(1.7)C(2 +r) = (1 +r)Y1 + Y2(1.8)1,15 100 + 1502,15= C (1.9)C123 (1.10)c) Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer perodot en elperodot + 1, identique el consumo en t yt + 1.131.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Respuesta:Utilizando (1.5) y sabiendo que 2C1 = C2,C1 +C2(1 +r)= Y1 +Y2(1 +r)C1 +2C1(1 +r)= Y1 +Y2(1 +r)C1(1 +r) + 2C1(1 +r)= Y1 +Y2(1 +r)C1=1 +r3 +r_Y1 +Y2(1 +r)_(1.11)C1=1,153,15_100 +150(1,15)_C1 84C2 168d) Expliqueconceptual ymatem aticamentequeocurreconel consumodecadaperodosi latasadeinteres aumenta a 20 %. Las preferencias de consumo del individuo se mantienen como en la parte c).Respuesta:Mirandolaecuaci on(1.11)podemosverqueel cambioenlatasadeinteresafectar apormediodelprimer termino en llaves_1+r3+r_ el cual aumenta conry tambien mediante el efecto de bajar el valorpresente de los ingresos futuros en el terminoY2/(1 +r) el cual es obviamente negativo.C1=_1 + r3 + r_ _Y1 +Y2(1 +r)_Al reemplazarlosdatostenemosqueel consumopermanececasiconstanteconunapeque naalzade84.13a84,38. El consumoel el segundoperiodoessimplementeel doble(168,8). Porlotantounaumento de la tasa de interes genera un aumento en el consumo en el primer periodoEsto sepuedeexplicarporqueY1>C1,esdecir,el individuoesun acreedorneto. Dadoqueno hayefecto de cambio en la distribuci on de consumo (i.e. no puede ahorrar m as dado el mayor incentivo)debido a que esta dado por el enunciado, s olo existe el efecto ingreso positivo y el efecto negativo sobreel valor presente de los ingresos en el segundo periodo.e) Identique en un mismo gr aco los resultados obtenidos en las partes b) y c), y explique los cambiosocurridos en el consumo debido a las variaciones de la tasa de interes.Respuesta:Gr acamente tenemos lo que aparece en 1.3Ver explicaci on en comente anterior.f ) Supongaahoraqueel gobiernohainstauradounnuevoimpuestodesumaalzadade50encadaperodo. Encuentre la nueva restricci on presupuestaria considerando una tasa del 15 % y graque.Respuesta:El rol del gobierno en este caso seria de cambiarla dotacion de ingreso.C1 +C2(1 +r)= Y1 T +Y2 T(1 +r)C1 +C2(1,15)= 50 +100(1,15)(1.12)141.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.3: Variaci on Tasa de InteresY1, C1Y2, C2Dotacion(1, 15)(1, 2)Figura 1.4: Restricci on Intertemporal con ImpuestosUU'Y1, C1Y2, C210015050100151.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008El graco correspondiente se ve en la gura 1.4g) Si la estructura de impuesto se mantiene de igual forma y el individuo desea consumir 40 en el primerperodo:i. Cu al es el consumo ent + 1?Respuesta:Utilizando (1.7) y sabiendo queC1 = 40,(1,15)50 + 100 = 40(1,15) +C2C2= 111,5 (1.13)ii. C omo cambia la recta presupuestaria si los impuestos cambian de estructura y se cobra 60 ent y 40 ent + 1?Respuesta:Considerandola soluci onempleadaen la parted)y reemplazandoporla nueva estructura trib-utaria tenemos:C1 +C2(1 +r)= Y1 T +Y2 T(1 +r)C1 +C2(1,15)= 40 +110(1,15)(1.14)iii. C omo cambia el consumo en ambos perodos?Respuesta:Dadoque,porenunciado,el consumoenel primerperiodoes40,debemosobtenerel consumodel segundo periodo. Considerando queC1 = 40 y la ecuaci on (1.14)tenemos:(1,15)40 + 110 = 40(1,15) +C2C2= 110 (1.15)El cambio en la estructura de impuestos hace que el individuo pase de una situaci on ahorradoraa una situaci on neutral, dondeY1 = C1eY2 = C2.1.3.2. ConsumoIntertemporalysubsidiosSuponga un individuo que vive dos perodos y maximiza la siguiente funcion de utilidad:U(C1, C2) = logC1 +_11 +_logC2(1.16)Donde C1 y C2 corresponden al consumo del perodo 1 y 2 respectivamente. Ademas, el individuo recibeingresos de Y1 e Y2 respectivamente. La tasa de interes de mercado es r y la tasa de descuento intertemporales (conr = ).a) Construya la restricci on intertemporal para este individuo. Determine el consumo optimo del perodo1 y 2 adem as del ahorro optimo. Den otelosC1, C2yS respectivamente.Respuesta:La restricci on presupuestaria para este individuo vendr a determinada por lo siguiente:En el primer perodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese perodo m as el ahorro(deuda):Y1 = C1 +S (1.17)161.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Para el segundo y ultimo perodo tenemos que el individuoconsumir a todo su ingreso disponible,porlo que tendremos que:C2 = Y2 + (1 +r)S (1.18)Despejando el ahorro (deuda) de la ecuaci on (1.21) y reemplaz andola en la ecuaci on (1.22) obtenemosla restricci on presupuestaria intertemporal:C1 +C21 + r= Y1 +Y21 +r(1.19)Ahora encontramos el consumo optimo del perodo 1 y 2 ademas del ahorro optimo. Para esto armamosel lagrangiano correspondiente:L = logC1 +_11 +_logC2 +_Y1 +Y21 +r C1 C21 +r_De las CPO del problema o bien por la ecuaci on de Euler tenemos lo siguiente:C2C1=1 +r1 +(1.20)Despejando C2 de la ecuaci on (1.27) y reemplaz andolo en la ecuaci on (1.23) tendremos que el consumooptimo del perodo 1 vendra dado por:C1=1 +2 + _Y1 +Y21 +r_El ahorro optimo vendra dado porS = Y1 C1, reemplazandoC1tenemos:S =12 + _Y1 1 +1 +r Y2_Por ultimo, calculamosC2reemplazandoC1en la ecuaci on (1.27):C2=1 +r2 + _Y1 +Y21 +r_Con lo que determinamos lo que se peda.b) Determine la Elasticidad Intertemporal de Sustituci on.2Respuesta:De la ecuaci on de Euler tenemos:C2C1=1 +r1 +Manipulando un poco:2RecuerdequeEIS= log(C1/C2)log(1+r).171.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008C1C2=1 +1 +r/lnln_C1C2_= ln(1 +) ln(1 +r)Derivando: log(C1/C2) log(1 +r)= 1En otras palabras:EIS = 1c) Suponga quelaautoridad otorga unsubsidio(con> 0)endineroalindividuoenelperodo 1.Determine en cuanto variar a el ahorro e interprete su resultado.Respuesta:Es f acil ver que con esto lo unico que cambia es la restricci on presupuestaria intertemporal. Haciendolo mismo que en la parte a) llegaremos a que el consumo optimo del perodo 1 ser a:C1=1 +2 + _Y1 + +Y21 +r_Calculando el ahorro optimo:S =12 + _Y1(1 +) 1 +1 +r Y2_Vemosqueelahorrocaeen_1+2+_ .Estodebidoaqueel individuopresentamayoresingresosenel primerperodo (ahorrar amenos) y, para suavizarsu consumo, decideconsumir solo parte deestenuevo ingreso y guardar la otra parte para el futuro.1.3.3. ConsumoIntertemporalyamigosSuponga un individuo que vive s olo dos perodos. La funci on de utilidad del individuo es una CRRA(Constant Relative Risk Aversion) de la formaU(C1, C2) =C111 +11 + C121 El individuo tiene un ingresoY1en el perodo 1 eY2en el perodo dos. Adem as, no tiene restriccionesde liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejar a ning un tipo de herencia despues de morir.a) Por que el individuo desea suavizar consumo?, Como se comporta la utilidad marginal del consumode esta funcion?3Respuesta:El individuo, al tenerunafunci ondeutilidadc oncavayporendecurvasdeindiferenciaconvexas,3Suponga> 0.181.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008preferira combinaciones intermediasde bienes. Esto implica que no se preeren soluciones esquina:consumir toda la riqueza en uno de los perodos. En el caso de este modelo el individuo preere teneruna trayectoria estable de consumo, por ende, suavizar a el consumo a lo largo del tiempo consumiendocantidades relativamente parejas.Si analizamosel comportamiento de la funci on con respecto al consumo tendremos que:U(C1, C2)C1= C1> 02U(C1, C2)C21= C11< 0Vemos que la funci on de utilidad es c oncava por lo que se entiende que el individuo al tener utilidadesmarginalesdecrecientespreferiratenertrayectoriasdeconsumoestables, demododehacerquesusutilidades marginalesse parezcan en los perodos de su vida.b) Determine y graque la restriccion presupuestaria del individuo. Que representa el parametro?Respuesta:La restricci on presupuestaria para este individuo vendr a determinada por lo siguiente:En el primer perodo sabemos que el ingreso es igual al consumo de ese perodo m as el ahorro(deuda):Y1 = C1 +S (1.21)Para el segundo y ultimo perodo tenemos que el individuoconsumir a todo su ingreso disponible,porlo que tendremos que:C2 = Y2 + (1 +r)S (1.22)Despejando el ahorro (deuda) de la ecuaci on (1.21) y reemplaz andola en la ecuaci on (1.22) obtenemosla restricci on presupuestaria intertemporal:C1 +C21 + r= Y1 +Y21 +r(1.23)Gr acamente:El par ametro representa la importancia relativa que el individuo le otorga al consumo futuro, o bien,el nivel de impacienciade este.c) Que ocurrira con el ahorro si es que cambia la tasa de interes?4Respuesta:Es necesario distinguir si es que el individuo es undeudornetooacreedorneto. DeudorNeto: Ante alzas en la tasa de interes vemos que el deudor neto siempre aumentara suahorro, puesto que tanto el efecto sustituci on como el efecto ingreso van en la misma direccion.Si es que la tasa de interes baja, veremos que el ahorro disminuye. AcreedorNeto: Ante alzas o bajas en la tasa de interes veremos que el efecto nal es ambiguodebidoaqueel efectosustituci onyefectoingresovanendireccioncontraria.Depender adelamagnitud de los efectos el efecto nal.4Considereelefectoingresoysustitucionademasdesielindividuoesacreedorodeudor.191.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008(1 +r)C1C2Y1 +Y21+r(1 +r)Y1 +Y2Figura 1.5: Restricci on Presupuestariad) Planteeel problemadeoptimizaci onal queseenfrentael individuo, encuentrelascondicionesdeprimer orden y resuelva cual es el consumo optimo para cada perodo.Respuesta:Planteamos el lagrangiano:L =C111 +11 + C121 +_Y1 +Y21 +r C1 C21 +r_Obtenemos las Condicionesde Primer Orden:LC1= C1 = 0 (1.24)LC2=11 + C21 +r= 0 (1.25)L= Y1 +Y21 +r C1 C21 +r= 0 (1.26)Despues de un poco de algebra llegamosa la Ecuaci on de Euler o bien:_C1C2_=1 +r1 +(1.27)DespejandoC1:C1= C2_1 +1 +r_1(1.28)Reemplazando la ecuaci on (1.28) en la ecuaci on (1.26)tenemos:201.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008C2_1 +1 +r_1+C21 +r= Y1 +Y21 +rC21 +r_(1 +)1+ (1 +r)1(1 +r)1_= Y1 +Y21 +rC2=_(1 +r)1(1 +)1+ (1 +r)1__Y1 +Y21 +r_Reemplazandoel consumo optimodel perodo2enlaecuaci on(1.27)podemosobtenerel consumooptimo del perodo 1:C1=_(1 +)1(1 +)1+ (1 +r)1__Y1 +Y21 +r_e) Exprese, nocalcule, el ahorrooptimodel individuo. Expreseadem asel ingresodisponibleparaelsegundo perodo.Respuesta:Para hacer lo pedido en el enunciado basta reemplazar lo obtenido en la parte anterior:S= Y1 C1S= Y1 _(1 +)1(1 +)1+ (1 +r)1__Y1 +Y21 +r_Vemos ademas que el ingreso disponiblepara el siguiente perodo viene dado por:Yd2= Y2 + (1 +r)SYd2= Y2 + (1 +r)_Y1 _(1 +)1(1 +)1+ (1 +r)1__Y1 +Y21 +r__f) Obtenga la elasticidad intertemporal de sustituci on y analice su resultado. Que representa esto?Respuesta:Sabemos que la Elasticidad Intertemporal de Sustituci on (EIS) viene determinada por:EIS = log_C1C2_log(1 +r)De la ecuaci on de Euler sabemos que:211.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008_C1C2_=1 +r1 +C1C2=_1 +1 +r_1log_C1C2_=1log(1 +) 1log(1 +r)log_C1C2_log(1 +r)= 1EIS =1LaEISrepresentaladisposicionasustituirconsumopresenteporfuturoantecambios enlatasadeinteres.Otra formadeverloesc omocambiaporcentualmentela raz onentre consumo presenteyfuturo antes cambios porcentuales en la tasa de interes.g) Que ocurre si es que ahora existen restricciones de liquidez?. A su juicio, Que pasara con el bienestardel individuo?Respuesta:Al existir restricciones deliquidez seleest aimpidiendoal individuoendeudarseoahorrar. Estosindudalequitaposibilidades depodersuavizarsuconsumo, loqueimplicaasuvezperdidas debienestar.Salvoel casoenqueel consumo optimocoincidaconel ingresodecadaperodoveremosque las restricciones de liquidez siempre empeoran el bienestar del individuo.1.3.4. ConsumoyrestriccionesdeliquidezConsidere un consumidor que vive dos perodos y cuyas preferencias son representadas por una funci onde utilidadU(C1, C2), dondeC1yC2denotan consumo en el primer y segundo perodo, respectivamente,y la utilidad no es necesariamente separable.Los ingresos del consumidor en los perodos 1 y 2 son Y1 y Y2, respectivamente, y no hay incertidumbre.El consumidor puede endeudarse a una tasarDy puede ahorrar a una tasarA, conrA< rD.1. Dibuje la restricci on presupuestaria del consumidor en el plano (C1, C2). Concluya que esta se componede dos rectas e identique la pendiente de cada una de ellas.Respuesta:Laspendientesson (1 + rD)paralasecci onqueimplicadeuda, dondeC1>Y1y (1 + rA)paralasecci ondelarestricci onpresupuestariaqueimplicaahorroenel primer periodoconC1 |1 +rD| (1.38)El graco de la situacion se muestra en la gura 1.7. Por construccion hemos denido que el individuoconsumir adondeambaspendientessecruzan, entonces, al aumentars oloY1, C1aumentar aenlamisma proporci on. Dado que no hemos movidoY2, el aumento deY1no tendra efectos sobreC2.5. Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en pases en desarrollo, discuta utilizando sus resultadosde las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son mas relevantes en pases en desarrollo o enpases industrializados.Respuesta:Si labrechaentrerDyrAesmuygrandeysecumplequerD>rA, sucedequeesmuycaroen-deudarseyel retornodel ahorroesmuybajo(relativamente). Al serlabrechagrandeentretasas,existeun conjunto masgrandedeagentesqueoptanporconsumirsudotaci onyseutilizamenoselmercado nanciero para suavizarsu consumo lo cual genera bajosnivelesdeahorro ydeuda.En lospaises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que lospases industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un pas endesarrollo, ya existe una correlaci onpositiva entre ahorro y crecimiento.6. Notando que el caso de restricci on total de liquidez (no hay acceso a credito) corresponde a rD = +,vuelva a responder las partes anteriores para este caso.Respuesta:Enestecaso, losindividuospuedens oloahorrar, ygr acamentesepuededescribirenlasiguientegura.Vemosqueel mercadonancieroseram asrestrictivoyqueselimitana unm aslasdecisiones deconsumo intertemporal por cuanto los agentes suavizar an dicho consumo en menor medida, dadas suspreferencias.241.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.8: Restricci on Intertemporal conrD = +Y1, C1Y2, C2Y1 = C1Y2 = C2(1 +rA)(1 +rD) = +1.3.5. AhorroyCrecimientoConsidere a un individuo que vive por tres perodos: en el perodo 1 su ingreso es Y1 = Y , y en el perodo2elingreso crece aunatasa,esdecirY2=Y (1 + ).Finalmente,enelperodo 3sejubilaynotieneingresos, o seaY3 = 0. La tasa de interes en la economa es 0. Por otra parte su utilidad es tal que siemprequerr a un consumo parejo durante toda su vida (es decir,C1 = C2 = C3).1. Calcule el consumo y ahorro (S1,S2yS3) en cada perodo.Respuesta:Primero, encontramos la restriccion presupuestaria,3

i=1Yi= Y+ (1 +)Y+ 0 (1.39)3

i=1Yi= (2 +)Y (1.40)Como sabemos queC1 = C2 = C3,Ciser aCi=Y (2 +)3(1.41)(1.42)Dado que ahorro esSi = YiCi,S1= Y Y (2 +)3S2= Y (1 +) Y (2 +)3S3= Y (2 +)3251.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20082. Suponga que en esta economa no hay crecimiento de la poblaci on. Tampoco crecen los ingresos entregeneraciones. Que pasa con el ahorro agregado en cada momento? Interprete su resultado.Respuesta:Yaquenohaycrecimientodelapoblaci onni del ingreso, el ahorroparacualquierperodoser alasuma de los ahorros para cada perodo de la vida del individuo.S1 +S2 +S3 = Y Y (2 +)3+Y (1 +) Y (2 +)3Y (2 +)3= 0 (1.43)Vemos que el ahorro agregado sera cero en cada momento.3. Suponga que se introduce un sistema de pensiones donde se obliga a cada individuo joven y en edadmediaaahorrar unamagnitudA,yledevuelven2Acuandoviejo.Quepasaconelahorro delosindividuos? Tiene alguna implicancia sobre el ahorro o la conducta de los individuos la introducci onde un sistema de seguridad social?Respuesta:Lorelevanteenestecasoesverquenohacambiadoel valortotal delosrecursosdelaspersonas.Partamoscomparandoelahorroobligatoriocon elahorro optimo queya escogeelindividuoen cadaetapadesuvida. Si secumpleque2AY (2+)3, tenemosqueel consumoenel ultimoperiodoesmayoral deseadoyhaylosagentessuavizanigual peroahoralosviejosletraspasanrecursosalosj ovenes. Dado que no hay restricciones al mercado de capitales, y el valor del ingreso permanente nohacambiado,el ahorroforzadonotienening unefectosobreel consumoniel ahorroagregado,s olosobre quienes son los ahorradores.4. Suponga quela poblaci oncreceaunatasan.Calculeelahorro agregado delaeconoma (cuidedeponderar adecuadamente el ahorro de cada generacion).Respuesta:Hastael momento, lapoblaci onnocreca(apenas nacaunni no, moraunviejo) por loquelarestricci on presupuestaria del individuo aplicaba a la economa entera. Ahora, el crecimiento es positivopor lo que mientras los individuos cumplan su restricci on presupestaria, el agregado va a depender deque sector (ahorrantes o deudores) son los que est an creciendo.Si en el periodot = 0 el ingreso eraY , entonces:

St= (1 + n)tS1 + (1 +n)t1S2 +S3(1 +n)t3

St=_(1 +n)2_Y Y (2 +)3_+ (1 +n)_Y (1 +) Y (2 +)3_Y (2 +)3_El signo del ahorro depende deyn.(1 +n)2_Y Y (2 +)3_+ (1 +n)_Y (1 +) Y (2 +)3_Y (2 +)3> 0(1 +n)2[1 ] + (1 + n) [1 + 2] > 2 +(1 +n) [(1 +n)(1 ) + (1 + 2)] > 2 +3 +n(1 ) > 0Vemosquemientrasambasseantasaslom asprobableesqueaumenteel ahorroagregadocuandoaumenta el numero de personas que generan recursos (a un as, depender a de los valores que adoptenn y). Suponemos que se cumple para el resto del ejercicio.5. Cu al es la tasa de crecimiento del ingreso agregado en esta economa? Muestre como vara (sube obaja) el ahorro agregado con un aumento en la tasa de crecimiento de esta economa. Interprete suresultado, y comp arelo con el obtenido en b.261.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Respuesta:El ingreso total de esta economa, en el perodot, ser a:Yt= Y (1 +n)t+Y (1 +)(1 +n)t1= Y (2 +n +)(1 + n)t1(1.44)En el periodoYt+1= Y (1 +n)t+1+Y (1 +)(1 +n)t= Y (2 +n +)(1 +n)t(1.45)La tasa de crecimiento en esta economa seria de:Y=Y (2 +n +)(1 +n)tY (2 +n + )(1 +n)t1Y (2 +n +)(1 +n)t1= nEl ahorro tambien crece a la misma tasa.1.3.6. ConsumoentresactosSupongaqueunindividuoquevivetres perodos(ni nez, adultezyvejez, denotadospor 1, 2, y3,respectivamente) tiene la siguiente funci on de utilidad intertemporal:U(c1, c2, c3) =c111 +c121 +2c131 (1.46)donde = 1/(1 +), con 0 < , < 1. La restricci on intertemporal del individuo es:c1 +c21 +r +c3(1 +r)2= y1(1 t1) +y2(1 t2)1 +r+y3(1 t3)(1 +r)2(1.47)dondeti (0, 1) es un impuesto a los ingresos del perodoi, i = {1, 2, 3}1. Suponga queti = t i. Encuentre las Condiciones de Primer Orden del problema planteado.Respuesta:Seg un lo visto en clases el problema general:maxN

i=0iu(ci+1)s.aN

i=0yi+1(1 ti+1)(1 +r)itiene una CPO conocida (llamada Ecuaci on de Euler), como sigue:u

(ct) = (1 +r)u

(ct+1)conu

> 0; u

< 0. Por tanto para el caso particular de este problema tenemos que las CPO son:_c2c1_=_c3c2_= (1 +r) (1.48)271.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20082. sumaquer=. Encuentreunaexpresionparaci i= {1, 2, 3}.Enotraspalabrasdeterminelasdemandasmarshallianasporconsumoencadaperodo. Leser a util recordarque Ni=0_11+r_i=1+rr_(1+r)N+11(1+r)N+1_Respuesta:Sir = , entonces(1 +r) = 1. Luego, la condici on de primer orden (1.48), quedac1 = c2 = c3 = cAdemas sabemos que la sucesi onN

i=0_11 +r_i=1 +rr_(1 +r)N+11(1 +r)N+1_Por tanto, reemplazandola condicionde primerordenen la restricci onpresupuestaria (1.47),y conun poco de algebra llegamosa que:c1 = c2 = c3 = c =_r(1 +r)2(1 +r)31_ _y1(1 t) +y2(1 t)1 +r+y3(1 t)(1 +r)2_3. El gobierno ha decidido que bajar a los impuestos durante el perodo 1, en la misma magnitud que lossubir a en el perodo 3. Suponga que esa magnitud es de tama no (0, 1), tal quet (0, 1). Portanto, t1 = t, t2 = t, y t3 = t+. Muestre las demandas marshallianas de consumo en cada perodo.Compute la diferencia entre este resultado y el resultado de la pregunta anterior. Cu al cantidad esmayor?Respuesta:Computando la diferencia tenemos que:cccb =_r(1 +r)2(1 + r)31__y1y3(1 +r)2_. .DLa cantidad mayor depender a del valor deD.4. Los ingresos en el ciclo de vida de este individuo son tal que:y3 = 0 < y1< y2Como cambia su respuesta en la pregunta anterior? Por que?Respuesta:Siy3 = 0, entoncescccb =_r(1 +r)2(1 +r)31_y1> 0Es decir el consumo de todos los perodos aumenta en esa magnitud. Esto debido a que la disminuci onde impuestos al principio de su vida (perodo 1), es reconocida por el individuo como un aumento ensu ingreso disponible. El tema es que al no tener ingresos durante su vejez, nunca tuvo que pagar nadaa cambio del aumento de ingreso disponibleque recibi o en su ni nez (impuesto ad-valoremt 0 = 0),por tanto el ingreso permanente aumento. Esto trae consigo que el consumo en TODOS los perodosaumentara.Estoserevertiraenel casoquey3(1+r)2>y1,puesel aumento del impuestoensuvejezhar aqueentotal el impuestoquedeber apagar(envalorpresente)ser amayorqueladisminuci onde impuestos que recibio en la ni nez. Esto debidoa que el impuesto se gravar a sobre un ingreso basemayor.281.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20081.3.7. Detallesdelaoptimizaci ondelconsumoSuponga que la funci on de utilidad de un agente puede representarse de la formaU=n

i=0i u(ci+1) (1.49)Donde =11+. Asuma queU()

> 0 y queU()

< 0. Suponga que la restricci on presupuestaria que esteindividuo enfrenta es de la formaN

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_ =N

i=0_1(1 +r)i+1ci+1_1. Plantee el problema de Maximizacion que enfrenta el individuo y trad uscalo a un lagrangeanoRespuesta:maxciN

i=0iu(ci+1) s.a.N

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_ =N

i=0_1(1 +r)i+1ci+1_Luego, el lagrangeano puede ser expresado comoL =N

i=0iu(ci+1) +_N

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_N

i=0_1(1 +r)i+1ci+1__2. Resuelva el problema planteado en (3.2.6) y obtenga la ecuaci on de Euler.Respuesta:Obtenemos las CPOsLci= iu

(ci) 1(1 +r)i= 0iu

(ci) = 1(1 +r)i(1.50)Lci+1= i+1u

(ci+1) 1(1 +r)i+1= 0i+1u

(ci+1) = 1(1 +r)i+1(1.51)Dividiendo (1.50) por (1.51)ii+1u

(ci)u

(ci+1)=#1(1 +r)i+1(1 +r)i1u

(ci)u

(ci+1)= (1 +r)u

(ci)u

(ci+1)= (1 +r)3. Asumiendo quer = , encuentre una expresion paraci en funci on deyi y otros par ametros.291.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Respuesta:Sir = y recordando que =11+, entoncesu

(ci)u

(ci+1)=11 +(1 +r)u

(ci)u

(ci+1)=$$$$$$$X111 +r(1 +r)u

(ci) = u

(ci+1) (1.52)Comosabemosquelafunci ondeutilidadcumplequeU

(ci)> 0; ci> 0,sabemosqueparaquesecumpla (1.52)ci = ci+1i [0, n 1] (1.53)Como sabemos queci = ci+1 = c, podemos reemplazar enN

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_ =N

i=0_1(1 +r)i+1ci+1_N

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_ =N

i=0_1(1 +r)i+1 c_N

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_ = cN

i=0_1(1 +r)i+1_N

i=0_1(1 +r)i+1yi+1__N

i=0_1(1 +r)i+1__1= c = ci(1.54)4. Suponga que el valor presente de los ingresos es igual a . Encuentre una expresion para ci en funci onde. Asuma queN Respuesta:En este caso, la respuesta esN

i=0_1(1 +r)i+1yi+1_. ._N

i=0_1(1 +r)i+1__1. .r= c = cir = c = ci(1.55)5. Este modelo nos muestra, entre otras cosas, que los individuos estan mejor cuando se pueden endeudar.Asumiendoquelossupuestosdeestemodelosecumplen(enunciecualessecumplen)Cual eslaconsecuencia de este resultado sobre la estabilidad de la economa? En particular, Es una economacon capacidad de contraer deudas una economa mas o menos volatil?Respuesta:Suponiendo que los individuosson agentes racionalesy, adem as, que existe la profundidadsucientecomo para tener un mercado de capitales perfecto, la teora nos indica que:Los individuos te oricamente deberan poder suavizar de mejor manera su consumo, absorbiendo shocksahorrando o des-ahorrando seg un sea la direcci on del shock.Esto hace que, a pesar de que la economa presente vaivenes, el nivel de consumo se mantendra rela-tivamente estable, haciendo que la economa se vuelva menos vol atil301.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.9: Restricci on Presupuestaria IntertemporalC2C1V (1 + r)Y2VY1Pendiente= (1 + r)1.3.8. ConsumoendosperodosUn individuo vive s olo dos perodos y luego muere. Ante esta situaci on, el le pide a ud. que le diga comooptimizar su consumo. El individuo tiene una funci on de utilidad de la forma:U(C1, C2) =C111 +11 +C121 (1.56)El individuo tiene un ingresoY1en el perodo 1 eY2en el perodo dos.Ademas, no tiene restriccionesde liquidez, por lo que puede ahorrar o desahorrar, y no dejar a ning un tipo de herencia despues de morir.1. Obtenga la restricci on presupuestaria. Graque y explique que pasa con el ahorro ante un cambio enla tasa de interes. Considere el efecto sustituci on y el efecto ingreso.Respuesta:Y1= C1 +S (1.57)C2= S(1 +r) +Y2(1.58)DespejandoSde (2) y reemplazando en (3)C2= (1 +r)(Y1 C1) +Y2C1 +C21 +r= Y1 +Y21 +rLa reacci on ante un aumento enr provoca dos efectos:EfectoSustituci on: Si la tasa de interes sube, el consumo presente se hace relativamente m ascaroqueel consumofuturo.Estoprovocaunadisminuci ondeC1,esdecir, unaumentoenS,sin inportar si el individuo es deudor o ahorrador.EfectoIngreso: El efecto ingreso depende si el individuo es deudor o ahorrador. Si es deudor,un aumento en la tasa de interes lo lleva a aumentar el ahorro, pues el aumento derhace m ascaroendeudarse. Siesahorrador, el efectoingresoir aensentidoopuesto; El individuopuedeahorrar menos ahora, pues el retorno del ahorro ha aumentado.311.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera20082. Planteeel problemadeoptimizaci onal queseenfrentael individuo, encuentrelascondicionesdeprimer orden y resuelva cual es el consumo optimo para cada perodo.Respuesta:Planteamos la optimizacion,L :C111 +11 +C121 +_Y1 +Y21 +r C1 Y21 +r_(1.59)Obtenemos las CPOs,LC1=11 +(1 +)C1 = 0 (1.60)LC2=11 +11 +(1 +)C211 +r = 0 (1.61)de (1.60) y (1.61),C1= (1.62)C2=1 +1 +r (1.63)de (1.62) y (1.63),_C1C2_=1 +1 +r(1.64)C1=_1 +1 +r_1C2(1.65)Reemplazando (1.65) en la restricci on,C2=_Y1 +Y21 + r___1 +1 +r_111 +r_(1.66)C1=_Y1 +Y21 + r_(1 +)1_(1 +r)1+ (1 +)1_(1.67)3. Obtenga la elasticidad intertemporal de sustituci on (EIS).EIS = ln(C1/C2) ln(1 +r)Tip: Utilize las CPOs...Respuesta:De las CPOs obtuvimos que,_C1C2_=_1 +1 +r_Aplicamos logaritmo,ln_C1C2_= ln_1 +1 +r_321.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.10: Restricci on de Liquidez 1C2C2C1C1V (1 + r)Y2VY1UU

Pendiente= (1 + r) ln_C1C2_ = ln(1 +) ln (1 +r)ln_C1C2_ =ln(1 +) ln 1 +rDerivamos con respecto a ln(1 +r), ln (C1/C2) ln(1 +r)= 14. Que sucede si el individuo tiene restricciones de liquidez? Ilustre gr acamente y explique.Respuesta:Elefectodeestarestricciondependesiel individuoesahorradorodeudorneto.Si esahorrador,latrampa de liquidez no tendr a efectos sobre el comportamiento del individuo (restricci on inactiva). Encambio,si elindividuoesdeudorneto, la restricci onesactiva yesto cambiala elecci ondeconsumodel individuo.Si el individuo desea endeudarse, las restricciones de liquidez no se lo permitir an. Esto lo obligar an aconsumir solo suY1, disminuyendo as su nivel de utilidad.1.3.9. Restriccionesdeliquidez,seguridadsocialybienestarEn este problema estudiaremos c omo las restricciones de liquidez y la existencia de sistemas de seguri-dad social afectan el bienestar de los individuos. Para ello, supondremos una economa compuesta por tresclases deindividuos:j ovenes, desde elnacimientohasta los 20 a nos; adultos, desdelos 21 hasta los60, yviejos, desde los 61 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada a no nace un nuevo joven y muere un viejo.De esta forma, en la economa hay 70 individuos: 20 j ovenes, 40 adultos y 10 viejos.Los individuos reciben anualmente ingresos iguales aYAcuando son adultos, mientras que cuando sonj ovenes recibenYJ=14YA al a no, y en la vejez su ingreso es igual aYV=15YAanuales.La funci on de utilidad de los habitantes de esta economa viene dada por:331.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.11: Restricci on de Liquidez 2C2C1V (1 + r)Y2VY1UPendiente= (1 + r)C2C1U =70

t=1logCtDondeCtrepresenta el consumo en cada perodo. Considere para todo el problema quer = = 0 ( esla tasa de descuento).a. Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimizaci onque afronta el individuo, incorporando la restriccion presupuestaria (esta ultima no es necesario de-ducirla) y obtenga el consumo optimoCtpara cada perodo. Derive expresiones para el ahorrostalo largo de la vida del individuo y para el ahorro agregado St.Respuesta:El individuo enfrenta distintos ingresos a lo largo de su vida: durante los primeros veinte a nos enfrenta1/4Y(conY= YA). Los siguientes cuarenta a nosenfrentaY , y en los ultimos dieza nosdesu vidaobtiene 1/5Y . Por principio de no saciedad, el individuo gasta todo su ingreso en consumo, por lo quetenemos que la restricci on puede plantearse como:204Y+ 40Y+ 105Y =70

t=1Ct5Y+ 40Y+ 2Y =70

t=1Ct47Y =70

t=1CtPlanteamos el lagrangeano para resolver el problema de maximizaci on:L :70

t=1log Ct +_47Y 70

t=1Ct_Resolviendo las CPO tenemos:341.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008LCi=1Ci = 0LCj=1Cj = 0CjCi= 1 Cj= CiEsto, para cualquier periodo. Reemplazando en la restricci on tenemos:47Y = 70Ct Ct=47Y70Entonces, el ahorro para cada periodo de juventud queda denido como:sJ= YJ Ct =Y4 47Y70= 59Y140Para cada periodo de adultez:sA = YA Ct = Y 47Y70=23Y70Y para la viejetud:sV= YV Ct =Y5 47Y70= 33Y70En el agregado, tenemos:St = 59Y140 20 + 23Y70 40 33Y70 10 = 0b. Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de formatal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimizaci on que enfrenta el individuo en estecaso y calcule la trayectoria optima del consumo Ct, el ahorro st y el ahorro agregado de la economaSt. Como se compara con el calculado en la parte a)?Respuesta:Dadoquelosindividuosnopuedenendeudarseensujuventud, el consumoduranteeseperiododelavidaser aigual al ingresoquerecibanencadamomentot.Porlotanto,encadaa nodejuventudsuconsumoser aigual a: Ct=YJ=Y/4cont =1 . . . 20. Enel restodesuvida, el individuointentara suavizar su consumo, de la forma:40Y+ 105Y =70

t=21Ct42Y =70

t=21CtCi= Cj42Y = 50Ct Ct=21Y25351.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Por lo que el ahorro durante la adultez ser a:sA = YA Ct = Y 21Y25=4Y25Y en la vejez:sV= YV Ct =Y5 21Y25= 16Y25El ahorro agregado es entonces:St = 0 20 + 4Y25 40 16Y25 10 = 0Elahorroagregadosemantieneen cero,pero ahoraelahorroenla adultezesmenorqueenelcasoenquenotenarestriccionescrediticiasdurantelajuventud.Estoocurre,yaquenopuedesuavizarconsumo durante sus a nos juveniles.c. Calcule la utilidad de los individuos en los casos a) y b). En que caso es mayor la utilidad? Expliquesu resultado5.Respuesta:Para el primer caso, la utilidad queda denida de la forma:U=70

t=1log Ct = 70 log_47Y70_En el segundo caso, tenemos:U =20

t=1log CJ +70

t=21log Ct = 20 log_Y4_+ 40 log_21Y25_Desde ya vemosque para cualquier valordeY , el primer caso entrega una mayorutilidad (haganlaprueba si es que no nos creen). Esto ocurre porque en el segundo caso, el individuo se enfrenta a unarestricci onintertemporal m asacotada, al notenerposibilidades deendeudamientoensujuventud.Esto lo limita en cuanto al nivel de consumo que el quisiera conseguir para ese periodo de su vida, yaque es mayor a lo que puede acceder con el ingreso que recibe en ese momento.d. Discuta que sucede con el ahorro agregado en caso que la poblacion crezca a una tasa den% anual6cuandonohayrestricciondeliquidezycuandos lahay. Est anmejor losindividuoscuandolaeconoma tiene mayor capacidad de ahorro?Respuesta:Hastael momento, lapoblaci onnocreca(apenasnacaunni no, moraunviejo). Ahora, el crec-imiento es distinto decero y positivo.Eso quiere decirque de un a noa otro, elendeudamiento va acrecerenunn%,porloqueel ahorroagregadovaasernegativo.Estonoocurreconrestriccionescrediticias, ya que los jovenes no se podran endeudar. De todas maneras, individualmente ocurre quelaspersonasest anmejorsinlasrestriccionescrediticias,yaquepuedenalcanzarunmayornivel deutilidad.5Ayuda: Puedeserle util recordarqueenel casodefuncionesconcavassecumplelarelacionf(x + (1 )y)>f(x) +(1 )f(y).6Esdecir,sienela notnacenPt personas,entoncesent + 1nacenPt+1= (1 + n)Pt.361.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008e. Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a pagar unimpuesto de suma alzada =16YA durante su juventud y adultez que se les devuelve ntegramente enforma de transferencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias de ahorro y consumo.Tiene alg un efecto sobre la conducta del individuo este mecanismo de seguridad social? En que casosse podra justicar la existencia de mecanismos de seguridad social?Respuesta:Reconstruyendo la restricci on presupuestaria para este caso, tenemos que, para el periodo de juventud,elingreso sera: Y/4 Y/6 =Y/12. Para laadultez, tenemos: Y Y/6 = 5Y/6. Por ultimo,para elperiododelosachaquestenemosquecadaperiodorecibir aY/5, peroadem as,lesser adevueltotodoeseimpuestopagadodurantesuvida, queseraigual a60 Y/6 = 10Y .Porlotanto,larestricci onintertemporal del individuo queda descrita como:2012Y+ 40Y 56 + 105Y+ 10Y =70

t=1Ct53Y+ 1003Y+ 2Y+ 10Y = 70Ct35Y+ 12Y = 70Ct Ct=47Y70El consumo optimo no cambia. El ahorro durante cada periodo de la vida es como sigue:sJ= YJ Ct =Y12 47Y70= 247Y420sA = YACt =5Y6 47Y70=17Y105Y el agregado sigue sumando cero.Como vemos, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones optimas de consumo de el individ-uo.Estemecanismodeseguridadsocial puedeservirparaunasociedadconmuchosindividuospocoprevisores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por el consumo actual.1.3.10. SeguridadsocialConsidere una economa donde todos los agentes se comportan de acuerdo a la teora del ciclo de vida odel ingreso permanente. Suponga que el gobierno obliga a todos a ahorrar una fracci on de su ingreso (que sellama cotizacion previsional). Cual cree usted que ser a el efecto sobre el ahorro de la economa (comparandocon el caso donde a nadie se le exige ahorrar) en las siguientes situaciones:a. Todos los agentes tienen pleno acceso al mercado nanciero y puede pedir prestado o ahorrar todo loque quieran a una tasa de interes dada (igual a la del retorno del fondo de pensiones).Respuesta:Si losindividuos secomportandeacuerdoconlateoradel ciclodevida, nohayrestriccionesdeliquidezylatasaderetornoeslamisma, entonceslaimplementaci ondeunsistemadeseguridadsocial no tiene ning un efecto sobre el ahorro. Los individuos ya estaran ahorrando lo necesario comopara mantener el nivel de ingreso constante durante su vida.b. Hay una fraccion importante de agentes (j ovenes), que no pueden pedir prestado todo lo que quisieran.Respuesta:Si existen restricciones de liquidez, los individuosque desean desahorrar no pueden hacerlo, por lotanto, el ahorroaumenta. Si aestolesumamoslaobligaci ondeahorrarunafracciondel ingreso,aquellosqueahorranestar anindiferentes(en lamedidaqueelahorroforzosono sea excesivo)ylosque no ahorran se ver an forzadosa ahorrar. El efecto nal es un aumento a un mayor del ahorro.371.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008c. En el caso anterior, c omo podra variar su respuesta si los padres se preocupan por el bienestar de sushijos y les pueden transferir recursos mientras estan vivos (o sea, pueden transferir no s olo a travesde la posible herencia).Respuesta:Si los padres hacen transferencias a sus hijos, la restricci on de liquidez desaparece. Ahora los j ovenespueden suavizar su consumo, por lo que la obligaci ona ahorrar no tendra efecto sobre el ahorro.d. Considereahoraelsiguientesupuestosobreelcomportamientodelaspersonas:cuandolleganalaedad de jubilar y dejan de trabajar, ellos saben que el gobierno no los dejar a morirse de hambre y lesproveer a transferencias en caso de no tener ingresos. Suponga en este contexto que el gobierno obliga ala gente a ahorrar y les entrega la plata s olo cuando jubilan. Que cree usted que pasa con el ahorro?.Le parece esta una racionalizacion util para justicar la existencia de un sistema de pensiones?Respuesta:Enesteescenario, losagentesnotienenincentivosparaahorrar; laconducta optimaenestecasoesnoahorrar. Luego, laimplementaci ondeunsistemadeseguridadsocial provocaraunaumentoen el ahorro.Este argumento es bastante razonable, pues un sistema de seguridad social evita que lasociedad se haga cargo de conductas indeseables.1.3.11. ConsumoyrestriccionesdeliquidezConsidere un consumidor que vive dos perodos y cuyas preferencias son representadas por una funci onde utilidadU(C1, C2), dondeC1yC2denotan consumo en el primer y segundo perodo, respectivamente,y la utilidad no es necesariamente separable.Los ingresos del consumidor en los perodos 1 y 2 son Y1 y Y2, respectivamente, y no hay incertidumbre.El consumidor puede endeudarse a una tasarDy puede ahorrar a una tasarA, conrA< rD.a) Dibuje la restricci on presupuestaria del consumidor en el plano(C1, C2). Concluya que esta se compone de dos rectas e identique la pendiente de cada una de ellas.Respuesta:Laspendientesson (1 + rD)paralasecci onqueimplicadeuda, dondeC1>Y1y (1 + rA)paralasecci ondelarestricci onpresupuestariaqueimplicaahorroenel primer periodoconC1 |1 +rD| (1.77)391.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.13: Efecto de YY1, C1Y2, C2YY2 = C2(1 +rA)(1 +rD)Lagura1.13muestrael problemaencuesti on. Porconstruccionhemosdenidoqueel individuoconsumir adondeambaspendientessecruzan, entonces, al aumentars oloY1, C1aumentar aenlamisma proporci on. Dado que no hemos movidoY2, el aumento deY1no tendra efectos sobreC2.e) Notando que la brecha entre rD y rA es mayor en pases en desarrollo, discuta utilizando sus resultadosde las partes anteriores, si las restricciones de liquidez son mas relevantes en pases en desarrollo o enpases industrializados.Respuesta:Si labrechaentrerDyrAesmuygrandeysecumplequerD>rA, sucedequeesmuycaroen-deudarseyel retornodel ahorroesmuybajo(relativamente). Al serlabrechagrandeentretasas,existeun conjunto masgrandedeagentesqueoptanporconsumirsudotaci onyseutilizamenoselmercado nanciero para suavizarsu consumo lo cual genera bajosnivelesdeahorro ydeuda.En lospaises en desarrollo, es de esperar que tengan una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que lospases industrializados y, por ende, menores incentivos al ahorro. Este punto es vital para un pas endesarrollo, ya existe una correlaci onpositiva entre ahorro y crecimiento.f) Notando que el caso de restriccion total de liquidez (no hay acceso a credito) corresponde a rD = +,vuelva a responder las partes anteriores para este caso.Respuesta:En este caso, los individuospueden s olo ahorrar, y gr acamente se puede describiren la gura 1.14.Vemosqueel mercadonancieroseram asrestrictivoyqueselimitana unm aslasdecisiones deconsumo intertemporal por cuanto los agentes suavizar an dicho consumo en menor medida, dadas suspreferencias.1.3.12. Franco,Miltonymuchadiversi onSuponga un agente representativo que recibe en cada perodo ingresos laborales Yt, e ingresos nancierosque vienen de las tasas de retorno r de los activos At que posee al principio del perodo t (la tasa de intereses constante). Suponga que el agente tiene una funci on de utilidad del tipoU=N

i=0 U(Ct+i)401.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.14: Restricci on Intertemporal conrD = +Y1, C1Y2, C2Y1 = C1Y2 = C2(1 +rA)(1 +rD) = +a) Escriba la restricci on del individuo en el perodot y consoldela con la del perodot + 1.Respuesta:Luego dado que el ingreso total debe ser igual al consumo m as el pago de impuestos m as la acumulaci onde activos, tenemos que la restricci on presupuestaria para cada momento t ser a:yl,t +rAt= Ct +At+1 At(1)Reescribiendo la ecuacion tenemos:At+1= yl,t +At(1 +r) Ct(2)Adelantandoenun periodola expresion(2),tenemoslarestricciondel segundoperodo,pues(2)secumple para todo t:At+2= yl,t+1 Ct+1 + (1 +r)At+1Luego reemplazando enAt+1(2), queda:At+2= yl,t+1 Ct+1 + (1 +r)_yl,tCt + (1 +r)At_At+2= yl,t+1 Ct+1 + (1 +r)yl,t (1 +r)Ct + (1 +r)2At(1 +r)At = Ct Yl,t +Ct+1 yl,t+11 +r+At+21 +rCon lo que tenemos la relaci on entre los dos perodos411.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008b) Generalice para mostrar la restriccion presupuestaria para N perodos y luego generalice para mostrarla restricci on presupuestaria para perodos.Respuesta:Luego para N periodos, reemplazando recursivamente tenemos:(1 +r)At=N

i=0Ct+iyl,t+i(1 +r)i+At+N+1(1 +r)NLuego si imponemos que el agente s olo piensa en el y no deja nada para despues de su muerte (principiode la no saciacion),At+N+1(1 +r)N= 0Nota: Otra posibilidades asumir que N es sucientemente grande como para que este valorconverjaa 0, es decirlimNAt+N+1(1 +r)N= 0A este tipo de modelos se le llama de horizonte innitoPor lo que la restricci on presupuestara intertemporal del agente representativo queda de la siguienteforma:(1 +r)At=N

i=0Ct+iyl,t+i(1 +r)ilo que es igual a:N

i=0Ct+i(1 +r)i=N

i=0yl,t+i(1 +r)i+ (1 +r)Atc) Supongaque el individuodeseaplanicar unatrayectoriade consumoplanaoconstante. Quesupuesto se requiere para poder asumir esto?7Respuesta:Se requiere que el factor de descuento intertemporal sea igual a la tasa de interes ( = r)d) Calcule el nivel de consumo por perodo para un individuo que vive N perodos y la tasa de interes esigual al factor de descuento intertemporal.Respuesta:Sisuponemosunmismonivel deconsumoCparatodoperiodot(supuestodesuavizaciondel con-sumo), tenemos que:(1 +r)At +N

i=0yl,t+i(1 +r)i=N

i=0Ct+i(1 +r)i(1 +r)At +N

i=0yl,t+i(1 +r)i= C_1 1(1+r)N+11 11+r_C =_(1 +r)At +N

i=0yl,t+i(1 +r)i__r1 +r__(1 +r)N+1(1 +r)N+11_7Puedesuponer,paraestapregunta,unafunciondeutilidadlogartmica.421.3. MATEMATICOSDECONSUMO MacroeconomaI-Primavera2008e) Interpreteel resultadodel puntoanterior, distinguiendoentreel nivel deconsumodeagentesdehorizonte innito y nito.Respuesta:En este modelo de tiempo nito, la persona se consume un poco m as que la anualidad de su riqueza,ya que tiene que depreciar el capital con el objeto de llegar al nal de su vida sin recursos que no us o.Loquenosdiceel modelodehorizonteinnitoesqueunindividuoquedistribuyesuconsumoalolargodesuvida(ytieneunavidasucientementelarga), terminaconsumiendolaanualidaddesuriqueza, la que corresponde a la tasas de interes que rinde la totalidad de su riqueza.f) RelacionesusresultadosconlasdosteorascanonicasdeconsumodeFrancoModigliani yMiltonFriedman. Cuales son las diferencias entre las dos teoras?Respuesta:Losresultadosserelacionanenqueel individuoplanicael consumodesuvidadeacuerdoatodoslosingresosproyectadosquetendr aenella(suavizaconsumo).Ladiferenciaentreestasdosteorases que una se enfoca en el ciclo del agente y la otra en la diferencia entre los ingresos que eset recibe(permanentes o transitorios).431.4. MATEMATICOSDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera20081.4. MatematicosdeInversi on1.4.1. QdeTobin:Versi onPlainvanillaSuponga rmas que tienen la siguiente estructura de ajuste de costos:(It Kt)22Se sabe ademas que la funci on de producci on es a siguiente:f(K, L) = K+La) Determine entre que valores deben uctuar y. Muestre ademas, que el invertir m as har a que loscostos crezcan a tasas crecientes (SupongaIt/ > Kt). A que corresponde?.Respuesta:Comosabemos, lafunci ondeproducciondebetenerretornosdecrecientesaescalaparaqueexistasolucion. Es por esto que 0 < , < 1 (no puede existir un onegativo ya que implicara productomarginal negativoparacualquiernivel deKoL). Adem asdebecumplirseque + Kt, por lo que se cumple queCIt> 0.Ahora debemos ver el comportamiento de la segunda derivada:2CI2t= 1Es f acil ver que la segunda derivadatienesigno positivo.Entonces, queda demostrado quelos costosdeajustesonconvexosocomolodecael enunciado, el invertirm ashar aqueloscostoscrezcanatasas crecientes.Porotrolado, el par ametrocorrespondealatasadedepreciaci on, lacual debeestarenel rango0 1.b) Encuentre las ecuaciones de movimiento del valor q y del capital, interprete y graque detalladamenteel diagrama de fases. Para simplicar, normalice el precio a 1.Respuesta:Primero debemos plantear la ecuaci on de maximizaci on de benecios de la rma:Max

s=0_11 +r_s_Ks+Ls ws LsIs (Is Ks)22_s.a. Ks+1 Ks = Is Ks441.4. MATEMATICOSDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera2008Armando el Lagrangiano:L =

s=0_11 +r_s_Ks+Ls ws LsIs (IsKs)22+qs(Is KsKs+1 +Ks)_Ahora derivamoscon respecto a las variablesde decision:LIs= [1 (Is Ks) +qs] _11 +r_s= 0qs1 = Is Ks = Ks+1 KsK = qs1Esta ecuaci on corresponde a la del movimiento del capital.LKs+1= (qs) _11 +r_s+_11 +r_s+1_ K1s+1 (Is+1 Ks+1) qs+1 +qs+1 = 0qs +qs r = _ K1s+1+(Is+1 Ks+1) qs+1 +qs+1De la ecuaci on del movimiento de capital sabemos que qs1 = Is Ks as que podemos adelantarloun periodo y obtener que qs+11 = Is+1 Ks+1. Reemplazando este termino en la ultima ecuaci on:qs +qs r = _ K1s+1+(qs+1 1) qs+1 +qs+1qs +qs r = _ K1s+1 +qs+1qs+1 qs= + qs r K1s+1 q = + qs r K1s+1Esta es la ecuaci on de movimiento del valor q. El diagrama de fases es el de la gura 1.15.c) Imagine que se anuncia que el par ametro crecera a

(con

> ) el pr oximo periodo. Suponga quea pesar del crecimiento del par ametro se siguen manteniendo las condiciones necesarias para desar-rollar el problema. Interprete este incremento y graque detalladamente la dinamica en el diagramade fases.Respuesta:En lagura 1.16vemosque el incremento en el valordel par ametroesequivalenteaun aumentodelaproductividaddel capital. Porlotanto, al seranunciado, veremosqueexisteunsaltoinicialenel valor delaq debidoaunaumentoenel valor delas empresas. Posteriormentelas rmasir anajustandosunivel decapital (a uncuandolamedidanosehayaconcretado)conel objetodeirgradualmentehaciael nuevoequilibrioynodeunavez(esimportantemencionarqueel ajustegradual decapital quecomienzaantesdequelamedidaseconcretenoimplicaquesehayallegadoal brazo estable del nuevo equilibrio,se est a en caminohacieel). Esto debido a los costos de ajusteconvexos,valedecir,loscostosdeajustecrecenatasascrecientesconrespecto alainversi onporloque las rmas preferir an hacer ajustes graduales de capital.451.4. MATEMATICOSDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.15: Diagrama de FaseQK1K = 0Q = 0Figura 1.16: Diagrama de FaseqK1 K = 0 q = 0 q

= 0461.4. MATEMATICOSDEINVERSION MacroeconomaI-Primavera2008Figura 1.17: Diagrama de FaseqK1 K = 0 q = 0 q

= 0d) Imagine ahora que cuando se deba concretar el aumento de, este se mantiene en sunivel inicial.Graque la din amica de esta situacion mediante un diagrama de fases.Respuesta:e) Suponga que ahora la autoridad necesita dinero para nanciar cursos de LATEXpara sus trabajadorespero quiere adem as de eso mantener un presupuesto equilibrado. Para esto decide cobrar sorpresiva-menteunimpuesto> 0alosdividendosdelasrmas,demanera decostearloscursos. Muestreel cambio que ocurrira en las ecuaciones de movimiento al cobrar el impuesto. Adem as, graque enel diagramadefasesladinamicadeestasituacion(Considereestasituacionindependientedelasanteriores, c) y d)).Respuesta:Vemos que un impuesto a los dividendos hace que lo que se destinaba a re-invertir ahora deber a tributaryporlotanto esequivalenteaunimpuestoalainversi on.Porlotanto,ahorael preciodeinvertirser a de (1 +).