100412 125 trabajo colaborativo fase_2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍATRABAJO COLABORATIVO 1 CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES

CURSO ACADÉMICO ECUACIONES DIFERENCIALES

ACT. FORO COLABORATIVO MOMENTO 2

DIEGO ARMANDO USECHE

CÓDIGO: 7726043

JAVIER HERNÀN POLANÌA RODRÌGUEZ

CÓDIGO: 7.713.361

RODRIGO ALBERTO SANABRIA

CÓDIGO: 7.702.768

ROLANDO ANTONIO VARGAS PEÑA

CÓDIGO: 7.708.912

COD: 100412_125

Presentado A:

HECTOR IVAN BLANCO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA

ABRIL

2015


INTRODUCCION.

Las actividades se desarrollaran aplicando la estrategia de aprendizaje basada en

problemas organizada en tres momentos para ser desarrolladas asociadas a cada unidad.

La segunda actividad se encuentra dividida en dos partes y se realizara en grupo

colaborativo a partir del reconocimiento, análisis, construcción y solución de problemas. Está

se encuentra organizada en tres fases y cada una de ellas se encuentra asociada a una

unidad del curso.. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios propuestos en la

guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el trabajo en

equipo.

Este trabajo tiene como fin enfocarnos en los primeros principios de la integración,

además de enseñarnos a utilizar el procedimiento como el del teorema fundamental del

cálculo. Aunque primordialmente el trabajo es sobre la realización de situaciones problemas

solucionando integrales indefinida y definida, aplicando las distintas propiedades que poseen.

Además los diferentes ejercicios que miraremos a continuación están desarrollados

detalladamente para su mayor análisis y comprensión, al igual que hechos a mano para mejor

apropiación y compromiso con respecto a los diferentes temas de estudio.


OBJETIVOS

En la actividad se deben desarrollar los momentos del aprendizaje basado en problemas

por lo tanto debe primero reconocer el problema planteado en la guía, luego en grupo

analizarlo y plantear soluciones y con el apoyo de los contenidos, ideas grupales y

retroalimentación del tutor hacer una síntesis con el fin de elaborar un producto final del

momento 2 para ser presentado en el entorno de evaluación y seguimiento.

Responder los interrogantes a las preguntas del foro inicial y generar debate entre mis

compañeros de grupo.

En el foro del trabajo colaborativo el estudiante debe aportar, discutir y acordar con sus

compañeros cuál será en producto final momento 2 de esta actividad del curso Ecuaciones

Diferenciales.

A través de esta actividad también se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas

conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.


Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior.

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas. (Rodrigo Sanabria) ( Diego Armando Useche ) (Rolando Antonio Vargas Peña)

A. x dydx

+x3 y=0

xy1+x2 y=0→ Homogonea

x dydx

=x2 y →xdy= y x2 dx

dyy

= x2 dxx

→iny− x2

2=c

B. y2 x '+2 yx=0 Ecuación lineal de primer orden

Una ecuación lineal es homogénea cuando está representada en la forma

dxdy

+ p ( y ) x=0

Dividiendo la ecuación por y2

y2 dxdy

+2 yx=0 / y2 = dxdy

+ 2y

x=0 es una ecuación homogénea

dxdy

=−2y

x

Sustituyendo

μ= xy

http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/user/view.php?id=527513&course=61


Despejando x = μ∗y

Derivamos x con respecto a y

dxdy

= y dμdy +μ

Hacemos la sustitución en la ecuación

dxdy

=−2xy

0

y dμdy +μ =- 2 μ

Pasamos la μ para el otro lado del igual así:

ydμdy

=−3 μ

Separamos las variables

y dμ =- 3 μ *dy

dμ−3μ =

dyy

Ahora procedemos a integrar

∫ dμ−3 μ = ∫ dy

y −13 ∫ dμ

μ = ∫ dyy

−13

ln|u|=¿ ln|y|+ ln|C|

Agregamos logaritmo natural a la constante para aplicar propiedad de logaritmos, igual sigue siendo constante:

−ln|u|−13 =¿ ln|y∗C| Eliminamos el logaritmo de cada lado y queda la ecuación así:


μ−13 = y∗C Recuperamos la variable sustituida

xy

−13 = y∗C

C. y ' '− y '−6 y=0 Ecuación Diferencial Lineal Homogénea con coeficientes constantes y raíces reales distintas.

Solución:

Planteamos la ecuación auxiliar

m2−m−6=0

Factorizamos la expresión

(m−3)(m+2)=0

Por lo tanto tenemos dos raíces diferentes:

m1=3 ; m2=−2

Planteamos la solución general:

y=C1 ex+C2 e

x y=C1 e

3 x+C2 e−2 x

D. y [3 ]−3 y [2 ]−3 y '− y=ex−x+16.

Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea con raíces reales Iguales

Solución:

Planteamos la ecuación auxiliar para resolver inicialmente la Homogénea


m3−3m2+3m−1=0

Factorizamos la expresión

(m−1)3

Por lo tanto tenemos tres raíces Iguales m1=m2=m3=1

Planteamos la solución complementaria:

yc=c1 e

mx+c2 xemx+c3 x2 emx

yc=c1 ex+c2 x ex+c3 x

2 ex

La solución particular:

y p=A x3 ex+Bx+Cy ' p=3 A x2 ex+A x3 ex+B

y ' ' p=6 Ax ex+3 A x2 ex+3 A x2 ex+A x3 ex+0y ' ' p=6 Ax ex+6 A x2 ex+A x3 ex

y ' ' ' p=6 A ex+6 Ax ex+12 Axex+6 A x2ex+3 A x2 ex+A x3e x

y ' ' ' p=6 A ex+18 Axe x+9 A x2 ex+A x3 ex

(6 Aex+18 Axex+9 A x2 ex+A x3ex )−3 (6 Ax ex+6 A x2 ex+A x3 ex )+3 (3 A x2ex+A x3 ex+B )−( A x3e x+Bx+C )=ex−x+16

6 Aex−Bx+3B−C=ex−x+166 A=1

−B=−13B−C=16

De donde A=16 , B=1, C=−13, por lo tanto la ecuación particular

y p=16

x3 ex+x−13

Luego la solución

y g= yh+ y p


y g=c1 ex+c2 x ex+c3 x2ex+ 1

6x3 ex+ x−13

E. y ' '−9 y=54

Ecuación diferencial lineal no homogénea con raíces reales distintas. Solución:

Planteamos la ecuación auxiliar para resolver inicialmente la Homogénea m2−9m=54 →→m2−9=0

Factorizamos para resolver. (m¿¿2−9)=0 ¿→→(m−3)(m+3) Por lo tanto tenemos dos raíces distintas m1=3 ; m2=−3 Planteamos la solución complementaria: yc=C1 e

x+C2 ex

yc=C1 e3 x+C2e

−3 x

Para hallar la solución particular debemos proponer una solución, como tenemos un polinomio de grado cero:

y p=A0

Reemplazando está en la ecuación diferencial inicial tenemos: (A0)

' '−9(A0)=54−9 (A0)=54A0=−6 Es decir que nuestra solución particular es: y p=−6 La solución de la ecuación general no homogénea es la suma de la ecuación diferencial

complementaria y la solución particular: y g= yc+ y p

y g=C1 e3x+C2 e

−3x−6

F. y ' '+25 y=6 senx Ecuación diferencial lineal no homogénea con raíces imaginarias distintas

Planteamos la ecuación auxiliar para resolver inicialmente la Homogénea m2+25=0 Factorizamos para resolver:


m2+25=0m2=−25m=√−25 m1=5 i ; m2=−5 i Por lo tanto tenemos dos raíces complejas conjugadas: m1=5 i;m2=−5 i Planteamos la solución complementaria:yc=C1 e

ax sen( βx)+C2 eax cos (βx)

yc=C1 e0 x sen(5 x)+C 2e

0 x cos (−5 x)yc=C1 sen(5 x )+C2 cos(−5 x ) Para hallar la solución particular debemos proponer una solución, como tenemos una función

trigonométrica: y p=Asen x+Bcos x

Reemplazando está en la ecuación diferencial inicial tenemos: (Asenx+Bcos x)' '+25(Asenx+Bcos x)=6 senx-Asenx−Bcosx+25 Asenx+25Bcosx=6 senx24 Asen x+24 Bcosx=6 senx Igualando los coeficientes de las funciones trigonométricas tenemos:

24 A=6 A=14𝐵 = 0

Es decir que nuestra solución particular es:

y p=14

senx

La solución de la ecuación general no homogénea es la suma de la ecuación diferencial complementaria y la solución particular:

y g= yh+ y p

y g=C1 sen (5 x)+C2cos (−5 x)+ 14

senx

G. y '− yx=5 x

lineal ,no homogenea, ( primer orden )

μ ( x )=e∫−xdx=e− x2

2

e− x2

2 y '− yx e−x2

2 =5 xe− x2

2


y . e−x2

2 =5∫ xe− x2

2 dx

u=−x2

2

du=−xdx

y e−x2

2 =−5∫eudu

y e−x2

2 =−5e− x2

2 +c

y=−5+c ex2

2

H. xy '+ y=5 x2 NO HOMOGENEA, NO LINEAL

xdy+( y−5x2 )dx=0

N=x M= y−5 x2

∂N∂ x

=1 ∂ M∂ y

=1

∂M∂ y

=∂ N∂ x

∂F∂ x

=M ∂ F∂ y

=N

∂F∂ x

= y−5 x2

F=xy−5 x3

3+B ( y )

∂F∂ y

=x+B ´ ( y )


x+B ´ ( y )=x

B ( y )=e

I. x2 y '+3 xy= sen xx NO HOMOGENEA, NO LINEAL

x2dx+(3 xy− sen xx )dx

N=x2 M=3 xy− sen xx

∂N∂ x

=2x ∂ M∂ y

=3 x

F=2∫ 1

x2 ( 3x−2x ) dx=e

∫ 1xdx

¿ x

x3 dy+( 3x2 y−senx )dx

N=x3 M=3 x2 y−senx

∂N∂ x

=3x2 ∂ M∂ y

=3 x2

∂N∂ x

=∂ M∂ y

; ∂F∂ x

=M ; ∂ F∂ y

=N

∂F∂ y

=3 x2 y−senx

f=x3 y+cos x+B ( y )

∂F∂ y

=x3+B ´ ( y)


x3+B´ ( y )=x3

B´ ( y )=0

B ( y )=0

2. Demostrar que X3

y |x|3; son soluciones linealmente independientes de la siguiente

ecuación diferencial:

x2 y ' '−4 x dydx

+6 y=0 En el intervalo −∞<x<∞ (Rodrigo Sanabria)

Por definición:

Dos soluciones f 1 yf 2 son linealmente independiente en a≤ x≤b si y sólo si su Wronskiano es diferente de cero para alguna x de a≤ x≤b .

Como

|x|3={−x3 si x<0x3 si x⩾0 }

Entonces

y1=x3 , y2=x3 , o , y2=−x3

y '1=3 x2 , y '2=3x2 , o , y2=−3 x2

Generamos el Wronskiano:

W ( y1 , y2 )=[ x3 x3

3 x2 3 x2]=3 x5−3 x5=0

Por lo tanto las soluciones son linealmente dependientes.

Si tomamos nuestra segunda posibilidad el Wroskiano será:


W ( y1 , y2 )=[ x3 −x3

3 x2 −3 x2]=−3 x5−(−3 x5 )=0

Por lo tanto las soluciones son linealmente dependientes.

En conclusión x3 y |x|3 no son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial dada.

3. a. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

a . X2 Y } -XY+Y=04X 1n (x ¿

Solución

X2 y ' '−x y '+ y=0 y=u ' 1 x+u1+u '2 inx+u2(1+1nx)u '1 x+u ' 2 x+ Inx=0

y '=u1+u2 (1+1nx ) → y' '=u '1+u'2 (1+ Inx )+u2( 1

x )Sustituyendo en x2 y ' '−x y '+ y=4 x1nx

Quedaría

x2 [u ' 1+u '2 (1+ Inx )+u2( 1

x )]−x [u1+u2 (1+ Inx ) ]+u1 x+u2 x 1nx

x2u '1+u'2 (x2+x2 1nx )+u2 ( x−x−x 1nx+x1nx )+u1 (−x+x )=4 x 1nx

x2u '1+x2 (1+1nx ) u'2=4 x 1nx

Dividiendo por x2

u'+(1+1nx )u'2=

4x

1nx

u'1 y u'

2 las ubicamosen las acuaciones :


{ xu'1+ ( x1nx )u '

2=0u'

1+ (1+1nx )u '2=4 x−1 1nx} → { u'

1+ (1nx )u'2=0

u'1+ (1+1nx )u '

2=4 x−1 1nx}El determinante es

w=| 11nx11+1nx|=1+1nx−1nx−1nx=1

u'1

| 01nx4 x−11nx1+1nx|

w=−4 x−1(1nx2)

u'1

| 101 4 x−1 1nx|

w=−4 x−1 1nx

Entonces

u1=−4∫ x−1 (1nx2 )dx=−4∫ (1nx2 ) dxx

=−43

¿

u1=4∫ x−11nx dx=4∫ (1nx ) dxx

=2¿

La solución particular

y=u1 x+u2 x 1nx=−43

¿

y ( x )=23

x¿

La solución general:

y ( x )+k1 y1 ( x )+k2 y2 ( x )

y=23

x (1nx )3+k1 x+k2 x1nx

b. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados:

Y } 2y'+5y=24 {e} ^ {3x ¿


Solución

b .Y } 2y'+5y=24 {e} ^ {3x ¿

Encontramos la solución de la ecuación homogénea

Y } 2y'+5y= ¿

Solucionamos yc ¿e−x¿Buscamos la solución particular Tenemos presente la función f ( x )=24e

3 x La forma y p=Ae3 x

Encontramos las Constantes de la solución particulary¿ Ae 3 x

y '¿3 Ae 3x

y ' '¿ 9Ae 3 x

Entonces 9 Ae3x+2 (3 Ae3x )+(5 Ae3 x )=24 Ae3x

20 Ae3x=24 Ae3 x

20 A=24 ; A 2420

=65

Y=65

e3x

La solución de la ecuación seria Y= yc+ y p

Y=e−x (C1 cos2 x+C2 Sen2x )+ 65

ex

4. Encontrar un operador diferencial que anule a: (Rodrigo Sanabria) ( Diego Armando Useche )

a. (x3−2 x)(x2−1) para dar solución a esta ecuación se debe resolver:

x5−x3−2 x3 +2x

http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/user/view.php?id=527513&course=61


El operador que anula la ecuación es D6

D6 (x5−x3−2 x3 +2x)

D5 (5 x4−3 x2−6 x2+2)

D4 (20 x3−6 x−12 x¿

D3 (60 x2−6−12¿

D2 (120x)

D1=120 =0

b. x+3 xye6 x

Debemos buscar el operador que anula la ecuación. De la x es el operador D2 debemos identificar el operador de la otra ecuación.

(D –α ¿¿n (D –6¿¿2

D2 (D –6¿¿2 x+3 ye6 x

D2 – 12D+36 ( Validar si es posible eliminar el operador con y en la función)

c. xex

Solución:

El operador diferencial que anula xn−1eax es (D−a)n ,

En este caso tenemos n=2 y a=1, Es decir que el operador queda de la forma:

¿¿y ( x )=xex


y ' (x)=ex+ xex

y ' ' ( x )=e x+e x+xex=2e x+x ex

D2−2 D+1

2ex+xex−2 (ex+x ex )+xex=0

2ex+xex−2ex−2x ex+xex=0 0=0

d.1−5 x2+8 x3

El operador diferencial que anula xn−i es Dn, en este caso tenemos n=4Es decir que el operador queda de la forma: D4

D=dydx

( 1−5 x2+8 x3 )=24 x2−10x

D2=dydx

( 24 x2−10x )=48 x−10

D3=dydx

( 48 x−10 )=48

D4=dydx

(48 )=0

5. Resolver la siguiente ecuación diferencial:

x2 y ' '+ x y '+ y=0

Ecuación de entrada:

x2 y ' ' (x)+x y ' (x )+ y (x)=0

Si hacemos

y ( x )=xm

y ' ( x )=mxm−1


y ' ' ( x )=m(m−1) xm−2

y ' ' ( x )=(m2−m) xm−2

La ecuación diferencial nos queda:

x2 d2

dx2 (xm )+x ddx

(xm )+xm=0

Sustituyendo:

x2((m2−m ) xm−2)+x (mxm−1)+ xm=0

(m¿¿2−m)xm+m xm+ xm=0 ¿

xm(m¿¿2−m+m+1)=0 ¿

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Considere una masa de 30 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=30N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.18 m y se suelta a partir del reposo, determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el ángulo de fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.

SOLUCION

Se identifican los datos que suministra el ejercicio

m=30 kgK=30N /m

Distancia resorte=0.18m

Distancia resorte 0,18 m


Diagrama de Cuerpo libre

∑ f=m∗a

Fr=−K∗x

X equivale a la posición y si se deriva x con respecto a t se halla la velocidad, y si se deriva la velocidad se halla la aceleración.

v=dxdt a=dv

dt Es decir a=d2 xd t2

∑ f ¿¿Fr=m∗a

−Kx=m∗a

−Kx=m∗x ’ ’

m∗x ’ ’+Kx=0esunaecuación deorden superior .

Reemplazamos los valores que especifica el ejercicio

30∗x ’’+30 x=0 paradespejar la ecuaciónreemplazamos

x ’ ’=m2

x ’=mX=1

Y

K= 30 N/m

M= 30 kg

x


30∗m2+30=0m2=−3030

m2=−1

m=±√−¿1¿ = 1a La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario.

La solución para esta ecuación es

m=∝±b i ∝=0 β=1 m=0±1i

X = e∞t=c1cos (t )+c2 sen(t) se aplica la propiedad:

Acos x+Bsenx=Acos (x+∅ )

X=A∗cos ( t+∅ )

V=−A∗sen( t+∅ )

X (0)=0,18mla posiciónen eltiempo 0el resorteestá en0,18mt

V (0)=0velocidad enel tiempo0es igual a0

X=A∗cos ( t+∅ )0,18m=A∗cos (0+∅ )0,18m=A∗cos (∅ )

2¿0=−A∗sen(∅ )sen(∅ )=0∅=sen−1 0

∅=0 Angulode fase0,18m=A∗cos (0)=0,18m=A∗1


A = 0,18 amplitud

X = 0.18 m/s cos ( t) equivale a la posición

V= - 0,18 m/s sen ( t) equivale a la velocidad

T = 2π1 = 2π T = Periodo

F = 1T =

12π 0,16 Hz frecuencia

Ec=12

mv2

Ec=¿ 12

30kg¿

Ec=0,0486 J sen2 t Energía cinética

Ep=12

k x2

Ep=12

30N /m(0.18m/ scos ( t ))2

Ep=0,0486 J cos2 t Energía potencial


EJERCICIO PROPUESTO

a) Calcule las raíces de la ecuación característicab) Describa si es sub amortiguado, críticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.c) Calcule v para t ≥0 donde v0=0 , v (0,02)=10

SOLUCIONa) Calcule las raíces de la ecuación característica

α= 12RC

= 12(20 k)(0,125u)

=200 rad / s

ω0=1

√LC= 1

√8∗(0,125u)=103 rad / s

ωd=√ω02−α2=√106−4 x 104=100√96=979,80 rad / s

s1=−α+ j√ω02−α 2=−200+ j 979,80

s2=−α− j√ω02−α2=−200− j979,80

b) Describa si es sub amortiguado, críticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.comoω0

2>α la respuesta es sub amortiguada y por tanto la ecuación solución tiene la forma v=B1e

−αt cosωd t+B2 e−αt senωd t

c) Calcule v para t ≥0v=B1e

−αt cosωd t+B2 e−αt senωd t

v=B1e−200 t cos979,80 t+B2 e

−200t sen979,80 tComo v0=0

v=B1e−200∗0 cos979,80∗0+B2 e

−200∗0 sen979,80∗00=B1+0B1=0Entoncesv=B2e

−200 t sen 979,80t10=B2 e

−200∗0,02 sen979,80(0,02)

+

v0

-

+

v

-


B2=10

e−200∗0,02 sen979,80(0,02)=804,05

Por tantov=804,05 e−200t sen979,80 t

Considere una masa de 10 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=10N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.02 m y se suelta a partir del reposo, determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el àngulo de fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.

DATOS

Masa =10gConstante k= 10N/mDistancia de alargue =0.02 mDeterminar la posición de la masa en el tiempo T.Determinar la velocidad de la masa en el tiempo T.Determinar la frecuencia de la oscilación Determinar la amplitud Determinar el ángulo de fase.Determinar energías potenciales y cinéticas en el tiempo t.

En este caso empezaremos buscando la solución a la elongación del resorte el cual se determina de la siguiente forma

La elongación del resorte es:

x = A.cos(ω t + Ф)

A la amplitud, ω la frecuencia angular y Ф la constante de fase o fase inicial.

Si se suelta a partir del reposo, t = 0, x = A; cos(Ф) = 1; luego Ф = 0

Se sabe que ω = √(k/m) = √(10 N/m / 10 kg) = 1 rad/s

Por lo tanto: x = 0,02 m cos(1 rad/s t) es la ecuación de la elongación o posición

La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:


v = dx/dt = - 0,02 m . 1 rad/s sen(1 rad/s t)

ω = 2 π f; luego f = ω / (2 π) = 1 rad/s / (2 π rad) = 0,159 Hz

El ángulo de fase es ω t = 1 rad/s t (la constante de fase es nula)

Ep = 1/2.k.x² = 1/2 . 10 N/m . [0,02 m cos(1 rad/s t)]²Ep = 0,002 J [cos(1 rad/s)]² (energía potencial)

Ec = 1/2.m.v² = 1/2 . 10 kg . [0,02 m/s sen(1 rad/s t)]²Ec = 0,002 J . [sen(1 rad/s t)]² (energía cinética)

CONCLUSIONES

El desarrollo de esta actividad nos permitió el reconocimiento del curso, su estructura general, toda su

temática y objetivo de la misma, de tal forma que nos proporcionó una visión clara del curso para la

organización y planeación de estrategias adecuadas para desarrollar con éxito el programa.

Es fundamental que yo como estudiante asuma la gestión académica de su proceso formativo con

entereza, compromiso y responsabilidad, para cumplir con todos los eventos formativos.

La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso, se tomara como

estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo, de esta forma se espera

que el estudiante amplié la gama de opciones documentales que aportan a la re significación cognitiva.


Se maneja toda la temática del módulo de manera didáctica y de fácil aprendizaje.

El trabajo colaborativo es de gran aporte a nuestro auto aprendizaje y desarrolla un habito de trabajo en

equipo.

Se conoce de manera específica las temáticas, metodología y modelo del curso de Calculo Diferencial.

En estas actividades reconocimos a los compañeros de curso y a mi tutor.

WEBGRAFIA

Bonnet (2003).Calculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales .Alicante, España: Universidad de Alicante.

RONDON, J.E (2007) Calculo Integral. Primera edición, UNAD Ciencias básicas

URCELL, E (2001) Cálculo, Pearson Education: Prentice hall, Octava Edición, México.

HOMAS Y FINNEY (1987). Cálculo con Geometría Analítica Vol. 1. Edición sexta, Addison Wesley Iberoamericana. México.


TEWART, J. (2001) Cálculo de una Variable. Thomsom-Learning. Cuarta edición, Bogotá.

LARSON, R. Y HOSTETLER, R. (1998) Cálculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta edición, México.

SMITH, R. Y MINTON, R. (2002) Cálculo Vol. 1. Segunda Edición, Mc Graw Hill, Bogotá.

Plataforma Virtual “UNAD” “Curso Calculo Diferencial. Recuperado de: http://66.165.175.239/campus09_20142/course/view.php?id=14.