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MTODO AREA MOMENTO
1. DEMOSTRACION:
Viga simplemente apoyada con una carga cualquiera.
Por flexin se sabe que:
( )
Del grafico se tiene:
De lo cual:
Considerando: dx=ds
( )
De la figura se tiene que AB es igual a la suma de todos los d
en el tramo AB.
( )
De la figura se tiene que la suma de los segmentos dt (entre
A-C) sucesivas es igual
a tB/A para el tramo AB.
Reemplazando el valor (b).
( )
( )
TEOREMA I:
( )
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De donde:
( )
De lo cual el teorema 1 manifiesta que la desviacin angular o
ngulo entre las
tangentes trazadas a la elstica en 2 puntos cualquiera A y B es
igual al producto de
1/EI por el rea el diagrama de momentos flexionantes entre 2
puntos.
TEOREMA II:
De la ecuacin (d) se tiene:
( )
( )
( )
( )
El teorema II manifiesta que la desviacin tangencial de un punto
B con respecto a la
tangente trazada a la elstica en otro punto cualquiera A
(Distancia del punto B de la
elstica a la tangente del punto A), en direccin perpendicular a
la inicial de la viga
es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del
rea de la porcin
del diagrama de momentos entre los puntos A y B.
2. CONSIDERACIONES:
EI es conocido rigidez a la flexin.
Cuando EI es variable no puede sacarse del signo integral y hay
que conocerla en
funcin de x, para evitar esto suele tenerse en cuenta dividir
entre EI las ordenadas
del diagrama de momentos para obtener un diagrama M/EI (Diagrama
de
momentos reducidos).
Cuando el rea del diagrama de momentos se compone de varias
partes, (rea)
,representa el rea de todas estas partes
El momento del rea se toma siempre con respecto a la ordenada
del punto cuya
desviacin se quiere obtener.
3. CONVECION DE SIGNOS:
DESVIACION: La desviacin tangencial de un punto cualquiera es
positivo si el
punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se
toma esta
desviacin y negativa si queda por debajo.
Entonces una desviacin positiva indica que el punto queda sobre
la tangente de
referencia de lo contrario ser negativo.
PENDIENTE: Un valor positivo de la variacin de pendiente AB
indica que la
tangente en el punto situado a la derecha de B se obtiene
girando en sentido anti
horario la tangente trazada en el punto mas a la izquierda de
A.
Es decir para pasar de la tangente A a la tangente B se gira en
sentido anti horario
para giro positivo y viceversa en sentido negativo.
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4. DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:
Se podr calcular con facilidad el rea de cualquier parte de un
diagrama de
momentos.
Un procedimiento es integrar las ecuaciones Mdx y x(Mdx)
Sin embargo esto es muy complejo por ello se sigue un
procedimiento que consiste
en dividir el diagrama de momentos en partes cuyas reas y
centros de gravedad
sean conocidos (Diagrama de momentos por partes).
4.1. PRINCIPIOS:
El momento flexinate producido en una determinada seccin por un
sistema de
cargas es igual a la suma de los momentos flexionantes
producidos en la misma
seccin por cada carga actuando por separado.
4.2. EFECTO FLEXIONANTE DE CUALQUIER CARGA INDIVIDUAL :
( )
( )
NOTA:
Las reas de momento se toman con su signo (ya que los momentos
poseen
signos propios).
Los brazos de momentos siempre son positivos
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( )
Ejemplo: Calcular el rea sombreada entre AB y la tangente A:
Se considera tomar un eje en supuesta condicin de empotrado para
realizar el
diagrama de momentos por partes, este eje se ubicara en un punto
donde acten
reacciones (fuerzas y momentos) o segn conveniencia (cambio de
seccin de la
viga) ya que las reacciones que actan en dicho eje no se
consideran para el
diagrama.
Ejemplo:
Calcular los diagramas de momentos por partes tomando como ejes
a loos puntos:
A, B, C. Considerar tambin para determinados grficos el uso de
cargas
compensadas.
Para el eje A:
Diagrama de momentos por partes eje A:
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Para el eje B:
Diagrama de momentos por partes eje B:
Para el eje C:
Tramo AB:
Tramo BC:
(
)
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(
)
Diagrama de momentos por partes eje C:
Por cargas compensadas eje C:
La viga equivalente ser:
Diagrama de momentos por partes eje C:
5. DEFORMACION DE VIGAS EN VOLADIZO:
La tangente trazada en el punto empotrado (A), es horizontal por
lo que:
( )
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6. DEFORMACION DE VIGAS SIIMPLEMENTE APOYADAS:
Por relacin de tringulos:
Para el giro en A:
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Se sabe tambin:
7. DETERMINACIN DE LA POSICIN Y EL VALOR MXIMO DE LA
DEFLEXIN:
METODO I:
Se comienza calculando la deflexin en un punto cualquiera a una
distancia x del
apoyo izquierdo suponiendo que para x le corresponde mx.
Se obtendr la ecuacin de la flecha en funcin de x- {=f(x)}-
calculando la flecha
en x.
Derivaremos la ecuacin {=f(x)} en funcin de x e igualaremos a
cero por la teora
de mximos y mnimos se obtendr el valor de x para mx.
METODO II:
En el punto de la deflexin mxima la tangente de la elstica es
horizontal.
De la figura A = AB de donde se calcula el valor de x para luego
hallar la flecha
para una distancia x.
Aclaremos que esta equivalencia es efectiva en vigas simplemente
apoyadas sometidas
a cualquier tipo de cargas.
Cuando las fuerzas aplicadas son unas positivas y otras
negativas o son pares o se trata
de un voladizo la deflexin en el centro no guarda relacin con la
deflexin mxima.
Por ejemplo en una viga simplemente apoyada con un par en el
centro la en el centro es
nula y existe 2 deflexiones mximas, una positiva y otra negativa
simtricas respecto al
centro.
8. DEFLEXION EN EL CENTRO DEL CLARO:
En una viga simple apoyada y simtrica cargada la tangente a la
elstica en el punto
medio del claro es horizontal y paralela a la posicin de la viga
descargada.
En tal caso la desviacin de cada extremo apoyado con respecto a
esta tangente es igual
a la deflexin del centro.
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En el caso de vigas simplemente apoyadas pero con cargas no
simtricas la deflexin en
el punto medio puede calcularse como anteriormente se explic,
basta aadir una carga
simtrica colocada con respecto al centro por cada carga
real.
La deflexin real en el centro ser la mitad de la calculada en la
viga modificada.
9. Ejemplos:
9.1. Determine el valor de la deflexin en el punto D.
Solucin:
Clculo de las reacciones:
Diagrama de la elstica: El diagrama presenta 2 posibles curvas
elsticas.
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Entonces se tendr 2 opciones por lo cual se escribir una ecuacin
para cada
opcin; por relacin de tringulos:
ELASTICA 1:
ELASTICA 2:
Diagrama de momentos reducidos por partes en C (M/EI).
Al colocar el eje C se anulan las cargas en este punto y se
considera empotrado,
aqu se muestra el diagrama de momentos flectores para cada una
de las fuerzas:
( )
Clculo tA/C = rea (AC) . x A
(
)
(
)
Clculo tD/C = rea (DC) . x C
(
)
Como tD/C es negativo indica que D esta debajo de Tg C
Clculo del valor H:
Como H es numricamente mayor que tD/C se concluye que la elstica
correcta es
la I.
Uso de la ecuacin para la elstica I.
(
)
9.2. Determine el valor de: Giro en el punto A y deflexin en el
punto C.
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Por la esttica:
RA = 2T RD=2T
Diagrama de momentos por partes eje B:
Diagrama de momentos reducidos(M/EI):
Elstica:
Del grafico se desprende que:
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Donde:
(
( ))
( )
( )
(
( )
)
(
)
Para EI:
Para el giro:
Para la deflexin:
(
)
( )
( )
(
)
En la ecuacin:
( )
9.3. Determine el valor de la deflexin en el centro de la
luz.
Solucin:
Modificando la viga simtricamente:
Por simetra y esttica:
RC = RA = 1600N
Elstica:
-
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Por ser simtrico conviene trabajar con media viga:
( )
( )( ) ( )
Diagrama de momentos por partes:
De la elstica:
( )
De las ecuaciones anteriores:
( )
[ ( ) ]
EL rea de AB es:
( )
tA/B es = rea (BA). x B
(
)
( )
(
)
De donde la deflexin ser:
[
( ) ]
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10. APLICACIN DEL MTODO DE REA MOMENTO A VIGAS
HIPERESTTICAS:
En una viga empotrada y apoyada, se aplica la condicin de que la
desviacin del
apoyo con respecto a la tangente a la elstica en el
empotramiento sea nula o
adquiera un valor conocido si el apoyo no esta al mismo
nivel.
En las vigas doblemente empotradas dado que las tangentes a la
elstica en los
extremos son horizontales la variacin total de la pendiente
entre los extremos es
nula (AB=0).
Si los extremos estn al mismo nivel la desviacin de B respecto a
la tangente B es
cero (tA/B=0).
De donde se tiene las siguientes condiciones:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Las tres ecuaciones no son independientes, dos cualesquiera de
ellas junto con la
de la esttica determinan las 4 restricciones.
Como norma prctica se recomienda usar primero la ecuacin (a) y
una de las
otras dos.
Ejemplo:
Solucionar la viga mostrada, sometida a la accin del sistema de
carga indicado.
Solucin:
Diagrama de momentos reducidos.
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Resumen del clculo:
FIGURA AREA x B x C
1 -32/EI 8/3 29/3
2 -48/EI 2 9
3 28RC/EI
2 9
4 8RC/EI
8/3 29/3
5 -18/EI
----- 6
6 49RC/EI
----- 14/3
7 -128/3EI
3 10
8 8RB/EI 8/3 29/3
Condiciones tB/A = 0 y tC/A = 0
Clculo de tB/A =rea (BA). x B
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
Clculo de tC/A =rea (CA). x C
(
)
( )
( )
(
) (
)
(
)
( )
( )
( )
Reemplazar (1) y (2) y aplicando la esttica se obtiene:
RC = 0.95 T
RB = 11.06 T
RA = 7.99 T
RC = 5.32 T-m