Γραmmική ΄Αλγεβρα ΄Υπαρξη - Μοναδικότητα - Τάξη 1 - Μετασχηmατισmοί Τmήmα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήmιο Θεσσαλίας 14 Νοεmβρίου 2014
Γραμμική ΄Αλγεβρα
΄Υπαρξη - Μοναδικότητα - Τάξη 1 - Μετασχηματισμοί
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
14 Νοεμβρίου 2014
2η εξέταση προόδου
Ï θα πραγματοποιηθεί 9-10 το Σάββατο 22
Νοεμβρίου στο Αμφιθέατρο Κορδάτου
Ï εξεταστέα ύλη την έως και την Παρασκευή
(σήμερα) διδαχθήσα.
Ï υποχρεωτική και αφορά μόνον πρωτοετείς.
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
΄Υπαρξη Λύσης
Το Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννοι στήλες του A παράγουν τον Rm
mΤο Ax= b έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε b αννr=m (και m≤ n)
mΕάν r=m (και m≤ n) τότε υπάρχει δεξιόςαντίστροφος του A
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
Μοναδικότητα Λύσης
Το Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b ανν οιστήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες
mΤο Ax= b έχει το πολύ μια λύση για κάθε b αννr= n (και n≤m)
mΕάν r= n (και n≤m) τότε υπάρχει αριστερόςαντίστροφος του A
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb
μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b,
μπορεί
όμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).
Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
΄Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης
Μια πιθανή λύση του Ax= b είναι ηx=Cb μια και Ax=ACb= b, μπορείόμως να υπάρχουν και άλλες λύσεις
(C).Αν το Ax= b έχει λύση τότε αυτήθα είναι της μορφής x=BAx=Bb .
Παράδειγμα
A=[
4 0 00 5 0
]
m= 2,n= 3,r= 2
Παράδειγμα
A=[
4 0 00 5 0
]m= 2,n= 3,r= 2
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
Πίνακες τάξης 1
A=
2 1 14 2 28 4 4−2 −1 −1
=
124
−1
[2 1 1
]
Κάθε πίνακας A τάξης 1 μπορεί ναγραφθεί στην μορφή A= uvT
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.
Μετασχηματισμοί στον R2
Ï Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν)
με πολλαπλασιασμό πινάκων
Ï Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σανμετασχηματισμός του διανύσματος x στο y=Ax
Ï Δηλαδή
x→ y=Ax
Ï Μερικοί αντιστρέφονται, άλλοι όχι.