1.1.1 Kinematika (Fizika.KTU.2006)

Kinematika – Mechanikos šaka.

Mechanika – fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą irjų tarpusavio sąveiką.

Mechanika skirstoma į Kinematiką ir Dinamiką.

Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių.

Dinamika tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusiųpriežasčių ir, atvirkščiai, pagal judėjimo pobūdį nustato tas priežastis.

Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika

Kinematika – [gr. Kinematos – judėjimas] - fizikos šaka, nagrinėjantiįvairaus pobūdžio mechaninį judėjimą, neįvertindama jį sukeliančiųpriežasčių.

Judėjimas – kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties kitimas erdvėje ir laike.

Judėjimo tipai: – 1. Pagal judėjimo kitimą laike.

1.1 Tolygus,1.2 Tolygiai kintantis,1.3 Netolygiai kintantis.

2. Pagal krypties kitimą erdvėje.

2.1 Slenkamasis,2.2 Sukamasis,2.3 Kreivaeigis.

Atskaitos sistema

Judėjimas visada turi kryptį (juda kažkurio kito kūno atžvilgiu).

Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimo, vadinamas atskaitos kūnu.

Koordinačių sistema, susieta su atskaitos kūnu, vadinama atskaitos sistema.

Paprasčiausias objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yramaterialusis taškas.

Materialiuoju tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kuriomatmenis ir formą konkrečiomis sąlygomis galima nekreipti dėmesio.

Padėties vektorius konkrečiu laiko momentu:

Vektoriaus projekcijos:

Vektoriaus modulis:

Padėtis

Padėties charakteristika erdvėje nusakoma padėties vektoriumi

Dydžiai, kurie nusakomi moduliu ir kryptimi erdvėje, vadinami vektoriais.

Dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais.

Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti padėties vektoriumistačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje.

;)()()()( ktzjtyitxtr

;222 zyxr

cosrx cosry cosrz

Trajektorija ir Poslinkis

Materialiojo taško padėties kitimas erdvėje (judėjimas) nusakomasšiomis charakteristikomis:

1. Trajektorija – tai linija, kurią brėžia vektoriaus galas.

Pagal trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias S lygus trajektorijos ilgiui.

2. Poslinkis – tai kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi:

Jo modulis:

Padėties kitimo sparta – Greitis – Tolygus judėjimas

Tolygaus judėjimo atveju materialiojo taško padėties kitimo sparta,arba greitis išreiškiamas poslinkio vektoriaus ir laiko pokyčio santykiu.

constt

xv

t

v

t

x

t

x

Greičio kitimo sparta–Pagreitis–Tolygiai kintamas judėjimas

Tolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikuikinta tolygiai, o greičio kitimo sparta, arba pagreitis išreiškiamasgreičio pokyčio per atitinkamą laiko intervalą ir to laiko intervalo santykiu.

t

a

constt

va

t

v

v

t

Netolygiai kintamas judėjimas - Greitis

Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikuikinta netolygiai, todėl jis išreiškiamas per poslinkio išvestinę laiko atžvilgiu.

Todėl, greitis apibūdinamas kaip objekto padėties erdvėje kitimo sparta.

Pvz.:

išskaidymas į projekcijas:

modulis:

t

v

t t

v

v

Netolygiai kintamas judėjimas - Pagreitis

Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško pagreitis, bėgant laikui gali kisti tolygiai arba netolygiai, todėl jis išreiškiamas per greičio išvestinę laiko atžvilgiu:

Todėl, pagreitis apibūdinamas kaip objekto judėjimo greičio kitimo sparta.

)(tfa

t

a

t

a

t

Netolygiai kintamas judėjimas – kinematinės lygtys

Netolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys yra bendrines trijų tipųslenkamajam judėjimui:

).(

,

,2

2

tfrdt

rdv

dt

rd

dt

vda

Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys

Kinematines lygtis galima pritaikyti tolygiai kintamo ir tolygaus judėjimo charakteristikoms gauti.

Tolygiai kintamam judėjimui:

Kadangi: ir , tai greičio vektorių gausime integruojant:

, t.y.: ,

o kadangi: ir , tai padėties vektorių gausime integruojant:

, t.y.: ,

).(

,

,2

2

tfrdt

rdv

dt

rd

dt

vda

consta

dt

vda

dtavd

0

0

vtaCtadtatvt

0vtatv

dt

rdv

dtvrd

00

2

0

0 2rtv

tadtvtatr

t

00

2

2rtv

tatr

Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys

Tolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys užrašomos:

Diferencialine forma: Funkcine forma:

consta

2

2

dt

rd

dt

vda

0vtatv

dt

rdv

tfr

00

2

2rtv

tatr

Tolygiai kintamas tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai

Tolygiai kintamajam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulissutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarineforma:

consta 0vtatv

00

2

2rtv

tatr

0vattv tvat

ts 0

2

2

Tolygus tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai

Tolygiam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:

0a constvtv 0

00 rtvtr

constvtv 0 00 xtvtx

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metudalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.

;)()()()( ktzjtyitxtr

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metudalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.

Todėl padėties, greičio ir pagreičio projekcijos nepriklauso viena nuo kitos.

Jas galima aprašinėti atskirai viena nuo kitos ir ieškoti sprendinio nepriklausomai viena nuo kitos.

)()()( tztytx

)()()( tvtvtv zyx

)()()( tatata zyx

Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis

Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis.

Jo metu visada yra įcentrinis (normalinis) pagreitis , šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą:

Tangentinis (liestinis) pagreitis apibūdina linijinio greičio modulio kitimo spartą:

Taško pilnas pagreitis:

O jo modulis:

Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys

Judėjimas apskritimu apibūdinamas:

spinduliu

spindulio posūkio kampu

kampiniu greičiu

kampiniu pagreičiu

Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulioposūkio kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:

Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:

Sukamasis judėjimas

Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu:

Kinematinės charakteristikos:

RRdt

d

dt

dva

RR

van

)(

22