12 VektorTangen Dan Normal Satuan

AWAL

KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)

DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir. Drs. Ir. MochMoch. . DhofirDhofir, MT., MT.

MATERI

AWAL

RuangRuang DimensiDimensi TigaTiga dandan VektorVektorFungsiFungsi DinilaiDinilai VektorVektorDerivatifDerivatif ParsialParsialIntegral Integral LipatLipatKalkulusKalkulus VektorVektor

1

2

3

4

5

AWAL

2.1 2.1 PendahuluanPendahuluan2.2 2.2 KalkulusKalkulus FungsiFungsi DinilaiDinilai VektorVektor2.3 2.3 PerubahanPerubahan Parameter; Parameter; PanjangPanjang BusurBusur2.4 2.4 VektorVektor TangenTangen dandan Normal Normal SatuanSatuan2.5 2.5 KurvaturKurvatur2.6 2.6 PergerakanPergerakan SepanjangSepanjang KurveKurve

Fungsi Dinilai Vektor

AWAL

2.4 Vektor Tangen dan Normal Satuan

DalamDalam seksiseksi iniini akanakandidiskusikandidiskusikan beberapabeberapa sifatsifatgeometrisgeometris fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektor. . TerutamaTerutama aplikasiaplikasi pentingpentingadalahadalah untukuntuk mempelajarimempelajari gerakgeraksepanjangsepanjang kurvekurve..

AWAL

A.A. VektorVektor TangenTangen SatuanSatuanB.B. VektorVektor Normal Normal SatuanSatuanC.C. VektorVektor Normal Normal SatuanSatuan DalamDalamD.D. VektorVektor BinormalBinormal dlmdlm RuangRuang

3D3D

2.4 Vektor Tangen dan Normal Satuan

VektorVektor tangentangen satuansatuan TT(t(t) ) atauatauT(sT(s) ) didefinisikandidefinisikan sebagaisebagai ::

AWAL

)('r)(T

0)('r,)('r)('r)(T

sssbusurpanjangbentukdalamdan

tttt

A. Vektor Tangen Satuan

AWAL

A. Vektor Tangen Satuan

DalamDalam ruangruang 2D, 2D, adaada duadua vektorvektorsatuansatuan ygyg normal normal padapada TT(t(t),),sedangkansedangkan padapada ruangruang 3D 3D adaada taktakterhinggaterhingga vektorvektor satuansatuan yang normal yang normal padapada vektorvektor TT(t(t).). KarenaKarena TT(t(t))= 1= 1adalahadalah konstankonstan, , makamaka menurutmenuruttheorematheorema TT(t(t)) tegaktegak luruslurus padapada TT(t(t).).

AWAL

B. Vektor Normal Satuan

AWAL


T(t)

C

x

y

T(t)

y

z

x

C

2D2D 3D3D

AWAL


JikaJika TT(t(t) ) 0, 0, makamaka kitakitamendefinisikanmendefinisikan vektorvektor normal normal satuansatuan NN(t(t)) padapada CC didi tt dengandengan ::

VektorVektor N(tN(t)) tegaktegak luruslurus T(tT(t)) dandansearahsearah dengandengan TT(t(t))

1)(N)(T')(T')(N tdan

ttt

AWAL

DalamDalam kasuskasus khususkhusus dimanadimanakurvekurve C C adalahadalah grafikgrafik rr(s(s), ), dandan s s parameter parameter panjangpanjang busurbusur, , makamakapernyataanpernyataan untukuntuk vektorvektor normal normal menjadimenjadi ::


)(r")(r")(N

sss

AWAL

JikaJika T T vektorvektor tangentangen satuansatuan padapadakurvekurve C C dalamdalam ruangruang 2D, 2D, makamaka adaadaduadua vektorvektor yang yang tegaktegak luruslurus padapada T. T. UntukUntuk mendapatkanmendapatkan normal normal satuansatuanprinsipilprinsipil N, N, kitakita akanakan mendefinisikanmendefinisikansudutsudut = = (t) (t) berlawananberlawanan araharah jarumjarumjam jam ygyg diukurdiukur daridari sumbusumbu--xx positifpositifpadapada T.T.

C. Vektor Normal Satuan Dalam

AWAL


TT = (= (coscos) ) aaxx + (sin+ (sin) ) aayy

AWAL


KarenaKarena TT panjangnyapanjangnya 11, , makamaka dapatdapatdinytakandinytakan sebagaisebagai ::

TT = (= (coscos) ) aaxx + (sin+ (sin) ) aayyDenganDengan menggunakanmenggunakan dalildalil rantairantai, , didapatdidapat

)(')()('T

)(cos)sin()('T

TT)('T

ttntdtdaat

dtd

dd

dtdt

yx

AWAL

DimanaDimana,,

n(tn(t) = () = (-- sinsin)) aaxx + (+ (coscos)) aayyn(tn(t) ) dandan TT(t(t) ) arahnyaarahnya samasama bilabila (t) > 0(t) > 0n(tn(t) ) dandan TT(t(t) ) arahnyaarahnya samasama bilabila (t) < 0(t) < 0

(t) > 0 ((t) > 0 ((t) (t) meningkat/naikmeningkat/naik))

(t) < 0 ((t) < 0 ((t) (t) berkurang/turunberkurang/turun))


AWAL

JadiJadi apabilaapabila ::

(t) > 0, (t) > 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) arahnyaarahnya samasama

(t) < 0, (t) < 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) berlawananberlawanan

TetapiTetapi karenakarena n(tn(t) ) terletakterletak 9090ooberlawananberlawanan araharah jarumjarum jam jam daridari TT(t(t), ), makamaka n(tn(t) ) dapatdapat ditulisditulis sbgsbg::

n(tn(t) = cos() = cos(++/2) a/2) axx + sin(+ sin(++/2) a/2) ayy


AWAL

KarenaKarena ituitu, , NN(t(t)) selaluselalu beradaberada dididaerahdaerah dalamdalam bagianbagian sisisisicekungcekung ((concaveconcave) ) kurvekurve ((lihatlihatgambargambar). ). UntukUntuk alasanalasan iniini NNkadang2 kadang2 disebutdisebut sebagaisebagaiNormal Normal SatuanSatuan DalamDalam. .


AWAL


(t) > 0, (t) > 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) arahnyaarahnya samasama

(t) < 0, (t) < 0, n(tn(t) ) dandan N(tN(t) ) berlawananberlawanan

AWAL

JikaJika r(tr(t) ) fungsifungsi dinilaidinilai vektorvektordalamdalam RR--3D 3D dengandengan grafikgrafik C , C , makamaka untukuntuk setiapsetiap nilainilai t t dimanadimanaT(tT(t) ) dandan N(tN(t), ), kitakita definisikandefinisikan ::

BB(t(t) = ) = TT(t(t) x ) x NN(t(t))disebutdisebut VektorVektor BinormalBinormal padapada C C didi t.t.

D. Binormal Dalam Ruang-3D

AWAL

UntukUntuk setiapsetiap t, t, vektorvektor binormalbinormalB B mempunyaimempunyai panjangpanjang 1 1 dandantegaktegak luruslurus padapada T T dandan N. N. PadaPadasetiapsetiap titiktitik P P padapada kurveCkurveC, , vektorvektor T, N, T, N, dandan B B menentukanmenentukantigatiga bidangbidang tegaktegak luruslurus yang yang bergandenganbergandengan melaluimelalui P.P.


AWAL

MasingMasing--masingmasing bidangbidang ituitudisebutdisebut ::

-- BidangBidang OsculatingOsculating

-- BidangBidang NormalNormal

-- BidangBidang RectifyingRectifying

((lihatlihat GambarGambar))


AWAL

VektorVektor--vektorvektor TT, , NN dandan BBdiorientasikandiorientasikan menurutmenurut aturanaturantangantangan kanankanan/ / aturanaturan skupskup, , yaituyaitu apabilaapabila jarijari tangantangan kanankananmenunjukmenunjuk araharah rotasirotasi daridari TT kekeNN, , makamaka ibuibu jarijari menyatakanmenyatakanaraharah BB. .


AWAL


AWAL

TigaTiga vektorvektor satuansatuan yang yang tegaktegakluruslurus dandan salingsaling bergandenganbergandengandalamdalam ruangruang--3D 3D disebutdisebut dengandenganTriadTriad. . KarenaKarena T, N T, N dandan B B fungsifungsidaridari tt, makamaka triadtriad--TNBTNB bervariasibervariasidaridari titiktitik keke titiktitik sepanjangsepanjang grafikgrafikr(tr(t), ), shgshg disebutdisebut jugajuga sebagaisebagaitriad triad bergerakbergerak..


AWAL


1.1. TentukanTentukan vektorvektor tangentangen satuansatuan untukuntukgrafikgrafik rr(t(t) = t) = t22 aaxx + t+ t33 aayy padapada titiktitik dimanadimanat = 2.t = 2.

2.2. TentukanTentukan T(tT(t) ) dandan N(tN(t) ) untukuntuk helikheliklingkaranlingkaran x = a x = a coscos t , y = a sin t , z = ctt , y = a sin t , z = ctdimanadimana a > 0.a > 0.

3.3. TentukanTentukan N(sN(s) ) padapada lingkaranlingkaran lingkaranlingkaranxx22 + y+ y22 = a = a

Contoh

AWAL

No. 1No. 1rr(t(t) = 2t a) = 2t axx + 3t+ 3t22 aayyt = 2 t = 2 berkaitanberkaitan dengandengan titiktitik (4,8) (4,8) dandanrr(2) = 4 (2) = 4 aaxx + 12 a+ 12 ayyrr(2)(2)= = (16 +144) = (16 +144) = 160 = 4160 = 41010TT(2) = (2) = rr(2)/(2)/rr(2)(2)= 1/= 1/10 (a10 (axx + 3 a+ 3 ayy))

Penyelesaian

AWAL

No. 2No. 2

VektorVektor radius radius untukuntuk helikhelik ::rr(t(t) = a ) = a coscos t at axx + a sin t a+ a sin t ayy + ct + ct aazzJadiJadi,,

rr(t(t) = ) = --a sin t aa sin t axx + a + a coscos t at ayy + c + c aazzrr(t(t))= = ((--a sin t)a sin t)22 + (a + (a coscos t)t)22 + c+ c22))rr(t(t))= = (a(a22 + c+ c22))

Penyelesaian

AWAL

No. 2No. 2

Penyelesaian

AWAL

yx

yx

zyx

atatttt

caa

cata

catat

acataa

catat

aca

cacataa

cata

ttt

)sin()cos()('T)('T)(N

sincos)('T

sincos)('T

cossin)('r)('r)(T

22

2

22

2

22

2222

222222

KarenaKarena komponenkomponenaazz daridari N(tN(t) ) adalahadalahnolnol, , makamaka vektorvektor iniiniterletakterletak padapadabidangbidang horizontal horizontal untukuntuk setiapsetiap nilainilai t t dandan arahnyaarahnyamenujumenuju sumbusumbu--zzuntukuntuk semuasemua tt

Penyelesaian

AWAL

No. 3No. 3ParameterisasiParameterisasi panjangpanjang busurbusur daridarilingkaranlingkaran adalahadalah ::rr(s(s) = a ) = a cos(scos(s/a) a/a) axx + a + a sin(ssin(s/a) a/a) ayy0 0 s s 22aaLangkahLangkah selanjutnyaselanjutnya adalahadalahmenurunkanmenurunkan rr(s(s) ) thdthd s.s.

Penyelesaian

AWAL

No. 3No. 3rr(s(s) = ) = -- sin(ssin(s/a) a/a) axx + + cos(scos(s/a) a/a) ayyrr(s(s) = ) = --(1/a) (1/a) cos(scos(s/a) a/a) axx + (1/a) + (1/a) sin(ssin(s/a) a/a) ayy

rr(s(s))=={ ({ (--1/a)1/a)2 2 coscos22(s/a) + (1/a)(s/a) + (1/a)2 2 sinsin22(s/a)} (s/a)} rr(s(s))= 1/a= 1/aNN(s(s) = ) = rr(s)/(s)/rr(s(s))NN(s(s) = ) = -- cos(scos(s/a) a/a) axx -- sin(ssin(s/a) a/a) ayyNN(s(s) = ) = -- rr(s(s))

Penyelesaian

AWAL

No. 3No. 3DapatDapat diamatidiamati bahwabahwaNN(s(s) ) merupakanmerupakankelipatankelipatan negatifnegatif daridarivektorvektor radius radius rr(s(s), ), sehinggasehingga NN(s(s) ) arahnyaarahnya menujumenuju pusatpusatlingkaranlingkaran untukuntuksemuasemua s.s.

Penyelesaian

AWAL

T(s)

N(s) x

y

1.1. TentukanTentukan vektorvektor T(tT(t) ) dandan N(tN(t) ) untukuntuk: :

a.a. rr(t(t) = e) = ett aaxx + + ee--tt aayy + t + t aazzb. b. rr(t(t) = e) = ett coscos t at axx + e+ ett sin t asin t ayy + e+ ett aazz

Soal mandiri :

AWAL

12 VektorTangen Dan Normal Satuan

Documents