Top Banner
Εξέταση Προόδου Γραmmική ΄Αλγεβρα Αντιστροφοι Πίνακες Θεωρήmατα και Ασκήσεις Τmήmα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήmιο Θεσσαλίας 17 Οκτωβρίου 2014
35

11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Jul 04, 2015

Download

Education

Manolis Vavalis

Αντίστροφοι Πίνακες
Θεωρήματα και Ασκήσεις
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Γραμμική ΄Αλγεβρα

Αντιστροφοι Πίνακες

Θεωρήματα και Ασκήσεις

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

17 Οκτωβρίου 2014

Page 2: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Γινόμενο Πινάκων

Κάθε στήλη του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με τογινόμενο του A με την αντίστοιχη στήλη του B.

A ·

...

.

.

.

Bστ1 · · · Bστn...

.

.

.

=

...

.

.

.

A ·Bστ1 · · · A ·Bστn...

.

.

.

Κάθε γραμμή του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με τογινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του A επί τον B.

· · · Aγρ1 · · ·...

· · · Aγρn · · ·

·B=

· · · Aγρ1 ·B · · ·

.

.

.

· · · Aγρn ·B · · ·

Page 3: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Ορισμός αντιστρόφου

Ο αντίστροφος ενός πίνακα A είναι ένας άλλος πίνακας B τέτοιοςώστε

AB=BA= I

Ο αντίστροφος συνήθως συμβολίζεται με A−1.

Page 4: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος του αντίστροφου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο

πίνακας. Δηλαδή (A−1

)−1 =A

.

Απόδειξη.

AA−1 =A−1A= I.

Page 5: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος του αντίστροφου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο

πίνακας. Δηλαδή (A−1

)−1 =A

.

Απόδειξη.

AA−1 =A−1A= I.

Page 6: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος γινομένου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,

με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους.

Δηλαδή

(AB)−1 =B−1A−1.

Απόδειξη.

(B−1A−1

)(AB) =B−1

(A−1A

)B=B−1IB=B−1B= I.

(AB)(B−1A−1

)=A

(BB−1

)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.

Page 7: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος γινομένου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,

με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή

(AB)−1 =B−1A−1.

Απόδειξη.

(B−1A−1

)(AB) =B−1

(A−1A

)B=B−1IB=B−1B= I.

(AB)(B−1A−1

)=A

(BB−1

)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.

Page 8: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος γινομένου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,

με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή

(AB)−1 =B−1A−1.

Απόδειξη.

(B−1A−1

)(AB) =B−1

(A−1A

)B=B−1IB=B−1B= I.

(AB)(B−1A−1

)=A

(BB−1

)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.

Page 9: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος γινομένου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο,

με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή

(AB)−1 =B−1A−1.

Απόδειξη.

(B−1A−1

)(AB) =B−1

(A−1A

)B=B−1IB=B−1B= I.

(AB)(B−1A−1

)=A

(BB−1

)A−1 =AIA−1 =AA−1 = I.

Page 10: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.

Page 11: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B

=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.

Page 12: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B=BI

=B(AC) = (BA)C= IC=C.

Page 13: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B=BI =B(AC)

= (BA)C= IC=C.

Page 14: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B=BI =B(AC) = (BA)C=

IC=C.

Page 15: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Μοναδικότητα αντιστρόφου

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός.

Απόδειξη.

΄Εστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε

B=BI =B(AC) = (BA)C= IC=C.

Page 16: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b

Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.

Απόδειξη.

Ax= b⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.

Page 17: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b

Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.

Απόδειξη.

Ax= b

⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.

Page 18: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b

Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.

Απόδειξη.

Ax= b⇒A−1Ax=A−1b

⇒ x=A−1b.

Page 19: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος και λύσεις

Θεώρημα

Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότεÏ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax= b γιαοποιοδήποτε b

Ï και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική.

Απόδειξη.

Ax= b⇒A−1Ax=A−1b⇒ x=A−1b.

Page 20: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Υπαρξη αντιστρόφου

Θεώρημα

Ο αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά στοιχείαμετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη μηδενικά.

Απόδειξη.

Για να υπάρχει πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις

στήλες του.

Πρέπει δηλαδή τα συστήματα Avj = ejγια j= 1,2, . . . ,n να έχουν

όλα λύση.

Page 21: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

Αντίστροφος τριγωνικού

Θεώρημα

Ο αντίστροφος ενός άνω(κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι

άνω(κάτω) τριγωνικός πίνακας.

Απόδειξη.

Εύκολη αλλά θέλει τον χρόνο της και είναι βαρετή.

Page 22: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

EA=1 0 0

0 1 π

0 0 1

2 2 40 1 −3−2 7 4

=??

Α)

2 2 4−2π 1+7π −3+4π−2 7 4

Β)

2 2 40 1 −3

2π−2 2π+7 4π+4

Γ)

2 2 4+2π0 1 −3+π−2 7 4+7π

Δ)

2 2 40 1 −3−2 π+7 4−3π

Page 23: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Ο αντίστροφος του πίνακα

[1 32 4

]είναι ο

[−2 32

1 −12

].

Ποιά είναι η λύση του συστήματος

2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1

Α)

[1 23 1

]Β)

[10

]Γ)

[03

]Δ)

[ 12 0−0 1

]Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων

[1 32 4

]x=

[12

]άρα

λύση είναι η Β):

[−2 32

1 −12

][12

]=

[10

]

Page 24: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Ο αντίστροφος του πίνακα

[1 32 4

]είναι ο

[−2 32

1 −12

].

Ποιά είναι η λύση του συστήματος

2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1

Α)

[1 23 1

]Β)

[10

]Γ)

[03

]Δ)

[ 12 0−0 1

]Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων

[1 32 4

]x=

[12

]άρα

λύση είναι η Β):

[−2 32

1 −12

][12

]=

[10

]

Page 25: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Ο αντίστροφος του πίνακα

[1 32 4

]είναι ο

[−2 32

1 −12

].

Ποιά είναι η λύση του συστήματος

2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1

Α)

[1 23 1

]Β)

[10

]Γ)

[03

]Δ)

[ 12 0−0 1

]

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων

[1 32 4

]x=

[12

]άρα

λύση είναι η Β):

[−2 32

1 −12

][12

]=

[10

]

Page 26: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Ο αντίστροφος του πίνακα

[1 32 4

]είναι ο

[−2 32

1 −12

].

Ποιά είναι η λύση του συστήματος

2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1

Α)

[1 23 1

]Β)

[10

]Γ)

[03

]Δ)

[ 12 0−0 1

]Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων

[1 32 4

]x=

[12

]άρα

λύση είναι η Β):

[−2 32

1 −12

][12

]=

[10

]

Page 27: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Ο αντίστροφος του πίνακα

[1 32 4

]είναι ο

[−2 32

1 −12

].

Ποιά είναι η λύση του συστήματος

2x1 +4x2 = 2x1 +3x2 = 1

Α)

[1 23 1

]Β)

[10

]Γ)

[03

]Δ)

[ 12 0−0 1

]Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων

[1 32 4

]x=

[12

]άρα

λύση είναι η Β):

[−2 32

1 −12

][12

]=

[10

]

Page 28: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθεπραγματικό αριθμό r 6= 0 ισχύει

(rA)−1 = 1r

A−1

(1r

A−1)rA= (r(1r

A−1))A=A−1A= I

Page 29: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθεπραγματικό αριθμό r 6= 0 ισχύει

(rA)−1 = 1r

A−1

(1r

A−1)rA= (r(1r

A−1))A=A−1A= I

Page 30: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Είναι ο πίνακας

A=1 2 3

1 2 41 2 5

Αντιστρέψιμος;

Α Ναι.

Β ΄Οχι.

Γ ΄Ισως.

Δ Τα έχω χαμένα.

Page 31: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Είναι ο πίνακας

B=1 1 1

2 2 23 4 5

αντιστρέψιμος;

Α Ναι.

Β ΄Οχι.

Γ ΄Ισως.

Page 32: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα1 1 12 −1 03 4 5

x=0

00

έχει σαν λύση μόνον την x=~0 τι ισχύει για το σύστημα1 1 1

2 −1 03 4 5

x=−1

7−3

?

Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x.Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω

Δ Τίποτε απο τα παραπάνω.

Page 33: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα1 1 12 −1 03 4 5

x=0

00

έχει σαν λύση μόνον την x=~0 τι ισχύει για το σύστημα1 1 1

2 −1 03 4 5

x=−1

7−3

?

Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x.Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω

Δ Τίποτε απο τα παραπάνω.

Page 34: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Η ισότητα (A+B)T =AT +BTισχύει

Α Για κάθε ζεύγος n×n πινάκων A και B.Β Για κανένα ζεύγος n×n πινάκων A και B.Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n×n πινάκων A και B ενώ για άλλαδεν ισχύει

Page 35: 11η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας

Εξέταση Προόδου

΄Ασκηση

Η ισότητα (A+B)−1 =A−1 +B−1ισχύει

Α Για κάθε ζεύγος n×n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.Β Για κανένα ζεύγος n×n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n×n αντιστρέψιμων πινάκων A και Bενώ για άλλα δεν ισχύει