14 Ondas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

Curso: FISICA I CB 302U 2010 I

Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO [email protected] Tema: Ondas

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Giancoli, Ohanian-Markert http://es.wikipedia.org/ http://colossrv.fcu.um.es/ondas/cursoondas.htm

Ondas En nuestro alrededor podemos observar muchos fenómenos relacionados con ondas Ejemplos. Tira una piedra a un recipiente con agua. El sonido, ruido que escuchamos La radio, televisión en general todas las telecomunicaciones. Imagine un estado de la materia compuesto por ondas, podrían compartir el mismo espacio Motivando

¿Qué es ultrasonido? ¿Es audible? ¿Cómo se usa el ultrasonido para la localización de estructuras en un cuerpo? ¿Qué determina el tamaño de la estructura mas pequeña que puede detectarse con ultrasonido dentro del cuerpo? Tipos de ondas. Las ondas pueden ser transversales y longitudinales. Transversales. OT Las partículas del medio perturbado se mueven perpendiculares al

sentido de la onda.

Ejemplos. Ondas en el agua Una cuerda se le da un impulso hacia arriba. La propagación de la luz. En el caso de las ondas electromagnéticas los campos eléctrico y magnético son los perpendiculares Longitudinales OL Las partículas del medio perturbado se mueven paralelas al sentido de la onda






Ejemplos. Golpea un resorte largo en el sentido de su eje Propagación del sonido… Fuentes y Frentes de onda Puntuales esféricos planos Lineales cilíndricos planos






Ondas unidimensionales Una descripción matemática de una onda viajera unidimensional.

Sea un pulso sobre el extremo de una cuerda, el pulso se mueve hacia la derecha con velocidad constante v. El pulso de mueve a lo largo del eje x (eje de la cuerda) y el desplazamiento transversal de la cuerda (medio) se mide con la coordenada y. En t = 0 ( )x

Puesto que su velocidad de v el pulso avanza un distancia vt en el tiempo t. Si la forma del pulso no cambia en el tiempo, podemos representar el pulso en cualquier instante t, en un SIR, como

Si el pulso se mueva hacia la derecha

( ') ( )f x f x vt

Si el pulso se mueva hacia la izquierda

( )f x vt

El desplazamiento función de onda depende de dos variables x y t

Representa la coordenada de cualquier punto del medio en cualquier instante t

Si t es fijo es una curva que representa la forma del pulso en este tiempo

Velocidad de onda. Si el pulso no cambia de forma el argumento de la función debe permanecer constante

x vt cte Si tomamos diferenciales obtenemos

dxv

dt






Velocidad del medio.

mediovt

Ondas sinusoidales. Armónicas.

En un instante t=0

0

2( )y y Sen x

Y0 la amplitud

longitud de onda.

(El desplazamiento vertical se repite luego de cala longitud de onda) En un instante posterior t la onda se ha movido

0

2( ( ))y y Sen x vt

Esto significa que la onda se mueve hacia la derecha una distancia vt en el tiempo t






El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia de una longitud de onda es el periodo

vT

Con esta relación la ecuación toma la forma

0 (2 ( ))x t

y y SenT

Esta forma de la ecuación muestra la naturaleza periódica En cualquier instante t (instantánea de la onda) y tiene el mismo valor en las posiciones , , 2 , ...x x x

En cualquier posición x, y tiene el mismo valor en las posiciones , , 2 , ...t t T t T

Podemos mejorar la presentación si hacemos las siguientes definiciones.

El numero de onda 2

k






La frecuencia angular T

2w

Ahora la función de onda es:

0 ( )y y sen kx wt

Ejercicios

1. Halle la relación entre la frecuencia lineal y la frecuencia angular 2. Halle la relación entre la velocidad de onda, la longitud de onda y la

frecuencia 3. Hacer una distinción entre velocidad de la onda y velocidad del medio.

Velocidad de una pulsación en una cuerda Toma un pequeño elemento de la cuerda AB, como un arco circular de radio R y densidad lineal y aplica IILN

2mvF

R






2

22

2

2 ,

22

mvFsen

R

m R se

vv F

n

RF

R

Es decir

Fv

¿Se puede extrapolar para sólidos y fluidos?

,Y

v v

Halle la rapidez de ondas en una varilla de plomo

103

3

1.6 101.2 10 /

11. 10

Y xv x m s

x

Tareas * Analiza las dimensiones. * ¿Por qué los asaltantes de trenes inclinan su cabeza hacia los rieles? *Si una cuerda de masa 20g y longitud 1.6m soporta una masa de 2kg ¿Cuál es la velocidad de la pulsación en la cuerda?

2

2

201.25 10 , 2(9,8) 19.6

1.6

19.639.6 /

1.25 10

gr kgx F N

m

Fv m s

x






Una masa de 12kg cuelga en equilibrio de una cuerda de longitud total 5 m y densidad de masa lineal 0.001 kg/m. La cuerda pasa por dos poleas ligeras sin fricción que están separadas por una distancia d= 2.m a) Halle la tensión en la cuerda b) ¿A qué frecuencia debe vibrar la cuerda entre las poleas para formar el patrón

de onda estacionaria mostrado en la figura b?

1 2cos

1.5 3

2 cos 78.9T mg T N

78.9281

0.001

3 21.33

2 3

281211

1.33

Tv

d d

vv f f Hz

Superposición de ondas Si dos o mas ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda individuales

21 yyy











Frecuencia de batimiento (beat) Se producen con la superposición de ondas de diferentes frecuencias

1 1 1

2 2 2

cos( )

cos( )

A k x t

A k x t

1 2

.............

bf f f






Reflexión y transmisión de ondas Extremo fijo

Modelo. Imagina una onda que viene de la derecha






Extremo libre.

Modelo. Imagina una onda que viene de la derecha

Ondas estacionarias

Sean dos ondas en el mismo medio, la misma amplitud y frecuencia viajan en direcciones opuestas

1 2

1 2

( ), ( )

cos( )2 ( )

y Asen kx t y Asen kx t

y y As tky en x

Vemos que la resultante tiene puntos donde se anula (nodos o nudos) y puntos donde se refuerza vientres.






Nodos

( ) 0 , , 2 ,3 ,...

30, , , ,...

2

, 0,1,2,3,..

2

.2

sen kx kx

x n n

o

x

Vientres.

( ) 1 , 3 ,5 ,...2 2 2

3 5, , ,...

4

, 1,3,54

4

,..

4

.

sen

x n n

kx kx

x

Sea una cuerda tensada sujeta en ambos extremos, las ondas se reflejan desde los extremos fijos











1, 1,2,3,.., .2

2nn

nf v n f n

L

Lx L

n

* Si la frecuencia de la cuerda Do media de un piano es 264 Hz y la nota La tiene 440Hz Halla a) las frecuencias de los siguientes Do

2 1

3 1

52

7 2

2 8

3 9

f f Hz

f f Hz

b) las frecuencias de los siguientes La Ondas sonoras

La onda sonora en el aire consiste de zonas alternadas de alta y baja densidad

Ohanian _Markert






Ondas sonoras estacionarias en tubos Cerrado por un extremo En condiciones ideales hallar las tres primeras frecuencias Recordando el concepto longitud de onda.

¿Qué parte esta en el tubo?











En general

1, 1,3,5,...4

n

vf n n f n

L

Para un tubo de longitud 1.23m halle las frecuencias de los 3 primeros armónicos

1

3 1

5 1

34379.7

4 4(1.23)

3 209

5 349

vf Hz

L

f f Hz

f f Hz

Abierto Aplique lo aprendido Los extremos serán vientres






En general

, 1,2,3,...2

n

vf n n f n

L

* Para un tubo de longitud 1.23m halle las frecuencias de los 3 primeros armónicos

1

343139

2 2(1.23)

vf Hz

L

3 1

5 1

2 278

3 417

f f Hz

f f Hz

Velocidad del sonido en el aire. ¿Cómo calcular la velocidad del sonido en el aire? Tubo de Kund.






Funciona con la resonancia entre el diapasón y la columna de aire Imagine que puede controlar la columna de agua. Busque la primera resonancia anote la longitud Busque la segunda resonancia anote la longitud Con la diferencia de longitudes ¿puede conocer la velocidad del sonido en el aire? Si asume conocido la velocidad del sonido ¿Qué se puede conocer con este aparato? ¿Esta seguro? TRANSPORTE DE ENERGIA EN UNA CUERDA Algunos cantantes pueden romper vasos de vidrio Si ata una masita en una cuerda un pulso lo levanta,…






Sea una onda armónica que viaja en una cuerda. La fuente de energía es algún agente externo (vibrador) en el extremo izquierdo.

Veamos un segmente de la cuerda de masa m y longitud x c/ u de estos segmentos se mueve con MAS

Todos tiene la misma frecuencia y la misma amplitud A

Recordando que para el MAS 2 2 21 1

2 2E kA m A

Aplicando para nuestro segmento de densidad

2 2 2 2)1

2

1(

2x AE m A

Si la onda viaja de izquierda a derecha, la energía surge del trabajo hecho sobre el

elemento m por el elemento de la cuerda a la izquierda Potencia La rapidez de transmisión es decir la potencia es

2 2 22 1

2 2

1E xP A

t tv A

La potencia transmitida por cualquier onda sinusoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud * Una varilla que vibra a 12 Hz genera ondas armónicas de amplitud 1.5mm en una cuerda de 2 g/m. Si la tensión en la cuerda es de 15N Halla la potencia promedio proporcionada por la fuente






3

2 2 3 2 2 3 2

15

2 10

1 12 10 4 12 (1.5 10 )

2 2

Fv

x

P v vA x x

Intensidad. En la definición de potencia no aparece la distancia entre el observador y a fuente Todos los puntos a una distancia determinada formaran un área perpendicular a la dirección de propagación.

2

PI

A

W

m 2

PI

r

12

2

1

2

2

rI

rI






Niveles sonoros en decibeles Las cantidades involucradas en la intensidad son muy pequeñas, dificulta la redacción de informes El oído humano esta limitado al intervalo de intensidades de

12 21 10 , 1 /x W m

Como ve el rango es muy amplio Luego se usa una escala logarítmica.

12 2

0

0

1.10log 0 10 /I x W mI

dBI

Así como existe contaminación por gases tóxicos, también existe la contaminación del ruido que afecta principalmente a nuestro sistema auditivo y nervioso. Se debe tomar precauciones y si es posible educar a chóferes de modo que no hagan uso de su claxon,… vio la “mascara”? * Una fuente puntual emite ondas sonoras con una salida promedio de 80W Halle la a) intensidad a 3m

2

2

2

80

4 4 (0.

)1

37 /

P PI

A rW m

b) distancia en la cual el nivel del sonido es 40 dB

4 8 2

0 0

40 10log 1.0 10 1.0 10 /I I

x I x W mI I

2

4

8 2

8025.2

4 4 (1.0 102.52 10

)

PI r km

r xx m






Ohanian - Markert (Pág. 542)

** El nivel de sonido de un avión a chorro a una distancia de 30m es de 140dB Despreciando reflexiones del suelo. Halle la intensidad y el nivel del sonido a a) 300m

14

0

0 0

2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

12

2 2

2 2

140 10log 1.0 10

10 (30) (300) 1

11

10 /

10log10

20

I Ix I

I I

P P I R I R

m

I

I

d

I

W

B

b) 1000m ….

** A una distancia de 30m de un motor de Jet, la intensidad del sonido es 210 /W m ,

y el nivel de intensidad es de 130d Halle la intensidad y el nivel intensidad a 180m (0,28, 114)






En las ondas sonoras se describe por variación de su posición o por la variación de su presión.

Efecto Doppler Si caminas con los ojos cerrados ¿puedes saber si una ambulancia se acerca o aleja? La frecuencia de emisión resulta diferente de la frecuencia de recepción En el caso de las ondas electromagnéticas la longitud de onda esta relacionado con la frecuencia y tiene diferentes colores Este fenómeno ha llevado a la conclusión de que el universo se esta expandiendo. Corrimiento al rojo Ley de Hubble - Wikipedia, la enciclopedia libre Christian Andreas Doppler - Wikipedia, la enciclopedia libre

Receptor en movimiento emisor en reposo

http://es.wikipedia.org/wiki/Corrimiento_doppler

http://es.wikipedia.org/wiki/Corrimiento_doppler

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Hubble

http://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Doppler






Receptor se acerca a la fuente El receptor encuentra más frentes de onda La rapidez es la suma de rapideces de la onda v y del receptor v0

Aplicando la relación

v f

Tenemos

' (1 )oov vf

vv

vf

Receptor se aleja de la fuente






El receptor encuentra menos frentes de onda La rapidez es la diferencia de rapideces de la onda v y del receptor v0

' (1 )R Rv vvf f

vf

v

* Una sirena estacionaria emite un tono de frecuencia de 440Hz y, un tren se aleja de ella a 30m/s ¿Cuál es la frecuencia que recibe el tren?

30' (1 ) 440(1 ) 400

331

Rvf Hz

v

* un bote avanza a 15m/s en el mismo sentido que un grupo de olas de 0.62Hz de frecuencia y 9.3m/s (en relación con el agua) ¿Cuál es la frecuencia con que las crestas de onda golpean al bote?

15' (1 ) 0.62(1 ) 0.38

9.3

Rvf f Hz

v

El signo indica que el bote sobrepasa a las olas a razón de 0.87 Hz

* Una onda sonora de 5000Hz es emitida por una fuente estacionaria hacia un objeto que se mueve a 3.5m/s hacia la fuente. ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada? Hay 2

1) la onda toca al objeto que “detecta” una onda sonora de

0 3.5(1 ) 5000(1 ) 5051

343

vf f Hz

v

2) Esta onda es reemitida es decir reflejada actuado como objeto móvil

1 1( ) 500( ) 5103

3.511

343s

f f Hzv

v

¿Qué ocurre si las velocidades se aproximan?






Emisor en movimiento receptor en reposo

Imagine una fuente (tren) que a cada periodo emite una señal






sv Velocidad de la fuente, del emisor

0T Periodo

El observador al que la fuente se le acerca tendrá menor longitud de onda

0 0 0

0

1(

( )

( ))

1

s s

s s

vT v T v v T

vf f

vf

vv

v

v T

0 0 0

0

1(

( )

( ))

1

s s

s s

vT v T v v T

vf f

vf

vv

v

v T






* Un tren que se mueve a 40 m/s toca su silbato a 400Hz. Halle las frecuencias escuchadas por un receptor estacionario a medida que el tren se a) aproxima b) aleja

a) 1 1

( ) 500( ) 56640

11343

s

f f Hzv

v

b) 1 1

( ) 500( ) 44840

11343

s

f f Hzv

v

Ondas de choque Si la velocidad de la fuente supere la velocidad de la fuente los frentes de onda se superponen dando lugar a un frente de onda cónico muy destructivo






MN Numero de Mach

Observando el triangulo recto

1

E M

EM

E

vsen

v

vt

v t N

vN

v

Donde puedes ver frentes de choque? Mira a un patito nadando Un yate Porque los aviones despegan casi verticalmente?. Cuantos frentes de choque presentan.






* Un avión viaja horizontalmente con 1.75 Mach. En el instante en el que un observador sobre suelo escucha la onda de choque, ¿cuál es el ángulo que su línea de visión forma con la horizontal cuando mira al avión?

Desde un helicóptero se lanza un soldado paracaidista que porta un transmisor de radio el cual emite una señal de 500 Hz. El radar en el avión rastrea la señal del transmisor conforme cae el paracaidista. Si la frecuencia percibida se vuelve constante a 450 Hz, ¿cuál es la velocidad terminal del paracaidista? suponga que eI paracaidista siempre permanece debajo del helicóptero

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