Domac uloha 2 { MacGyver LubosPlamitzer 1 Probl em Pro sestrojenv ybusninypouzijeMacGyverzv ykackup ripevnenou na okrajectvercov eho r ame cku o hranach delky 1, jehoz rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamick e rovnov azezv yka cka zaujme minimalnpovrch.Nicmenezpov etrnostn ch d uvod umaomezen Z 1 0 Z 1 0 u(x; y) sin(x ) sin(y ) dx dy = 1 100 ; (1) kde u(x;y) oznacuje v y sku povrchuzv ykacky nad rovinou r ame cku. Jak yp ribli znetvarzv yka cka zaujme? 2 Re sen Povrchov y element dS je v p r padefunkcedvoupromenn ych u(x; y) roven dS = q 1+u 2 x +u 2 y dx dy: (2) Celkovou plochu pak dost av ame integracpo cel e mno zine: Z dS = Z 1 0 Z 1 0 q 1+u 2 x +u 2 y dx dy: (3) C lem je tedy naj t minimum integr alnho funkcionalu (3) s vazbou. S vyu zit m tvaru Euler-Lagrangeovy rovnice pro funkcional jedne funkce o v cepromenn ych [1] F u @ @x F u x @ @y F u y (4) pi sme v souladu s v etou o Lagrangeov ych multiplik atorech pro integr alnfunkcionaly[1] F u G u @ @x (F u x G u x ) @ @y F u y G u y =0 (5) pro G rovno vazebnpodmnce ze zadan . Mame F u =0 (6) F u x = u x q 1+u 2 x +u 2 y (7) 1
6
Embed
1 Probl em - Univerzita Karlovapavelka/MpF1ZS1920/du2... · 2019. 12. 15. · Dom ac uloha 2 { MacGyver Lubo s Plamitzer 1 Probl em Pro sestrojen vybu sniny pou zije MacGyver zvyk
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
1 Problem
Pro sestrojenı vybusniny pouzije MacGyver zvykacku pripevnenou na okraje ctvercoveho ramecku o hranach
delky 1, jehoz rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamicke rovnovaze zvykacka zaujme
minimalnı povrch. Nicmene z povetrnostnıch duvodu ma omezenı
∫ 1
0
∫ 1
0
u(x, y) sin(πx) sin(πy) dx dy =1
100, (1)
kde u(x, y) oznacuje vysku povrchu zvykacky nad rovinou ramecku. Jaky priblizne tvar zvykacka zaujme?
2 Resenı
Povrchovy element dS je v prıpade funkce dvou promennych u(x, y) roven
dS =√
1 + u2x + u2
y dx dy. (2)
Celkovou plochu pak dostavame integracı po cele mnozine:
∫Ω
dS =
∫ 1
0
∫ 1
0
√1 + u2
x + u2y dx dy. (3)
Cılem je tedy najıt minimum integralnıho funkcionalu (3) s vazbou. S vyuzitım tvaru Euler-Lagrangeovy
rovnice pro funkcional jedne funkce o vıce promennych [1]
Fu − ∂
∂xFux
− ∂
∂yFuy
(4)
pisme v souladu s vetou o Lagrangeovych multiplikatorech pro integralnı funkcionaly [1]
Fu − λGu − ∂
∂x(Fux − λGux) − ∂
∂y
(Fuy − λGuy
)= 0 (5)
pro G rovno vazebnı podmınce ze zadanı.
Mame
Fu = 0 (6)
Fux=
ux√1 + u2
x + u2y
(7)
1
Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer
Fuy=
uy√1 + u2
x + u2y
(8)
Gu = sin(πx)sin(πy) (9)
Gux= 0 (10)
a
Guy= 0. (11)
Parcialnı derivace podle x, resp. y prıslusnych vyrazu (7, 8) jsou (po uprave) rovny