Fsica para todos1Carlos Jimnez Huaranga
LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL
Alrededor de 1685, Newton logr demostrar que las todos los
cuerpos en el Universo se atraen entre s gravitacionalmente. Newton
descubri que:
"La fuerza de atraccin entre dos cuerpos es proporcional a sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa"
Ejemplo: Qu valor tendra la aceleracin de la gravedad en la
superficie de la Tierra si su radio se duplica y la masa permanece
constante?
Se sabe que la aceleracin de la gravedad en la superficie
terrestre es:
g G MT 9,8 m / s2 R2T
M1
M2
Si la masa no vara y el radio se duplica, entonces, la ecuacin
sera:
FF
d
F G M1 M 2 d 2
Donde: M1 y M2: masas de los cuerpos, expresadas en kilogramos
(kg).d: distancia que separa los centros de las masas, expresada en
metros (m).F = Fuerza de atraccin entre las masas, expresada en
newton (N).
G = Constante de gravitacin universal G = 6,67 10-11
N.m2/kg2
Ejemplo: Calcular la fuerza con que se atraen dos cuerpos de
masas 800 kg y 1 000 kg, separadas por una distancia de 2 m
Datos: M1= 800 kg; M2= 1 000 kg; d = 2 m
Usemos la ecuacin: F G M1 M 2 d 2
Reemplazamos datos:
F 6,671011 (800)(1000) 22
Luego: F 13,34106 N
Aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta o
satlite (g):
g
g G M R2
M: masa del planeta o satlite
R: radio del planeta o satlite
G: constante de gravitacin universal.
g GMT GMT1GMT1g
(2RT )24 R2 T
x4 R2T4
1
gx(9,8m / s2 ) gx 2,45m / s2
4
Aceleracin de la gravedad a una altura h de la superficie
(gh):
hgh
g
R
R2 gh g (R h)2
R: radio del planeta o satlite h: altura respecto a la
superficie
g: aceleracin de la gravedad en la superficie.
gh: aceleracin de la gravedad a una altura h
Ejemplo: Calcular el valor de la aceleracin de la gravedad a una
altura de la superficie terrestre igual a 2 veces el radio de la
Tierra.
Dato: h = 2R
En la ecuacin:
gh gR2 gR2 gR2g
(R h)2(R 2R)2(3R)2
9
gh9,8m / s2
gh 9,09 m / s2
9
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Aceleracin de la gravedad en el interior de un planeta o satlite
(gi)
R
xgi g x
R
Ejemplo: Si queremos determinar la aceleracin de la gravedad en
el punto medio del radio terrestre, la distancia x es igual a R/2;
entonces:gi gR / 2 g1g9,8 m / s2
R
222
gi 4,9 m / s2
ENERGA POTENCIAL GRAVITACIONAL
La energa potencial gravitacional (U) de dos partculas de masas
M1 y M2 separadas por una distancia "d" es:
M1 M2
d
U G M1 M 2 d
Donde: U = energa potencial gravitacional y se expresa en joules
(J)
M1 y M2 = masas y se expresan en kilogramos (kg)
d = distancia de separacin y se expresa en metros (m)
Ejemplo: La energa potencial gravitacional de un sistema formado
por dos masas de 106 kg cada una y separadas 10 m, es igual a:
U 6,671011 106 106
U 6,67 J
10
Ejemplo: Si se tiene 3 masas ubicadas en los vrtices del
tringulo, tal como se observa en la figura. Calcular la energa
potencial gravitacional del sistema mostrado.
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M2=5106 kg
300 m500 m
400 m
M1=15106 kgM3=12106 kg
La energa potencial del sistema es:
U G M1M 2 G M1M3 G M 2 M3
d12d13 d23
U G 151065106 G15106 12106 G 5106 12106 300 400 500
U = -251010 G 451010 G 121010 G U = -821010 G = -821010
6,6710-11U 54,7 J
Ejemplo: Un cuerpo de masa m es soltado desde una altura igual
al radio terrestre R, con qu velocidad lleg el cuerpo a Tierra?
A
h=R
B
R
Por conservacin de energa mecnica: Em(A) = Em(B)
Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)
Como el cuerpo es soltado en A: Ec(A) = 0
G m M m v2 G m M R h 2 R
Simplificamos m y reemplazamos h=R
GM v2 GM v GM
2R 2 RR
Donde; M: masa de la Tierra.Pero, tambin se sabe que: g GMR2
Entonces: v gR
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LEYES DE KEPLER
1ra LEY: (Ley de las rbitas)
"Todos los planetas giran alrededor del Sol describiendo una
rbita elptica en la cual el Sol ocupa uno de los focos".
Fuente: www.kalipedia.com
2da LEY: (Ley de las reas)
"El radio vector posicin que une un planeta con el sol describe
reas iguales en tiempos iguales".
Fuente: www.kalipedia.com
Ejemplo: La trayectoria de un planeta, cuyo ao consta de 240
das, encierra un rea total "P". Determinar el rea "S" si para ir
desde "B" hasta "C" emplea 36 das.
"O": Centro elptico
CElipse
SB
OSol
Como las reas barridas por el radio vector posicin son
proporcionales al tiempo que emplea en barrerlas, podemos
plantear:rea barrida tiempo de B aCrea totaltiempo total
S36 das
S 3 P
20
P 240 das
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3ra LEY: (Ley de los periodos)
"Los cuadrados de los periodos de revolucin planetarios son
proporcionales a los cubos de los radios de sus rbitas."
R
T 2 cons tan te
R3
R: radio de la rbita
T: periodo de rotacin
Ejemplo: Dos satlites S1 y S2 orbitan circularmente alrededor de
un mismo planeta. El primero tarda 216 horas en recorrer su rbita.
El segundo tiene un periodo de 27 horas. Calcular la relacin de los
radios de sus rbitas R1/R2.
Datos: T1 = 216 horas; T2 = 27 horas
2T2216227232162
T 12R1
33333272
R 1R 2R 1R 2R 2
3232
216632R1
R 1(2) 4
R2
33
R 2273
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dos cuerpos se atraen con una fuerza de 800 N. Si uno de
ellos duplica su masa y el otro la
triplica y la distancia entre ellos se cuadruplica. Cul es la
nueva fuerza de atraccin gravitatoria entre ellos?A) 600 N B) 150
NC) 200 N
D) 300 N E) 100 N
2. Si el mdulo de la fuerza de atraccin del Sol sobre un planeta
es igual a 41022 N. Si la masa del Sol se volviese 3 veces mayor y
la distancia se redujera a la mitad, el mdulo de la fuerza de
atraccin entre ellos sera: A) 1201021 NB) 151022 N
C) 2401022 ND) 241012 N
E) 51020 N
3. Determinar la fuerza resultante que acta
sobre la masa "2m". Considere: F Gm2 a2
aa
3m2mm
A) FB) 2FC) 3F
D) 4FE) 6F
4. Dos masas M y 9M estn separadas por una distancia D. En la
lnea que las une colocamos una tercera masa m y observamos que se
mantiene en equilibrio. A qu distancia de la masa M se encuentra
m?B) D/3C) D/4
A) D/2
D) D/6E) D/9
5. Una masa "5m" se encuentra ubicada en el punto (- 4/5; 3/5) y
otra masa "8m" en el punto (1; 0). Determinar la fuerza resultante
que soportara una masa "m" ubicada en el origen (0; 0) (G =
constante de gravitacin)A) 5 Gm2 B) 3 Gm2C) 8 Gm2
D) 13 Gm2 E) 15 Gm2
6. Dos cuerpos celestes esfricos de masas "4M" y "9M" y radios
"R" y "2R" respectivamente se encuentran separados de tal manera
que sus superficies distan "3R". Determinar la fuerza de atraccin
entre los cuerpos.
Considere: F GM 2
R2 A) F/2B) F/3C) F
D) 2FE) 3F
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7. Si la masa terrestre aumentase en un 60% y el radio se
duplicara. La aceleracin de la gravedad en la superficie de la
Tierra: A) Aumentara en un 40%
B) Aumentara en un 80%
C) Disminuira en un 40%
D) Disminuira en un 60%
E) Permanecera constante
08. Cul ser el peso de una persona que pesa 600 N si el radio de
la Tierra se duplicara y sumasa se triplicara?C) 450 N
A) 150 N B) 300 N
D) 400 N E) 900 N
9. En la superficie de un planeta, una pelota tiene un peso de
720 N. Qu peso tendra dicha pelota si la masa del planeta se
duplica y su radio se hiciera el triple?
A) 80 N B) 160 NC) 240 N
D) 120 N E) 200 N
10. Calcular la aceleracin de la gravedad en la superficie del
Sol, considerando el radio del Sol cien veces el radio terrestre y
la masa del Sol 250 000 veces la masa de la Tierra A) 98 m/s2B) 196
m/s2C) 245 m/s2D) 490 m/s2
E) 980 m/s2
11. La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su
radio 1/4 de sta. Cul es la aceleracin de la gravedad en la
superficie de la Luna?
Considere: g= aceleracin de la gravedad en la superficie de la
Tierra. A) g/20B) g/4C) g/5
D) g/10E) g/16
12. La masa de un planeta desconocido es el doble de la masa
terrestre pero su densidad es igual al de la Tierra. Determinar la
aceleracin de la gravedad en la superficie de dicho planeta.
g=aceleracin de la gravedad en la superficie terrestre
A) 2gB) g/2C) 2 g
D) 32gE) 34g
13. Qu porcentaje de la aceleracin de la gravedad en la
superficie terrestre es la aceleracin de la gravedad en un punto
situado a una altura "3R/2", de dicha superficie? (R = Radio
terrestre)A) 50%B) 75%C) 32%
D) 25%E) 16%
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14. A qu altura de la superficie terrestre, la aceleracin de la
gravedad se reduce al 64% con respecto al valor en la
superficie?(R=Radio de la Tierra)C) R/3
A) R/2B) R/4
D) R/5E) R/8
15. La aceleracin de la gravedad en la superficie de un planeta
es la octava parte de la aceleracin de la gravedad en la superficie
terrestre, si la masa del planeta es el doble de
la masa de la Tierra. Determinar su radio:(R = radio
terrestre)C) 4 R
A) RB) 2 R
D) 8 RE) 16 R
16. La masa de Jpiter es casi 300 veces mayor que la de la
Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio
terrestre, cuntas veces mayor o menor que en la Tierra sera la
aceleracin gravitatoria en Jpiter?
A) 150 veces menor
B) 300 veces mayor
C) 500 veces menor
D) 300 veces menor
E) 500 veces mayor
17. Un cuerpo pesa 320 N en la superficie terrestre. Cunto pesar
a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra?
A) 80 N B) 160 NC) 20 N
D) 35,5 N E) 106, 6 N
18. Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N. A qu altura debe
elevarse para que su nuevo peso sea 3 N? Considere: R = radio
terrestre A) RB) 2RC) 3R
D) 4RE) 5R
19. En qu relacin estn los valores de la aceleracin de la
gravedad en dos puntos, uno situado a una profundidad igual a la
cuarta parte del radio terrestre y el otro a una altura igual al
radio terrestre ambos respecto de lasuperficie de la Tierra.C) 1:
4
A) 1; 1B) 1; 2
D) 3; 1E) 3; 4
20. Un planeta "M" tiene 2 satlites "A" y "B" los que giran a su
alrededor, describiendo rbitas aproximadamente circulares. Si el
perodo de "B" es 160 das y el radio de la rbita de giro de "A" es
la cuarta parte del radio de la rbita de "B". Hallar el perodo de
"A"A) 10 das B) 15 das C) 20 das D) 25 das E) 30 das
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21. Dos satlites de la Tierra cada una de masa "m", se mueven en
rbitas circulares concntricas con la Tierra. Si sus posiciones son
2R y 4R respecto del centro terrestre; en que relacin estn sus
energas cinticas A) 1/6B) 1/2C) 3
D) 1/4E) 4
22. Dos satlites de masas MA y MB se encuentran en rbitas
circulares de radios RA y RB alrededor de un planeta de masa M.
Hallar la
relacin entre las energas cinticas de A y B. Considere: M A =
2MB y R B = 1,5 RAA) 1B) 2C) 3
D) 4E) 5
23. En la Tierra un hombre puede saltar una altura mxima "H",
mientras que en un planeta salta solamente 0,5 H. Si el radio de
este planeta es cuatro veces ms grande que la Tierra, qu relacin
existir entre las densidades de este planeta y la Tierra? A) 2B)
3C) 4
D) 1/2E) 1/4
24. En la figura se observa el movimiento de un planeta en torno
a una estrella "E". Si se sabe que desde la posicin "P", tarda el
quntuple en llegar a "A" que de "C" hasta "P", encontrar qu fraccin
de la superficie elptica es la porcin sombreada.
B
EA
C
PD
A) 1/6B) 2/3C) 4/5
D) 3/2E) 5/7
25. Si un planeta que gira alrededor del Sol demora 9 das en
trasladarse de A hacia B, determinar el periodo de rbita.
A5S
3S
B
A) 48 dasB) 24 dasC) 15 das
D) 18 dasE) 20 das
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26. Con qu velocidad lineal gira un satlite alrededor de la
Tierra en una rbita circular de radio "4R"?
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29. Cul ser la variacin de la energa cintica
de un satlite de masa "m" al cambiar de una
rbita a otra alrededor de la Tierra, si las
GM
R
8 km / h
aceleraciones de la gravedad en las rbitas
son: g/4 y g/9; respectivamente.
M = masa de la TierraG= constante de gravitacin
Donde: R = Radio terrestre;
M= masa de la Tierra
A) 8 km/s B) 6 km/sC) 5 km/s
D) 4 km/s E) 2 km/s
27. Un planeta tiene dos satlites que orbitan concntricamente en
trayectorias circulares respecto del planeta. Uno de ellos tiene un
periodo de 27 das, el otro demora 6 das en barrer el 75% del rea
total encerrada por su trayectoria. Hallar la relacin de sus radios
vectores. A) 9/16B) 1/4C) 12/15
D) 2/9E) 9/4
28. Un cuerpo de masa "m" es lanzado verticalmente hacia arriba
con una velocidad "V0". Desde la superficie de la tierra, donde su
masa es "M" y su radio "R". Calcular su velocidad, cuando ha
recorrido una altura igual a "R"
Considere: vo 2GM
R
vovovo
A)B)2C)
22
vo4
2
D)E)2 vo
4
R= radio terrestre
g= aceleracin de la gravedad en la superficie
terrestre
A) GmM/2RB) GmM/12R
C) GmM/6RD) GmM/12R
E) GmM/3R
30. Un satlite se encuentra en una rbita circular alrededor de
la Tierra, a una altura donde la aceleracin de la gravedad es la
cuarta parte de la aceleracin de la gravedad en la superficie
terrestre. Determine el periodo de
traslacin en la rbita del satlite ; considere:
R = radio terrestre
g = aceleracin de la gravedad en la superficie
terrestre.
A) 4RB) 2R
gg
C) 4gD) 4R
2R2g
E) 42R
g
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