100412 136 Trabajo Fase 3 Compendio (1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Cód. 100412


FASE TRES

Presentado a:JORGE ENRIQUE TABOADA

Tutor

Entregado por:

!sae" Esne!der Losada G#$e%C#d!go: &'(()*)&+,

S!nd- .o/ana Ro0as Ce"!sC#d!go: &')1)((&&,

233333323333233333C#d!go: 33333

233333323333233333C#d!go: 33333

233333323333233333C#d!go: 33333

Grupo: &''+&45&1*

UNI6ERSIDAD NACIONAL ABIERTA . A DISTANCIA 7 UNADESCUELA DE CIENCIAS B8SICAS9 TECNOLOGA E INGENIERA

A.O de" 4'&*


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INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se encontrarán una serie de ejercicios ecuaciones diferenciales ysolución por series de potencias, los cuales tienen como fin que se pueda adquirir los

conocimientos necesarios de la unidad 3 del curso Ecuaciones Diferenciales de la UNAD. De

igual forma, este trabajo es creado de forma indiidual y colaboratia, generando la participaciónde los cada uno de los miembros del grupo de trabajo, permitiendo crear la!os de compa"erismo

y generando un aprendi!aje significatio tanto para la ida personal como para la profesional.


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DESARROLLO DE LA ACTI6IDAD INDI6IDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

#. $esoler el problema de alor inicial a tra%s del m%todo de series de &aylor'

( # ) )# ,*+ ( +

$espuesta

No$;re estud!ante N ATE8TICA

RA?ON O E2PLICACION

( # ) )#

4@ Deter$!nar por e" =r!ter!o de" =o=!ente e" =on0unto de =onergen=!a de:

∑n=0

∞ (−2)n

(n+1)( x−3)n

$espuesta

No$;re estud!ante


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( x−3 )2


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¿−2 x+6−65

-e contin4a diidiendo por 8# para

poder inertir la desigualdad

2 x

2 >

5

2

x>5

2

0uego se uele a diidir por 5

5

2


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condicional conergente

¿an∨¿

∑ ¿ es diergente y

∑ an es conergente.

Debemos erificar la conergencia

−2¿n

¿7

2−3¿n∨¿

¿¿¿¿¿

∑n=0

∞

¿

Diergente

-implificamos

∑n=0

∞1

n+1

omparación de l:mites

limn →∞ (

an

bn )= L , donde0


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omparación de l:mites

limn →∞ (

an

bn )= L , donde0


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( es diergente

5

2


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EJERCICIO 1: Ca"=u"e e" rad!o - e" !ntera"o de =onergen=!a de "a s!gu!ente ser!e

de poten=!a:

∑n=0

∞ (100)n

n ! ∗( x+7)n

$espuesta

No$;re estud!ante


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limn →∞ |n!∗(100 )

n∗(100 )∗( x+7 )n∗( x+7)

n !∗(n+1 )∗(100 )n∗( x+7)n |


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y' ( x )=∑

n=1

∞

nan

xn−1 , y

' ' ( x )=∑n=2

∞

n (n−1)an

xn−2

0os correspondientes desarrollos en serie para

y> */ y y?*/ dados por

∑n=2

∞

2n(n−1)nan

xn−2,+

∑n=1

∞

❑an

xn+

∑n=0

∞

an

xn=0

-ustituimos,

2(k +2)(k +1)nk +¿2

xk +∑

n=1

∞

k ak

xk +∑

n=0

∞

ak

xk =0

∑n=0

∞

¿

Escribimos las tres series de forma que el

t%rmino general de cada una de ellas sea una

constante multiplicada por xk

.

4 a2+a0=0

ak +2= −12(k +2)

ak k ≥1

a2=−1

22

a0

a3=−12.3

a1(k =1)

a4=−12.4

a2=

1

22.2.4

a0 (k =2 )a

5=−12.5

a3=

1

22.3 .

a6=−1

2.6

a4=

1

2

6

.3

a0 (k =4 ) a

7=−1

2.7

a5=

1

2

3

.3.5.

a8=−12.8

a6= 1

28.4

a0(k =6)

-eparamos los t%rminos correspondientes a

/+ y agrupamos los coeficientes de /@

obteniendo

4 a2+a0+∑

k =1

∞

[2 (k +2 ) (k +1 )ak +2+kak +ak ] xk

(+

gualando a cero los coeficientes de la serie

de potencias, resulta que

−1¿n

¿

¿a2n=¿ n #,

−1¿n

¿¿

a2n+1=¿

n #.

onsiderando a0 y a1 como constantes

arbitrarias, se obtiene


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−1¿n

¿¿22n .n !

¿−1¿n

¿2n+1

1.3.5 ..¿¿

2n ¿¿¿¿

y1 ( x )=∑n=0

∞

¿

0a solución general de nuestra ecuación es

y ( x)=a0 y 1( x)+a1 y 2( x) .

De aqu: resultan dos soluciones linealmente

independientes

EJERCICIO : Reso"er por ser!es "a e=ua=!#n d!eren=!a"

y'' + x2 y=0

$espuesta

No$;re estud!ante


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[2a (2 )+6a (3 ) x ]+∑ (n=2a ∞ ) [ (n+2 ) (n+1 ) a (n+2 )+a(n−2)

2a (2 )=0→ a (2 )=0

6a (3 )=0→ a (3 )=0

(n+2 ) (n+1 ) a (n+2 )+a (n−2 )=0n>1

a (n+2 )= −a (n−2 )

[ (n+2 ) (n+1 ) ] n>1

a (k +4 )= −a (k )

[ ( k +4 ) ( k +3 ) ] k =0,1,2, .

a (2 )=0 y a (3 )=0

a (6 )=a (10 )=a (14 )=0, y a (7 )=a (11 )=a (15 )= =0

a (4 )=−a (0 )8∗7

a (8 )= −a (4 )(12∗11)

= a (0 )

12∗11∗8∗7

a (5 )=−a (0 )9∗8

a (9 )=−a (5

)13∗12= a (1

)13∗12∗9∗8

"poniendo #"e"n(0) y "n (1)son

y=a (0 )[1− x4

8∗7+

x8

12∗11∗8∗7− ]+a (1 )[ x− x

5

9∗8+13 porlo tanto ,la sol"ci$n general es


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DESARROLLO DE LA ACTI6IDAD COLABORATI6A

Pr!$era A=t!!dad

S!tua=!#n pro;"e$a:

Segunda A=t!!dad

EJERCICIO . SOLUCI>N PLANTEADA OBSER6ACIONES9 ANE2OS9

ODIFICACIONES A LA SOLUCI>N

PLANTEADADescarga de un condensador en una resistencia

-upongamos un condensador que tiene una diferenciade potencial Bo entre sus placas cuando se tiene una

l:nea conductora $, la carga acumulada iaja a tra%s

de un condensador desde una placa 6asta la otra,

estableci%ndose una corriente de intensidad i

intensidad. As: la tensión v en el condensador a

disminuyendo gradualmente 6asta llegar a ser cero

tambi%n la corriente en el mismo tiempo en el circuito

$.

Ri=v

i=−c dv

dt

v' +

1

R& v=0

-olucionar por series de potencias la siguiente

ecuación diferencial.

undo R=1 ( y & =1 )*

Descarga de un condensador en una

resistencia'

-upongamos un condensador que tiene una

diferencia de potencial Bo entre sus placas

cuando se tiene una l:nea conductora $, la

carga acumulada iaja a tra%s de un

condensador desde una placa 6asta la otra,

estableci%ndose una corriente de intensidad i.

As: la tensión en el condensador a

disminuyendo gradualmente 6asta llegar a ser

cero tambi%n la corriente en el mismo tiempo

en el circuito $.

Ri=v

i=−c dv

dt

-olucionar por serie de potencias las

siguientes ecuaciones diferencialesC


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CONCLUSIONES


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REFERENCIAS BIBLIOGR8FICAS

Dennis, ill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. engage 0earning Editores.

##8#F+. $ecuperado de' 6ttp'99bibliotecairtual.unad.edu.co'5#+G9libro.p6pHlibrod(35+

Iarc:a, A. *5+#G. Ecuaciones diferenciales. 0arousse 8 Irupo Editorial

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