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GEOMETRIA ANALTICA

para

COMPUTAO GRFICA

livro 1: o plano

Felipe Acker

fevereiro de 2014

II

copyright

c2014 by Felipe Acker

Sumrio

Prefcio i

1 SISTEMAS DE COORDENADAS 1

2 MEDINDO DISTNCIAS 5

3 OS OBJETOS GEOMTRICOS: RETAS E CRCULOS 9

4 CURVAS E EQUAES. LUGARES GEOMTRICOS 15

5 INTERSEES. SISTEMAS DE EQUAES 19

6 GEOMETRIA ANALTICA, DESENHO GEOMTRICO E

COMPUTAO GRFICA 21

7 EQUAES PARAMTRICAS 25

8 VETORES 39

a Flechinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

b Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

c Produto por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

d Soma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

e Somando vetores a pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

f Vetores e parametrizaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 VETORES E COORDENADAS 47

10 O MISTRIO DA SANTSSIMA TRINDADE 51

a Vetores e pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III

IV SUMRIO

b Pontos e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

c A Santssima Trindade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11 TRANSFORMAES E ANIMAES 57

12 TRANSLAES 61

a Movimento retilneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

b Movimento retilneo no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 64

c Trajetrias no retilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

d Resumindo e Simplicando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13 ROTAES 73

a Rotaes em torno da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

b Rotao em torno de um ponto qualquer . . . . . . . . . . . . 76

c Rotao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 HOMOTETIAS 81

15 REFLEXES 83

a Reexo de ponto atravs de reta passando pela origem . . . . 83

b Reexo de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

c Animando reexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

16 DEFORMAES 91

a Casos elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

b Deformaes em outras dimenses . . . . . . . . . . . . . . . . 94

17 TRANSFORMAES LINEARES 97

a Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

b Transformaes preservando distncias . . . . . . . . . . . . . 99

18 PRODUTO INTERNO 103

19 REAS E DETERMINANTES 109

a Orientao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

b reas com sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

c O determinante de uma transformao linear . . . . . . . . . . 115

SUMRIO V

20 NMEROS COMPLEXOS E COORDENADAS POLARES123

a Os complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

b O Teorema Fundamental da lgebra . . . . . . . . . . . . . . 127

c Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

ndice Remissivo 137

VI SUMRIO

Prefcio

Este pequeno texto foi concebido como uma espcie de abertura. Nele pro-

curei concentrar ideias bsicas para um curso de Geometria Analtica no

plano. A primeira verso, escrita em janeiro de 1998, destinou-se a um mi-

nicurso de aperfeioamento, ministrado por mim na UFRJ, para professores

de Matemtica do ensino mdio (nessa primeira verso, ainda no existia o

captulo nal, sobre os nmeros complexos).

1

Creio que o carter de mini-

curso se mantm: pode ser usado nas aulas iniciais de um curso de Geometria

Analtica para apresentar aos alunos, de maneira rpida, as coordenadas, os

vetores, as curvas e as transformaes do plano. Os quatro captulos nais

so mais tcnicos mas, acredito, ainda guardam uma certa leveza.

A ideia de ressaltar as relaes entre a Geometria Analtica e a Computao

Grca teve, na verso original, e continua tendo agora, um carter algo

oportunista. Computao Grca remete aos videogames, que so para boa

parte dos estudantes um espao associado ao prazer. Mas trata-se, tambm,

de enfatizar o papel central assumido pela Geometria Analtica no Desenho,

em suas mltiplas facetas, do artstico ao tcnico, do esttico ao animado.

Mesmo para quem se contenta em usar programas de computador prontos,

um certo domnio da Matemtica envolvida de grande valia. Anal. nin-

gum discutiria a importncia, para um pintor, de conhecer um pouco do

processo de fabricao das tintas e, mesmo, de ser capaz de produzir e mis-

turar seus prprios pigmentos.

Felipe Acker

Santa Teresa, maio de 2013

1

E as guras, paradoxalmente, foram feitas por mim com lapiseiras Caran d'Ache,

esquadros e compasso; para esta edio, os desenhos foram convertidos em arquivos digitais

por Joo Paulo Pinto Siqueira

i

ii SUMRIO

Captulo 1

SISTEMAS DE

COORDENADAS

Do ponto de vista prtico, a Geometria Analtica comea pela introduo de

um sistema de coordenadas: traa-se no plano um par de retas concor-

rentes, toma-se como origem do sistema o ponto O de interseo das duas

retas (que passaremos a chamar eixos de coordenadas e a notar por Ox e

Oy) e marcam-se dois pontos, um sobre cada eixo, que indicaroa unidade de

medida e o sentido positivo em cada eixo. Note que no obrigatria, embora

seja usual, a ortogonalidade entre os eixos; tampouco somos forados ao uso

da mesma unidade de medida em Ox e em Oy.

Figura 1.1:

1

2 CAPTULO 1. SISTEMAS DE COORDENADAS

Consideremos agora nosso plano com um sistema de coordenadas e seja P

um ponto do plano. Vamos denir as coordenadas de P. Traando por P

uma reta r paralela a Oy, tomamos a interseo de r com Ox; ao ponto assim

obtido corresponde um nmero real x (em funo de termos denido em Ox

um sentido positivo e uma unidade). Da mesma forma, traando por P uma

reta s paralela a Ox e tomando sua interseo com Oy, temos um ponto sobre

Oy ao qual, pelas mesmas razes, corresponde um nmero y. Os nmeros x

e y, tomados nesta ordem, so ditos coordenadas de P (no sistema dado).

Dizemos que P representado pelo par ordenado (x,y). Na presente gura,

x um pouquinho maior do que 2, enquanto y est entre 0,5 e 1.

Figura 1.2:

Exerccio: Certique-se de que voc capaz de inverter o processo: xado

o sistema de coordenadas e dado um par ordenado (x,y), sempre possvel

determinar o ponto P do plano correspondente a (x,y). Descreva o modus

operandi a ser adotado.

Os procedimentos acima descritos estabelecem uma bijeo entre o plano e

o conjunto IR2 dos pares ordenados. Assim, paralelamente ao plano geo-mtrico, passamos a ter um plano virtual dos pares ordenados. Nossa

primeira preocupao, como natural, ser obter, para este plano virtual,

3tradues algbricas dos objetos e procedimentos geomtricos a que estamos

habituados.

Salvo meno em contrrio, usaremos o sistema de eixos cannico: eixos

ortogonais, Ox horizontal com sentido positivo da esquerda para a direita,

Oy vertical com sentido positivo de baixo para cima, e a mesma unidade de

medida em ambos os eixos (as expresses em itlico tm aqui o signicado

que lhes atribui o senso comum e no sero denidas).

Figura 1.3:

4 CAPTULO 1. SISTEMAS DE COORDENADAS

Captulo 2

MEDINDO DISTNCIAS

No captulo anterior mencionamos a possibilidade de se associar a cada ponto

de uma reta um nmero real (xados uma origem, correspondente ao nmero

0, e um segundo ponto, correspondente ao nmero 1). Esta no , na verdade,

uma questo simples: o processo de medio de um segmento , de fato, um

dos mais famosos processos de construo dos nmeros reais.

De fato, procuremos analisar o mtodo que empregamos para medir seg-

mentos, mesmo que sem a preocupao de um extremo rigor geomtrico.

Consideremos dois pontos A e B sobre uma reta r e um segmento l que nos

sirva de unidade.

Figura 2.1:

A partir do ponto A, e caminhando na direo de B, podemos alinhar um

certo nmero mximo n0 de segmentos congruentes a l de forma a no ultra-passar B, obtendo o ponto A1. Em seguida partimos l em 10 (obtendo umsegmento l1) e repetimos o processo, trocando A por A1 e l por l1. O nmerode segmentos congruentes a l1 utilizados ser n1, e obteremos o ponto A2.

5

6 CAPTULO 2. MEDINDO DISTNCIAS

Figura 2.2:

Figura 2.3:

Exerccio: Note que 0 n1 9.

Agora dividimos l1 em 10 (obtendo l2 = l1/10) e trocamos A1 por A2 e l1por l2, repetindo novamente o processo, obtendo o nmero n2 e o ponto A3,e assim sucessivamente.

Exerccio: Se l a unidade de medida, convena-se de que o nmero real que

expressa a distncia entre A e B n0, n1n2 . . ..

O que acabamos de descrever o processo de determinao da distncia en-

tre dois pontos no plano geomtrico. Suponhamos agora que estamos lidando

com o plano virtual. Isto , nossos pontos A e B so agora dois pares or-

denados, A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Podemos desenhar os pontos do planogeomtrico correspondentes a (x1, y1) e (x2, y2) e, aplicando o Teorema dePitgoras, concluir que a distncia entre A e B dada por

(x2 x1)2 + (y2 y1)2

Se a gura acima serve de justicativa para a frmula que a precede, podemos

por outro lado observar que o plano virtual pode perfeitamente dispens-

7Figura 2.4:

la, assim como qualquer outro recurso grco, quando se trata de calcular

a distncia entre (x1, y1) e (x2, y2). Os procedimentos envolvidos so os dalgebra - adies (subtraes) e multiplicaes- e os da Anlise - radiciaes.

Aos pares ordenados (x1, y1) e (x2, y2) que descrevem os pontos virtuais cor-responde um nmero,

(x2 x1)2 + (y2 y1)2, sua distncia, que se obtmdiretamente, sem desenhos.

Podemos dizer que a frmula

(x2 x1)2 + (y2 y1)2

a traduo para a Geometria Analtica da noo de distncia da Geometria

Sinttica.

8 CAPTULO 2. MEDINDO DISTNCIAS

Captulo 3

OS OBJETOS GEOMTRICOS:

RETAS E CRCULOS

Continuemos trabalhando sobre a dualidade entre o plano geomtrico, feito

de pontos, e o plano virtual(isto , o IR2), feito de pares ordenados denmeros.

Duas classes particulares de subconjuntos do plano podem, por sua impor-

tncia, servir-nos de ponto de partida: retas e crculos. Comecemos com

os crculos e partamos da denio tradicional: dados um ponto C do plano

e um nmero positivo r, o crculo de centro C e raio r o conjunto dos

pontos do plano que distam r de C.

Faamos a traduo para o plano virtual: o ponto C ser dado por suas

coordenadas (x0, y0), os pontos do crculo sero designados por suas coor-denadas (x, y), e a distncia ser calculada pela frmula vista no captuloanterior. Teremos ento que, dados um par ordenado (x0, y0) e um nmeropositivo r, o crculo de centro (x0, y0) e raio r o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que

(x x0)2 + (y y0)2 = r.

Observando que a frmula acima equivalente a (x x0)2 + (y y0)2 = r2,podemos dizer que, no plano virtual, o crculo de centro (x0, y0) e raio r o conjunto c dado por

c = { (x, y) IR2 | (x x0)2 + (y y0)2 = r2 }.

9

10CAPTULO 3. OS OBJETOS GEOMTRICOS: RETAS E CRCULOS

Podemos, claro, construir um crculo geomtrico a partir do crculo vir-

tual denido acima. Mais concretamente, suponhamos que o centro dado

pelas coordenadas x0 = 3, y0 = 2 e que r=1; suponhamos tambm dado,no plano geomtrico, um sistema de coordenadas. Ao conjunto c do plano

virtual dado por c = { (x, y) IR2 | (x 3)2 + (y 2)2 = 1 } corresponde oconjunto dos pontos do plano geomtrico cujas coordenadas (x,y) satisfazem

equao (x 3)2 + (y 2)2 = 1 1.

Figura 3.1:

Passemos agora s retas. Reta usualmente considerado um conceito pri-

mitivo em Geometria Sinttica; no podemos, ao contrrio do que zemos

1

Note que a equao nos fornece um critrio, um teste, para decidirmos se um ponto do

plano geomtrico est ou no no crculo: para cada ponto P do plano geomtrico devemos

medir suas coordenadas x e y e substitu-las na equao; P est no crculo se e s se a

igualdade satisfeita. Imagine o que aconteceria se no tivssemos qualquer experincia

anterior com crculos geomtricos, ou simplesmente no soubssemos que quela equao

corresponde um crculo de raio 1 - provavelmente caramos testando s cegas os pontos

mais disparatados e levaramos muito tempo antes de conseguirmos uma gura parecida

com um crculo de verdade

11

com os crculos, partir da denio. Tentemos outra estratgia: vamos dese-

nhar uma reta em um plano dotado de um sistema de coordenadas e ver que

relao conseguimos entre as coordenadas de seus pontos.

Fixemos como caso padro o da reta r passando por dois pontos dados P1e P2, digamos P1 = (1, 2), P2 = (4, 1). Se P = (x, y) um ponto de r esquerda de P1, temos, por semelhana de tringulos,

y 21 x =

2 14 1 =

1

3,

ou, multiplicando em cruz,

3y 6 = 1 x.Exerccio: Verique que se P est direita de P2 ou entre P1 e P2 a mesmarelao vlida.

Os pontos (virtuais) de nossa reta (virtual) devem, portanto, satisfazer

equao x+3y-7=0. Isto quer dizer que r o subconjunto do plano virtual

dado por

r = { (x, y) | x+ 3y 7 = 0 }.

Observe que podemos repetir o raciocnio para o caso geral em que P1 =(x1, y1), P2 = (x2, y2).Obteremos ento, se P=(x,y) um ponto da reta (virtual):

y y1x x1 =

y2 y1x2 x1 ,o que nos fornece uma equao do tipo ax+ by + c = 0.

Exerccio: Verique isso (note que a = (y2 y1), b = (x1 x2), c = (x2y1 y2x1)).

No custa nada observar que a semelhana de tringulos em que baseamos

nossas dedues ca comprometida se a reta r vertical ou horizontal.

Note que se o ponto (h,0) a interseo de uma reta vertical r com o eixo dos

x, ento um ponto (x,y) do plano est em r se e s se x=h, o que corresponde

a uma equao do tipo ax + by + c = 0, com a = 1, b = 0, c = h. Da


Figura 3.2:

mesma forma, uma reta horizontal passando por (0,k) ter equao da forma

ax+ by + c = 0, com a = 0, b = 1, c = k.Assim, toda reta do plano virtual um conjunto r da forma

r = { (x, y) IR2|ax+ by + c = 0 },com a, b e c xos.

Exerccio: E a recproca? verdade que a todo subconjunto r do plano

virtual com a forma acima corresponde uma reta no plano geomtrico?

Pelo que acabamos de ver, aos objetos geomtricos reta e crculo corres-

pondem objetos virtuais reta e crculo. As retas virtuais so subconjuntos

de IR2 (que o nome tcnico do plano virtual) dados por equaes do tipoax + by + c = 0. Os crculos virtuais so subconjuntos de IR2 dados porequaes do tipo (x x0)2 + (y y0)2 = r2. Tambm vimos que no existepropriamente a equao do crculo: as equaes

13

Figura 3.3:

(x x0)2 + (y y0)2 = r2

e (x x0)2 + (y y0)2 = rdenem o mesmo crculo. No difcil ver que a mesma observao vale para

retas: as equaes x+3y-7=0, -2x-6y+14=0, pix + 3piy 7pi = 0 denem amesma reta.

Poder-se-ia objetar que estas trs ltimas equaes so todas do tipo ax +by + c = 0, o que diferente do caso do crculo. Vejamos ento o seguinte.

A equao x+3y-7=0 corresponde reta r passando por P1 = (1, 2) e P2 =(4, 1), que vem tambm a ser a mediatriz do segmento de reta de extremidadesA = (2, 0) e B = (3, 3). Usando a denio de mediatriz temos que P=(x,y)


est em r se e s se a distncia de P a A igual de P a B, o que nos fornece

a seguinte equao para r:(x 2)2 + y2 =

(x 3)2 + (y 3)2.

Exerccio: Mostre que a equao acima equivalente a x+3y-7=0.

Exerccio: Determine uma equao para a reta que passa pelo ponto (1,2) e

normal de equao x+3y-7=0.

Captulo 4

CURVAS E EQUAES.

LUGARES GEOMTRICOS

A lio a extrair do captulo anterior no se restringe a retas e crculos: cada

curva do plano geomtrico deve poder ser traduzida para o plano virtual

por meio de uma equao. Tomemos um novo exemplo. Considere no plano

geomtrico um ponto F e uma reta d. Seja p o lugar geomtrico dos pontos

do plano que equidistam de F e de d (isto , o ponto P est em p se e s se

a distncia de P a F igual de P reta d)

1

.

Figura 4.1:

1

p uma curva bastante famosa, conhecida pelo nome de parbola

15

16 CAPTULO 4. CURVAS E EQUAES. LUGARES GEOMTRICOS

Procuremos traduzir algebricamente a propriedade que dene p. Suponhamos

que a reta d coincide com o eixo horizontal e que o ponto F est sobre o eixo

vertical, digamos F = (0, y0), com y0 6= 0. Se P=(x,y) um ponto do plano,ento sua distncia a F

x2 + (y y0)2. Sua distncia reta d ser dadapelo valor absoluto de y. Assim, P pertence a p se e s se P satisfaz equao

| y |= x2 + (y y0)2.Exerccio: Mostre que a equao acima equivalente a y = 1

2y0(x2 + y20).

H uma constatao impressionante a ser feita. A equao para p foi ob-

tida diretamente de sua denio; no foi preciso desenhar p ou ter qualquer

conhecimento geomtrico anterior sobre parbolas para obt-la. Poderamos

repetir esse processo para uma outra curva qualquer, denida arbitraria-

mente. S precisamos de uma boa traduo algbrica para a denio.

A idia animadora, vamos experimentar um exemplo um pouco mais es-

quisito. Seja c a curva denida da seguinte forma: o ponto P est em c se

e s se sua distncia ao ponto P0 de coordenadas (4,5) igual a duas vezeso quadrado de sua distncia ao eixo dos x mais trs vezes a quarta potncia

de sua distncia ao eixo dos y.

Figura 4.2:

Isto nos d, se P=(x,y),(x 4)2 + (y 5)2 = 2 | y |2 +3 | x |4 .

17

Exerccio: Mostre que a equao acima equivalente a

9x8 + 12x4y2 + 4y4 x2 y2 + 8x+ 10y 41 = 0.Deu certo! Mesmo sem termos a menor idia de como seja a curva c (isto ,

sem termos jamais visto seu desenho) somos capazes de obter uma equao

para sua correspondente no plano virtual. Assim, a introduo de sistemas

de coordenadas nos d acesso a territrios geomtricos jamais visitados pelos

companheiros de Euclides. Podemos ir mais alm, invertendo o processo.

Se at agora nos limitamos a traduzir algebricamente objetos previamente

denidos no plano geomtrico, por que no fazer o contrrio? Por que no

partir da equao?

Mais concretamente, considere a equao

y4 + x2 = 1.

Seja c = { (x, y) IR2 | y4 + x2 = 1 }. Ora, c um subconjunto do planovirtual, ao qual corresponde, uma vez xado um sistema de coordenadas,

um subconjunto do plano geomtrico. Este conjunto precisamente o lugar

geomtrico dos pontos do plano tais que a soma da quarta potncia de suas

coordenadas y com o quadrado de suas coordenadas x igual a 1.

O exemplo acima nos mostra como proceder para criar curvas no plano ge-

omtrico a partir de equaes. Como j vimos que uma mesma curva tem

diversas equaes (innitas, na verdade), como saber se duas equaes de-

nem a mesma curva? O que temos no um critrio prtico, mas uma simples

observao: duas equaes denem a mesma curva se e s se o conjunto dos

pares ordenados que satisfazem a uma igual ao conjunto dos que satisfazem

outra; ora, esta precisamente a denio de equivalncia algbrica entre

equaes. Assim, duas equaes denem a mesma curva se e somente se so

algebricamente equivalentes.

Exerccio: Como a curva denida pela equao log(x+ 3y 6) = 0?

Passemos agora a uma questo mais delicada. Andamos insinuando, de forma

algo leviana, que toda equao em x e y dene uma curva no plano (atravs

da correspondncia entre o plano virtual e o plano geomtrico introduzida no

captulo 1). Uma anlise rigorosa da questo pode ser (e ) feita no mbito

18 CAPTULO 4. CURVAS E EQUAES. LUGARES GEOMTRICOS

Figura 4.3:

do Clculo Diferencial. Podemos porm dar uma indicao das razes por

que, em geral (mas nem sempre - pense em x2 + y2 = 0), isto acontece.Tomemos como exemplo nossa curva c dada pela equao y4 + x2 = 1. Paraestudar a questo pensemos que nossos pontos vivem em um plano horizontal

situado em um espao tridimensional. Fixado um sistema de coordenadas

no plano, consideremos um terceiro eixo, vertical (das coordenadas z), pas-

sando pela origem. No lugar de nos restringirmos equao y4 + x2 = 1,consideremos a funo

z = y4 + x2.

Isto signica que estamos levantando os pontos de coordenadas (x,y) e

marcando, no espao, os pontos (x,y,z), onde a altura z dada por z = y4+x2.Obtemos assim uma superfcie. Os pontos da curva y4 + x2 = 1 so aquelespara os quais a altura z 1 e correspondem, na superfcie, interseo com

o plano horizontal de altura 1 (c dita uma curva de nvel).

2

2

Note que a "curva" nem sempre , de fato, uma curva (veja y4+x2 = 0) ou correspondea um objeto geomtrico palpvel (veja y4 + x2 = 1)

Captulo 5

INTERSEES. SISTEMAS DE

EQUAES

Um procedimento fundamental em Geometria a tomada de intersees en-

tre curvas. Embora nas construes geomtricas as nicas intersees obtidas

diretamente sejam aquelas envolvendo retas e crculos, vamos inicialmente

considerar o caso geral. Se a curva c1 dada por uma equao e a curvac2 dada por outra equao, ento os pontos de c1 so os que satisfazem primeira equao e os de c2 so os que satisfazem segunda. Assim, a inter-seo entre c1 e c2 o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamentea ambas as equaes.

Vejamos o caso particular de duas retas, digamos r1 dada pela equaox + 3y 7 = 0 e r2 dada por 2x y 1 = 0. A interseo de r1 e r2 oponto de coordenadas (x,y) que satisfaz ao sistema{

x+ 3y 7 = 02x y 1 = 0

Exerccio: Resolva o sistema acima.

Da mesma forma, se quisermos a interseo da reta de equao x+3y-7=0

com o crculo de equao (x 2)2 + (y 2)2 = 1, devemos resolver o sistema{x+ 3y 7 = 0(x 2)2 + (y 2)2 = 1

Exerccio: Resolva o sistema acima.

19

20 CAPTULO 5. INTERSEES. SISTEMAS DE EQUAES

Consideremos, agora, a interseo de dois crculos, digamos c1, de equao(x 2)2 + (y 2)2 = 1, e c2, de equao (x 3)2 + y2 = 5. Agora j temosum sisteminha um pouco mais emocionante:{

(x 3)2 + y2 = 5(x 2)2 + (y 2)2 = 1

Exerccio: Resolva o sistema acima. Sugesto: desenvolva as duas equaes

e em seguida subtraia uma da outra, obtendo uma terceira equao sem

termos do segundo grau (a que corresponde essa nova equao?); obtenha

nessa ltima o valor de y em funo de x e substitua na primeira.

Bom, j deve estar claro que ao procedimento (grco) de achar a interseo

de duas curvas no plano geomtrico corresponde, no plano virtual, o procedi-

mento (algbrico) de calcular as solues de um sistema de duas equaes a

duas incgnitas. O mnimo que se pode dizer que no evidente que o se-

gundo seja mais fcil do que o primeiro, ou de que possa ajudar a simplicar

a vida.

Captulo 6

GEOMETRIA ANALTICA,

DESENHO GEOMTRICO E

COMPUTAO GRFICA

O nascimento daGeometria Analtica datado de 1637, ano da publicao

do livro A Geometria, de Ren Descartes. Descartes no se preocupa

em explicitar sistemas de coordenadas, nem descreve seus pontos por pares

ordenados, como fazemos hoje. Principalmente no se partia, nos primrdios

da Geometria Analtica, de um sistema de eixos preexistente - as coordenadas

eram apenas grandezas x e y a serem relacionadas e eram introduzidas a

partir da gura que se considerava (os eixos, em geral, sequer eram dese-

nhados). O que caracteriza o trabalho de Descartes e praticamente tudo

que se fez a partir da, a intensiva utilizao de equaces para a descrio

das curvas e tratamento das questes geomtricas. Com a algebrizao

proposta por Descartes e o desenvolvimento do Clculo Innitesimal por

Isaac Newton, poucas dcadas depois, a Geometria pde enm tomar novos

rumos, abordar novas questes (ou dar novas formulaes a velhas questes)

e ir alm dos conhecimentos herdados da Antiguidade Clssica.

No nosso propsito tratar aqui os avanos da Geometria nos ltimos trs

sculos e meio. O que queremos ressaltar que, a partir da introduo

da Geometria Analtica, o desenvolvimento da Matemtica deixa para trs a

Geometria Sinttica - rgua e compasso so trocados por coordenadas e equa-

es (sem falar em outros instrumentos poderosos, como derivada e integral).

Para darmos uma idia, ainda que pobre, da situao, como se o plano geo-

21

22CAPTULO 6. GEOMETRIA ANALTICA, DESENHOGEOMTRICO E COMPUTAOGRFICA

mtrico ao qual nos temos referido nos captulos anteriores fosse substitudo

pelo plano virtual(isto , o espao IR2). A idia de plano , hoje em dia,praticamente inseparvel de IR2, uma curva quase que automaticamenteassociada a uma equao.

Ao longo desses anos, enquanto os matemticos desbravavam novos espaos,

novas Geometrias, a Geometria Euclidiana no foi, como se poderia imaginar,

recolhida aos museus. Alm de constitutir base indispensvel para a constru-

o e compreenso das pores mais avanadas da Matemtica, manteve-se

entrincheirada em um ramo particular da atividade humana: a representao

grca. Desenho de Arquitetura e de Engenharia, Desenho Industrial, Dese-

nho Tcnico em geral, permaneceram inexpugnveis Geometria Analtica.

Suas ferramentas continuaram sendo o velho e bom Desenho Geomtrico e

sua verso mais moderna, a Geometria Descritiva, que trabalha com coor-

denadas mas no com equaes. A razo simples: os mtodos analticos

so poderosos para a compreenso de propriedades geomtricas, as equaes

so ecazes na descrio das curvas e das superfcies, mas no trouxeram

consigo instrumentos mais efetivos de desenho: os clculos so demorados

e a converso das equaces em curvas se faz ponto a ponto. Rgua e com-

passo permaneceram insubstituveis sempre que se tratou de dar visibilidade

s idias geomtricas, e as guras possveis, em condies normais de tempo

e esforo, estiveram sempre limitadas ao alcance destas ferramentas.

Os avanos da Matemtica e da Fsica a partir do mesmo sculo XVII em

que veio luz a Geometria Analtica vo abrir caminho para o surgimento,

no sculo XX, do elemento que faltava. Veloz nos clculos e na converso

de coordenadas em pontos luminosos, o computador , entre outras coisas,

mquina de desenhar. Engenhoca essencialmente algbrica, desprovida de

viso e de tato, no entanto capaz de armazenar em sua memria uma

realidade virtual, feita de coordenadas, na qual as formas de nosso mundo

so subconjuntos do espao IR3, curvas e superfcies so equaes. SuaGeometria a Geometria Analtica.

A utilizao do computador como mquina geomtrica exige o uso de Geo-

metria Analtica tanto quando lhe comunicamos os dados e as instrues so-

bre os procedimentos que desejamos ver cumpridos, como quando queremos

receber os resultados obtidos. A tela do monitor constituda de pequenos

pontos luminosos (chamados pixels), que podem ser localizados por meio de

23

Figura 6.1:

coordenadas.

Embora o nmero de pixels seja nito (alguns milhes, nos monitores de alta

denio, com algumas centenas em cada linha horizontal ou vertical), ,

ainda assim, suciente para dar a sensao de continuidade. Para simplicar

as coisas, vamos deixar de considerar este aspecto da situao, trabalhando

como se o nmero de pixels fosse innito, em bijeo com os pontos da poro

do plano representada na tela. O essencial a compreenso de que, para que

o computador marque um determinado ponto na tela, precisamos dizer-lhe

onde este se localiza, o que feito informando suas coordenadas. Mais, o

computador no visualiza, como ns podemos fazer de olhos fechados, as

imagens dos objetos com que trabalha: os pontos, em sua memria, so os

pares ordenados.

1

1

e os objetos geomtricos so arquivos em que esto armazenados os pontos que os

constituem ou algoritmos que permitam gerar esses pontos

24CAPTULO 6. GEOMETRIA ANALTICA, DESENHOGEOMTRICO E COMPUTAOGRFICA

Captulo 7

EQUAES PARAMTRICAS

Consideremos o problema geral de desenhar curvas denidas por equaes.

Mais especicamente, consideremos o crculo de equao x2 + y2 = 1. Aprimeira diculdade que vamos enfrentar que a equao nos fornece apenas

um teste para decidirmos, para cada ponto (x,y), se este pertence ou no

nossa curva. Ao contrrio do compasso, que nos indica, preciso e decidido,

apenas os pontos que interessam, a equao acima nos obriga a sairmos

testando todos e cada um dos pontos do plano, escolhendo os que servem

e deixando de lado os que no satisfazem equao

1

.

Na realidade podemos manipular a equao x2 + y2 = 1, obtendo

y2 = 1 x2,ou seja,

y =

1 x2.Assim, fazendo variar x de -1 a +1, obtemos, para cada x, um par de

coordenadas y correspondentes. Na prtica, teremos que estabelecer um

nmero nito de pontos a serem calculados e marcados

2

.

natural que faamos variar x a intervalos regularmente espaados. Uma

primeira aproximao pode ser feita, por exemplo, com os valores

1

Note que essa ideia no de todo absurda, no caso de estarmos desenhando na tela

de um computador, j que o nmero de pontos na tela nito e a mquina, veloz

2

Se estamos desenhando um crculo na tela do computador, intil que este nmero

seja superior ao nmero de pixels na horizontal entre os pontos (-1,0) e (1,0)

25

26 CAPTULO 7. EQUAES PARAMTRICAS

x = 1, 34, 1

2, 1

4, 0,

1

4,

1

2,

3

4, 1.

Figura 7.1:

Note que, embora os valores de x estejam regularmente espaados, o mesmo

no acontece com os pontos do crculo obtidos a partir deles.

Exerccio: Reita a respeito antes de prosseguir a leitura. Qual o compri-

mento do arco que vai do ponto (1,0) ao ponto (12,32

)? Qual o do arco que

vai de (12,32

) at (0,1)? Encontre nove novos valores de x de forma a obtersobre o crculo pontos regularmente espaados.

Um pouco de reexo nos leva a concluir que pontos regularmente espa-

ados sobre o crculo podem ser obtidos mais facilmente se trocarmos de

parmetro, usando o ngulo naturalmente associado a cada ponto no lugarde sua coordenada x. Chamando de o ngulo 3 correspondente ao arco quevai de (1,0) ao ponto considerado (no sentido trigonomtrico), as coordenadas

correspondentes sero

(x(), y()) = (cos, sen).

3

Procuraremos sempre trabalhar com ngulos em radianos, que simplicam o clculo

de derivadas - estas vo nos interessar, pelo menos, por nos facilitarem a determinao

das tangentes s curvas

27

Como estvamos trabalhando com um total de dezesseis pontos do crculo,

devemos variar de 0 a 2pi, a intervalos de tamanho pi8:

= 0,pi

8,pi

4,

3pi

8,pi

2,

5pi

8,

3pi

4,

7pi

8, pi,

9pi

8,

5pi

4,

11pi

8,

3pi

2,

13pi

8,

7pi

4,

15pi

8.

Figura 7.2:

claro que podemos alterar o nmero de pontos: se queremos n pontos, basta

criar = 2pine fazer variar de em , comeando em = 0 e terminandoem = (n 1)2pi

n.

Exerccio: Reita a respeito.

O fato que temos aqui uma grande novidade: estamos no mais fornecendo

um critrio para se testar quais pontos (x,y) esto sobre o crculo e quais

esto fora dele, mas, com a introduo de um parmetro novo (o ngulo

), indicando uma frmula (precisa e decidida como um compasso) para aobteno direta de pontos do crculo. O que criamos uma funo que a

cada valor do parmetro associa um par ordenado (x(), y()), dado pelasequaes paramtricas {

x() = cosy() = sen


As equaes paramtricas nos fornecem no s a curva, mas um modo de

percorr-la. Quando varia de 0 a 2pi, o ponto correspondente (x(), y())percorre o crculo, no sentido trigonomtrico, a partir do ponto (1,0).

Se quisermos o crculo de raio r, de equao

x2 + y2 = r2,

basta que faamos {x() = rcosy() = rsen

Exerccio: Note que se trocarmos as equaes para{x() = seny() = cos

nosso crculo ser percorrido no sentido horrio a partir do ponto (0,1).

Exerccio: Suponha que o ponto de coordenadas (x(t),y(t)) representa a ex-

tremidade mvel do ponteiro dos segundos de um relgio (suponha que o

comprimento do ponteiro 5). Se a origem do sistema de coordenadas est

no centro do relgio, encontre as equaes paramtricas x(t) e y(t). Faa

o mesmo para o ponteiro dos minutos (tambm de comprimento 5) e para

o das horas (suposto de comprimento 3). Nos trs casos o parmetro t o

tempo (medido em segundos e a partir de 00:00).

Examinemos as idias que acabamos de desenvolver de um ponto de vista

mais geral. O que estamos fazendo , de certa forma, olhar para uma curva

no mais como um conjunto mas como a trajetria de uma partcula. Algo

assim como acompanhar o movimento da ponta de um lpis que esteja tra-

ando nossa curva. O traado se faz durante um certo intervalo de tempo,

comeando, digamos, em t = t0 e terminando em t = t1. Em cada instante tdo intervalo [t0, t1] a ponta do lpis est sobre um ponto P(t) da curva, sendoas coordenadas de P(t) dadas por (x(t),y(t)). As expresses de x(t) e y(t)

so chamadas de equaes paramtricas da curva (t o parmetro). No

caso do ponteiro das horas do exerccio acima, as expresses de x(t) e y(t)

so dadas por

29

{x(t) = 3sen(t)y(t) = 3cos(t)

,

onde (t) o ngulo varrido pelo ponteiro das horas no tempo t (expressoem segundos). Portanto, visto que o ponteiro varre um ngulo de 300 (pi/6,em radianos) em uma hora (3600 segundos), temos

(t) =pi

21600t,

e, logo, as equaes paramtricas so{x(t) = 3sen( pi

21600t)

y(t) = 3cos( pi21600

t).

Figura 7.3:

Exerccio: Pense bem, refaa o exerccio. Tenha certeza de que no vai se

confundir com a situao em que a curva representa o grco de uma funo

(nesse caso x considerado a varivel e temos apenas uma equao, que

expressa y como funo de x). Aqui a varivel t invisvel como o tempo, o

que vemos o ponto que se move medida em que o tempo passa.


Vejamos mais um exemplo. A espiral abaixo no pode, certamente, re-

presentar o grco de uma funo y=f(x). Mas podemos conceber que seja

traada a partir do instante t0 = 0, comeando da origem. Em cada instantet 0 teremos um ponto da espiral, de coordenadas (x(t),y(t)).

Figura 7.4:

Exerccio: Desenhe a curva (x(t),y(t)), t 0, dada por{x() = tcosty() = tsent

(note que como se tentssemos traar um crculo cujo raio fosse aumen-

tando).

Exerccio: Observe que o caso em que a curva representa o grco de uma

funo y=f(x) pode ser visto sob o prisma das equaes paramtricas, seja

fazendo {x(t) = ty(t) = f(t)

,

seja simplesmente considerando que, neste caso, o parmetro a prpria

varivel x.

31

Exerccio: Note que uma curva no precisa ser percorrida a velocidade cons-

tante. Nada nos impede, por exemplo, de mudar a parametrizao do crculo

unitrio dada anteriormente para{x(t) = cost2

y(t) = sent2

Neste caso, se comearmos de t=0, a primeira volta ser percorrida no inter-

valo [0,

2pi], que maior do que o intervalo [

2pi, 2pi], correspondente segunda volta.

Exerccio: No exerccio anterior, para que valor tende o tempo decorrido entre

a n-sima e a n-sima primeira passagem de (x(t), y(t)) por (1,0), quando ntende a innito?

Passemos agora ao caso da reta. Consideremos a reta passando pela origem

e pelo ponto (3,2).

Figura 7.5:

Os pontos (x,y) da reta so tais que x e y so catetos de um tringulo

retngulo semelhante ao de catetos 3 e 2. Vale, portanto,

x

3=y

2= k.

Isto nos conduz a usar a razo de semelhana k como parmetro e escrever:


{x(k) = 3ky(k) = 2k

Exerccio: Observe que podemos ter x e y negativos, o que daria aos catetos

correspondentes os valores -x e -y, mas isso pode ser facilmente arranjado

fazendo k negativo e mantendo as mesmas equaes obtidas acima.

Vejamos o que acontece se mudarmos o nome do parmetro de k para t, t de

tempo. Fazendo variar t de a +, nossa reta totalmente percorrida,num certo sentido e com uma certa velocidade: o sentido da origem para

o ponto (3,2) e a velocidade tal que a cada unidade de tempo percorremos

distncia igual ao comprimento do segmento que vai da origem ao ponto

(3,2).

Figura 7.6:

Exerccio: Note que podemos mudar a velocidade e o sentido do percurso:

se (a,b) um ponto da reta (outro que a origem), podemos tomar como

equaes paramtricas: {x(t) = aty(t) = bt

33

Verique que , neste caso, o sentido o mesmo se a e b forem positivos

e muda se forem negativos. A velocidade dada pela distncia de (a,b)

origem (

a2 + b2 por unidade de tempo).

Exerccio: Note que qualquer reta passando pela origem pode ser parametri-

zada da mesma forma: escolhemos um ponto (a,b) outro que a origem e

fazemos {x(t) = aty(t) = bt

Figura 7.7:

Note que o sentido de percurso sempre da origem para (a,b) e que a ve-

locidade dada pelo comprimento

a2 + b2. Pense nisto cuidadosamente,examine diversos casos.

Vejamos agora o que acontece quando a reta considerada no passa pela

origem. Tentemos aproveitar o que j foi feito, considerando uma reta para-

lela que passa pela origem e por (3,2). Suponhamos que nossa reta passa

por um ponto conhecido, digamos (1,2).

Podemos ento operar um deslocamento paralelo de todos os pontos da reta

que passa pela origem de forma a obtermos a reta desejada (isto fazemos


uma translao). Em termos de coordenadas isso se faz somando sempre

os mesmos valores s coordenadas (3t,2t) do ponto original:{x(t) = 3t+ 1y(t) = 2t+ 2

Figura 7.8:

Ora, este um procedimento geral: se queremos uma reta que passa pelo

ponto (c,d) e paralela que passa pela origem e por (a,b), basta operarmos

um deslocamento anlogo

Figura 7.9:

35

e obteremos {x(t) = at+ cy(t) = bt+ d

Exerccio: Entenda isto direitinho.

Vejamos o que acontece quando a reta dada por dois pontos, digamos (1,2)

e (3,4).

Figura 7.10:

Note que se tomarmos uma paralela passando pela origem, esta incluir o

ponto de coordenadas (3-1,4-2)=(2,2). A reta passando por (2,2) e pela

origem ser {x(t) = 2ty(t) = 2t

e a reta desejada pode ser obtida deslocando-se a origem at o ponto (1,2)

(e todos os demais pontos de forma paralela):{x(t) = 2t+ 1y(t) = 2t+ 2


Note que mais uma vez temos um procedimento geral: se a reta passa por

(a1, b1) e (a2, b2), podemos escrev-la na forma paramtrica por{x(t) = (a2 a1)t+ a1y(t) = (b2 b1)t+ b1

Figura 7.11:

Exerccio: Escolha dois pontos e ache equaes paramtricas para a reta

passando por eles.

Exerccio: Determine equaes paramtricas para a reta que passa por (1,-3)

e normal reta que passa pela origem e por (2,1).

Soluo:

A reta passando pela origem e normal que passa por (2,1) passar pelo

ponto (-1,2) (veja a semelhana de tringulos na gura). Pode, portanto, ser

parametrizada por {x(t) = 1t = ty(t) = 2t

.

A reta que queremos a paralela a esta ltima passando por (1,-3), que

parametrizamos por {x(t) = t+ 1y(t) = 2t 3 .

37

Figura 7.12:

Captulo 8

VETORES

No captulo anterior andamos usando e abusando de echinhas. Estvamos

tentando preparar o esprito do leitor para uma nova entidade: os vetores,

que vo surgir dois sculos depois de Descartes e Fermat

1

.

Figura 8.1:

1

Como geralmente ocorre no processo histrico, diversos matemticos contriburam

para a construo do conceito de vetor, que vai, no sculo XX, tomar amplitude bem maior

do que a que lhe daremos aqui. Nossas echinhas podem ser vistas como um subproduto

dos quatrnions, criados em 1843 pelo irlandsWilliam Rowan Hamilton

39

40 CAPTULO 8. VETORES

a Flechinhas

De maneira informal, um vetor uma echinha que pode ser xada em

qualquer ponto do plano, por simples translao. O vetor correspondente

echa que liga o ponto A ao ponto B, apontando de A para B, usualmente

designado por

~AB. Na gura anterior, todas as echinhas designadas por~v representam o mesmo vetor. J a echinha designada por ~u, embora domesmo tamanho (e, poderamos quase dizer, igualzinha), representa outro

vetor, distinto de ~v. 2

b Norma

O comprimento de um vetor ~v chamado de norma de ~v e notado por |~v|.Um vetor de norma 1 dito unitrio.

c Produto por escalar

Figura 8.2:

2

Para no dizerem que no denimos corretamente o conceito de vetor, aqui vai: con-

sidere o conjunto de pares ordenados (A,B) de pontos do plano (ou mesmo do espao), o

que equivale a considerar segmentos orientados AB, ou echas

~AB; diremos que (A,B) equivalente a (C,D) se os segmentos AB e CD tm o mesmo comprimento, so paralelos

e se tambm so paralelos os segmentos AC e BD (note que assim as echas

~AB e ~CDrepresentam de fato o mesmo vetor); um vetor uma classe de equivalncia denida por

esta relao (isto , um vetor um conjunto de echas equivalentes).

D. SOMA DE VETORES 41

Vetores podem ser multiplicados por nmeros

3

: se t um nmero real e ~v um vetor, ento t~v o vetor que se obtm esticando (ou comprimindo) ~v deforma que seu comprimento que multiplicado por t (se t negativo, ento,

alm disso, trocamos a orientao de ~v, isto , t~v aponta no sentido contrrioao de ~v).

Exerccio: Seja ~v o vetor ~OP , sendo O a origem do sistema de coordenadas eP o ponto de coordenadas (a,b). Pense at chegar concluso de que t~v o

vetor

~OQ, sendo Q o ponto de coordenadas (ta,tb). No prossiga enquantono conseguir.

Exerccio: Conclua que se ~v = ~OP , ento a reta passando pela origem e por P o conjunto dos pontos Q tais que o vetor ~u= ~OQ da forma t~v para algumnmero real t.

Exerccio: Seja ~v um vetor. Mostre que |t~v| = |t||~v| t IR.

d Soma de vetores

Vetores tambm podem ser somados. A soma ~u+ ~v ilustrada no paralelo-gramo abaixo (note que a congruncia entre os tringulos garante a comuta-

tividade da operao).

Figura 8.3:

Exerccio: Desenhe e pense at concluir que se O a origem, P o ponto de co-

ordenadas (a,b), Q o de coordenadas (c,d), ~u= ~OP e ~v= ~OQ, ento ~u+~v= ~OR,

3

Neste contexto, tambm chamados escalares


onde R o ponto de coordenadas (a+c,b+d). No prossiga enquanto no

conseguir.

Figura 8.4:

Usando coordenadas, ou simplesmente olhando para a gura abaixo, conclua

que a adio de vetores uma operao associativa, isto : para quaisquer

vetores ~u, ~v e w, verdade que (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w).

Figura 8.5:

Convena-se, tambm, de que valem as seguintes propriedades, quaisquer que

sejam os escalares s e t e quaisquer que sejam os vetores ~u e ~v.:

s(t~u) = (st)~u;

t(~u+ ~v) = t~u+ t~v

D. SOMA DE VETORES 43

(s+ t)~u = s~u+ t~u.

Figura 8.6:

Exerccio: Considere a reta r que passa pelo ponto P0 e paralela ao vetor~v. Se A um ponto qualquer do plano, seja ~u0 = ~AP0. Entenda que o pontoP do plano est em r se e somente se o vetor ~u= ~AP da forma ~u0 + t~v paraalgum escalar t.

Figura 8.7:

Exerccio: Sejam ~u e ~v dois vetores. Mostre que |~u+ ~v| |~u|+ |~v|.


Figura 8.8:

e Somando vetores a pontos

Podemos, ainda, denir uma operao "bastarda", somando o vetor ~v aoponto P . Neste caso, P + ~v um novo ponto, Q, denido por: P + ~v = Q

se

PQ= ~v. s vezes dizemos que o ponto Q obtido aplicando o vetor ~v aoponto P .

Figura 8.9:

Observe que essa operao tambm associativa: para qualquer ponto P equaisquer vetores ~u e ~v, vale (P + ~u) + ~v = P + (~u+ ~v).

F. VETORES E PARAMETRIZAES 45

Figura 8.10:

f Vetores e parametrizaes

Consideremos o seguinte desao: dados dois pontos P1 e P2, parametrizar osagmento P1P2 de forma que partamos de P1 no tempo t=0 e cheguemos aP2 no tempo t=1.

Vamos trabalhar de forma intrnseca, isto , sem fazer uso de coordenadas.

Seja ~v o vetor ~P1P2, de forma que podemos escrever P1+~v=P2. Se conside-rarmos os vetores t~v, com 0 t 1, teremos os pontos do segmento P1P2dados por P1+t~v.

Figura 8.11:

claro ento que o ponto P1+t~v percorre o segmento P1P2 quando t variade 0 a 1, comeando em P1 e terminando em P2.


Exerccio: E se quisermos partir de P1 no tempo t = t1 e chegar a P2 notempo t = t2?

Captulo 9

VETORES E COORDENADAS

O propsito deste curto captulo chamar a ateno para a verso vetorial

do que zemos no captulo 1, com a introduo de sistemas de coordenadas.

Comecemos com as coordenadas cannicas.

Figura 9.1:

Sejam ~e1 o vetor unitrio horizontal e ~e2 o unitrio vertical1

. Se P=(x,y)

um ponto do plano, o correspondente vetor posio

~OP pode ser expressopor

~OP = x~e1 + y~e2.

1

Por razes histricas, tambm conhecidos como i e j. Nos quatrnions de Hamilton, i

o mesmo dos complexos; j e k foram concebidos como novos nmeros, com o propsito

de ir alm do conjunto dos complexos

47

48 CAPTULO 9. VETORES E COORDENADAS

(dizemos que

~OP est expresso como combinao linear de ~e1 e ~e2). Assim,expressar o ponto P atravs de suas coordenadas (x,y) essencialmente a

mesma coisa que escrever seu vetor posio

~OP como combinao linear de~e1 e ~e2.

Vamos, no prximo captulo examinar com um pouco mais de cuidado esse

processo em que um mesmo par ordenado pode ser fornecer coordenadas de

um ponto ou de um vetor, conforme o caso. Mas vejamos, ainda, o caso de

um sistema de coordenadas qualquer.

Figura 9.2:

Tomemos os vetores ~v1 e ~v2 denidos da seguinte forma: ~v1 o vetor posiodo ponto que marca a unidade no primeiro eixo, ~v2 o correspondente nosegundo eixo. Ento, se o ponto P tem, nesse sistema, (x,y) por coordenadas,

o vetor

~OP se expressa como combinao linear de ~v1 e ~v2 da seguinte forma:

~OP = x~v1 + y~v2.

Por extenso, os nmeros x e y so chamados coordenadas do vetor

~OP nabase {~v1, ~v2} 2.2

Uma base (no plano) qualquer par de vetores {~u1, ~u2} tal que todo vetor ~u (do plano)

49

Exerccio: Considere xado um sistema cannico de coordenadas, por meio

do qual vamos expressar os dados do problema. Sejam ~v1=(2,-1), ~v2=(1,3) e~v=(1,1). Escreva ~v como combinao linear de ~v1 e ~v2. A resposta dependemesmo de ser cannico o sistema de coordenadas?

Exerccio: Sejam ~v1 e ~v2 como acima. Calcule as coordenadas (a11, a21) de ~e1e (a12, a22) de ~e2 na base {~v1, ~v2}. Mostre que se o vetor ~v tem coordenadas(x1, x2) na base {~e1,~e2} e (y1, y2) na base {~v1, ~v2}, ento:{

y1 = a11x1 + a12x2y2 = a21x1 + a22x2

,

ou, na forma matricial,(y1y2

)=

(a11 a12a21 a22

) (x1x2

).

se expressa de forma nica como combinao linear de ~u1 e ~u2. A base composta por ~e1e ~e2 dita a base cannica do plano

50 CAPTULO 9. VETORES E COORDENADAS

Captulo 10

O MISTRIO DA SANTSSIMA

TRINDADE

Para melhor compreenso deste captulo, conveniente que o leitor apague

de sua memria tudo que sabe de sistemas de coordenadas e volte a pensar no

plano "puro", isto , sem eixos ou coordenadas. Voltemos, pois, Geometria

Sinttica, mas sem eliminar o conceito de vetor.

a Vetores e pares ordenados

Fixemos no plano dois vetores, ~1 e ~2, linearmente independentes (istosignica: nem ~1 mltiplo de ~2, nem ~2 mltiplo de ~1).

Figura 10.1:

51

52 CAPTULO 10. O MISTRIO DA SANTSSIMA TRINDADE

Figura 10.2:

Seja agora ~u um vetor qualquer do plano. Podemos colocar as echinhas querepresentam ~u, ~1 e ~2 partindo de um mesmo ponto. Traando, pela pontade ~u, retas paralelas a ~1 e ~2, respectivamente, obtemos vetores ~v2, mltiplode ~2, e ~v1, mltiplo de ~1, tais que

~u = ~v1 + ~v2.

Figura 10.3:

Note que esse procedimento determina perfeitamente ~v1 e ~v2 (isto : noexiste outro par de vetores, ~w1 e ~w2, respectivamente mltiplos de ~1 e ~2,tais que ~u = ~w1 + ~w2). Mais interessante ainda, como podemos, para certosreais x1 e x2, escrever ~v1 = x1~1 e ~v2 = x2~2, ca determinado um nico parordenado (x1, x2) de nmeros reais tal que

~u = x1~1 + x2~2.

A. VETORES E PARES ORDENADOS 53

Figura 10.4:

Como, reciprocamente, dado um par ordenado (x1, x2) de nmeros reais, po-demos construir um nico vetor ~u tal que ~u = x1~1+x2~2, o que acabamos deestabelecer uma bijeo entre o conjunto dos vetores do plano e o conjunto

IR2 de pares ordenados de nmeros reais. Mais ainda, usando as proprieda-des algbricas da adio e da multiplicao por escalar de vetores, temos: se

~u = x1~1 + x2~2 e t um nmero real, ento

t~u = t(x1~1 + x2~2) = t(x1~1) + t(x2~2) = (tx1)~1 + (tx2)~2;

se ~u = x1~1 + x2~2 e ~v = y1~1 + y2~2, ento

~u+ ~v = (x1~1 + x2~2) + (~v = y1~1 + y2~2) = (x1 + y1)~1 + (x2 + y2)~2.

Isto signica que a bijeo que acabamos de construir preserva as ope-

raes: o par ordenado que corresponde ao vetor obtido pela multiplicao

do vetor ~u pelo escalar t obtido multiplicando por t o par ordenado quecorresponde a ~u; o par ordenado que corresponde ao vetor obtido pela somade dois vetores obtido somando os correspondentes pares ordenados. Es-

quematicamente:

~u (x1, x2)t~u (tx1, tx2)

~u (x1, x2)~v (y1, y2)

~u+ ~v (x1 + y1, x2 + y2)


Podemos, assim, dizer que o par de vetores ~1 e ~2 uma espcie de chave quenos permite codicar cada vetor do plano como um par ordenado de nmeros

reais, preservando as operaes. O termo erudito base.

Denio: Um par de vetores (~1, ~2) dito uma base para o conjunto devetores do plano se, para todo vetor ~u do plano, existe um nico par ordenado(x1, x2) em IR

2tal que

~u = x1~1 + x2~2.

Observao: No vamos, aqui e agora, discutir duas questes gravssimas:

no seria possvel, procedendo de forma anloga, escolher adequadamente

trs ou mais vetores do plano e estabelecer uma bijeo entre o espao dos

vetores do plano e IR3 ou mesmo um outro IRn? ser linearmente independen-tes , de fato, condio necessria e suciente para que ~1 e ~2 constituamuma base para o conjunto de vetores do plano?

b Pontos e vetores

Figura 10.5:

Sabemos que a cada par ordenado de pontos, (A,B), podemos associar um

nico vetor, usualmente denotado por

AB. No entanto, a cada vetor ~u corres-

ponde uma innidade de pares ordenados (A,B) de pontos, tais que ~u =AB.A coisa muda de gura, porm, se xarmos um ponto de origem, O, do qual

C. A SANTSSIMA TRINDADE 55

partiro as echas que representam nossos vetores: a cada vetor ~u corres-

ponde um nico ponto P tal queOP= ~u; reciprocamente, a cada ponto P

corresponde um nico vetor ~u tal que ~u =OP . Assim, de forma anloga aoque vimos na seo anterior, estabelece-se uma bijeo entre os pontos e os

vetores do plano. Neste caso, a chave que permite tal identicao a xao

de uma origem O.

c A Santssima Trindade

Se a xao de uma origem O estabelece uma bijeo entre o plano e oconjunto dos vetores e a xao de uma base (~1, ~2) estabelece uma bijeoentre conjunto dos vetores do plano e IR2, ento a xao simultnea de umaorigem O e de uma base (~1, ~2) estabelece uma bijeo entre o plano e IR

2.

Denio: Um terno (O, ~1, ~2), sendo O um ponto do plano (denominadoorigem) e (~1, ~2) uma base para o conjunto dos vetores do plano, dito umsistema de coordenadas para o plano.

Neste momento, solene, crucial observar que, se cada sistema de coordena-

das estabelece uma bijeo entre o plano e IR2, tal bijeo , de fato, mediadapor duas outras: a que a origem cria entre pontos e vetores e a que a base

gera entre vetores e pares ordenados. A introduo de um sistema de co-

ordenadas, portanto, leva a uma identicao entre pontos, vetores e pares

ordenados, que passam constituir uma espcie de realizao matemtica do

mistrio da Santssima Trindade.

vetores

pontos pares ordenados

A aceitao do mistrio da Santssima Trindade, aqui, no uma questo

religiosa. Como, em Geometria Analtica, trabalhamos sempre com coorde-

nadas, crucial ser capaz de, ao lidar com pares ordenados, saber distin-

guir, apenas pelo contexto, se estes representam pontos ou vetores, para que

as ideias geomtricas possa ser adequadamente traduzidas algebricamente e

para que as manipulaes algbricas possam ter sentido geomtrico.

Captulo 11

TRANSFORMAES E

ANIMAES

Consideremos agora uma outra possibilidade que o uso de coordenadas nos

oferece: transformar guras no plano em novas guras. Para melhor visuali-

zao do processo, vamos usar dois planos, colocados lado a lado. esquerda

caro as guras originais, cujas coordenadas notaremos por (x,y); direita

as transformadas, de coordenadas (u,v).

Figura 11.1:

Podemos inventar transformaes a nosso bel prazer, a idia simples: basta

criarmos duas frmulas que nos dem as coordenadas (u,v) em funo de

(x,y). Se f1 e f2 so funes das variveis x e y , fazemos:

57

58 CAPTULO 11. TRANSFORMAES E ANIMAES

{u = f1(x, y)v = f2(x, y)

.

mais erudito juntar o par de funes f1, f2 em uma s, escrevendo

(u, v) = f(x, y),

entendido que f(x,y) tem duas coordenadas, dadas por

f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)).

Mais chique ainda escrever

f : IR2 IR2(x, y) (f1(x, y), f2(x, y)) ,

que se l:

f a funo de IR2 em IR2 que associa ao par (x,y) o par (f1(x, y), f2(x, y)).

Podemos chutar vontade, por exemplo:

{u = sen(xy)v = cos(xy)

{u = x2 y2v = 2xy

{u = x+ yv = x y

{u = excos yv = exsen y

Uma idia, para comear, programarmos o computador para que desenhe, a

partir de cada frmula por ns fornecida, as imagens de diversas guras (que

podem ser dadas por equaes, escaneadas, ou mesmo criadas a mo livre). O

desao termos algum controle prvio sobre os resultados que nossas frmulas

vo produzir, a ponto de podermos criar transformaes que resultem em

efeitos previamente denidos. Uma aplicao interessante, qual daremos

algum destaque nos prximos captulos, o uso de transformaes para gerar

os quadros que compem uma animao.

Para darmos brevemente uma idia de como utilizar transformaes para

gerar animaes, comecemos observando que uma animao composta por

uma sequncia de quadros (ou seja, de um conjunto de imagens que se su-

cedem na tela) e que criar a animao equivale a criar os quadros que a

59

compem. Uma sequncia (da animao) representa a evoluo no tempo de

um certo nmero de objetos a partir de uma posio inicial.

Ora, podemos conceber que uma sequncia possa ser construda obtendo-se

cada um de seus quadros a partir do primeiro atravs de uma transformao.

Assim, se nossa sequncia descreve a trajetria de uma bola, podemos criar

antes de tudo o quadro inicial, que nos descreve a situao no tempo t=0.

Digamos que nossa bola seja descrita por um crculo de raio 1 e centro na

origem. Se no houver deformaes durante a trajetria, basta-nos dizer

para gerar cada quadro da sequncia. onde estar o centro do crculo em

cada instante; se houver deformaes, teremos que, a cada instante, fornecer

a transformao que leva o crculo original em uma nova curva que represente,

naquele instante, o contorno de nossa bola(agora no to redonda).

Figura 11.2:

De qualquer forma, o processo consiste em fornecer, a cada instante t, a

transformao ft(x, y) que leve cada ponto (x,y) do quadro inicial (t=0) nocorrespondente ponto ft(x, y) do quadro que retrata a situao no instantet.

Exerccio: Pegue um computador e brinque com as frmulas acima e/ou com

suas prprias frmulas.

60 CAPTULO 11. TRANSFORMAES E ANIMAES

Captulo 12

TRANSLAES

As transformaes mais simples (ao menos para quem conhece vetores) so

as translaes: xa-se um vetor ~w, que dene a translao, e leva-se cadaponto P no ponto P' tal que

~PP =~w.

Figura 12.1:

Em termos de coordenadas, se ~w=(a,b), nossa transformao levar o ponto(x,y) no ponto (x+a,y+b).

61

62 CAPTULO 12. TRANSLAES

a Movimento retilneo uniforme

Vejamos agora algo mais emocionante: animao. Como fazer o ponto P se

mover at o ponto P' de forma que possamos ver seu deslocamento? Como no

cinema, precisamos de uma sucesso de imagens de um ponto (ponto, aqui,

quer dizer marquinha de tinta, algo visvel) ocupando as posies interme-

dirias entre P e P'. O cinema costuma utilizar 24 imagens por segundo; se o

tempo do percurso de P a P' de n segundos, precisaremos de 24n imagens

(24n+1, contando com P). Suporemos que o movimento se d em linha reta,

com velocidade constante, isto : que o movimento retilneo e uniforme.

Para mais simplicidade no raciocnio, comecemos observando que cada uma

de nossas imagens retratar um ponto do segmento PP'. Se N o nmero

total de intervalos entre os pontos que queremos, podemos chamar nossos

pontos de

P = P0, P1, P2, . . . , PN1, PN = P .

Figura 12.2:

O vetor

~PPi (onde i um dos nmeros 1,2,3,...,N) como ~PP , s quemenorzinho (a menos que i=N). Mais precisamente, seu comprimento

iN

vezes o de

~PP . Assim,

~PPi =i

N~PP .

A. MOVIMENTO RETILNEO UNIFORME 63

Em termos de coordenadas, sendo

~PP = ~w = (a, b), temos

~PPi =i

N(a, b) = (

ia

N,ib

N),

ou seja, escrevendo Pi = P + ~PPi1

, as coordenadas de Pi sero dadas por

(x+ia

N, y +

ib

N),

onde (x,y) representa o ponto P.

Conseguimos, assim, gerar todos os quadros necessrios a nossa animao

(cada um deles pode agora ser transformado em um fotograma, como nos

desenhos animados do cinema, ou podemos lan-los sucessivamente na tela

do computador, criando diretamente o efeito de animao). Cada quadro

ser obtido marcando na tela o ponto Pi com as coordenadas obtidas acima.Podemos dizer que cada Pi obtido aplicando-se a P a translao fi, ondefi dada pela frmula

fi(x, y) = (x+ia

N, y +

ib

N).

Note que a frmula acima pode ser aplicada a outros pontos que no P.

Assim, se tivermos uma gura F (que um conjunto de pontos do plano e,

para efeitos computacionais, um arquivo com os pares ordenados corres-

pondentes

2

), podemos aplicar a transformao fi aos pontos de F, gerandoum quadro da animao que translada F at F'=F+~w. 3

Podemos ainda fazer uma observao interessante: no caso que estamos exa-

minando, basta uma transformao. De fato, a translao de P a P' pode

ser decomposta em uma sucesso de pequenas translaes: de P a P1, de P1

1

Note que, ao somarmos o ponto P com o vetor

~PPi, j estamos identicando livrementepontos e vetores

2

Nos HDs, pendrives ou quaisquer outros meios de armazenamento de dados, mesmo

F sendo, idealmente, um conjunto innito, s podemos guardar uma quantidade nita de

pontos. Essa quantidade est limitada superiormente pela capacidade de armazenamento

do meio e pela velocidade de processamento da mquina (j que um nmero muito grande

pode levar a um tempo desmesurado de execuo). Por outro lado, temos que zelar para

que o nmero de pontos em nosso arquivo no seja pequeno a ponto de tornar a gura F

irreconhecvel

3

F+~w o conjunto formado pelos pontos da forma P+~w, onde P F


Figura 12.3:

a P2, de P2 a P3 e assim sucessivamente, at chegarmos a P'. Como esta-mos supondo que o movimento uniforme, cada uma destas translaes a

mesma, j que em cada caso o vetor de deslocamento

~Pi1Pi =1

N~w.

Basta-nos, ento, a transformao f dada por

f(x, y) = (x+a

N, y +

b

N).

Aplicando f aos pontos da gura F, obtemos a gura F1; aplicando f aospontos de F1 obtemos F2 e assim sucessivamente, at chegarmos a FN = F

.4

As duas sees a seguir so meio chatas. Uma forma de tomar coragem para

l-las dar primeiro uma olhada na seo Resumindo e Simplicando,

no nal do captulo. De qualquer forma, possvel viver sem elas.

b Movimento retilneo no uniforme

Voltemos ao movimento (retilneo) do ponto P at o ponto P'. No razovel,

no mundo fsico ou em realidades virtuais, nos limitarmos a movimentos

uniformes. Se, por exemplo, uma partcula cai de uma certa altura sob a ao

4

Na realidade no precisamos parar em FN : enquanto estivermos iterando f, nossagura estar andando

B. MOVIMENTO RETILNEO NO UNIFORME 65

da gravidade, sua velocidade vai aumentando. Se lmarmos seu movimento,

obteremos N quadros, fotografados a intervalos regulares; em cada um deles

nossa partcula estar em um ponto Pi. No entanto, o espaamento entre ospontos no ser regular: o segmento P2P3 maior que P1P2, P3P4 maiorque P2P3, e assim sucessivamente.

Figura 12.4:

Podemos recorrer a rudimentos de Mecnica para termos uma frmula descre-

vendo o movimento de nossa partcula

5

. Se temos queda livre com velocidade

inicial nula, a distncia percorrida a partir do instante inicial

gt2

2, onde g a acelerao da gravidade. Para simplicar mais ainda, escolhemos um

sistema de unidades em que g = 2. Assim, o espao percorrido, na vertical ede cima para baixo, dado por t2, para t 0.O vetor unitrio vertical ~e2, dado em coordenadas por ~e2=(0,1). Se tomar-mos o vetor t2~e2 teremos o comprimento certo, mas andaremos para cima.Temos, pois, que somar t2~e2 a nossa posio inicial P. Em coordenadas, seP=(x,y), nossa posio no instante t ser dada por

P + t2~e2 = (x, y) t2(0, 1) = (x, y t2).Assim, do tempo t=0 ao tempo t=1, nossa partcula cai do ponto P=(x,y)

5

Nosso interesse aqui no propriamente a Fsica envolvida; a f'ormula que usaremos

apenas uma aproximao, supondo que no h resistncia do ar, que a acelerao da

gravidade constante, etc.


Figura 12.5:

para o ponto P'=(x,y-1). Para uma boa animao, com N quadros, o que

temos a fazer dividir em N intervalos iguais o tempo do percurso, no o

espao percorrido!

Figura 12.6:

Como temos a posio em funo do tempo, dada por (x, y t2), basta quecalculemos as posies correspondentes a cada um dos instantes

t0 = 0, t1 =1

N, t2 =

2

N, . . . , tN1 =

N 1N

, tN = 1,

que dividem o intervalo [0,1] em N subintervalos iguais. Obtemos, para cada

ti, o ponto (x, y t2i ).

C. TRAJETRIAS NO RETILNEAS 67

Exerccio: Observe que o espao percorrido a partir do tempo t=0 no de-

pende da posio inicial, mas s do tempo decorrido. Conclua que se, em vez

de uma partcula, deixarmos cair um slido (que aqui ser representado por

uma gura plana), cada ponto, no instante t ter sofrido a mesma translao

de (0,t2).A observao crucial sobre o exemplo precedente a seguinte: existem in-

nitas maneiras de realizar um mesmo trajeto, mesmo retilneo; a descrio

do movimento implica em obter a correspondente parametrizao, isto ,

conhecer o intervalo [tI , tF ] do percurso e as equaes paramtricas que for-necem as coordenadas do ponto (ou dos pontos) que realiza(m) o movimento.

Exerccio: Como o movimento dado por (x(t),y(t))=(sen t, sen t)? Suges-

to: (sen t, sen t)=sen t(1,1).

c Trajetrias no retilneas

Pelo que acabamos de ver, no h diferenas fundamentais entre fazer ani-

maes com trajetrias retilneas ou curvilneas, desde que tenhamos as cor-

respondentes parametrizaes. Vejamos um exemplo:

Figura 12.7:

temos um ponto, ocupando a origem em t=0, que se desloca sobre a curva

descrita por (x(t), y(t)) = (t, t2). Uma animao para este caso, de t=0 att=T, comea pela escolha do nmero de quadros que vamos utilizar. Digamos

que nosso intervalo [0,T] vai ser subdividido em 20. Geramos ento os pontos

correspondentes aos tempos


t1 =T

20, t2 =

2T

20, t3 =

3T

20, . . . , t20 = T.

Temos ento, para i de 0 a 20, os pontos Pi = (x(ti), y(ti)) = (ti, t2i ).

Figura 12.8:

Note que se um outro ponto descreve trajetria igual, mas tendo em t=0 as

coordenadas (x0, y0), sua posio no tempo t ser dada por

(x0, y0) + (t, t2).

Figura 12.9:

C. TRAJETRIAS NO RETILNEAS 69

Assim, se toda uma gura do plano descreve a mesma trajetria acima, sua

posio no tempo t ser obtida aplicando-se a cada um de seus pontos uma

translao de (t, t2). A partir da podemos proceder como acima para criaruma animao para o movimento da gura.

Tudo que zemos no exemplo acima pode ser imitado em outras situaes,

para outras trajetrias: o importante conseguirmos as equaes paramtri-

cas adequadas.

Exerccio: Estude o movimento do tringulo T de vrtices A=(1,1), B=(2,0),

C=(2,1), descrito na gura a seguir. Suporemos tratar-se de movimento

uniforme.

Figura 12.10:

Soluo: Observemos,inicialmente, que no se trata de uma rotao - no

presente caso, embora cada ponto de T descreva um crculo, no giram todos

em torno de um mesmo centro; em particular note que a horizontal AC

permanece horizontal, e que a vertical BC permanece vertical. Todos os

pontos de T descrevem crculos de mesmo raio.

J que a gura nos informa claramente a trajetria de A, comecemos por

ela. Chamaremos de A(t) a posio de A no tempo t e vamos tratar de

encontrar as equaes paramtricas correspondentes. Trata-se, sem dvida,

de um crculo de centro (-1,1) e raio 2. Se o centro fosse a origem e no


tivssemos qualquer informao sobre o tempo do trajeto, escolheramos a

soluo mais simples:

(x(t), y(t)) = 2(cos t, sen t).

A segunda tentativa transladar o crculo para a posio certa, somando s

coordenadas acima o vetor (-1,1):

(x(t), y(t)) = (1, 1) + 2(cos t, sen t).Est quase bom, mas assim daremos um quarto de volta em um tempo de

pi2e

no 1 como mostra a gura. Devemos ento fazer uma correo na velocidade

angular, obtendo:

(x(t), y(t)) = (1, 1) + 2(cos pi2t, sen

pi

2t),

que a forma correta (ateno: certique-se de que voc de fato entendeu

esta ltima passagem).

Cuidemos agora dos demais pontos. Como todos se deslocam da mesma

forma, basta determinarnos a translao sofrida por A no tempo t e apli-

carmos a mesma aos demais para termos suas respectivas posies. Ora, a

translao sofrida por A no tempo t dada pelo vetor

AA(t)= A(t)A, ouseja,

AA(t)= (1, 1) + (2cos pi

2t, 2sen

pi

2t) (1, 1) = (2 + 2cos pi

2t, 2sen

pi

2t)

(note que, para t=0, temos

AA(t)=

AA(0)= ~0, j que A(0) = A).Podemos ento obter as coordenadas de qualquer ponto de T no tempo t

somando o vetor acima a suas coordenadas no instante inicial. Assim, por

exemplo, a posio de B dada por

B(t) = (2, 0) + (2 + 2cos pi2t, 2sen

pi

2t) = (2cos

pi

2t, 2sen

pi

2t).

Uma alternativa observarmos o seguinte: se P um ponto qualquer do

tringulo, em qualquer instante t o vetor

A(t)P (t) igual a

AP , ou seja,

D. RESUMINDO E SIMPLIFICANDO 71

Figura 12.11:

P (t) = A(t)+AP= A(t) + P A.Em particular, podemos obter de novo B(t):

B(t) = A(t)+BA = (1, 1)+2(cos pi2t, sen

pi

2t)+(2, 0)(1, 1) = (2cos pi

2t, 2sen

pi

2t).

Exerccio: Determine as equaes paramtricas de C(t).

d Resumindo e Simplicando

Uma translao denida por um nico vetor ~w e leva cada ponto P noponto P+~w. Em coordenadas, se ~w=(a,b) e P=(x,y), teremos

T (x, y) = (x+ a, y + b).

Para gerarmos uma animao atravs de translaes, basta fornecermos uma

gura de referncia e, para cada instante t do intervalo em que o movimento


vai ocorrer, um vetor ~w(t)=(a(t),b(t)) que transporte os pontos da posiode referncia (que pode ou no ser a posio inicial) para a posio no tempo

t.

Figura 12.12:

Exerccio: Refaa os exemplos e exerccios deste captulo luz dos esclareci-

mentos acima.

Captulo 13

ROTAES

Uma segunda classe de transformaes elementares a das rotaes.

Figura 13.1:

a Rotaes em torno da origem

Para chegarmos a uma frmula que expresse as coordenadas do ponto ro-

dado em relao s originais, vamos comear supondo que nossa rotao tem

centro na origem do sistema de coordenadas (cannicas) e que o ngulo

73

74 CAPTULO 13. ROTAES

medido no sentido trigonomtrico (o sentido horrio ser representado pelo

sinal negativo).

Seja pois um ponto P de coordenadas (x,y) e procuremos obter as corres-

pondentes coordenadas (x',y') do ponto P' obtido quando o submetemos a

uma rotao de . Para auxiliar os clculos, vamos associar a P duas novasgrandezas: sua distncia origem, r, e o ngulo de seu vetor posio com o

semieixo horizontal positivo, . 1

Figura 13.2:

Exerccio: Verique que x=rcos e y=rsen , onde medido do semieixohorizontal para

~OP , considerado positivo o sentido trigonomtrico.

A distncia de P' origem ser, claro, r'=r, e seu ngulo com a horizontal,

', dado por '=+. Os valores de x' e y' sero dados por:

x = rcos = rcos( + ) = r(coscos sensen),

y = rsen = rsen( + ) = r(cossen + sencos),

lanando mo de famosas frmulas trigonomtricas das quais daremos mais

tarde demonstraes independentes. Como rcos=x e rsen=y, temos

1

r e so chamados de coordenadas polares de P

A. ROTAES EM TORNO DA ORIGEM 75

x = xcos ysen,

y = xsen + ycos.

As expresses acima podem, ainda, ser colocadas na forma matricial:(x

y

)=

(cos sensen cos

)(xy

).

A matriz (cos sensen cos

) chamada matriz de rotao (correspondente ao ngulo ). 2

Assim, a cada rotao associamos a matriz correspondente, com a cara acima.

A obteno de animaes se faz como aplicao direta.

Exerccio: Dado o ponto P=(2,1), gere os quadros para uma animao em que

P roda em torno da origem, percorrendo um ngulo reto em dez segundos.

Soluo: vamos trabalhar com o padro de 24 imagens por segundo. Teremos,

ento, que gerar 240 imagens, o que implica em dividir o ngulo reto (

pi2) em

240. No entanto, se o movimento uniforme (o que vamos supor), no

preciso trabalhar com 240 ngulos de rotao diferentes: basta que rodemos

nosso ponto, passo a passo, de um ngulo de

pi480a cada passo. Isto , vamos,

a partir do ponto P0 = P , gerar os 240 pontos P1, P2, P3, P4, . . . , P240, deforma que cada um seja obtido do anterior por uma rotao de

pi480. Assim,

se Pi = (xi, yi), teremos:

(xiyi

)=

(cos pi

480sen pi

480

sen pi480

cos pi480

)(xi1yi1

), i = 1, 2, 3, . . . , 240.

2

Lembramos que o produto da matriz

(a bc d

)pelo vetor

(xy

) denida por(

a bc d

)(xy

)=:

(ax+ bycx+ dy

)


Num caso mais geral de rotao em torno da origem, podemos proceder como

no caso das translaes: trabalhamos com uma gura de referncia F, um

intervalo de tempo [T0, T1] e uma funo que a cada t em [T0, T1] associao ngulo (t) de que sero rodados os pontos de F no tempo t. Assim, seP=(x,y) um ponto de F, sua posio no tempo t, (x(t),y(t)), ser dada por(

x(t)y(t)

)=

(cos(t) sen(t)sen(t) cos(t)

)(xy

).

Para gerarmos a animao correspondente, basta agora dividir o intervalo de

tempo [T0, T1] em no nmero N de subintervalos desejado, atravs dos pontos

t0 = T0, t1, t2, t3, . . . , tN = T1,

substitutir os valores ti na expresso matricial acima e computar os corres-pondentes pontos (x(ti), y(ti)).

b Rotao em torno de um ponto qualquer

Figura 13.3:

A maneira mais simples de obtermos uma frmula para a rotao de um

ngulo em torno de um ponto C=(a,b) trazermos tudo para a origem.Isto , se P=(x,y) o ponto a ser rodado em torno de C, olhamos para C

C. ROTAO DE VETORES 77

como se fosse a origem e para P como se suas coordenadas fossem (x-a,y-b).

Aps efetuarmos a rotao de P = (xa, yb) em torno da origem, levamosde volta.

Em termos mais eruditos, comeamos aplicando a P a translao de (-a,-b),

obtendo o ponto P . A P aplicamos a rotao de em torno da origem,obtendo o ponto P . Finalmente, aplicamos a P a translao de (a,b), o quenos d o ponto P', que P rodado de em torno de C.

Assim, temos P=(x,y), P=(x-a,y-b); as coordenadas de P sero obtidasaplicando s de P a frmula de rotao em torno da origem:(

cos sensen cos

)(x ay b

);

P' ter, ento, coordenadas (x',y') dadas por(x

y

)=

(cos sensen cos

)(x ay b

)+

(ab

).

c Rotao de vetores

Vamos retomar as rotaes em torno da origem, mas de um novo ponto de

vista. Consideraremos a rotao de como uma transformao aplicada avetores

3

.

Usando a notao R para designar a rotao de em torno da origem,podemos observar que R goza de duas propriedades notveis:

() R(~u+ ~v) = R(~u) +R(~v) ~u, ~v IR2;() R(t~u) = tR(~u) ~u IR2, t IR.

Se agora utilizarmos o fato de que um vetor ~u de coordenadas (x,y) pode serescrito

~u = x~e1 + y~e2,

3

Lembramos que estamos identicando pontos, vetores e pares ordenados, de maneira

que no estamos operando qualquer alterao formal: ao m e ao cabo, uma rotao

uma transformao de IR2 em IR2


Figura 13.4:

teremos

R(~u) = R(x~e1 + y~e2) = R(x~e1) +R(y~e2) = xR(~e1) + yR(~e2).

Assim, para obtermos a expresso para R(x,y), basta conhecermos R(~e1)e R(~e2), o que relativamente fcil:

R(~e1) = (cos, sen), R(~e2) = (sen, cos).

Conclumos ento que

R(~u) = x(cos, sen)+y(sen, cos) = (xcosysen, xsen+ycos),

ou, em notao matricial,

R(~u) =

(x

y

)=

(cos sensen cos

)(xy

).

C. ROTAO DE VETORES 79

Figura 13.5:

Note o leitor que acabamos de obter novamente a frmula para a rotao em

torno da origem, mas agora sem fazer uso das famosas frmulas trigonom-

tricas que prometemos demonstrar. Vamos ento a elas.

Figura 13.6:

Consideremos o vetor ~u = (cos, sen). A frmula que acabamos de obternos d

R(~u) = (cos cos sen sen, sen cos + cos sen).


Por outro lado, imediato que

R(~u) = (cos( + ), sen( + )).

Igualando as duas expresses, obtemos as famosas frmulas:

cos( + ) = cos cos sen sen;

sen( + ) = sen cos + cos sen.

Exerccio: Verique que a rotao de no sentido horrio dada pela matriz(cos sensen cos

)

Captulo 14

HOMOTETIAS

A homotetia de centro C e razo k (k 0) leva o ponto P no ponto P'situado na semi-reta CP e tal que o comprimento de CP' k vezes o de OP

(faremos ainda, por denio , C'=C).

Figura 14.1:

Se k 0, P' ser o ponto da reta CP tal que C est entre P e P', de formaque o comprimento de CP' seja | k | vezes o de CP (mantemos C'=C).

Em termos vetoriais, claro que, para k positivo, negativo ou mesmo nulo,

temos

~CP = k ~CP .

81

82 CAPTULO 14. HOMOTETIAS

Se o centro C for a origem do sistema de coordenadas, teremos tambm, se

P=(x,y) e P'=(x',y'),

(x, y) = k(x, y).

Se o centro C um ponto qualquer, de coordenadas (a,b), ento podemos

escrever

~CP = (x a, y b), ~CP = (x a, y b),

Figura 14.2:

e, como

~CP = k ~CP ,

(x, y) = (kx+ (1 k)a, ky + (1 k)b) = k(x, y) + (1 k)(a, b).

Animaes similares s que j estudamos para translaes e rotaes podem

ser feitas, por exemplo, mantendo xo o centro C e fazendo variar a razo k

com o tempo, isto , fornecendo uma funo k(t) e considerando, para cada

t, a gura homottica (pela homotetia de centro C e razo k(t)) a uma gura

de referncia.

Exerccio: Mostre que a homotetia de centro na origem e razo k dada por(x

y

)=

(k 00 k

)(xy

).

Captulo 15

REFLEXES

Translaes e rotaes so transformaes que preservam distncias - em

consequncia, levam cada gura F em uma gura F' congruente com F.

Existe ainda uma terceira classe de transformaes com essa propriedade,

a das reexes.

a Reexo de ponto atravs de reta passando

pela origem

Vejamos como expressar em coordenadas a reexo atravs de uma reta r

dada. Comecemos pelo caso simples em que r o eixo dos x.

Figura 15.1:

Neste caso, nossa reexo transforma o ponto P=(x,y) no ponto P'==(x,-y).

83

84 CAPTULO 15. REFLEXES

No caso em que r apenas passa pela origem, fazendo um ngulo com ahorizontal podemos comear rodando o plano todo de -, at que r se tornehorizontal; P ir parar no ponto P . Em seguida fazemos a reexo de Patravs da horizontal e rodamos de volta o ponto P assim obtido, obtendonalmente o ponto P' procurado.

Figura 15.2:

Em termos de coordenadas, se P=(x,y) teremos P = (x, y), onde

(xy

)=

(cos sensen cos

)(xy

)=

(xcos + ysenxsen + ycos

).

P = (x,y) ser ento dado por

P =(

xy

)=

(xcos + ysenxsen ycos

).

Podemos agora obter as coordenadas (x',y') de P' por(x

y

)=

(cos sensen cos

)(xy

)=

=

(cos sensen cos

)(xcos + ysenxsen ycos

)=

B. REFLEXO DE VETORES 85

=

(x(cos2 sen2) + y2cossenx2cossen y(cos2 sen2)

).

Como cos2 sen2 = cos(2) e 2cossen = sen(2), podemos concluirque

(x

y

)=

(cos 2 sen 2sen 2 cos 2

)(xy

).

b Reexo de vetores

Assim como zemos no caso das rotaes, vamos dar s reexes um trata-

mento alternativo, baseado na idia de transformao linear

1

, que torna

mais simples a deduo da frmula.

Figura 15.3:

Consideremos uma reta r passando pela origem e seja Sr2

a transformao

que a cada vetor ~v associa sua imagem reetida atravs de r.

1

Transformaes lineares sero objeto de um captulo parte, mais frente

2

S de simetria, para no usarmos o mesmo R de rotao


A exemplo das rotaes e homotetias, Sr tem as seguintes propriedades no-tveis:

()Sr(~u+ ~v) = Sr(~u) + Sr(~v) ~u,~v IR2;()Sr(t~u) = tSr(~u) ~u IR2, t IR.

Da mesma forma que no caso das rotaes, estas propriedades nos permitem

obter, para ~u=(x,y),

Sr(~u) = Sr(x~e1 + y~e2) = xSr(~e1) + ySr(~e2).

Ou seja, basta-nos obter as expresses de Sr(~e1) e Sr(~e2). Sendo, comoanteriormente, o ngulo de r com a horizontal, temos:

Figura 15.4:

Sr(~e1) = (cos 2, sen 2), Sr(~e2) = (sen 2,cos 2),o que conduz imediatamente a

Sr(x, y) = x(cos 2, sen 2) + y(sen 2,cos 2).

B. REFLEXO DE VETORES 87

Juntando tudo e colocando na forma matricial, obtemos de novo, fazendo

Sr(x, y) = (x, y),indexreexo!forma matricial(

x

y

)=

(cos 2 sen 2sen 2 cos 2

)(xy

).

Exerccio: Verique que se r reta vertical passando pela origem, ento a

reexo atravs de r dada por Sr(x,y)=(-x,y).

Exerccio: Mostre que se r reta no vertical, ento pode ser dada por equao

da forma y=mx+p, onde m a tangente do ngulo que faz com a horizontal.

Exerccio: Mostre que o seno e o cosseno de 2 podem ser obtidos a partirda tangente de . Isto , deduza as seguintes frmulas:

cos 2 =1 tg21 + tg2

sen 2 =2tg

1 + tg2

Sugesto: Use as famosas frmulas cos 2 = cos2 sen2 e sen 2 =2sencos, multiplique por cos

2cos2, simplique e depois lembre-se de que

cos2 = 1sec2

= 11+tg2.

Exerccio: Sirva-se dos resultados dos exerccios anteriores para obter a se-

guinte frmula para a reexo atravs da reta r de equao y=mx:(x

y

)=

(1m21+m2

2m1+m2

2m1+m2

m211+m2

)(xy

).

Exerccio: Observe que a translao de (0,-p) transforma a reta de equao

y=mx+p nareta de equao y=mx.

Exerccio: Note que a reexo atravs de uma reta qualquer pode ser obtida

trazendo tudo para a origem e depois levando de volta, a exemplo do que

foi feito para rotaes. Isto , podemos comear fazendo uma translao

que transforme nossa reta em reta passando pela origem, fazer a reexo do

ponto assim transladado atravs da nova reta, e depois desfazer a translao

Exerccio: Sirva-se dos resultados acima para mostrar que se (x',y') o ree-

tido de (x,y) atravs da reta de equao y=mx+p, ento


Figura 15.5:

(x

y

)=

(1m21+m2

2m1+m2

2m1+m2

m211+m2

)(x

y p)

+

(0p

).

c Animando reexes

Quando procuramos produzir animaes transformando uma gura em outra,

obtida por translao, rotao ou homotetia, pudemos sempre criar, a cada

caso, transformaes intermedirias (de mesmo tipo) que fossem modicando

pouco a pouco a gura inicial at chegar nal. Assim, uma translao pode

ser concebida como resultado de uma seqncia de pequenas translaes, o

mesmo ocorrendo com rotaes e homotetias.

Exerccio: Pare e pense nisso.

O mesmo no ocorre quando se trata de reexes. O leitor observar que

quando tentamos deslocar uma gura, sem sair do plano, de jeito a transform-

la em sua reetida, no conseguimos faz-lo guardando sua rigidez. A expe-

C. ANIMANDO REFLEXES 89

rincia pode ser feita, sobre a mesa, com qualquer gura plana sem simetrias:

no conseguimos reeti-la sem tir-la da mesa.

3

Figura 15.6:

Assim, para criarmos as posies intermedirias da gura que desejamos

ver reetida, a melhor maneira parece ser movermos cada um de seus pontos

sobre o segmento que o une a seu reexo. Vamos tratar disso em um captulo

parte.

Exerccio: Note que se F uma gura do plano e F' seu reexo atravs

da reta r, se movermos cada ponto P de F, a velocidade constante (para

cada ponto uma velocidade constante, possivelmente diferente de ponto para

ponto) sobre o segmento PP' que o une a seu reexo, ento no meio do

caminho todos os pontos estaro exatamente sobre r.

Exerccio: Se A=(a,b) e B=(c,d) so pontos do plano, mostre que os pontos

do segmento AB so da forma

A+ t ~AB = (a, b) + t(c a, d b) = (1 t)(a, b) + t(c, d), t [0, 1].

3

Note que, se a gura for um pedao de papelo de cores distintas de cada um de seus

lados, podemos fazer uma reexo virando-a, o que implica em violar a regra de no sair

da mesa; a gura reetida ter ento cor diferente da original

Captulo 16

DEFORMAES

As animaes de que temos tratado tm quase sempre guardado a rigidez de

nossas guras: estas apenas se deslocam sobre o plano, exceo do caso das

homotetias, em que h tambm variao de tamanho. desejvel, porm,

que possamos criar animaes em que a gura original e a nal tenham formas

distintas.

Figura 16.1:

a Casos elementares

Chamaremos de deformao uma aplicao F que a cada t de um intervalo

[t0, t1] associa uma gura F(t). Diremos que a aplicao F deforma F0 =F (t0) em F1 = F (t1).1

A idia bsica extremamente simples: cada ponto P0 de F0 deve se transfor-

1

Na realidade, deve-se exigir de F algum tipo de continuidade, isto , F no deve saltar

91

92 CAPTULO 16. DEFORMAES

Figura 16.2:

mar em um ponto P1 de F1. A maneira mais natural de conseguir tal efeito fazer com que nosso ponto caminhe sobre o segmento P0P1, comeando emP0 e terminando em P1.

Ora, j aprendemos a fazer isso quando tratamos de translaes: se P0 =(x0, y0) e P1 = (x1, y1), fazemos

~v = ~P0P1 = (x1 x0, y1 y0)e tomamos, para t [0, 1],

P (t) = P0+t~v = (x0, y0)+t(x1x0, y1y0) = ((1t)x0+tx1, (1t)y0+ty1).

Exerccio: Note que se queremos trabalhar com o intervalo [t0, t1] no lugar de[0,1], basta fazermos

P (t) = P0 +t t0t1 t0~v =

t1 tt1 t0 (x0, y0) +

t t0t1 t0 (x1, y1).

bruscamente de uma gura para outra. Para evitar detalhes excessivamente tcnicos

omitiremos menes explcitas a tal propriedade, que o bom senso deve nos encarregar de

observar em cada caso concreto

A. CASOS ELEMENTARES 93

Simples e fcil! A diferena para o caso das translaes aparece quando

resolvemos aplicar o processo, simultaneamente, a dois ou mais pontos, o

que inevitvel em qualquer aplicao sria: se o ponto P0 se transforma emP1 ao mesmo tempo em que Q0 vira Q1 as translaes correspondentes so,em geral, distintas, j que no vamos ter sempre

~P0P1 = ~Q0Q1. Cada pontode nossa gura ter sua prpria trajetria, independente das trajetrias dos

demais.

Vejamos um exemplo simples: deformar um tringulo de vrtices A, B, C em

outro, de vrtices A', B', C'. Embora a escolha seja arbitrria (no somos

sequer forados a transformar cada vrtice de ABC em um vrtice de A'B'C'),

natural levar A em A', B em B' e C em C'.

Figura 16.3:

Assim, pelo processo descrito acima, criamos, para cada t no intervalo de-

sejado, vrtices A(t), B(t), C(t) que nos daro tringulos intermedirios

A(t)B(t)C(t).

Exerccio: Arbitre coordenadas para A, B, C, A', B', C' e faa as contas. Se

preferir, faa direto no computador.

Outro exemplo simples e ilustrativo consiste em deformar um tringulo ABC

em um quadriltero PQRS. Mais uma vez existem innitas solues; vejamos

uma.

Podemos arbitrar que A vai em P, C vai em S e B vai se abrir em Q e

R. Funciona como se o tringulo ABC fosse, na verdade, um quadriltero

AB1B2C degenerado, com B1 = B2 = B. Consideramos pois os quatro

94 CAPTULO 16. DEFORMAES

Figura 16.4:

pontos A, B1, B2, C e procedemos normalmente, levando A em P, B1 emQ, B2 em R e C em S.

1aPARTE - hipertexto(1) (4)

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