Página 118 PRACTICA 1 Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecua- ciones: a) (x – 1) – (x + 1) + = (x – 1) + b) + = 3 c) (1 – x) 3 – 4x = –9 d) 2 1– x = a) x = 1: x = 1 no es solución. x = 2: x = 2 no es solución. x = 4: x = 4 sí es solución. b) x = 1: + = + = ≠ 3 → x = 1 no es solución. x = 2: + = + = 2 + 1 = 3 → x = 2 sí es solución. x = 4: + = + = ≠ 3 → x = 4 no es solución. 46 15 4 6 12 5 4 4 + 2 3 · 4 4 + 1 4 4 6 3 4 2 + 2 3 · 2 2 + 1 17 6 4 3 3 2 4 1 + 2 3 · 1 1 + 1 3 1 1 9 5 1 19 —(4 – 1) – —(4 + 1) + — = — – — + —= — 5 3 2 5 3 2 30 1 2 1 2 19 —(4 – 1) + — = — + — = — 6 15 2 15 30 3 1 1 3 1 1 —(2 – 1) – —(2 + 1) + — = — – 1 + — = — 5 3 2 5 2 10 1 2 1 2 3 —(2 – 1) + — = — + — = — 6 15 6 15 10 3 1 1 –2 1 1 —(1 – 1) – —(1 + 1) + — = — + — = – — 5 3 2 3 2 6 1 2 2 —(1 – 1) + — = — 6 15 15 1 8 4 x +2 3x x +1 2 15 1 6 1 2 1 3 3 5 Pág. 1 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Unidad 5. Ecuaciones 5
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Página 118
PRACTICA
1 Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecua-ciones:
Solución: El número par es el 94, el que le sigue, el 95; y el anterior el 93.
22 Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El vi-deojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que elhelado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?
→ x = 1,1
Solución: El videojuego costaba 11 €, el cómic 2,2 € y el helado 1,1 €.
23 Me faltan 1,8 € para comprar mi revista de informática preferida. Si tuvierael doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 €. ¿Cuánto tengo? ¿Cuántocuesta la revista?
Llamamos x al dinero que tengo (la revista cuesta x + 1,80).
Tenemos que: x + 1,80 = 2x – 2
1,80 + 2 = 2x – x → x = 3,80 → x + 1,80 = 5,60
Solución: Tengo 3,80 €. La revista cuesta 5,60 €.
2x = 2,210x = 11
10x + 2x + x = 14,313x = 14,3
14,3x = –– = 1,1 →
13
Precio videojuego → 5 · 2x = 10x
Precio cómic → 2x
Precio helado → x
2826
x = 0x – 7 = 0 → x = 7
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Unidad 5. Ecuaciones
5
24 Con 12 € que tengo, podría irdos días a la piscina, un día al ci-ne y aún me sobrarían 4,5 €. Laentrada de la piscina cuesta 1,5 €
menos que la del cine. ¿Cuántocuesta la entrada del cine?
Tenemos que:
2(x – 1,50) + x + 4,50 = 12
2x – 3 + x + 4,50 = 12 → 2x + x = 12 + 3 – 4,50
3x = 10,5 → x = = 3,5 → x = 3,5 → x – 1,5 = 2
Solución: La entrada del cine cuesta 3,5 €. (La de la piscina, 2 €).
25 María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Den-tro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edadtiene cada uno?
La suma de las edades de los dos hermanos debe ser igual a 47.
x + 6 + x + 11 = 47 → 2x = 47 – 6 – 11 → 2x = 30 → x = 15 → x + 5 = 20
Solución: Luis tiene 15 años, María tiene 20 y su padre 41.
26 Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántosaños han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
Llamamos x a los años que han de transcurrir.
(15 + x) + (13 + x) = 43 + x → 2x + 28 = 43 + x → 2x – x = 43 – 28
x = 15
Solución: Han de transcurrir 15 años.
27 La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. Elpadre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27años. ¿Qué edad tiene cada uno?
10,53
Precio entrada de cine → xPrecio entrada piscina → x – 1,50
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Unidad 5. Ecuaciones
5
LUIS x x + 6MARÍA x + 5 x + 11PADRE 41 47
EDAD DE… HOY DENTRO DE 6 AÑOS
AHORA DENTRO DE X AÑOS
ANTONIO 15 15 +xROBERTO 13 13 + xPADRE 43 43 + x
Edad de cada hijo → x (son dos hijos)
Edad de la madre → x + 27
Edad del padre → x + 27 + 6 = x + 33
Tenemos que:
2x + (x + 27) + (x + 33) = 104 → 4x + 60 = 104
4x = 104 – 60 → 4x = 44 → x = = 11 → x = 11
Solución: La madre tiene 38 años, el padre 44 y cada uno de los hijos tiene11 años.
28 Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el mar-tes se gastan 2/5 de lo que quedaba, y el miércoles, 300 litros. Si aún quedó1/10, ¿cuál es su capacidad?
x – 300 = x → 2x – 3 000 = x → x = 3 000 litros
Solución: La capacidad del depósito es de 3 000 litros.
29 En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. En sep-tiembre, no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recupera-ron 700 000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. ¿Cuál es su capa-cidad?
x + 700 000 = x → 48x + 70 000 000 = 75x → 27x = 70 000 000
x ≈ 2 592 593 m3
Solución: La capacidad del depósito es de, aproximadamente, 2 592 593 m3.
34
1225
110
15
x + 27 = 38x + 33 = 44
444
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Unidad 5. Ecuaciones
5
x x x – x = x
x ( x) = x x – x = x = x
x 300 litros x – 30015
15
15
315
215
13
215
13
25
13
13
23
23
HABÍA SE GASTA QUEDA
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
x ( x) = x x – x = x
x 700 000 m3 x + 700 0001225
1225
1225
325
35
325
35
15
35
HABÍA SE GASTÓ O RECUPERÓ QUEDA
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
30 Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400 € como pago de ciertotrabajo. ¿Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintaspartes que el otro?
• Primero → Le corresponden x €
• Segundo → Le corresponden x €
Suma = x + x = 1 400 €
x + x = 1 400 → 5x + 2x = 7 000 → 7x = 7 000 → x = 1 000 →
→ x · 1 000 = 400
Solución: Al primero le corresponden 1 000 €, y al segundo, 400 €.
31 Roberto y Andrés compran una camisa cada uno, ambas del mismo precio.Roberto consigue una rebaja del 12%, mientras que Andrés solo consigue el8%. Así, uno paga 1,4 € más que el otro. ¿Cuánto costaba cada camisa?
Llamamos x al precio inicial de la camisa.
Tenemos que: 0,88x + 1,4 = 0,92x
1,4 = 0,92x – 0,88x → 1,4 = 0,04x → x = = 35
Solución: La camisa costaba 35 €.
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32 Si un número aumenta en un 10%, resulta 42 unidades mayor que sidisminuye en un 5%. ¿Cuál es ese número?
33 Calcula el capital que, colocado al 8% durante dos años, se convierte en2 900 € (los intereses se suman al capital al final de cada año).
Llamamos C al capital. Tenemos que:
1,082 · C = 2 900 → 1,1664 · C = 2 900
C = = 2 486,28 €.
Solución: El capital es de 2 486,28 €.
2 9001,1664
420,15
1,40,04
• Roberto paga 0,88x• Andrés paga 0,92x
25
25
25
25
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Unidad 5. Ecuaciones
5
34 ¿Durante cuántos años se ha de colocar un capital de 2 380 €, con un interésanual del 3%, para conseguir un beneficio de 357 €?
• Al cabo de un año produce un interés de 2 380 · 0,03 = 71,4 €.
• Al cabo de t años produce un interés de (71,4t) €.
Tenemos que hallar t para que: 71,4t = 357
t = = 5 → t = 5 años.
Solución: Durante 5 años.
35 Un inversor pacta la compra deun terreno, valorado en 24 000€, mediante dos pagos: el pri-mero, de 12 000 €, a la firmade las escrituras, y el segundo,de 12 300 €, seis meses más tarde. ¿Con qué interés se penaliza la demora?
Pago inicialmente 12 000 €. Por tanto, la deuda que me quede por pagar es de24 000 – 12 000 = 12 000 €.
Llamando x al interés con que se le penaliza por pagar 6 meses más tarde, te-nemos:
12 000 + · 12 000 = 12 300 → · 12 000 = 300 →
→ x = · 100 = 2,5
El interés con que se me penaliza es del 2,5 % en 6 meses → 5 % anual.
36 Un inversor que dispone de 28 000 €, coloca parte de su capital en un bancoal 8%, y el resto, en otro banco, al 6%. Si la primera parte le produce anual-mente 210 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?
0,14x = 1 890 → x = = 13 500 → 28 000 – x = 14 500
Solución: Colocó 13 500 € en el primer banco y 14 500 € en el segundo.
37 Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,6 €/litro, en una tinaja quecontenía 400 litros de aceite de oliva de 3,2 €/litro. Sabiendo que el litro dela mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón?
1 8900,14
30012 000
x100
x100
35771,4
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Unidad 5. Ecuaciones
5
2,6(400 + x) = 1,6x + 1 280
2,6x – 1,6x = 1 280 – 1 040 → x = 240 litros
Solución: Había 240 litros de aceite de orujo en el bidón.
38 ¿Cuántos litros de agua del grifo, a 15 °C, hay que añadir a una olla que conte-nía 6 litros de agua a 60 °C, para que la mezcla quede a 45 °C?
Llamamos x a los litros que hay que añadir. Tenemos que:
= 45
15x + 360 = 45(x + 6) → 15x + 360 = 45x + 270
360 – 270 = 45x – 15x → 90 = 30x → x = = 3 litros
Solución: Hay que añadir 3 litros.
39 Mezclando 15 kg de arrozde 1 €/kg con 25 kg dearroz de otra clase, se ob-tiene una mezcla que sale a1,30 €/kg. ¿Cuál será elprecio de la segunda clase de arroz?
Solución: El precio de la segunda clase de arroz es de 1,48 €/kg.
40 Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resul-tando la mezcla a 3,20 €/l. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendoque el de más calidad es el doble de caro que el otro.
Solución: El aceite barato cuesta 2,2 €/l y el caro 4,4 €/l.
41 Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro, que le llevauna ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante?
Llamamos x a la velocidad del que va delante.
Se aproximan a una velocidad de:
(18 – x) km/h.
Tiempo que tarda en alcanzarlo (45 min = hora):t = → = → 3(18 – x) = 24
18 – x = → 18 – x = 8 → 18 – 8 = x → x = 10 km/h
Solución: El que iba delante lleva una velocidad de 10 km/h.
42 Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad de-berá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar alprimero en hora y media?
Llamamos x a la velocidad del otro ciclista.
El que va a 15 km/h recorre en media hora
15 : 2 = 7,5 km.
Se aproximan a una velocidad de: (x – 15) km/h.
Tiempo que tarda en alcanzarlo (1,5 horas):
t = → 1,5 = → 1,5(x – 15) = 7,5
1,5x – 22,5 = 7,5 → 1,5x = 7,5 + 22,5 → 1,5x = 30
x = = 20 → x = 20 km/h
Solución: Deberá llevar una velocidad de 20 km/h.
43 Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante 315 km, a una velocidadde 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda encruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velo-cidad del camión?
301,5
7,5x – 15
dv
243
618 – x
34
dv
34
17680
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Unidad 5. Ecuaciones
5
6 km
18 km/h x km/h
7,5 km
x km/h 15 km/h
Llamamos x a la velocidad del camión.
Se aproximan a una velocidad de:
(x + 105) km/h.
Tiempo que tardan en cruzarse (1 h 45 min = 1 h + h = h):t = → = → 7(x + 105) = 1 260
7x + 735 = 1 260 → 7x = 1 260 – 735 → 7x = 525
x = = 75 → x = 75 km/h.
Solución: La velocidad del camión era de 75 km/h.
44 El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayorque el quíntuplo de la suma de ambos.
¿Cuál es ese número?
Llamamos x al número que buscamos, el siguiente es x + 1.
Tenemos que: x (x + 1) = 5(x + x + 1) + 31
x2 + x = 5(2x + 1) + 31 → x2 + x = 10x + 5 + 31
x2 – 9x – 36 = 0
x = = = =
(x = –3 no es válida, pues x es un número natural).
Solución: El número es el 12.
45 Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 15 € a cada uno. Sihubieran sido cuatro amigos y amigas más, hubieran tocado a 3 € menos.¿Cuántos eran para repartir?
Llamamos x al número de amigos que son.
• x amigos a 15 € cada uno → Premio = 15x
• Si hubieran sido (x + 4) amigos y amigas hubieran tocado a 15 – 3 = 12 €cada uno → Premio = 12(x + 4)
• Por tanto: 15x = 12(x + 4) → 15x = 12x + 48
15x – 12x = 48 → 3x = 48 → x = = 16 amigos
Solución: Eran 16 amigos.
483
x = 12x = –3 (no vale)
9 ± 152
9 ± √2252
9 ± √81 + 1442
5257
315x + 105
74
dv
74
34
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Unidad 5. Ecuaciones
5
315 kmA B
105 km/h x km/h
46 Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo. Si el auto-bús se hubiera llenado, cada uno habría pagado 8,50 €; pero quedaron 3 pla-zas vacías, y el viaje costó 9 €. ¿Cuántas plazas tenía el autobús?
47 Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menosque la altura y la diagonal mide 10 cm.
Llamamos x a la longitud de la altura, la basemedirá (x – 2) cm.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
102 = x2 + (x – 2)2
100 = x2 + x2 – 4x + 4 →
→ 0 = 2x2 – 4x – 96 →
→ x2 – 2x – 48 = 0 →
→ x = = = =
Solución: La base mide 6 cm y la altura 8 cm.
Página 122
48 En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 30 codos; laotra, 20 codos, y la distancia entre ambas es de 50 codos. En la copa de cadapalmera hay un pájaro. Al descubrirlos dos pájaros un pez en la superficiedel río, se lanzan rápidamente, alcan-zando al pez al mismo tiempo.¿A qué distancia del tronco de la pal-mera más alta apareció el pez?
Llamamos x a la distancia que busca-mos (distancia del tronco de la palmeramás alta a donde apareció el pez).
x = 8 → x – 2 = 6x = –6 (no vale)
2 ± 142
2 ± √1962
2 ± √4 + 1922
270,5
Si viajan x personas, cada una paga 8,5 € → Precio total = 8,5xSi viajan (x – 3) personas, cada una paga 9 € → Precio total = 9(x – 3)
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Unidad 5. Ecuaciones
5
BASE = x – 2
ALTURA = x
10 c
m
50 – x
30 codos20 codos
x
d d
Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos:
49 Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 m2.Calcula el lado del cuadrado.
75 – 25 = 10l → 50 = 10l →
→ l = = 5 m
Solución: El lado del cuadrado mide 5 m.
50 Le pregunté a mi padre: “¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería dela esquina?”
— No sé, nunca me he fijado —contestó el.— Pero, papá … lo acabamos de tomar mamá, la abuela, mis dos hermanas,
tú y yo. ¿Cuánto has pagado?— Algo más de 7 €.— El domingo pasado, además de nosotros seis, invitaste a dos amigos míos.
¿Cuánto pagaste?— Era poco menos de 10 €, porque di un billete y dejé la vuelta.¿Cuánto vale el chocolate con churros en la cafetería de la esquina?
Llamamos x al precio del chocolate con churros.
1,167 < x < 1,250
Lo lógico es pensar que el precio del chocolate con churros es 1,2 €.
51 Recuerda que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otrosdos y mayor que su diferencia. Imagina que x e y son dos lados de un trián-gulo cuyos valores son x = 1 y y = 2. ¿Qué podrías decir del lado z?x + y = 3
Hay cuatro soluciones: x1 = 3; x2 = –3; x3 = 1; x4 = –1
60 Resuelve, como en el problema anterior, las ecuaciones siguientes:
a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0
b) x4 + 3x2 + 2 = 0
c) x4 – 13x2 + 36 = 0
d) x4 – 5x2 – 36 = 0
e) x4 – 34x2 + 225 = 0
f) 36x4 – 13x2 + 1 = 0
a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
4y2 – 5y + 1 = 0 → = = =
y = 1 → x2 = 1 → x = ± =
y = → x2 = → x = ± = x = 1/2x = –1/2√ 1
414
14
x = 1x = –1
√1
y = 12 1
y = –– = ––8 4
5 ± 38
5 ± √98
5 ± √25 – 168
x = 1x = –1
√1
x = 3x = –3
√9
√6 + 10√2 · 6 – 3
√314 + 10√2 · 314 – 3
x = 314x = 6
320 ± 3082
320 ± √94 8642
320 ± √102 400 – 7 5362
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Unidad 5. Ecuaciones
5
b) x4 + 3x2 + 2 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 + 3y + 2= 0 → y = = =
La ecuación no tiene solución
c) x4 – 13x2 + 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 13y + 36 = 0 → y = = =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
y = 4 → x2 = 4 → x = ± =
d) x4 – 5x2 – 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 5y – 36 = 0 → y = = = =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
y = –4 → x2 = –4 → x = ± → No tiene solución
Hay dos soluciones: x1 = 3; x2 = –3
e) x4 – 34x2 + 225 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 34y + 225 = 0
y = = = =
y = 25 → x2 = 25 → x = ± =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
f ) 36x4 – 13x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
36y2 – 13y + 1 = 0 → y = = =
18 1y = — = —
72 48 1
y = — = —72 9
13 ± 5 72
13 ± √169 – 14472
x = 3x = –3
√9
x = 5x = –5
√25
y = 25y = 9
34 ± 16 2
34 ± √2562
34 ± √1 156 – 9002
√–4
x = 3x = –3
√9
y = 9y = –4
5 ± 13 2
5 ± √1692
5 ± √25 + 1442
x = 2x = –2
√4
x = 3x = –3
√9
y = 9y = 4
13 ± 52
13 ± √169 – 1442
y = –1 → x2 = – 1 → x = ±√—–1 → No tiene solución
y = –1 → x2 = – 2 → x = ±√—–2 → No tiene solución
y = –1y = –2
–3 ± 12
–3 ± √9 – 82
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
y = → x2 = → x = ± =
y = → x2 = → x = ± =
61 Dos albañiles tardan 2 horas y 24 minutos en levantar un tabique, trabajandojuntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado 6 horas en hacer elmismo trabajo. ¿Cuánto habría tardado el más viejo sin la ayuda de sucompañero?
• El más joven → Tarda 6 horas → Hace del trabajo en 1 hora.
• El más viejo → Tarda x horas → Hace del trabajo en 1 hora.
• Entre los dos → Tardan 2 h 24 min = (2 + ) h = (2 + ) h = h →
→ Hacen del trabajo en 1 hora.
Por tanto:
+ = → + = → 2x + 12 = 5x
12 = 5x – 2x → 12 = 3x → x = = 4 → x = 4
Solución: El más viejo habría tardado 4 horas
62 Un coche tarda 5 horas en cubrir el trayecto entre A y B. Un camión, que hasalido a la misma hora, y realiza el trayecto B-A, tarda 2 horas y 55 minutosen cruzarse con el coche. ¿Cuánto durará el viaje completo del camión?
• Coche → Tarda 5 horas → Recorre del camino en 1 hora.
• Camión → Tarda x horas → Recorre del camino en 1 hora.
• Entre los dos → Tardan en cruzarse 2 h 55 min = (2 + ) h = (2 + ) h =
= h → en 1 hora recorren del camino.1235
3512
1112
5560
1x
15
123
5x12x
1212x
2x12x
512
1x
16
512
125
25
2460
1x
16
x = 1/3x = –1/3√ 1
919
19
x = 1/2x = –1/2√ 1
414
14
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
Por tanto:
+ = → + = → 7x + 35 = 12x
35 = 12x – 7x → 35 = 5x → x = = 7 → x = 7
Solución: El viaje completo del camión durará 7 horas.
63 Un usurero que cobra un interés del 25% mensual reclama a una víctima elpago de 350 € para saldar una deuda contraída hace 20 días. ¿Qué cantidadle prestó?
• Interés por los 20 días → · 25% = %
• Si le prestó x €, tiene que devolver:
(1 + ) · x = 350 € → x = 350 → x = 300 €
Solución: Le prestó 300 €.
64 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de oro de 1 kg de peso. ¿Cuál era la pureza del segundo, si la dela mezcla resultante es del 67%?