1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2009)

Svyravimai ir bangos

Svyravimai

Svyravimas – judėjimas ar procesas, pasižymintis pasikartojimu laike.

Mechaninis svyravimas – periodiškai pasikartojantis materialiojo taško ar kūno judėjimas erdvėje.


Svyravimo pradžios sąlygos.

1. Materialus kūnas turi įgyti daugiau energijos, negu turi stabilios pusiausvyros padėtyje.

2. Jį turi veikti grąžinančioji jėga.

3. Papildoma energija, gauta, jį nukreipus nuo stabilios pusiausvyros padėties,

neturi būti visa išeikvota pasipriešinimui nugalėti, grįžtant į tą padėtį.


Svyravimų tipai:

Savieji svyravimai – taškas svyruoja veikiamas vien tik grąžinančios jėgos.

Laisvieji svyravimai – taškas svyruoja veikiamas grąžinančios jėgos ir aplinkos pasipriešinimo jėgos.

Neslopstantieji svyravimai – taško svyravimai pastovia amplitude kintant laikui.

Slopstantieji svyravimai – taško svyravimai mažėjančia amplitude.

Priverstiniai svyravimai – pastovios svyravimų amplitudės palaikymas, papildant kiekvieną svyravimą energija.

Auto svyravimai – tokie svyravimai, kurie atsiranda veikiant sistemą pastovia jėga ar suteikiant pastovų energijos kiekį.


Harmoniniai svyravimai

Spyruoklinė svyruoklė – vadinamas kietas kūnas, pakabintas antįtvirtintos spyruoklės.

Šioje svyruojančioje sistemoje kūnas judaviename išmatavime, t.y. tiesėje.Pagal II Niutono dėsnį kūną veikiančių jėgųatstojamoji yra lygi impulso kitimospartai:

Veikiančios jėgos čia yra spyruoklės tamprumo jėga (Huko dėsnis): ,kxF −=Dinamikos lygtis bus: ,2

2

dtxdm

dtdvm

dtdmv

dtdpkx ====−

T.y. II eilės diferencialinė lygtis ,02

2

=+ kxdt

xdm arba: ,02

2

=+ xmk

dtxd

Pažymėjus: , gauname:mk

=0ω ,0202

2

=+ xdt

xd ω


Harmoniniai svyravimai

Šios lygties sprendinys yra vadinamo harmoninio svyravimo lygtis:

- svyravimo fazė.

,0202

2

=+ xdt

xd ω

)sin( 00 ϕω += tAx )( 00 ϕω +t

πνω 20 = - svyravimo kampinis dažnis.

T1

=ν - svyravimo dažnis.

A - svyravimo amplitudė.

x - svyravimo nuokrypis nuo pusiausvyrospadėties.

t, s

A

x


Harmoniniai svyravimai – vaizdavimas amplitudės vektoriumi

)sin(sin 0ϕωϕ +== tAAxba

=ϕsin


Harmoniniai svyravimai – pagrindinės charakteristikos

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo fazė ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir judėjimo kryptį konkrečiu laiko momentu.

ϕA



Svyravimo fazių skirtumas ∆ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir judėjimo kryptį kito svyravimo atžvilgiu.

t, s

A

t, s

A

t, s

A

t, s

A

∆ϕ=? ∆ϕ=?



Svyravimo periodas T – laikas, per kurį įvyksta pilnas vienetinis svyravimas.

Harmoniniam svyravimui turi galioti sąlyga:

T, s

t, s

A

T, s

mnkainTtAtAx ,...,3,2,1),)(sin()sin( 0000 =++=+= ϕωϕω

Svyravimo dažnis ν – svyravimų skaičius per laiko vienetą (SI sistemoje - 1 s),

matuojamas Hercais – Hz. (1 Hz – 1 svyravimas per 1 s).



mg

T, s

S, m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

T1

=ν



mg

T, s

S, m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo amplitudė A – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.



Bendrai:


Harmoningai svyruojančio kūno greitis ir pagreitis

)sin()sin(

)cos()cos()sin(

0000020

000000

00

ϕωϕωω

ϕωϕωωϕω

+−=+−=

+=+=+=

tatAatvtAv

tAx

2

2

)(

dtxd

dtdva

dtdxv

tfx

==

=

=

- Poslinkio priklausomybė nuo laiko

- Greičio priklausomybė nuo laiko

- Pagreičio priklausomybė nuo laiko


Harmoningai svyruojančio kūno energija

( )002

220

2

cos22

ϕωω+== tAmmvWk ( )00

222

sin22

ϕω +== tkAkxWp

Spyruoklinės svyruoklės svyruojančio kūnoenergijas gausime įstatę poslinkį įkinetinės ir potencinės energijos išraiškas.

Kadangi: , tai0ω=

mk ( )00

222

0 sin2

ϕωω+= tAmWp

Pilna svyruojančios sistemos energija yra lygi sumai:pk WWW +=

Kadangi:

Pilna svyruojančios sistemos energija:

( ) ( ) 1sincos 002

002 =+++ ϕωϕω tt

2

220 AmWWW pk

ω=+=


Pagal II Niutono dėsnį sukamajam judėjimui:

Fizinė svyruoklė – absoliučiai kietas kūnas, kuris veikiamas savojo svorio, svyruoja aplink ašį, neeinančią per jo svorio centrą.

MLdtd

=

MlgmlPdtdI

dtdIL

dtd

===== 2

2ϕω

Suprojektavus:

ϕϕ sin2

2

mgldtdI −= Kai kampai maži: , tada:ϕϕ ≈sin

ϕϕ mgldtdI −=2

2

02

2

=+ ϕϕI

mgldtd 02

02

2

=+ ϕωϕdtd

kur:I

mgl=2

0ω

Iš čia fizinės svyruoklės periodas:mgl

IT ==0

2ωπ


Iš čia fizinės svyruoklės periodo:

mglIT ==

0

2ωπ

Matematinė svyruoklė – materialus taškas, pakabintas ant nesvaraus ir netąsaus siūlo.

1. Esant mažam mosto kampui, matematinės svyruoklės svyravimo periodas nepriklauso nei nuo amplitudės, nei nuo svyruoklės masės.

2. Matematinės svyruoklės svyravimo periodas yra tiesiog proporcingas kvadratinei šakniai iš jos ilgio ir atvirkščiaiproporcingas kvadratinei šakniai iš jos laisvojo kritimopagreičio g (Žemės paviršiuje g=9.8 m/s2).

glT π2=

2mRI =Materialiam taškui: , tada:


Spyruokline svyruokle – vadinamas kietas kūnas, pakabintas ant įtvirtintosspyruoklės.

Spyruoklinės svyruoklės periodas priklauso nuo spyruoklės tamprumo koeficiento ir kūno masės, tačiau nepriklauso nuo traukos jėgos arba laisvo kritimo pagreičio.

mk

=0ωkmT π2=

0

2ωπ

=T

čia: - sąsūkos koeficientas.


DIT π

ωπ 22

0

==

Sukamoji svyruoklė - horizontalioje plokštumoje svyruojantis kūnas, pritvirtintas prie vertikalios spyruoklės ar strypo.

Grąžinantysis sukimo momentas atsiranda susukant spyruoklę ar strypelį.

Tada pagal II Niutono dėsnį sukamajam judėjimui:

ϕϕ DdtdI −=2

2

arba: 02

2

=+ ϕϕID

dtdI

0202

2

=+ ϕωϕdtdI kur:

ID

=20ω

Tada periodas:

D


Vienos krypties ir skirtingo dažnio svyravimų sudėtis.

Pritaikius Furjė analizę, bet kokį sudėtinį neharmoninį svyravimą galima išskaidyti į harmoninių svyravimų visumą, vadinamą spektru.

Spektras – visuma harmoningų svyravimų, kuriuos sukelia koks nors šaltinis.

Dažnuminis spektras – sudėtingo svyravimo funkcijos išklotinė pagal dažnį.

t, s

A

ν, Hz

A

s(t) s(t)

Svyravimas Spektras


Vienos krypties ir skirtingo dažnio svyravimų sudėtis.

ν, Hz

y

ν, Hz

y

Svyravimas Spektras

Svyravimas Spektras


Mušimai.

Sudėjus artimų dažnių vienos krypties harmoninius svyravimus gaunamas efektas,vadinamas mušimais.Paimkime du artimų dažnių ir vienodų amplitudžių svyravimus, aprašomus lygtimis:

Jų suminis svyravimas bus:tss m 11 cosω= tss m 22 cosω=

ttsttssss mm 2cos

2cos2)cos(cos 1212

2121ωωωωωω +−

=+=+=

Pirmasis narys kinta mažu dažniu lyginant su atskirais svyravimųdažniais, o antras reiškia svyravimą vykstantį vidutiniu dažniu:

221 ωωω +

=

Todėl suminė amplitudė kinta pagal:2

cos2 12 ωω −= mss

Mušimų dažnis ir periodas yra lygūs: 12 ωωω −=m12

2ωω

π−

=mT

Tarkime spyruoklinė svyruoklė svyruoja klampioje terpėje.

Svyruojantį kūną, be gražinančios jėgos veikia ir klampos jėga.Jos dydis proporcingas judėjimo greičiui ir veikia jam priešingakryptimi.

Jos projekcija judėjimo ašyje:

Tada judėjimo lygtis pagal II Niutono dėsnį užrašoma:

Svyravimai ir bangosSlopinamieji svyravimai

δ

dtdsvF ss ββ −=−=2

smk

dtds

mmFF

dtsd ss −−=

+=

β212

2

pažymėję ir gaunamemk

=20ω

mβδ =2

02 202

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

Slopinamųjų svyravimų diferencialinę lygtį

- klampos koeficientas β - slopinimo koeficientas

Diferencialinės lygties sprendinys yra:

Svyravimai ir bangosSlopinamieji svyravimai

)sin( 00 ϕωδ += − teAs t

02 202

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

teAtA δ−= 0)( - slopinamųjų svyravimų amplitudės mažėjimo eksponentiniu dėsniu.

220 δωω −= - slopinamųjų svyravimų cikliniu dažniu.

Slopinamieji svyravimai yra neharmoniniai ir neperiodiniai.

Slopinamųjų svyravimų periodą vadiname laiko tarpą, per kurį pasikartoja didžiausias nuokrypis.

220

22δω

πωπ

−==sT

Dviejų artimiausių slopstančio svyravimo amplitudžių santykis yra:

Svyravimai ir bangosSlopinamieji svyravimai – slopinimo dekrementas

s

s

TTt

t

km

km eeAeA

ss δ

δ

δ

== +−

−

+1

1

0

0

1,

,

Šis santykis vadinamas slopinimo dekrementu, o jo natūrinį logaritmą:

- logaritminiu slopinimo dekrementu.Λ===+

sT

km

km Tess

s δδlnln1,

,

Logaritminis slopinimo dekrementas – svarbiausia svyravimo slopimo charakteristika, kurio skaitinė vertė atvirkščia periodų skaičiui, per kuriuos amplitudė sumažėja e kartų.

Svyravimai ir bangos - Priverstiniai svyravimai

Priverstiniai svyravimai – atsiranda veikiant sistemą išorine periodine jėga, priverčiant sistemą svyruoti.

Tarkime turime svyruojančią sistemą, patalpintą į klampųskystį. Kaip žinome tokia sistema apsirašo dif. lygtimi:

tFF m Ω= cos302 2

02

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

Jei šią sistemą veiksime pastovia periodine jėga:

Dinamikos lygti judančiam kūnui bus:

tmF

dtds

ms

mk

mFFF

dtsd msss Ω+−−=

++= cos321

2

2 βarba:

tFsdtds

dtsd

Ω=++ cos2 0202

2

ωδ kur: priverstinės jėgos redukuotoji amplitudė.m

FF m=0

Vykstant priverstiniams svyravimams, nusistovėjus pusiausvyrai dažnis ir amplitudėnekinta. Svyravimai tampa stacionarūs. Todėl dif. lygties dalinis sprendinys yraharmoninis svyravimas:

)cos( 0ϕ−Ω= tss m


Norėdami surasti amplitudę ir fazių skirtumą statome harmoninių svyravimų lygtįir jos pirmą ir antras išvestines į priverstinių svyravimų dif. lygtį:

Pakeiskime trigonometrines išraiškas teigiamais kosinusais, o dydžius prie kosinusų atitinkamom amplitudėm. Tada mūsų lygtis atrodys:

)cos( 0ϕ−Ω= tss m

gauname:

tFsdtds

dtsd

Ω=++ cos2 0202

2

ωδ)sin( 0ϕ−ΩΩ−= tsdtds

m

)cos( 02

2

2

ϕ−ΩΩ−= tsdt

sdm

tFtststs mmm

Ω==−Ω+−ΩΩ−−ΩΩ−

cos)cos()sin(2)cos(

0

02000

2 ϕωϕδϕ

tAtAtAtA Ω=−Ω++−Ω++−Ω cos)cos()2

cos()cos( 4030201 ϕπϕπϕ


Matome, kad turime trijų svyravimų, kurie skiriasiir amplitudėmis ir fazėmis sumą, kuri yra lygi atstojamajam svyravimui, esančiam dešinėje lygtiespusėje.

Trijų svyravimų fazės skiriasi per:

Pagal harmoninių svyravimų sudėties taisykles, atstojamosios amplitudės vektoriaus dydis yra lygus atskirų svyravimų amplitudžių vektorių vektorinei sumai:

Kadangi trys vektoriai yra statmeni vienas kitam, jų moduliamsgalime taikyti Pitagoro teoremą:

tAtAtAtA Ω=−Ω++−Ω++−Ω cos)cos()2

cos()cos( 4030201 ϕπϕπϕ

2ππ ir

3214 AAAA

++=

22

213

24 )( AAAA −−= Įstačius amplitudžių

reikšmes:2

02222222

0 4)( Fss mm =Ω+Ω− δω

Iš čia gauname atstojamojo priverstinio svyravimoamplitudę ir fazę: 22222

0

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm 22

00

2Ω−Ω

=ω

δϕtg


Gavome priverstinių svyravimų lygtį, jos amplitudęir jėgos ir nuokrypio fazių skirtumą:

Nekintant priverstinės jėgos amplitudei ir sistemos parametrams, stacionariniosvyravimo amplitudė yra pastovi.

Priverstinis nusistovėjęs svyravimas yra svyruoklę veikiančios jėgos dėsniu vykstantis harmoninis svyravimas.

Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo:

1. svyruoklę veikiančios jėgos,2. tos jėgos poveikio dažnio, 3. svyruoklės savojo svyravimų dažnio ir 4. slopinimo koeficiento.

222220

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm 22

00

2Ω−Ω

=ω

δϕtg)cos( 0ϕ−Ω= tss m

Svyravimai ir bangos - Rezonansas

Priverstinių svyravimų amplitudė priklausonuo jėgos poveikio dažnio:

Ši priklausomybė vaizduojama amplitudės rezonansine kreive.

Esant tam tikram dažniui amplitudė pasidaro didžiausia.

Priverstiniai svyravimai didžiausia amplitude vadinami rezonansiniais, o svyravimų“įsisiūbavimo” iki maksimalios amplitudės reiškinys – rezonansu.

Rezonansinį dažnį rasime pošaknio reiškinio išvestinę prilyginę nuliui:

Ši lygtis turi tris sprendinius, iš kurių vienas yra nulinis, o kitas neigiamas.

Todėl rezonansinis dažnis: ir amplitudė:220 2δω −=Ωrez

222220

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm

08)(4 22220 =Ω+Ω−Ω− δω

220

0,

2 δωδ −=

Fs rezm

1.1.4 Svyravimai (Fizika.KTU.2009)

Documents

svyravimai ir bangos

f1s f2

a2 cos

a3 cos

wk

a4 cos

f0 cos

a1 cos