Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH Wprowadzenie Największy wykładnik Lapunowa, obok wymiaru korelacyjnego, jest jed- nym z głównych narzędzi służących do identyfikacji chaosu w układach dyna- micznych. Niektórzy autorzy uznają dodatnią wartość największego wykładnika Lapunowa za warunek konieczny i wystarczający obecności chaosu w układzie (Frank, Stengos, 1988, s. 103-133). Wykładniki Lapunowa dostarczają informa- cji na temat niestabilności trajektorii układu, ponieważ mierzą średnie tempo wykładniczej rozbieżności i zbieżności trajektorii dwóch początkowo bliskich sobie punktów przestrzeni stanów układu w kolejnych iteracjach, tzw. wrażli- wość układu na zmianę warunków początkowych. Z twierdzenia Oseledeca (1968) oraz z twierdzeń podanych w pracy Eck- mann, Ruelle (1985) wynika, że wykładniki Lapunowa istnieją dla prawie wszystkich punktów należących do przestrzeni stanów układu dynamicznego oraz że są stałe dla prawie wszystkich punktów należących do basenu przyciągania atraktora rozważanego układu (Keliher, 2002, s. 7; Zawadzki, 1996, s. 161). Jed- nakże wspomniane wyżej twierdzenia dotyczą tylko układów deterministycz- nych. Dla szeregu czasowego generowanego przez deterministyczny układ cha- otyczny twierdzenie Oseledeca gwarantuje stabilność największego wykładnika Lapunowa niezależnie od liczby obserwacji szeregu. Natomiast dla szeregu czaso- wego generowanego przez układ stochastyczny, wzrost liczby obserwacji w szere- gu będzie powodował zmienność wartości największego wykładnika Lapunowa.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH
Wprowadzenie
Największy wykładnik Lapunowa, obok wymiaru korelacyjnego, jest jed-nym z głównych narzędzi służących do identyfikacji chaosu w układach dyna-micznych. Niektórzy autorzy uznają dodatnią wartość największego wykładnika Lapunowa za warunek konieczny i wystarczający obecności chaosu w układzie (Frank, Stengos, 1988, s. 103-133). Wykładniki Lapunowa dostarczają informa-cji na temat niestabilności trajektorii układu, ponieważ mierzą średnie tempo wykładniczej rozbieżności i zbieżności trajektorii dwóch początkowo bliskich sobie punktów przestrzeni stanów układu w kolejnych iteracjach, tzw. wrażli-wość układu na zmianę warunków początkowych.
Z twierdzenia Oseledeca (1968) oraz z twierdzeń podanych w pracy Eck-mann, Ruelle (1985) wynika, że wykładniki Lapunowa istnieją dla prawie wszystkich punktów należących do przestrzeni stanów układu dynamicznego oraz że są stałe dla prawie wszystkich punktów należących do basenu przyciągania atraktora rozważanego układu (Keliher, 2002, s. 7; Zawadzki, 1996, s. 161). Jed-nakże wspomniane wyżej twierdzenia dotyczą tylko układów deterministycz-nych. Dla szeregu czasowego generowanego przez deterministyczny układ cha-otyczny twierdzenie Oseledeca gwarantuje stabilność największego wykładnika Lapunowa niezależnie od liczby obserwacji szeregu. Natomiast dla szeregu czaso-wego generowanego przez układ stochastyczny, wzrost liczby obserwacji w szere-gu będzie powodował zmienność wartości największego wykładnika Lapunowa.
Monika Miśkiewicz-Nawrocka 102
W opracowaniu zbadano wpływ liczby obserwacji w szeregach czasowych na wartości największego wykładnika Lapunowa. Dodatkowo stabilność naj-większego wykładnika Lapunowa zbadano w szeregach poddanych procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów. Badania empiryczne przeprowadzono z wykorzystaniem rzeczywistych danych natury ekonomicznej. Do przeprowadzenia niezbędnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi oraz arkusz kalkulacyjny Excel.
1. Największy wykładnik Lapunowa
Dla układu dynamicznego ( )fX , , w którym mR⊂X , ( )1: ≥→ mXXf , wykładniki Lapunowa są zdefiniowane jako granice (Zawadzki, 1996, s. 161):
( ) ( ) mixnn
x ini ...,,1,,ln1lim 00 ==∞→
μλ , (1)
gdzie: ( )0, xniμ – wartości własne macierzy ( )0xDf n ,
( )0xDf n – macierz Jacobiego odwzorowania nf równa
( ) ( ) ( ) ( )0110 ... xDfxDfxDfxDf nn ⋅⋅= − ,
nf – n-krotne złożenie funkcji f,
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
= xxfxDf
j
i , if – składowe odwzorowania f,
mji ,...,2,1, = . Zgodnie z twierdzeniem Oseledeca, dla m-wymiarowego układu dynamicz-
nego ( )fm ,R istnieje m wykładników Lapunowa spełniających warunek
1+≥ ii λλ , dla 1,...,1 −= mi . Największy z nich max1 λλ = mierzy średnie tempo zmian odległości początkowo bliskich sobie trajektorii, czyli tzw. wrażliwość układu na zmianę warunków początkowych.
W praktyce, dla rzeczywistych szeregów czasowych, gdy nie jest znana po-stać funkcji generującej f, wartość największego wykładnika Lapunowa szacuje się na podstawie zależności:
max0
λnn e⋅Δ=Δ , (2)
gdzie: 0Δ – początkowa odległość pomiędzy dwoma początkowo bliskimi (w sensie
metryki euklidesowej) punktami zrekonstruowanej przestrzeni stanów,
Wpływ redukcji szumu losowego… 103
nΔ – odległość pomiędzy tymi punktami po n iteracjach,
maxλ – największy wykładnik Lapunowa.
Zaproponowany niezależnie przez Rosensteina i in. (1993, s. 117-134) oraz Kantza (1994, s. 77) algorytm szacowania wartości największego wykładnika Lapunowa jest następujący (Kantz, Schreiber, 2005, s. 69-70): 1. W zrekonstruowanej przestrzeni stanów1 wyznaczamy najbliższych (w sensie
metryki euklidesowej) sąsiadów di j
x punktu dix , znajdujących się od niego
w odległości mniejszej niż ustalona wartość ε oraz spełniających warunek tii j >− , gdzie t jest liczbą naturalną2.
2. Obliczamy średnie odległości wszystkich najbliższych sąsiadów od kolej-nych punktów trajektorii jako funkcję upływu czasu. Uśrednioną wartość lo-garytmu odległości między trajektoriami można wyrazić wzorem:
( ) ( )∑ ∑= ∈
Δ+Δ+Δ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
N
i xOxtitit
di
dji
jxx
OnNd
1
1ln1
εε
, (3)
gdzie: ( )ixOε – otoczenie o promieniu ε wektora początkowego d
ix , ( )εOn – liczba wektorów w otoczeniu εO (liczba najbliższych sąsiadów).
3. Największy wykładnik Lapunowa szacuje się jako współczynnik regresji równania:
( ) ( ) tdd t Δ+=Δ λ0lnln (4)
na podstawie wykresu zależności tdΔ od t. Dla szeregów chaotycznych nachylenie prostej regresji wykresu ilustrującego
zależność nΔln od numeru iteracji n w początkowej fazie powinno być dodatnie.
maxλ szacuje się na podstawie zbiorów punktów należących do tego obszaru. Za-tem oszacowana wartość maxλ zależy nie tylko od wyboru metryki, liczby najbliż-szych sąsiadów, wymiaru zanurzenia, ale także od ustalonej wartości maxn , dla
której współczynnik regresji jest dodatni (Orzeszko, 2007, s. 131).
1 Wymiar zanurzenia można oszacować metodą najbliższych fałszywych sąsiadów. Zob. Kennel,
Brown, Abarbanel (1992, A. 45); Cao (2001). 2 Powyższy warunek stosuje się, aby zwiększyć prawdopodobieństwo, że najbliższy sąsiad nie
będzie należał do trajektorii wektora dix .W praktyce zazwyczaj przyjmuje się t = 10.
Monika Miśkiewicz-Nawrocka 104
Dla układów stochastycznych powyższy algorytm jest w stanie oszacować tylko lokalny największy wykładnik Lapunowa, który mierzy lokalną stabilność układu i może być zależny od długości szeregu czasowego (ilości obserwacji) i warunków początkowych. Z badań przeprowadzonych przez Fernández- -Rodriguez i in. (2004) wynika, że istnienie dodatniej wartości największego wykładnika Lapunowa nie implikuje obecności chaosu w badanym szeregu cza-sowym. Autorzy pokazali interesującą zależność pomiędzy chaotycznymi a sto-chastycznymi szeregami czasowymi. Dla szeregów czasowych generowanych przez układy deterministyczne największy wykładnik Lapunowa stabilizuje się, a w niektórych przypadkach nieznacznie wzrasta, wraz ze wzrostem długości szeregu czasowego. Natomiast dla szeregów czasowych generowanych przez układy stochatyczne wartość największego wykładnika Lapunowa zawsze wzra-sta wraz ze zwiększającą się liczbą obserwacji w szeregu. 2. Redukcja szumu losowego
– metoda najbliższych sąsiadów
Rzeczywisty szereg czasowy opisany za pomocą zależności (Nowiński, 2007, s. 24):
mR⊂X , X – przestrzeń stanów, Xxx tt ∈+1, , R→Xh : – funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji ts
układu dynamicznego, 1+ts – obserwacja szeregu czasowego w chwili 1+t ,
tη – szum dynamiczny wewnątrz układu,
tξ – szum pomiarowy, ( )ty – część deterministyczna szeregu czasowego, ( )tε – część stochastyczna szeregu.
Wpływ redukcji szumu losowego… 105
Redukcja szumu losowego pozwala na podstawie analizy szeregu obserwacji ( )ts poznać własności szeregu ( )ty . Metoda najbliższych sąsiadów (NS) wywodzi
się z teorii nieliniowych układów dynamicznych i została stworzona do prognozo-wania przyszłych wartości szeregów czasowych (Lorenz, 1969, s. 636-646), ale może być również stosowana do redukcji szumu losowego w szeregach czasowych. W metodzie NS redukcji szumu losowego część deterministyczną ( )ty szeregu
czasowego buduje się na podstawie najbliższych sąsiadów (w sensie metryki eukli-desowej d-wymiarowej) wektorów d
ts zrekonstruowanej przestrzeni stanów układu dynamicznego opisanego szeregiem ( )ts .
Algorytm wyznaczania wartości ny , Nn <<1 szeregu czasowego ( )Nsss ,...,, 21 metodą najbliższych sąsiadów jest następujący (Kantz, Schre-
iber, 2004): 1. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia d oraz opóźnienia czasowego 1=τ
tworzymy wektor opóźnień w postaci:
( )( )11,....,, −++= dtttdt ssss , (8)
tak aby filtrowana obserwacja ns była jedną ze środkowych współrzędnych
wektora dts .
2. Wyznaczamy k najbliższych sąsiadów (w sensie odległości euklidesowej) wektora d
ts w postaci:
( ) ( ) ( )d
kldl
dl sss ,...,, 21 .
Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych są-siadów spełniała warunek ( ) ( )τ112 −−<≤+ dNkd (Casdagli, 1989, s. 340; Cao, Sofio, 1999, s. 425).
3. Na podstawie wyznaczonych sąsiadów obliczamy wartość ny jako średnią
arytmetyczną pierwszych współrzędnych k najbliższych sąsiadów:
( )∑=
=k
iiln s
ky
1
1. (9)
Monika Miśkiewicz-Nawrocka 106
3. Badania empiryczne
Przedmiotem badania były logarytmy dziennych stóp zwrotu: kursu euro (EUR) wobec złotego, cen Żywca (ZWC) oraz indeksu giełdowego WIG20 w postaci:
1lnln −−= ttt ssx , (10)
gdzie st – obserwacja szeregu, notowane w okresie 7.01.1992-28.12.2012. W celu zbadania stabilności największego wykładnika Lapunowa w układach dynamicznych opisanych za pomocą wyżej wymienionych szeregów czasowych pod uwagę wzięto różne długości badanych szeregów. Szczegółowe informacje dotyczące zakresu szeregów czasowych zawiera tabela 1. W ten sposób dla każ-dego z szeregów EUR, ZWC i WIG20 zbudowano po 21 szeregów o mniejszej liczbie obserwacji, ale tym samym warunku początkowym, tj. pierwszej obser-wacji. Symbolem NazwaSzeregu_BS_k oznaczono szeregi poddane dodatkowo procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów.
Tabela 1
Charakterystyka badanych szeregów czasowych
Nazwa szeregu
Zakres czasowy
Nazwa szeregu
Zakres czasowy
Nazwa szeregu
Zakres czasowy
EUR_1 ZWC _1 WIG20_1
7.01.1992- 28.12.2007
EUR_8 ZWC _8 WIG20_8
7.01.1992- 30.09.2009
EUR_15 ZWC _15 WIG20_15
7.01.1992- 30.06.2011
EUR_2 ZWC _2 WIG20_2
7.01.1992- 30.06.2008
EUR_9 ZWC _9 WIG20_9
7.01.1992- 30.12.2009
EUR_16 ZWC _16 WIG20_16
7.01.1992- 30.09.2011
EUR_3 ZWC _3 WIG20_3
7.01.1992- 30.06.2008
EUR_10 ZWC _10 WIG20_10
7.01.1992- 30.03.2010
EUR_17 ZWC _17 WIG20_17
7.01.1992- 30.12.2011
EUR_4 ZWC _4 WIG20_4
7.01.1992- 30.09.2008
EUR_11 ZWC _11 WIG20_11
7.01.1992- 30.06.2010
EUR_18 ZWC _18 WIG20_18
7.01.1992- 30.03.2012
EUR_5 ZWC _5 WIG20_5
7.01.1992- 30.12.2008
EUR_12 ZWC _12 WIG20_12
7.01.1992- 30.09.2010
EUR_19 ZWC _19 WIG20_19
7.01.1992- 30.06.2012
EUR_6 ZWC _6 WIG20_6
7.01.1992- 30.03.2009
EUR_13 ZWC _13 WIG20_13
7.01.1992- 30.12.2010
EUR_20 ZWC _20 WIG20_20
7.01.1992- 30.9.2012
EUR_7 ZWC _7 WIG20_7
7.01.1992- 30.06.2009
EUR_14 ZWC _14 WIG20_14
7.01.1992- 30.03.2011
EUR_21 ZWC _21 WIG20_21
7.01.1992- 28.12.2012
W tabelach 2-4 zamieszczonych w załączniku przedstawiono szczegółowe
wyniki szacowania największego wykładnika Lapunowa dla badanych szeregów czasowych. Znakiem „-” oznaczono sytuację, w której oszacowanego współczyn-nika regresji nie powinno się traktować jako największego wykładnika Lapunowa.
ww
R
R
wśzbtsdzs
więw b
Rys.
Rys.
wanświaznacbliżtodąszerdla zeraspow
Nększbada
. 1. S
. 2. S
O
nychadccznższyą naregityc
a. Dwod
Na pzegoany
Stab
Stab
blic
h sczyćny. Pych ajbli nih sz
Dla dow
ponio w
ych
bilno
bilno
czon
szerć o Podsąsliżsieprzereszer
wała
iższwyksze
ość n
ość n
ne
regóobe
dobsiadzycrzefegóregua zw
zychkładereg
najw
najw
war
ów ecnne
dówch sfiltroów su Wwięk
h wdnikgach
więk
więk
rtoś
czanoścwy
w NSsąsiowasą w
WIGksz
wykka Lh cz
szeg
szeg
ści
asowci chynikS. Dadóane
więkG_2enia
Wp
kresaLapzaso
go w
go w
naj
wychao
ki otDla ów e. Pksze0 rea w
pływ
achpunowy
wykł
wykł
wię
ch osu trzyszewyko pe, jeedu
warto
w red
h (ryowych
ładni
ładni
ększ
są w b
ymaeregykazprzeedn
ukcjości
dukc
ysua w
h EU
ika L
ika L
zego
dodbadano gówzałyefiltnak a szi na
cji s
unkiwobUR,
Lap
Lap
o w
datndany
dlaw EUy cetrowich zumajwi
szum
i 1-bec , ZW
uno
uno
wyk
nie,ycha szUR echywan
wamu lięks
mu lo
3) zzw
WC
wa d
wa d
kład
, jeh szzereora
y chniu oartolososzeg
oso
ziluwiękC i W
dla s
dla s
dnik
ednaeregegówaz Zhaooszści owego w
oweg
ustrkszaWIG
szer
szer
ka L
ak gacw pZWotyczaco
nadego wyk
go…
rowającG 2
regów
regów
Lapu
są ch, lprze
WC szne
owadal me
kład
…
wanocej 0.
w E
w Z
uno
oneleczefiltszere w ane są n
etoddnik
o zmsię
EUR
ZWC
owa
e nz jetrowregi
wiwy
niezdą Nka L
miaę lic
i EU
C i Z
a λniewego wani prięksykłaznaNS wLap
any czb
UR_
ZWC
maxλwiel
poznychrzefiszymadnicznw w
puno
waby o
_BS
C_BS
x d
lkieziomh mfiltrom siki
nie wwiękowa
artoobs
S
dla a
. Mm j
metoowastopLap
większa.
ści serw
ana
Możest
odą ane pniupunększośc
10
najwacj
alizo
że tnienajme
u ninowze oci ni
07
j-ji
o-
to e-j-e-iż
wa od ie
1
R
lwsbnlw
P
sw
zgsngkPz
nwo
108
Rys.
lizowzrsowburznowliczwać
Pod
szycw e
zowgłobszennajwgdzkładPrzezmi
na w botyc
. 3. S
Nowarost
wanizon
wa czby ć sta
dsW
ch skon
Owanyby nie więzie dnikefilienn
Poistn
badaczn
Stab
Na panietemiu p
na. Dchaob
abil
umW op
sąsinomblicychto
licększzwiki Lltrownośodsnienany
nym
bilno
odse się
m licprocDla
arakserwliza
mowpraciadó
miczczoh szświczbzegoięksLapwanci n
sumnie ych
m ch
ość n
stawę (zczbyceda szkterywacacji
wancowów znyne
zereiadc
by o wszaj
punonie najw
mowwysze
hara
najw
wie zbiey o
duryzereyzucji wa
niewan
na ych
waegówczyobs
wykjąc owa
bawięk
wująykłeregakte
więk
daneżnobse
y reegówują sze
arto
e niu z
wasze
artow c
yć oserw
kładdłu
a zaadaksząc oładngacerze
szeg
nycość)erwedukw Esię
eregści
zbaartoeregści czaso obwac
dnikugoaczynyc
zychotrzyniczh f
e.
M
go w
ch z) wacjikcji
EURjuż
gu. Jnaj
adanści
gachnaj
sowbecncji ka Lość ynach h wymzej finan
Mon
wykł
zamwarto
i wi szR i ż wJedjwię
no wora
h czajwiwycnośw
Lapsze
ają sze
wykłanewr
nso
ika
ładni
miesośc
w bazumWI
więkdynięks
wpłaz szasoięksh sści
szunoeregsię eregładne rerażlowy
Miś
ika L
zczi na
adanmu lIG2ksząie dzeg
ływstabowyszegsą dcha
zereowagu sta
gównikózultliwoych.
śkie
Lap
zonyajwnymloso20 wą zmdla go w
w rebilnoychgo
dodaaosuegaca. Wobs
abiliw mów tatyości. N
wic
uno
ychwiękm szowewartmiesze
wyk
edukość
h. wyatniu wch WyjserwizowmetLap
y, ni nie m
cz-N
wa d
h nakszezereego tośc
ennoeregkład
kcjić naj
ykłaie,
w banie
jątkwacwaćtodąpun
nalena zmoż
awr
dla s
a ryego egusta
ci nościgu Wdnik
i szajwi
adninieadae pkiemcji, ć i ą Nnowży zmiżna
rock
szer
sunwy
u czabilnnajwią sWIGka L
zumięks
ika zna
anycpowm w
mosą
NS wa.stwianę
a za
ka
regów
nku ykłazasonoś
więkspowG20Lap
mu lszeg
Laacznch
woduwydożnzbisp
wierę watem
w W
2 madniowyść tkszwod0_B
puno
losogo w
apunnie szeuje
dajea zeżn
pow
rdziwarum w
WIG2
możika ym.a zegodow
BS owa
owewyk
nowwięreg
st się
zaobne d
wodo
ć, żrunkwnio
20 i
żna La
. Niosta
o wwanmoa.
ego kład
wa ęks
gachtabię bybserdo powa
że nkówosk
WI
zauapuniestała
wykłną zożna
mednik
mλsze h, jeilizayć rwopewało
nie ww pow
IG20
uwanowtetywyładnzwia si
etodka L
max od ednacjisze
owawnej
zw
wskpoczać
0_BS
ażywa wy poyraźnikaęksę sp
dą nLap
dlazer
nak i weregać, j wwięk
kazzątko ic
S
yć stwrao zaźniea Lszenpod
najbpun
a anra. zw
wartg ZWże
wartoksz
zująkowch
tabiaz zastoe zaapuniemdzie
bliżnow
naliMo
więktoścWCwy
ośczeni
ą onwyccha
i-ze o-a-u-m e-
ż-wa
i-o-k-ci C, y-i. ie
ne ch a-
Wpływ redukcji szumu losowego… 109
Literatura Cao L. (2001): Method of False Nearest Neighbors. W: Modeling and Forecasting Fi-
nancial Data. Eds. A.S. Soofi, L. Cao. Kluwer, Boston.
Cao L., Soofi A. (1999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. „International Journal of Forecasting”, Vol. 15, s. 421-430.
Casdagli M. (1989): Nonlinear Prediction of Chaotic Time Series. „Physica D”, Vol. 53, s. 335-356.
Eckmann J.P., Ruelle D. (1985): Ergodic Theory of Chaos and Strange Attractors. „Reviews of Modern Physics”, Vol. 57, No. 3.
Fernández-Rodriguez F., Sosvilla-Rivero S., Andrada-Félix J. (2004): A New Test for Chaotic Dynamics Using Lyapunov Exponents. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (maszynopis).
Frank M., Stengos T. (1988): Chaotic Dynamics in Economics Time Series. „Journal of Economic Surveys”, 2, s. 103-133.
Kantz H. (1994): A Robust Method to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a Time Series. „Physical Letters A”, Vol. 185, s. 77.
Kantz H., Schreiber T. (2004): Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press (second edition).
Kelliher J. (2002): Oseledec’s Multiplicative Ergodic Theorem. http://math.ucr.edu/~ kelliher/Geometry/Lecturenotes.pdf (maszynopis).
Kelliher J. (2003): Lyapunov Exponents and Oseledec’s Multiplicative Theorem. Wor-king Dynamical Systems Seminar, UT Austin (maszynopis).
Kennel M.B., Brown P., Abarbanel H.D.I. (1992): Detecting Embedding Dimension for Phase Space Reonstruction Using a Geometrical Construction. „Physical Review”, A. 45.
Nowiński M. (2007): Nieliniowa dynamika szeregów czasowych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław.
Orzeszko W. (2005): Identyfikacja i prognozowanie chaosu deterministycznego w eko-nomicznych szeregach czasowych. Polskie Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa.
Orzeszko W. (2007): Redukcja szumu losowego w chaotycznych szeregach czasowych i jej zastosowanie do analizy procesów ekonomicznych. W: Metody ilościowe w naukach ekonomicznych. Red. A. Welfe. Siódme Warsztaty Doktorskie z Zakre-su Ekonometrii i Statystyki, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa.
Oseledec V.I. (1968): A Mulitiplicative Ergodic Theorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. „Trans. Moscow Math. Soc.”, 19, s. 197-231.
Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. (1993): A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. „Physica D”, Vol. 65, s. 117-134.
Zawadzki H. (1996): Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane zagadnienia ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice.
Monika Miśkiewicz-Nawrocka 110
Załącznik
Tabela 2
Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów EUR i EUR_BS
Szereg Równanie regresji maxλ Szereg Równanie regresji maxλ
EUR_1 5381,0
1045,50016,02 =
−=
Rxy 0,001642 EUR_BS_1
5223,09731,50035,0
2 =
−=
Rxy 0,003525
EUR_2 5289,0
1119,50015,02 =
−=
Rxy 0,001549 EUR_BS_2
444,00019,60062,0
2 =
−=
Rxy 0,006173
EUR_3 5032,0
1198,50014,02 =
−=
Rxy 0,001429 EUR_BS_3
4142,09919,50034,0
2 =
−=
Rxy 0,003335
EUR_4 4658,0
1563,50016,02 =
−=
Rxy 0,001644 EUR_BS_4
5792,01615,60049,0
2 =
−=
Rxy 0,004891
EUR_5 2835,0
1455,50013,02 =
−=
Rxy 0,001304 EUR_BS_5
3932,00206,60015,0
2 =
−=
Rxy 0,001464
EUR_6 5403,0
1478,50021,02 =
−=
Rxy 0,002028 EUR_BS_6
638,09858,50021,0
2 =
−=
Rxy 0,002133
EUR_7 7008,0
1298,50032,02 =
−=
Rxy 0,003175 EUR_BS_7
2982,00037,60016,0
2 =
−=
Rxy 0,001564
EUR_8 3894,0
2115,50014,02 =
−=
Rxy 0,001441 EUR_BS_8
383,0247,60015,0
2 =
−=
Rxy 0,001501
EUR_9 3306,0
2188,50013,02 =
−=
Rxy 0,001321 EUR_BS_9
6549,02881,60021,0
2 =
−=
Rxy 0,002070
EUR_10 312,0
2278,50013,02 =
−=
Rxy 0,001252 EUR_BS_10
5831,02728,60022,0
2 =
−=
Rxy 0,002234
EUR_11 265,0
2356,5001,02 =
−=
Rxy 0,001031 EUR_BS_11
4739,02079,60045,0
2 =
−=
Rxy 0,004484
EUR_12 7613,0
2261,50031,02 =
−=
Rxy 0,003095 EUR_BS_12
4739,02079,60045,0
2 =
−=
Rxy 0,004484
EUR_13 6702,0
1915,50026,02 =
−=
Rxy 0,002613 EUR_BS_13
2168,01955,60026,0
2 =
−=
Rxy 0,002562
EUR_14 4681,0
1184,50013,02 =
−=
Rxy 0,001301 EUR_BS_14
4403,00619,6002,0
2 =
−=
Rxy 0,002033
EUR_15 6176,0
1528,50021,02 =
−=
Rxy 0,002112 EUR_BS_15
489,01844,60043,0
2 =
−=
Rxy 0,004268
EUR_16 6018,0
1478,5002,02 =
−=
Rxy 0,002023 EUR_BS_16
6984,01806,60055,0
2 =
−=
Rxy 0,005489
EUR_17 5766,0
1437,5002,02 =
−=
Rxy 0,002010 EUR_BS_17
6835,01952,60027,0
2 =
−=
Rxy 0,002739
EUR_18 6303,0
144,50022,02 =
−=
Rxy 0,002198 EUR_BS_18
2903,01741,60025,0
2 =
−=
Rxy 0,002526
EUR_19 5342,0
1047,50015,02 =
−=
Rxy 0,001545 EUR_BS_19
4747,00295,60014,0
2 =
−=
Rxy 0,001433
EUR_20 4206,0
0873,5001,02 =
−=
Rxy 0,00096 EUR_BS_20
6758,01237,60048,0
2 =
−=
Rxy 0,004828
EUR_21 4349,0
0837,50009,02 =
−=
Rxy 0,000895 EUR_BS_21
662,01172,60051,0
2 =
−=
Rxy 0,005120
Wpływ redukcji szumu losowego… 111
Tabela 3
Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów ZWC i ZWC_BS
Szereg Równanie regresji maxλ Szereg Równanie regresji maxλ
ZWC_1 6098,0
8486,30038,02 =
−=
Rxy 0,003786 ZWC_BS_1
3775,09127,40046,0
2 =
−=
Rxy 0,004569
ZWC_2 4337,0
8401,30022,02 =
−=
Rxy 0,002186 ZWC_BS_2
3625,09095,40029,0
2 =
−=
Rxy 0,002899
ZWC_3 4104,0
8378,30029,02 =
−=
Rxy 0,001387 ZWC_BS_3
0905,09133,40006,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_4 3463,0
8377,30023,02 =
−=
Rxy 0,002284 ZWC_BS_4
6247,09205,40035,0
2 =
−=
Rxy 0,003488
ZWC_5 6514,0
8685,30013,02 =
−=
Rxy 0,001290 ZWC_BS_5
2397,00888,5002,0
2 =
−=
Rxy 0,00196
ZWC_6 6177,0
862,300009,02 =
−=
Rxy 0,000854 ZWC_BS_6
2972,00759,50039,0
2 =
−=
Rxy 0,003868
ZWC_7 7383,0
8523,30031,02 =
−=
Rxy 0,003061 ZWC_BS_7
0628,01331,50021,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_8 6924,0
8509,30027,02 =
−=
Rxy 0,002697 ZWC_BS_8
2485,00648,50015,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_9 7299,0
8557,30027,02 =
−=
Rxy 0,002701 ZWC_BS_9
2796,00609,50015,0
2 =
−=
Rxy 0,001526
ZWC_10 722,0
8625,30026,02 =
−=
Rxy 0,002604 ZWC_BS_10
3554,00505,50022,0
2 =
−=
Rxy 0,002197
ZWC_11 7176,0
8684,30024,02 =
−=
Rxy 0,00244 ZWC_BS_11
3357,00835,50017,0
2 =
−=
Rxy 0,001707
ZWC_12 6578,0
8737,30025,02 =
−=
Rxy 0,002519 ZWC_BS_12
4266,00835,50022,0
2 =
−=
Rxy 0,002217
ZWC_13 6807,0
8813,30026,02 =
−=
Rxy 0,002606 ZWC_BS_13
4146,00791,50021,0
2 =
−=
Rxy 0,00207
ZWC_14 6242,0
8842,30026,02 =
−=
Rxy 0,002598 ZWC_BS_14
1754,00368,50021,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_15 6105,0
8875,30025,02 =
−=
Rxy 0,002451 ZWC_BS_15
1797,00465,50014,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_16 6514,0
8942,30025,02 =
−=
Rxy 0,002542 ZWC_BS_16
1332,00614,50004,0
2 =
−=
Rxy -
ZWC_17 5703,0
8948,30022,02 =
−=
Rxy 0,002245 ZWC_BS_17
2723,00452,50017,0
2 =
−=
Rxy 0,001726
ZWC_18 5411,0
899,30021,02 =
−=
Rxy 0,002105 ZWC_BS_18
3271,00453,50019,0
2 =
−=
Rxy 0,001891
ZWC_19 5617,0
904,30021,02 =
−=
Rxy 0,002135 ZWC_BS_19
2526,00498,50018,0
2 =
−=
Rxy 0,001767
ZWC_20 5436,0
9092,3002,02 =
−=
Rxy 0,001958 ZWC_BS_20
3986,00414,50035,0
2 =
−=
Rxy 0,003465
ZWC_21 5572,0
9158,3002,02 =
−=
Rxy 0,00196 ZWC_BS_21
3365,00503,50017,0
2 =
−=
Rxy 0,001706
Monika Miśkiewicz-Nawrocka 112
Tabela 4
Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów WIG20 i WIG20_BS
Szereg Równanie regresji maxλ Szereg Równanie regresji maxλ
WIG20_1 5622,0
9878,30046,02 =
−=
Rxy 0,004580 WIG20_
BS_1 6943,08951,40065,0
2 =
−=
Rxy 0,006477
WIG20_2 5127,0
9796,30041,02 =
−=
Rxy 0,004138 WIG20_
BS_2 1284,08654,4001,0
2 =
−=
Rxy -
WIG20_3 5087,0
9831,30038,02 =
−=
Rxy 0,003810 WIG20_
BS_3 5367,08737,40037,0
2 =
−=
Rxy 0,003699
WIG20_4 4406,0
9835,30044,02 =
−=
Rxy 0,004418 WIG20_
BS_4 0955,08663,40015,0
2 =
−=
Rxy -
WIG20_5 4598,0
9891,30049,02 =
−=
Rxy 0,004887 WIG20_
BS_5 3235,0888,40023,0
2 =
−=
Rxy 0,002349
WIG20_6 3597,0
9804,30042,02 =
−=
Rxy 0,004184 WIG20_
BS_6 5199,09027,40062,0
2 =
−=
Rxy 0,006153
WIG20_7 3745,0
9856,30044,02 =
−=
Rxy 0,004351 WIG20_
BS_7 5242,08892,40051,0
2 =
−=
Rxy 0,005137
WIG20_8 4193,0
9844,30046,02 =
−=
Rxy 0,004563 WIG20_
BS_8 6658,08124,40025,0
2 =
−=
Rxy 0,00247
WIG20_9 3916,0
9665,30043,02 =
−=
Rxy 0,004298 WIG20_
BS_9 777,08057,40023,0
2 =
−=
Rxy 0,002343
WIG20_10 4958,0
962,30049,02 =
−=
Rxy 0,004899 WIG20_
BS_10 777,08057,40023,0
2 =
−=
Rxy 0,002343
WIG20_11 5036,0
9729,30049,02 =
−=
Rxy 0,004899 WIG20_
BS_11 6073,07958,40019,0
2 =
−=
Rxy 0,001912
WIG20_12 3966,0
9547,30043,02 =
−=
Rxy 0,004263 WIG20_
BS_12 5429,08053,40029,0
2 =
−=
Rxy 0,002941
WIG20_13 3966,0
9536,30039,02 =
−=
Rxy 0,003928 WIG20_
BS_13 2048,08439,40033,0
2 =
−=
Rxy -
WIG20_14 3332,0
9562,30034,02 =
−=
Rxy 0,003393 WIG20_
BS_14 6529,08147,40017,0
2 =
−=
Rxy 0,001654
WIG20_15 5878,0
9645,30045,02 =
−=
Rxy 0,004541 WIG20_
BS_15 6206,08334,40019,0
2 =
−=
Rxy 0,001914
WIG20_16 5878,0
9645,30045,02 =
−=
Rxy 0,004541 WIG20_
BS_16 6133,08403,40014,0
2 =
−=
Rxy 0,001395
WIG20_17 5517,0
9714,30041,02 =
−=
Rxy 0,004068 WIG20_
BS_17 594,08395,40014,0
2 =
−=
Rxy 0,001357
WIG20_18 6445,0
9838,30048,02 =
−=
Rxy 0,004788 WIG20_
BS_18 6551,08394,40013,0
2 =
−=
Rxy 0,001325
WIG20_19 6291,0
9915,30044,02 =
−=
Rxy 0,004356 WIG20_
BS_19 516,0842,40017,0
2 =
−=
Rxy 0,00169
WIG20_20 2393,0
9753,30014,02 =
−=
Rxy 0,001431 WIG20_
BS_20 4866,08455,4002,0
2 =
−=
Rxy 0,00198
WIG20_21 337,0
9871,30017,02 =
−=
Rxy 0,001726 WIG20_
BS_21 6742,08469,40015,0
2 =
−=
Rxy 0,001543
Wpływ redukcji szumu losowego… 113
THE EFFECT OF RANDOM NOISE BY THE NEAREST NEIGHBORS METHOD ON THE STABILITY OF THE LARGEST LYAPUNOV
EXPONENT IN ECONOMIC TIME SERIES Summary
The Oseledec theorem (1968) and the theorems given in the paper Eckmann, Ruelle (1985) show the Lyapunov exponents exist for almost all the points in the state space of a dynamical system, and they are constant for almost all points in the basin of attraction of the attractor of dynamical system. However, the above-mentioned theorem applies only to deterministic systems. The Oseledec theorem provides the stability of the largest Lyapunov exponent regardless of the number of observations for the time series gener-ated by deterministic chaotic system. While for the time series generated by a stochastic system, increase the number of observations in a series will cause change in the value of the largest Lyapunov exponent.
In this paper researched the effect of the number of observations of the time series on the value of largest Lyapunov exponent. In addition, the stability of the largest Lyapunov exponent was examined in the time series after random noise reduction procedure.