1 Transformación w = f(z) = 1/z En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: ) , / 1 ( ) , ( r r Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En
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1 Transformación w = f(z) = 1/z En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una.
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Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es:
),/1(),( rrUna inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x.
Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.
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f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
),/1(),( rr
Biyección
"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor
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Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
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Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z?
Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen.El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.
22
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Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma:
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22
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dvucvbua
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vuv
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x
dcybxyxa
Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:
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recta una deecuación 0círculoun deecuación 0
),,,(0)( 22
aa
dcbadcybxyxa
(1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro.
0)( 22 acvbuvudSe transforma bajo 1/z en:
De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.
recta una deecuación 0círculoun deecuación 0 dd
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u = 1/a
u = -1/b
b = 0; u = -vb distinto de 0; en circunferencias.
v = -ku
circunf.
u2 = -v3 /(1+v)
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Transformaciones bilineales o de Möbius
),,,,0()( Cdcbabcaddcz
bazwzM
La transformación inversa estambién bilineal:
acw
bdwzwM
)(1
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
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Cuando c 0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces: