1. DIFERENCIJALNI RAČUN 1.1 Pojam i značenje izvoda Izvod funkcije f x u tački x , u oznaci f x , definiše se kao granična vrednost oblika: 0 lim h f x h f x f x h ukoliko ovaj limes postoji. Drugim rečima, izvod funkcije je količnik priraštaja funkcije i priraštaja argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli. Osim navedene oznake za označavanje izvoda funkcije koriste se i oznake: ykao i dy dx . Ako je granična vrednost f x konačan broj kažemo da je funkcija f x diferencijabilna u tački x , a ukoliko f x postoji u otvorenom intervalu , ab tada je funkcija f x diferencijabilna na ovom intervalu. Postupak izračunavanja izvoda funkcije zove se diferenciranje i ovo je osnovna operacija diferencijalnog računa. Izvod funkcije f x koji smo označili sa f x je nova funkcija, i njen domen je podskup od domena funkcije f x . Direktno iz definicje izvoda kao opisane granične vrednosti, zaključuje se da postoje levi i desni izvod funcije f x u tački x koji se definišu na sledeći način: Levi izvod: 0 lim h f x h f x f x h , odnosno u pitanju je približavanje nuli sa leve strane, tj. približavanje nuli preko vrednosti koje su manje od nje. Postojanje ove granične vrednosti znači da je funkcija diferencijabilna sleva. Desni izvod: 0 lim h f x h f x f x h , što znači da se nuli približavamo sa desne strane, pa je funkcija diferencijabilna zdesna kada navedeni limes postoji. Analogno definiciji neprekidnosti funkcije, kaže se da je funkcija f x diferencijabilna u tački, odnosno da ima izvod u ovoj tački ako postoje njen levi i desni izvod i ukoliko se njihove vrednosti poklapaju, odnosno važi: f x f x . Primer 1. Naći prvi izvod funkcije a) () = 2 b) = 3 + 2 c) 2 2 f x x x
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1. DIFERENCIJALNI RAČUN
1.1 Pojam i značenje izvoda
Izvod funkcije f x u tački x , u oznaci f x , definiše se kao granična vrednost oblika:
0limh
f x h f xf x
h
ukoliko ovaj limes postoji. Drugim rečima, izvod funkcije je količnik priraštaja funkcije i priraštaja
argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli. Osim navedene oznake za označavanje izvoda
funkcije koriste se i oznake: y kao i dy
dx.
Ako je granična vrednost f x konačan broj kažemo da je funkcija f x diferencijabilna u tački
x , a ukoliko f x postoji u otvorenom intervalu ,a b tada je funkcija f x diferencijabilna
na ovom intervalu.
Postupak izračunavanja izvoda funkcije zove se diferenciranje i ovo je osnovna operacija
diferencijalnog računa. Izvod funkcije f x koji smo označili sa f x je nova funkcija, i njen
domen je podskup od domena funkcije f x .
Direktno iz definicje izvoda kao opisane granične vrednosti, zaključuje se da postoje levi i desni
izvod funcije f x u tački x koji se definišu na sledeći način:
Levi izvod:
0
limh
f x h f xf x
h
, odnosno u pitanju je približavanje nuli sa leve
strane, tj. približavanje nuli preko vrednosti koje su manje od nje. Postojanje ove granične
vrednosti znači da je funkcija diferencijabilna sleva.
Desni izvod:
0
limh
f x h f xf x
h
, što znači da se nuli približavamo sa desne
strane, pa je funkcija diferencijabilna zdesna kada navedeni limes postoji.
Analogno definiciji neprekidnosti funkcije, kaže se da je funkcija f x diferencijabilna u tački,
odnosno da ima izvod u ovoj tački ako postoje njen levi i desni izvod i ukoliko se njihove vrednosti
poklapaju, odnosno važi: f x f x .
Primer 1.
Naći prvi izvod funkcije a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b) 𝑦 = 3𝑥 + 2 c) 22f x x x
Rešenje: 𝑎) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥+ℎ)
ℎ= 2𝑥
b) 𝑓 ‚(𝑥) = lim ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
3(𝑥+ℎ)+2−(3𝑥+2)
ℎ= lim
ℎ→0
3ℎ
ℎ= 3
c)
2 2
0 0
2 2 2 2 2 2
0 0
2
0 0 0
2 2lim lim
2 2 2 2 2 2 2 2lim lim
2 22 2lim lim lim 2 2 2 2
h h
h h
h h h
x h x h x xf x h f xf x
h h
x h x xh h x x x h x xh h x x
h h
h x hh xh hx h x
h h
Primer 2: Za funkciju f x definisanu sa 5f x x izračunati prvi izvod u tački 2x .
Rešenje:
0 0 0 0
2 2 2 5 2 5 7 72 lim lim lim lim 1
h h h h
f h f h h hf
h h h h
Prvi izvod funkcije ima višestruke primene, kao i interpretacije, pri čemu je jedna od najvažnijih
sledeća.
Interpretacija izvoda: Za svako x koje pripada oblasti definisanosti funkcije f x , prvi izvod
funkcije - f x predstavlja nagib (koeficijent pravca) tangente grafika funkcije f x u tački
,x f x .
1.2 Izvodi nekih elementarnih funkcija
Cy ( .constC ) 0'y
axy 1' aaxy
xay ( 1,0 aa ) aay x ln'
xey xey '
xy alog ( 1,1 aa )
axy
ln
1'
xy ln
xy
1'
Osnovna pravila diferenciranja
Diferenciranje proizvoda konstante i funkcije
xfCxfC '
, C - konstanta
Izvod zbira, odnosno razlike funkcija
'' vuvu
, gde je funkcija xvvxuu ,
Izvod proizvoda funkcija
'' uvvuvu
Izvod količnika funkcija
2
''
v
uvvu
v
u
Primer 2.
Naći izvod sledećih funkcija:
a) 2
2
3xy b) 532 24 xxxy
d) xexy 33 e) 5
22
x
xy f)
2
5
9
xy
x
Rešenje:
a) xxxy 322
3
2
3' 2
b) 62532 56824
xxxxxxy
d) xexexexexexy xxxxx
33333 23233
e)
22
2
22
22
22
22
5
102
5
4102
5
5252'
x
x
x
xx
x
xxxxy
f)
22 2 2
2 22 2
5 9 5 9 1 9 5 2
9 9
x x x x x x xy
x x
2 2 2
2 22 2
9 10 2 10 9
9 9
x x x x xy
x x
Izvod složene funkcije
Složena funkcija, u oznaci y f g x predstavlja kompoziciju funkcija f i g pri čemu je
y f u i u g x .
Izvod složene funkcije definiše se na sledeći način:
dy du
y x y u u x f u g x f g x g xdu dx
Direktno iz navedene definicije izvodimo pravila, odnosno formule za izračunavanje izvoda
pojedinih oblika složenih funkcija:
Složena stepena funkcija: n
y f x 1n
y n f x f x
Složena korena funkcija: y f x
1
2y f x
f x
Složena eksponencijalna funkcija: f x
y e f x
y e f x
Složena logaritamska funkcija: lny f x
1
y f xf x
Primer 4.
Naći prvi izvod funkcije:
a) 5ln 2 xy b) xexy 22 3 c) xy 3 d) 22 3y x
e) xxy 2ln f) 23 xxy g) 222 xey h) x
xy
1
1ln
i) 2x
xy
e
a) 5ln 2 xy
52 xu 5
22
5
11ln
22
x
xx
xu
uuuy
b) xexy 22 3
uexxeexexy uxxx
3233 222222 xu 2
3232232 2222222 xxexxeexxe xxxx
c) xy 3
2
1
3 xy
xx
xuuuuy
32
1
32
113
2
1
2
1
2
12
12
1
2
1
d) 22 3y x
1 12 2 22 2
1 22 2
1 1 1 22 3 2 3 2 3
2 2 2 32 3 4
xy x x x
xx x
e) xxy 2ln
xxx
xxxy ln2ln1
ln2ln 22
f) 23 xxy
3 2
333
3
1
2
122
xxxxxxxxy
g) 222 xey
222 22
122
xxxx exxxey
h) x
xy
1
1ln
xxx
xx
x
xy
11
2
1
111
1
1
12
i) 2x
xy
e
2 2 22 2
4 4 4 2
1 22 1 2x x xx x
x x x x
x e x e e xe x e xy
e e e e
1.3 Izvod višeg reda
Neka je data funkcija xfy definisana na nekom skupu ba, i neka postoji prvi izvod