2° ARITMETICA - LKV

2016

ARITMÉTICA

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Razones y Proporciones 3

8

1Serie de Razones Geométricas Equivalentes

Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades

son proporcionales a los números 3; 5 y 8. Esto quiere decir

que sus capacidades podrían ser:

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

Propiedad 1

Cte. de proporcionalidad

Ejemplo:INTRODUCCIÓN

3x20 = 60 litros

5x20 = 100 litros

8x20 = 160 litros

o también

3x25 = 75 litros

5x25 = 125 litros

8x25 = 200 litros

Como podemos ver existen muchas opciones, pero los

volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si “A”

es la capacidad del primer tonel, “B” la del segundo y “C”

la del tercero, podremos escribir las razones geométricas.

A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes

(S.R.G.E.)

A

3

B

5

C

8= = =K

Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen

el mismo valor.

=12

24

1

2;

4

8

1

2= ;

25

50

1

2= ;

20

40

1

2=

Igualando:

Serie de razones

=12

24

4

8

25

50

20

40

1

2== =

Valor de la razón

En general, podemos escribir:

a1

c1= = =...= =K

a2

c2

a3

c3

an

cn

Donde:

a1,a

2,a

3, ........., a

n : Antecedentes

c1,c

2,c

3, ........., c

n : Consecuentes

K : Constante de porporcionalidad o valor de la razón.

PROPIEDADES

Suma de antecedentes

Suma de consecuentes

Es decir:

a1+a

2+a

3+...+a

n

c1+c

2+c

3+...+c

n=K

* Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes.

* Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de números.

* Aplicar las propiedades adecuadamente.

=

OBJETIVOS:

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9

Ejemplo:

=12

24

4

8=

25

50=

20

40

⇒ 12+4+25+20

24+8+50+40

= =61

122

1

2

Propiedad 2

(Cte. de proporcionalidad)nProducto de antecedentes

Producto de consecuentes

Donde “n” es el número de antecedentes o consecuentes

que se multiplican.

=

Es decir:

a1. a

2. a

3. ... a

n

c1. c

2. c

3. ... c

n=K

n

Ejemplo:

=12

24

4

8=

25

50=

20

40

⇒ 12 x 4 x 25 x 20

24 x 8 x 50 x 40=

1

2

4

OBSERVACIÓN:

Una serie de razones geométricas de la forma:

= = = =...=Ka

b

b

c

c

d

d

e

Se denomina serie de razones geométricas continuas. En

esta serie continua también se cumplen las propiedades

mencionadas.

Ejercicio 1

En una serie de razones geométricas, los consecuentes son

5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes

es 84; halla los otros antecedentes.

Resolución

Formamos la serie con los datos proporcionados:

= = = =Ka

5

b

7

c

10

d

12; a+b= 84

Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1:

=Ka+b

5+7

84

12=K → K=7

Luego:

c=70 d=84

c

10=K=7

d

12=K=7

Ejercicio 2

Si se cumple que:

halla: “J+E+S+I”

= = = = =KJ

972

E

J

S

E

I

S

4

1

Resolución

Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece

como antecedente y consecuente de las diferentes razones,

entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos

los consecuentes resultará:

Luego podemos escribir :

J.E.S.I.4

972.J.E.S.I=K

5

=K54

972

1

243=K

5 → K=

1

3

= = = = =J

972

E

J

S

E

I

S

4

1

1

3

324 108 36 12

324 108 36 12

⇒ J + E + S +I=324+108+36+12

J + E + S +I=480

Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los núneros de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. ¿Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco?

El saldo de la cuenta de Rogelio

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10

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si se cumple:

Halla “a+b+c”

Tres números A, B, C están en relación directa

a 5, 7 Y 11. Si sumamos a dichos números

respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación

directa es como 13, 17 y 19. Determine n.

(UNI 2010–II)

Si:

4a

7b

8c

9d

= = =

además: ab + cd = 1600. Halle “b”

(UNFV 2011–II)

Si en la serie:

Se cumple: a+b+c-d=120 , halla: “a.d”

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

= = = a

15

20

b

18

27

8

c

= = = a

15

b

12+n

d

7

c

10-n

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11

Rpta:

5

Rpta:

6Si: ba

dc

fe k2

= = = y bdek

R2

2

= , (R>0).

Hallar: acf

(UNI 1995–II)

Resolución:

Dada la serie de razones:

Halla “R+I+T+A”

Resolución:

7. La suma, la diferencia y el producto de dos números

están en la misma relación que los números 7; 4 y

33. ¿ Cuál es la razón aritmética de los números?

8. En una serie de razones iguales, los antecedentes

son 3; 5; 6 y 9; y el producto de los consecuentes

es 65610. Halla la suma de los consecuentes.

9. En la siguiente serie:

Calcula “a+b”

10. Dada la serie de razones:

Halla:

11. Si se cumple:

Halla:

12. Dada la serie:

para la que: a2+c2+e2=324

Calcula:

R

96

I

R

T

I= = = =

A

T

3

A

3a+b

9= =

34 - b

7

a+b

4

A

a

B

b

C

c

D

d= = = y

A10+B10+C10+D10

a10+b10+c10+d10M=

A.B.C.D

a.b.c.d= 4096,

a2+b2+c2

d3+e3+f3

a3+b3+c3

d2+e2+f2M= .

a

d

b

e

c

f= =

a.b.c

d.e.f=

1

27;

a

b

c

d

e

f= =

ab+cd+ef

b2+d2+f2M=

2

3

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12

1. Si:

a + b = 48 , halla “c.d”

a) 576 b) 1728 c) 288

d) 864 e) 3456

2. Dada la serie:

y se cumple que: a.b.c = 810 , halla “a + b + c”

a) 32 b) 35 c) 30

d) 36 e) 48

3. Los consecuentes de tres razones geométricas

equivalentes son 12; 5 y 10. Si el producto de

los antecedentes es 16 200, halla la suma de los

antecedentes.

a) 72 b) 75 c) 81

d) 96 e) 120

4. Si:

y a2 + b2 + c2 = 1206 , halla “a + b + c”

a) 36 b) 45 c) 58

d) 54 e) 72

5. En una serie de tres razones geométricas

equivalentes continuas, el producto de las tres

razones es 1/27. Si la suma de los consecuentes es

234, halla el mayor antecedente.

a) 54 b) 48 c) 72

d) 64 e) 60

6. Si se cumple:

Halla: “K + A + R + Y”

a) 50 b) 60 c) 80

d) 100 e) 120

7. En una carrera de 2000 metros, José ganó a Pedro por 400 metros y Pedro ganó a Luis por 500 metros. ¿ Por cuántos metros ganó José a Luis?

a) 800 b) 1000 c) 10000d) 1100 e) 1200

8. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5, 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13440. Halla el consecuente mayor.

a) 16 b) 24 c) 18

d) 32 e) 12

9. Sabiendo que:

y además:

halla:

a) 8/25 b) 8/125 c) 2/5

d) 4/25 e) 2/125

10. Dada la serie:

y se cumple: A + B + C = 80 ; a + b + c = 128 Halla:

a) 25/36 b) 16/25 c) 16/49d) 25/64 e) 4/9

11. En la siguiente serie de razones equivalentes:

se cumple: A+B+C+D= 63 ; m+n+p+q=175 Halla:

E= A.m + B. n + C.p+ D.q

a) 105 b) 210 c) 51

d) 315 e) 21

12. Si:

(a + b)(c + d)(e + f) = 221

Halla:M=

3a.c.e +

3 b.d.f

a) 64 b) 96 c) 128d) 154 e) 196

= = =a

3

b

5

c

8

d

6

a

15

b

10

c

25= =

a

2

b

7

c

9= =

K

64

A

K

R

A

Y

R= = = =

2

Y

M

L

E

O

N

R= =

M+E+N=28,

T+O+R=70,

M.E.N

T.O.R

A

a

B

b

C

c= =

A2+B2+C2

a2+b2+c2

A

m

B

n

C

p

D

q= = =

a

b

c

d

e

f= = y

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13

2Promedios

Una media de un conjunto de datos es un valor que puede

representar o substituir a todos los elementos del conjunto

sin alterar una cierta característica de la misma.

Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y

máximo dato del conjunto.

En general, para “n” datos:

se tiene:

MEDIAS MÁS USUALES

1. Media Aritmética (MA)

La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2;

..., an es:

Ejemplo:

Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18.

Resolución:

2. Media Geométrica (MG)

La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos

a1, a2, ..., an es:

Ejemplo:

Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18.

PROMEDIOS O MEDIAS

1 2 3a a a ... an≤ ≤ ≤ ≤a an1 ≤ ≤media

(promedio)

1 2 na a ... aMA

n

+ + +=

Resolución:

11 16 18MA

3

+ += MA 15∴ =

n1 2 nMG a a ...a=

3MG 8 12 18 MG = 12= ⋅ ⋅ ∴

3. Media Armónica (MH)

La Media Armónica de los “n” datos positivos a1, a2,

..., an es:

Ejemplo:

Determine la media armónica de las velocidades:

20 m/s y 30 m/s

Resolución:

PROPIEDADES DE LA MEDIAS

Para un conjunto de datos:

1. Si no todos los datos son iguales

2. Si todos los datos son iguales

3. Para dos datos a y b

i)

ii)

1 2 n

nMH

1 1 1...

a a a

=+ + +

2MH

1 1

20 30

=+

MH 24 m / s∴ =

Media Media Media < <

Armónica Geométrica Aritmética

<MH MG MA

<

MA MG MH DATO= = =

( )2MA MH MG a b× = = ×( ) ( ) ( )2a b 4 MA MG MA MG− = + −

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14

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3En Cibertec, el promedio de las cuatro prácticas

de un curso, para aprobar debe ser exactamente

14. Si un alumno ha obtenido 16; 10 y 11 en las

tres primeras,¿cuánto debe obtener en la cuarta

práctica para lograr el promedio exigido.

El promedio de 50 numerales es 38, siendo 45 y 55

dos de los numerales, eliminando estos numerales,

el promedio de los restantes es:

La media aritmética de dos números enteros es

los 5/4 de su media geométrica. Hallar la razón de

dichos números. (UNFV 2011–II)

El producto de dos números es 64 y la suma de sus

raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media

armónica de dichos números. (UNMSM 2010–II)

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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15

Rpta:

5

Rpta:

6La media aritmética de dos números es 20 y

su media geométrica es 18. Hallar su media

armónica.

Resolución:

Si la media geométrica de dos números enteros

positivos es igual a tres veces la media armónica

de los mismos, halle la suma de los cuadrados de

las razones que se obtienen con los dos números

positivos. (UNMSM 2012–I)

Resolución:

7. El promedio aritmético de las edades de 6

profesores es 27 años. si ninguno de ellos tiene

menos de 24 años?¿Cuál es la máxima edad que

podría tener uno de ellos?

8. La edad promedio de 30 alumnos del 5to. «A» es

14 años, del 5to. «B» que tiene 28 alumnos es 16

años y del 5to. «C» que tiene 40 alumnos es 15

años. Hallar el promedio de las tres secciones.

9. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura

promedio es 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura

promedio de las mujeres es 1,60m. ¿Calcular la

estatura promedio de los varones?

10. El promedio aritmético de 50 números es 16.

Si a cada uno de los 20 primeros se le aumenta

7 unidades y a cada uno de los 30 restantes se

le disminuye 3 unidades. ¿Cuál será el nuevo

promedio?

11. Tres números enteros m, n, p tienen una media

aritmética de 10 y una media geométrica de 9603

Halle aproximadamente la media armónica de

estos números, si n. p =120 (UNI 2009–I)

12. Las normas académicas de una institución educativa

– Aprobado: Nota ≥ 14 ; – Desaprobado: 9 ≤ Nota < 14

– Reprobado: Nota < 9

fueron. 40% de aprobados, con nota promedio: 16

puntos; nota promedio de los desaprobados: 11 puntos;

y nota promedio de los reprobados: 6 puntos. Si la

nota promedio obtenido en el curso fue de 11 puntos,

entonces el porcentaje de alumnos reprobados es:

(UNI 2009–I)

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16

1. Si el promedio aritmético de 20; 32; N y 48 es 29.

Hallar el valor de «N»

a) 18 b) 16 c) 14

d) 24 e) 19

2. El promedio de 6 números es 10. Si la suma de los

cinco primeros es 28, el último número es:

a) 31 b) 30 c) 28

d) 29 e) 32

3. Ricardo ha obtenido en las cuatro primeras

prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál

debe ser la nota en la quinta práctica, para que su

promedio sea 13?

a) 16 b) 20 c) 18

d) 21 e) 19

4. Mario calcula el promedio de sus 5 primeras

prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes

prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio

ahora?

a) 13,42 b) 13,57 c) 12,58

d) 14,25 e) N. A.

5. El mayor promedio de dos números es 100,

mientras que su menor promedio es 36. Hallar la

diferencia de dichos números.

a) 180 b) 160 c) 120

d) 150 e) 100

6. El promedio aritmético de las edades de 5 hombres

es 46 años. Si ninguno de ellos tiene menos de 43

años.¿Cuál es la máxima edad que podría tener

uno de ellos?

a) 56 años b) 68 c) 58

d) 70 e) 64

7. El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16,

de la clase «B» que tiene 40 alumnos es 14 y de la

clase «C», que tiene 50 alumnos es 12. Hallar el

promedio de las tres clases.

a) 13,2 b) 13,4 c) 13,6

d) 14,2 e) 14,6

8. El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos

fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio

de 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el

promedio de los alumnos restantes.

a) 5,5 b) 6,3 c) 4,9

d) 6,2 e) 5,8

9. El promedio aritmético de dos números es 76 y su

razón aritmética 18. Halla el número mayor.

a) 48 b) 85 c) 92

d) 106 e) 72

10. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Si

se retiran dos personas cuyas edades son 31 y 36

años. ¿Cuál es el promedio de las restantes?

a) 21 años b) 20,2 c) 21,5

d) 19,8 e) 20,4

11. La media aritmética de 100 números consecutivos

es 69,5. Hallar el número menor.

a) 30 b) 25 c) 20

d) 19 e) 16

12. La MG de dos números es el triple del menor y

la MA es inferior en 36 unidades que el mayor.

Calcule la MH de los números.

a) 16 b) 16,1 c) 16,2

d) 16,3 e) 16,4

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17

3Magnitudes Proporcionales

Ejemplo:

Dos magnitudes son proporcionales si al variar el valor de

una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud

varía proporcionalmente.

1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES (D.P.)

Sean A y B dos magnitudes cuyos valores correspondientes

se observan en la tabla:

A a1

a2

a3

B

an

...

b1

b2

b3

bn

...

Si A es directamente proporcional a B (A D. P. B) se cumple:

a1

b2

=a

2

b2

=a

3

b3

=...=a

n

bn

B

A

b3

b2

b1

a1

a2

a3

Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, si el valor

de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de la otra

magnitud también se duplica; si se reduce a su mitad una de

ellas, la otra también se reduce a su mitad; así sucesivamente.

La tabla muestra los valores de dos magnitudes directamente proporcionales.

A 24 48 72 36

B 16 32 48 24

x2

÷2x2

÷2

Se cumple:

24

16=

48

32

=72

48

=36

24

A 18 x 9 x+y

B 12 10 y z

Resolución:

Se cumple

18

12=

x

10

=9

y

=x+y

z⇒ x=15; y =6

Luego 18

12=

15+6

z⇒ z=14

Se pide x+y+z=15+6+14=35

Ejemplo 2:

Sabiendo que A es directamente proporcional a B;

encuentra el valor de A, para B = 81, sabiendo que cuando

A es 24, B es 36.

Resolución:

A

B

24

36

x

81=:⇒ ⇒x=36

Ejemplo 1:

Halla x + y + z si A y B son directamente proporcionales.

A D.P. B

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18

Ejemplo 3:

Se conoce la gráfica de dos magnitudes directamente

proporcionales. Si a+b+c = 72, encuentra el valor de x-a.

a b c x

8

16

b

12

8

a=

12

b=

16

c

=b

x

Sumando antecedentes y consecuentes tenemos:

8

a=

12

b=

16

c=

b

x

8+12+16

a+b+c= =

36

72

=1

2

72

⇒ a = 16, b = 24, c = 32

Luego x = 48.

Piden hallar x - a= 48 - 16 = 32

Sean M y N dos magnitudes cuyos valores correspondientes

se observan en la tabla:

M m1

m2

m3

N

mk

...

n1

n2

n3

nk

...

Si M es inversamente proporcional a N, se cumple

m1n

1=m

2n

2=m

3n

3=...m

kn

k

n1

n2

n3

m1

m2

m3 M

N

Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, si el

valor de una de ellas se duplica, el valor correspondiente de

la otra magnitud se reduce a su mitad; si se triplica una de

ellas la otra se reduce a su tercera parte, así sucesivamente.

Ejemplo:

La tabla muestra dos magnitudes inversamente

proporcionales.

Se cumple:

10x60 = 20x30 = 40x15 = 8x75

Ejemplo 1:

Halla a + b si las magnitudes A y B son inversamente

proporcionales.

A

B

a a-10

20 30 b

a+20

Resolución:

Se cumple:

ax20 = (a-10)x30 = (a+20)xb

Resolviendo: 2a = 3a - 30 ⇒ a = 30

Reemplazando:

30 x 20 = 20 x 30 = 50 x b

Se obtiene: b = 12

Luego: a + b = 30 + 12 = 42 ETNEMASREVNI SEDUTINGAM.2

PROPORCIONALES (I.P.)

M 10 20

N

40 8

60 30 15 75

x2x2

÷2÷2

Ejemplo 2:

Dos magnitudes inversamente proporcionales A y B son

tales que A es 24, cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde

a la magnitud A, cuando B aumenta 3 unidades. ¿Y qué

valor cuando B disminuye 3 unidades?

Resolución:

A I.P. B ⇒ Valores de A x Valores de B = constante

⇒ 24 x 15 = a1 (15 + 3) = a

2 (15 -3)

Ejemplo 3:

proporcionales mostradas, encuentra a + b.

36

6

a

b 6 b+11

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19

Resolución:

36 x b = 6 x 6 = a x (b + 11)

36

36 =a (1 + 11)

Se obtiene b = 1,

donde a = 3.

Se desea hallar a + b = 3 + 1 = 4.

3 . P R O P I E DA D E S D E M A G N I T U D E S

PROPORCIONALES

1. Si A D.P. B ⇒ B D.P. A

A I. P. B ⇒ B I. P. A

2. Si A I. P. B ⇒ A D. P. 1/B

3. Si A D.P. B ⇒ An D.P. Bn

A I.P. B ⇒ An I.P. Bn

4. Si A D.P. B ⇒ (cuando C es

constante)

y A D.P. C ⇒ (cuando B es

constante)Se obtiene A D.P. B x C

Ejemplo 1:

A es D.P. a B y C, además cuando A es 24, B es 10 y C es 8.

Calcula el valor de B si A es 15 y C es 12.

Resolución:

A D.P. B

A D.P. C}A D.P. BxC

Se cumple = constanteA

BxC

24

10 x 8

15

X x 2= ⇒ X = 25

Ejemplo 2:

A es directamente proporcional a B2 y a C. Si cuando A es

24, B es 2 y C es 3. Halla A cuando B sea 3 y C sea 2.

Resolución:

A D.P. B2

A D.P. C }A D.P. B2 x C ⇒ A

B2 x C= constante

Luego = ⇒24

22x3

X

32x2X = 36

Ejemplo 3:

Una magnitud M es directamente proporcional a N y N es

inversamente proporcional a Q3. Si cuando M es 4, N es 16

y Q es 3, halla Q cuando N y M sean respectivamente 2 y 4.

Resolución:

Si M D.P. N ⇒ N D.P. M2

(según propiedades)

16 x 33

42

2x X3

42 ⇒Luego: = X = 6

1) El precio de impresión de un libro es directamente

proporcional al número de ejemplares que se imprimen.

Se editarán 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas

costando S/. 6.00 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar

un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de

360 páginas?

a) S/.500 b) S/.800 c)S/.400

d) S/.700 e) S/.600

Resolución:

c x n

p6 x 2000

400

c2 x 1800

360= k ⇒ =

c2 = S/. 6.00

Rpta.: e

2) Un superpanetón en forma de paralelepípedo pesa 2160

g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma,

pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte

es:

a) 40 g b) 50 g c)60 g

d) 70 g e) 80 g

Resolución:

El peso es D.P. al volumen

P

V= k

3b3c

3a

P1 =

2160 g

2160

(3a)(3b)(3c)

P2

abc=

b ca

P2 =

??

P2 =

80 g

Rpta.: e

Luego = cte.N D.P. M2

N I. P. Q3}Nx Q3

M2⇒

EJERCICIOS RESUELTOS

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20

3) La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a

su vez esto es 4 veces la rapidez de C. Si A hace un

triángulo en 9 min y 15 s, ¿en cuánto tiempo lo hará

C?

a) 1h 40' b) 2h

b) 1h 41' 15" e) N. A.

c) 1h 51'

Resolución:

Rapidez: r y tiempo: t

rA

tA

= rC

tC

; rA

= 3r

B

rB = 4r

C ⇒

r

A =

12r

C⇒ 12 rC

(9 + 0,25)=rC

x tC

tC

= 111'

tC

= 1h' 51'

Rpta.: c

4) Se sabe que la producción de un cierto artículo es

proporcional al número de horas diarias destinadas

a dicha producción e inversamente proporcional a

la cantidad de productos x que pueden sustituir el

artículo indicado. Si en un inicio se trabaja 8 horas

diarias, haciendo en el mercado 5000 productos x;

pero al incrementarse en 4375 unidades los productos

x, se aumenta el número de horas diarias de modo

que la producción actual y anterior se encuentren

en la relación de 2 a 3. ¿Cuántas horas diarias se ha

aumentado?

Resolución:

Producción x # Prodx#horas diarias= cte.

(3P)x5000

8

(2P)(5000+4375)

(8+x)⇒ =

Anterior Actual

Resolviendo: x = 2

Rpta.: 2

5) Un pastelero prepara una porción de turrón de Doña

Pepa de 60 cm x 40 cm, de cuya venta se propone

obtener S/. 48.00. Si se vende una porción de 30 cm

x 30 cm por S/. 15.00. ¿A cuánto debe vender cada

porción de 5 cm x 5 cm para obtener lo que esperaba

en un principio?

a) S/. 0.22 b) S/. 0.55 c) S/. 0.88

d) S/. 0.33 e) S/. 0.44

Resolución:

30

1030

30 30

40

El área total es: 60 x 40 = 2400 cm2

Vende: 30 x 30 = 900 cm2

Queda: 2400 - 900 = 1500 cm2

Ya vendió por S/. 15, el resto debe vender en

48 - 15 = S/. 33.00

Cada porción tiene 5 x 5 = 25 cm2 de área.

De los que queda salen 1500 ÷ 25 = 60 porciones.

Cada porción debe venderse en:

33

60= S/.0.55

Rpta.: b

Promedios

El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo. Era frecuente que los barcos, durante una tormenta, tirasen una parte de la carga. Se

podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquéllos que no habían sufrido disminución en sus bienes. El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercaderías en el mismo buque.El daño causado por el mar se conocía como «Havaria» y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenía que pagar como compensación por el riesgo. De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos seguros.

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21

"x" varía en razón directa a "y" e inversa al

cuadrado de "z". Cuando x = 10, entonces y = 4,

z = 14. Halla "x" cuando y = 16 y z = 7.

El precio de un televisor a color varía en forma

D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz

cuadrada de la energía que consume. Si cuando

su tamaño es de 14 pulgadas y consume «E» de

energía, su precio es de $360. ¿Cuánto costará

un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y

consume E/4 de energía?

Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales

representados mediante el siguiente gráfico,

halla "x".

Se sabe que A es directamente proporcional a B2

y B es inversamente proporcional a C.

Halla: x+y+z de la tabla mostrada:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

A

B20 x4

40

a

16

AB

=κ AxB =k

A 24 x 96

B

2

y 3 4 1

C 9 6 z 3

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

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22

Rpta:

5

Rpta:

6

Resolución:

La rueda "A" de 40 dientes en grana con otra

rueda "B" de 60 dientes. Fija el eje de esta hay

otra rueda "C" de 80 dientes que engrana con otra

rueda "D" de 30 dientes. La rueda "A" da en un

minuto 30 vueltas mas que "D". ¿En que tiempo

"D" dará 3 200 vueltas? (CALLAO 2001)

Resolución:

7. Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C . Además

cuando A es 14 entonces B = 64 y C = B. Halla

A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.

8. Dadas dos magnitudes A y B se observa que A

es directamente proporcional a B para valores

de A menores o iguales a 24 y B es inversamente

proporcional a A cuando los valores de A son

mayores o iguales a 24. Si cuando A = 6, entonces

B = 14, calcula el valor de B cuando A es 168.

9. Una rueda A de 64 dientes engrana con otra B de

72 dientes y ésta con otra C de 48 dientes. Si entre

las tres dan 580 vueltas en un minuto, ¿cuántas

vueltas dará A en 5 minutos?

10. El precio de una joya varía proporcionalmente con

el cuadrado de su peso. Una joya de este tipo que

cuesta S/. 24000 se rompe en dos pedazos que están

en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida sufrida

al romperse dicha joya?

11. En la siguiente gráfica que relaciona magnitudes

proporcionales; A y B son rectas y C es una

hipérbola. Determina "m", si a+b+c+m= 60.

12. Dadas las magnitudes A, B y C si A D.P. B (cuando

"C" permanece constante); A I.P. C2 (cuando "B"

permanece constante). Si en un determinado

momento el valor de B se duplica y el valor de C

aumenta en su doble, el valor de A varía en 35

unidades. ¿Cuál era el valor inicial de A?

n

a-2 a 2a

24

2m

4 a

m

b c

A

B

C

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23

1. Sabiendo que "A" es D. P. a "B2" y que las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Halla "a + d".

a) 48 b) 51 c) 50d) 47 e) 54

2. Se sabe que (x + 2) varía proporcionalmente con (y - 3). Si cuando x = 10, entonces y = 19. Halla el valor de "x" si y = 31.

a) 21 b) 23 c) 20d) 19 e) 18

3. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D. P. a "C" e I. P. a B. Halla "A" cuando

B=C2, sabiendo que si A=10, B=144 y C=15.

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 15

4. Si "P" y "Q" son magnitudes proporcionales

Halla "y - x".

a) 12b) 36c) 24d) 20e) 30

5. Conocida la gráfica, halla a + b.

a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96

6. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos tiempo cuadruplicará su sueldo?

a) 20 años b) 25 años c) 36añosd) 18años e) 10años

7.

a) 27b) 32c) 41d) 18e) 20

8. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos si su rendimiento es como 8 y faltó 3 dias?

a) S/.960 b) S/.1 440 c) S/.1 080 d) S/.980 e) S/.1 280

9. Se tiene una rueda A1

que engrana con A2, la

cual está unida mediante un eje con A3. ¿Cuántas

vueltas da esta última si entre las ruedas A1 y A

2

han dado 280 vueltas y el número de dientes de la rueda A

k está dado por D

k = (10k + 5)x2?

a) 120 b) 125 c) 150d) 155 e) 105

10. Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso, ¿cuánto se ganará o perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro?

a) Gana S/.240 b) Gana S/.320a) No gana ni pierded) Pierde S/.240 e) Pierde S/.320

11. La presión a la cual está sometido un gas es directamente

proporcional al volumen que ocupa. Si el volumen se reduce a su tercera parte, entonces la presión:

a) Aumenta en su doble b) Aumenta en su triple c) Aumenta en su cuádruplo

d) Aumenta una vez su valor e) No varía

12. Dado el siguiente gráfico, halla x + y +z.

a) 50 b) 60 c) 72d) 80 e) 96

A 27 75 d

B

192

a 5 4 8

P

Qyx4

26

18

2a

a b

a

12

15

12

20a c

x

yz4

6 9 18 M

N

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2016

ARITMÉTICA

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24

4Reparto Proporcional

El problema de reparto consiste en dividir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índices del reparto o números proporcionales. El reparto se puede efectuar en forma directa o inversamente proporcional.

1. REPARTO DIRECTO

Cuando el reparto se hace directamente proporcional a un solo grupo de índices.

Para el problema:

Reparte 4500 en partes proporcionales a 2,3 y 4.

Resolución:

Ejemplo 1:

Reparte 4500 en partes directamente proporcionales a 24, 36 y 48.

Resolución:

Cantidad a repartir

4500 243648

Índices

Se determina el valor de la constante de reparto k.

450024 + 36 + 48

4500108

1253

C1 = 24 x = 1000

C2= 36 x = 1500

C3 = 48 x = 2000

1253

1253

1253

k = = =

Las partes que se desean hallar se obtienen multiplicando la constante del reparto k por cada uno de los índices: parte = Índice x k

Las partes son 1000, 1500 y 2000.

Ejemplo 2:

4500234

Índices

⇒ k = = 5004500

2+ 3 + 4

Partes obtenidas:

C1 = 2 x 500 = 1000C2 = 3 x 500 = 1500C3 = 4 x 500 = 2000

Las partes obtenidas en el ejemplo 1 son los mismos en el ejemplo 2, comparando los índices: 24 = 12 x 2; 36 =12 x 3; 48 = 12 x 4. Nótese que si los índices

cantidades obtenidas en el reparto no varían.

Observación

Ejemplo 3:

Divide 6300 en tres partes que sean proporcionales a 30, 45 y 75.

Resolución:

630030 = 2 x 15 ⇒ 245 = 3 x 15 ⇒ 3 75 = 5 x 15 ⇒ 5

Índices

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25

63002 + 3 + 5⇒ k = = 630

Partes: C1 = 2 x 630 = 1260C2 = 3 x 630 = 1890C3 = 5 x 630 = 3150

Ejemplo 4:

Encuentra las 3 partes en que se divide 8100 de modo que sean proporcionales a 2/3; 1/2 y 1/3.

Resolución:

Como se ha observado las partes en el reparto no varían si

partes si a todos los índices se les multiplica por un mismo número.

Índices iniciales:

M.C.M. (denominadores) = MCM (3; 2; 3) = 6

23

, 12

, 13

.

23

x 6 = 4 ⇒ 4

1213

x 6 = 2 ⇒ 2

x 6 = 3 ⇒ 38100

81004 + 3 + 2

81009

k = = = 900

Partes: C1 = 4 x 900 = 3600C2 = 3 x 900 = 2700C3 = 2 x 900 = 1800

Nuevos índices

Cuando el reparto se hace inversamente proporcional a un solo grupo de índices.

Para resolver este problema se considera la propiedad de magnitudes:

Ejemplo 1:

2. REPARTO INVERSO

Ejemplo 2:

A I.P. B ⇒ A D.P. 1B

Reparte 3400 en partes que sean inversamente proporcional a 4, 6 y 18.

4 ⇒ 1/4 6 ⇒ 1/618 ⇒ 1/18

I.P. D.P.

3400

El reparto inverso se transforma en reparto directo tomando la inversa de cada uno de los índices. Si estos resultaran ser fraccionarios, se multiplica por el MCM de los denominados para hacerlos enteros.

MCM (4; 6; 18)= 36

34009 + 6 + 2

340017

k = = = 200

Partes: C1 = 9 x 200 = 1800C2 = 6 x 200 = 1200C3 = 2 x 200 = 400

Reparte 1640 en forma inversamente proporcional a los números 2/3, 4 y 3/5.

Resolución:

2/3 4 3/5

I.P. D.P.

1640 1640 3/2 x 12 = 18 1/4 x 12 = 3 5/3 x 12 = 20

Nuevos Índices

MCM (2; 4; 3) = 12

164018 + 3 + 20k = = 40

Partes P1 = 18 x (40) = 720P2 = 3 x (40) = 120P3 = 20 x (40) = 800

3400

x 36 = 9 ⇒ 9 x 36 = 6 ⇒ 6x 36 = 2 ⇒ 2

14

16

118

Índices

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26

3. REPARTO COMPUESTO

Ejemplo 2:

El reparto se hace proporcionalmente a varios grupos de índices. Las partes pueden ser directa o inversamente proporcionales a los grupos de índices.

De acuerdo a la propiedad de magnitudes, las partes son proporcionales a los productos de los respectivos índices de cada grupo:

A D.P. BA D.P. C

⇒ A D.P. B x C

Ejemplo 1:

Reparte 3800 en partes que sean proporcionales a 4; 12 y 10, y también a los números de 15; 20 y 8.

Resolución:

60 = 3 x 20 ⇒ 3 240 =12 x 20 ⇒ 12 80 = 4 x 20 ⇒ 4

3800

D.P. D.P. Índices

38003 +12 + 4

380019

k = = = 200

Partes C1 = 3 x 200 = 600C2 =12 x 200 = 2400C3 = 4 x 200 = 800

Encuentra las partes en que se divide 1240 proporcionalmente a 5; 10 y 12, e inversamente proporcional a 6; 9 y 8.

Resolución:

5 6 10 9 12 8

D.P.

1240

I.P.

D.P.

1240 5 x 1/6 = 5/6 10 x 1/9 = 10 / 9 12 x 1/8 = 12/8= 3

2

MCM (6; 9; 2) = 185/6 x 18 = 1510/9 x 18 = 203/2 x 18 = 27

124015 + 20 + 27

124062

k = = = 20

15 20 27

1240

D.P.

Partes P1 = 15(20) = 300 P2 = 20(20) = 400P3 = 27(20) = 540

Ejemplo 3:

Se reparte 7800 en forma directamente proporcional a 10; 12 y 20, y también inversamente proporcional a 24; 16 y 20.

Resolución:

D.P. D.P. 4 15 ⇒ 4 x 15 = 60 12 20 ⇒ 12 x 20 = 240 10 8 ⇒ 10 x 8 = 80

3800

Índices

D.P. I.P.10 2412 1620 20

7800

D.P. D.P.10 1/2412 1/1620 1/20

7800⇒

* Si existe un grupo de índices que fuera inversamente proporcional a las partes, se toma la inversa a cada índice de ese grupo.

* Cuando todos los grupos de índices son directamente proporcionales a las partes buscadas, se toma el producto de los índices respectivos en cada grupo.

512

34

x 12 = 5

7800 x 12 = 9

1 x 12 = 12

124

512

116

34

120

10 x

12 x

20 x

=

== 1

7800

D.P.

Índices

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27

Resolución:

MCM (12; 4; 1) =12

78005 + 9 + 12

k = =300

Partes C1 = 5 x 300 = 1500 C2 = 9 x 300 = 2700C3 = 12 x 300 = 3600

4. REGLA DE COMPAÑÍA

Es el caso particular de los repartos proporcionales, en el cual las ganancias o pérdidas obtenidas en un negocio se reparten proporcionalmente a los capitales aportados por cada participante en el negocio (socios) y a los tiempos que han estado invertidos en él. Si existiesen pérdidas en el negocio, éstas son asumidas entre los socios, proporcionalmente a los capitales y tiempos.

Ejemplo 1:

el cual debe de repartirse proporcionalmente a los capitales aportados por los 3 socios que son 1200, 1500 y 1800. ¿Cuánto le toca a cada uno?

75004 + 5 + 6k = = 500

Partes P1 = 4 x (500) = 2000P2 = 5 x (500) = 2500P3 = 6 x (500) = 3000

Ejemplo 2:

Dos socios A y B participaron en un negocio. El primero aportó 4000 por 3 meses, y el otro aportó 2500 por 6 meses. Si al término del negocio se obtuvo una ganancia de 7200, ¿cuánto le toca a cada uno?

Resolución:

4000 x 3 = 12000 = 4(3000)2500 x 6 = 15000 = 5(3000)

7200

Capitales TiempoD.P. D.P.

72004 + 5 k = = 800

Partes P1 = 4 x (800) = 3200P2 = 5 x (800) = 4000

Ejemplo 3:

Tres socios han aportado en un negocio 2400, 3200 y 4000 soles. Si al término del mismo se ha obtenido una ganancia de 12000 soles, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Resolución:

120002400 = 800 x 3 ⇒ 3 3200 = 800 x 4 ⇒ 44000 = 800 x 5 ⇒ 5

Índices

120003 + 4 + 5

k = =1000

Ganancias obtenidas

G1 = 3x(1000) = 3000 G2 = 4x(1000) = 4000G3 = 5x(1000) = 5000

D.P.

75001200 = 4 x 3001500 = 5 x 3001800 = 6 x 300

7500456

Capitales

7200

D.P.45

EJERCICIO RESUELTO

3) Se reparte el número 145 800 en partes proporcionales a todos los números pares entre 10 y 98. ¿Cuánto le toca a la 1/72 parte?

a) 4420 b) 4200 c) 4226

d) 4320 e) 4500

Resolución:

a10 + a12 + a14 + ... + a98

10 + 12 + 14 + ... + 98k =

10 + 12 + 14 + ... + 98 = 2430

1458002430k = = 60

a72

= 60 ⇒ a = 4320 ∴

a10

10a12

12a14

14a98

98= = =... =k=

10+2+14+...+98 (10+98)452(98-8)%2=45 números

=

Rpta.: d

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28

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Encuentra la menor de las partes que se obtiene al

dividir 1820 en forma inversamente proporcional

a las raíces cuadradas de 24; 54 y 96.

Si un número se reparte en forma D.P. a 4, 5

y 8 e I.P. a 3, 8 y 12 se observa que la mayor

diferencia entre las partes repartidas es 544.

Halla el número.

Reparte S/. 20500 entre 3 personas de modo que

la parte de la primera sea a la segunda como 2 es

a 3 y la segunda a la tercera como 4 es a 7. Halla

la mayor parte.

Se divide una suma de dinero ("N") en partes que

son proporcionales a 3, 7, 5 y 12, observándose

que la primera y la cuarta exceden a las otras dos

juntas en S/. 300. Halla "N".

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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29

Rpta:

5

Rpta:

6Al repartir una cierta suma D. P. a 3; 5/3 y 7 e

I.P. a 1/2; 4 y 3/2 se observó que la mayor parte

excede a la menor en S/. 6 700. Indica a cuánto

asciende la suma repartida.

Resolución:

Una cantidad se reparte en forma proporcional

a , , resultando la menor

de las partes 14. ¿Cuál es la suma de cifras de la

cantidad repartida?

Resolución:

7. Descomponer el número 1134 en cuatro sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a 12, 27, 48 y 75.

8. Al repartir "N" en forma inversamente proporcional a 4; 5 y 12, la menor de las partes es 2000 unidades menor que la mayor. Indica la suma de cifras de N.

9. S e p r o p o n e a d o s a l u m n o s r e p a r t i r proporcionalmente un número. Uno lo hace directamente proporcional a 3, 4 y 7; el otro lo hace directamente a los cuadrados correspondientes, encontrándose una diferencia de 480 en lo que corresponde a la primera parte. Halla el número.

10. Un padre decide repartir una herencia en forma directamente proporcional a las edades de sus hijos que son: 6, 8 y 10, pero decide postergar el reparto hasta que el menor tenga la edad actual del mayor, por lo cual uno de los hijos recibe 4 000 soles más de lo que iba a recibir. Entonces mayor recibió:

11. Tres personas forman una sociedad aportando cada uno de ellos igual capital, el primero de ellos lo impuso durante un año, el segundo durante 8 meses y el tercero durante un semestre. Si al final se obtiene un beneficio de S/. 1 950, ¿cuánto ganó el que impuso su capital durante mayor tiempo?

12. Dos individuos emprenden un negocio por 1

año. El primero empieza con $500 y 7 meses después añade $200. El segundo empieza con $600 y 3 meses después añade $300. ¿Cuánto le corresponde al segundo de un beneficio de $3 380?

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1. Reparte 780 en partes I.P. a 15; 36; y 20. Indica la

diferencia entre la mayor y la menor parte.

a) 90 b) 120 c) 150

d) 210 e) 180

2. Cuando se reparte una cantidad D.P. a 4, 8, y 12,

la diferencia entre la mayor y menor de las tres

partes es 480. ¿Cuál es la cantidad repartida?

a) 1 200 b) 1 500 c) 1 440

d) 1 750 e) 2 000

3. Se reparte 738 en forma directamente proporcional

a dos cantidades; de modo que, ellas están en la

relación de 32 a 9. Halla la suma de las cifras de

la cantidad menor.

a) 18 b) 14 c) 13

d) 11 e) 9

4. Divide S/. 780 en tres partes de modo que la

primera sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera

sea a la tercera como 7 es a 3. Entonces la segunda

es:

a) S/. 205 b) S/. 280 c) S/. 150

d) S/. 410 e) S/. 350

5. Al repartir N D. P. a 5; 8 y 6 e I.P. a 12; 6 y 10, la

diferencia entre la segunda y la tercera parte es 176

Halla: N.

a) 526 b) 246 c) 324

d) 218 e) 564

6. Reparte 3562 en partes proporcionales a 422, 283,

562. Halla como respuesta la suma de cifras del

número que representa una de las partes.

a) 6 b) 9 c) 7

d) 8 e) 10

7. Al dividir 2100 en 4 partes proporcionales a las fraciones 2/3; 3/4; 1/5 y 2/15 se observa que la diferencia entre la mayor y la menor de las partes es:

a) 700 b) 720 c) 740d) 780 e) 800

8. Un profesor caritativo quiere repartir S/. 300 entre 3 de sus alumnos, proporcionalmente al número de hermanos que cada uno tiene. Halla cuánto le toca a cada uno si el primero tiene 3 hermanos, el segundo 4 y el tercero 5. Halla la diferencia entre la mayor y la menor parte.

a) 100 b) 125 c) 50d) 150 e) 75

9. Se ha repartido cierta cantidad entre 3 personas en partes proporcionales a los números 3; 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido S/. 600 más que la primera, ¿cuánto dinero se distribuyó?

a) S/.3600 b) S/.3000 c) S/.2400d) S/.1200 e) S/.2700

10. Un tutor "Mentor" quiere repartir S/. 57 entre tres alumnos, para efectuar el reparto tendrá en cuenta la cantidad de problemas no resueltos de la última tarea domiciliaria. El primero no resolvió 1 problema: el segundo 3 y el tercero 4. ¿Cuánto le corresponde al tercero?

a) S/.36 b) S/.12 c) S/.9d) S/.28,5 e) S/.26

11. Dos personas inician un negocio. El primero aportó 12000 soles por 2 meses, mientras que el segundo aportó 7500 soles por 6 meses. Al liquidar el negocio se obtuvo un beneficio de 5290 soles. ¿Cuánto más que el primero recibe el segundo?

a) S/. 1610 b) S/. 1750 c) S/. 1640 d) S/. 1800 e) S/. 1650

12. Marina inicia un negocio con $600; 6 meses después se asocia con Fernando quien aporta $480 a la sociedad. Si después de 18 meses de asociados se reparten una ganancia de $ 1520, ¿cuánto le corresponde a Marina?

a) $950 b) $920 c) $570 d) $720 e) $600

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