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1 Limites de funções reais de variável real.

1.1 Noções topológicas

Dados dois números reais x e y, chama-se distância de x a y ao valor absoluto da sua diferença:

d (x, y) = |x− y| .

Exemplo 1.1 Determine a distância entre os números reais:

a) 2 e 3;

b) 0 e −3;c) -1

2e -3

4.

Resolução:

a) d (2, 3) = |2− 3| = |−1| = 1b) d (0,−3) = |0− (−3)| = |3| = 3c) d

(−1

2,−3

4

)=∣∣−1

2−(−3

4

)∣∣ =∣∣14

∣∣ = 1

4

Sendo a um número real qualquer e δ um número real positivo, chama-se vizinhança de centro a e

raio δ ao conjunto dos números reais cuja distância a a é inferior a δ.

Vδ (a) = {x ∈ R : |x− a| < δ}= ]a− δ, a+ δ[ .

Exemplos 1.2 Considere as seguintes vizinhanças:

1) V0,1 (2) = {x ∈ R : |x− 2| < 0, 1} = ]1, 9; 2, 1[2) V0,01 (0) = {x ∈ R : |x| < 0, 01} = ]−0, 01; 0, 01[

Exercício 1.1 Determine um valor de δ de modo que :

a) Vδ (3) ⊂ V0,1 (3) ;b) Vδ (3) ⊂ ]2, 5; 3, 02[ .

1

Sejam C um subconjunto de R e a um elemento de C. Diz-se que a é ponto interior de C se e só se

existe pelo menos uma vizinhança de a contida em C.

a é ponto interior de C ⇔ ∃δ ∈ R+ : Vδ (a) ⊂ C

Ao conjunto de todos os pontos interiores de C chama-se interior de C e representa-se por int C.

Exemplos 1.3 1) Seja C = ]1, 2[ .

O ponto 1, 6 é ponto interior de C, porque

V0,1 (1, 6) ⊂ ]1, 2[ .

Já 2 não é ponto interior de C, pois qualquer vizinhança de 2 possui pontos que não pertencem a

]1, 2[ .

O interior de C é o próprio conjunto C.

2) Seja B = ]−∞, 3] ∪ {5} .Então, int(B) = ]−∞, 3[ .

Sejam C um subconjunto de R e b um número real; b diz-se ponto fronteiro de C se e só se as

intersecções de qualquer vizinhança de b com C e com o seu complementar forem ambas não vazias.

b é ponto fronteiro de C ⇔ ∀δ ∈ R+, Vδ (b) ∩C = ∅ ∧ Vδ (b) ∩R\C = ∅

Ao conjunto de todos os pontos fronteiros de C chama-se fronteira de C e representa-se por Fr(C).

Exemplo 1.4 Relativamente ao conjunto ]1, 2[ , os pontos fronteiros são 1 e 2 e a fronteira é o conjunto

{1, 2} .

Exemplo 1.5 Seja B = ]−∞, 3] ∪ {5} . Então Fr(B) = {3, 5} .

2

Exercício 1.2 Determine o interior e a fronteira de cada um dos conjuntos de números reais:

a) A = {2, 3} ∪ ]4, 5[ ;b) B =

]−3, 1

2

[;

c) C = {x ∈ R : |x+ 1| ≤ 3} .

Exercício 1.3 Dê um exemplo de um conjunto que:

a) coincida com a sua fronteira;

b) coincida com o seu interior.

Sejam C um subconjunto de R e d um número real; diz-se que d é ponto de acumulação de C se e só

se em qualquer vizinhança de d existe pelo menos um elemento de C diferente de d.

d é ponto de acumulação de C ⇔ ∀δ ∈ R+,∃a ∈ C : a = d ∧ a ∈ Vδ (d)

O conjunto de todos os pontos de acumulação de um conjunto C chama-se derivado de C e representa-

se por C’.

Chama-se ponto isolado de C a um elemento de C que não é ponto de acumulação.

Exemplo 1.6 Seja A = ]1, 2[ ∪ {3} . Tem-se A’= [1, 2] , 3 é ponto isolado de A.

1.2 Definição de limite de uma função

Definição de Cauchy

Seja f uma função real de variável real e a ∈ R um ponto de acumulação do seu domínio. Diz-se que

o limite de f quando x tende para a é o número real b se e só se para toda a vizinhança de b de raio ε

existe uma vizinhança de a de raio δ tal que

x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (b) ,

isto é,

limx→a

f(x) = b⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε

3

• O limite de f quando x tende para a dá-nos o comportamento da função quando x é vizinho de a

não havendo necessidade de f estar definida em a.

• Para tal é necessário que f esteja definida numa vizinhança de a, excepto possivelmente em a, daí

que a definição exija que a seja um ponto de acumulação do domínio de f.

Observações:

1) Se b é o limite de f quando x tende para a, esse limite é o único.

2) Se b é o limite de f quando x tende para a, b é um número real.

Em caso algum, b é uma expressão com variáveis.

3) A afirmação “ b é o limite da função f ” não tem qualquer sentido se não indicar a condição

“quando x tende para a”.

Exemplo 1.7 Dada a função definida por f(x) = x, represente-a graficamente e verifique ( graficamente)

que limx→a

f(x) = a.

Resolução:

4

Em primeiro lugar Df = R pelo que todos os pontos são de acumulação.

Basta tomar δ = ε para ter a certeza que para todo o ε > 0

x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (a) .

1.3 Extensão da noção de limite

Considere-se a função f definida em R\ {0} por f(x) =1

x.

Vamos examinar o comportamento de f nas vizinhanças de zero.

x = 0, 000 0001 , f(x) = 10 000 000

x = −0, 000 0001 , f(x) = −10 000 000x = 0, 000 000 001 , f(x) = 1 000 000 000

x = −0, 000 000 001 , f(x) = −1 000 000 000

Estes exemplos mostram que, a valores de x “ muito pequenos ” em módulo, correspondem imagens

f(x) “ muito grandes ” em módulo.

Estudemos agora o comportamento de f para valores de x “ grandes ” em módulo.

Como no exemplo anterior, considerem-se os caso seguintes :

x = 10 000 000 , f(x) = 0, 000 0001

x = −10 000 000 , f(x) = −0, 000 0001x = 1 000 000 000 , f(x) = 0, 000 000 001

x = −1 000 000 000 , f(x) = −0, 000 000 001

A valores de x muito grandes em módulo correspondem imagens f(x) muito pequenas em módulo.

5

Vamos agora estudar o caso geral das funções cujos valores se tomam arbitrariamente grandes numa

vizinhança de um número a, ou arbitrariamente próximos de um valor b para valores “ grandes ” de x.

Para tal é útil a introdução de dois números que não são números reais; um que é maior que todos os

números reais, o outro menor que todos os números reais. Estes dois números correspondem às noções

intuitivas de infinito positivo e infinito negativo.

Considerem-se dois elementos, não reais, representados por+∞ (mais infinito) e −∞ (menos infinito) ,

verificando as seguintes condições:

+∞ /∈ R , −∞ /∈ R;

∀x ∈ R , x < +∞ ; ∀x ∈ R ; −∞ < x;

∀x ∈ R , x+∞ = +∞+ x = +∞;

∀x ∈ R , x−∞ = −∞+ x = −∞;

∀x ∈ R\ {0} , |x| × (+∞) = (+∞)× |x| = +∞;

∀x ∈ R ,

∣∣∣∣x

+∞

∣∣∣∣ =∣∣∣∣x

−∞

∣∣∣∣ = 0;

∀x ∈ R\ {0} ,∣∣∣x

0

∣∣∣ = +∞;

(−1)× (+∞) = −∞ , (−1)× (−∞) = +∞;

(+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞;

(+∞)× (+∞) = +∞.

Estas regras de cálculos foram estabelecidas de acordo com a noção intuitiva de número maior que

todos os outros.

Representa-se por R o conjunto R∪{+∞,−∞} munido com a adição e a multiplicação usuais com-

pletadas pelas condições que definem o cálculo para os elementos infinitos.

Observação: Insistimos sobre o facto que os seguintes elementos não estão definidos em R : ∞−∞;0

0; 0×∞ ;

∞∞ .

Uma vizinhança de+∞ (resp. −∞) é qualquer intervalo VA (resp. V−A) da forma ]A,+∞[ (resp. ]−∞,−A[) ,onde A é um número real positivo.

6

Tem-se

x ∈ ]A,+∞[ ⇐⇒ x > A

x ∈ ]−∞,−A[ ⇐⇒ x < −A.

A definição de cauchy pode agora generalizar-se aos casos em que a e b não são finitos. Se a for

infinito, Vδ (a) dá lugar a VA e se b for infinito, Vε(b) é substituida por VB.

Temos assim:

1) a ∈ R , b ∈ Rlimx→a

f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V ε (b)

∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− b| < ε

2) a ∈ R , b = +∞limx→a

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ VB⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > B

3) a ∈ R , b = −∞limx→a

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : x ∈ Vδ (a) \ {a} =⇒ f(x) ∈ V−B⇐⇒ ∀B > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < −B

4) a = +∞ , b ∈ Rlim

x→+∞f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ Vε(b)

⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ |f(x)− b| < ε

5) a = +∞ , b = +∞lim

x→+∞f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ VB

⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ f(x) > B

6) a = +∞ , b = −∞lim

x→+∞f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ VA =⇒ f(x) ∈ V−B

⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x > A =⇒ f(x) < −B

7

7) a = −∞ , b ∈ Rlim

x→−∞

f(x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ Vε(b)

⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ |f(x)− b| < ε

8) a = −∞ , b = +∞lim

x→−∞

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ VB

⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ f(x) > B

9) a = −∞ , b = −∞lim

x→−∞

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x ∈ V−A =⇒ f(x) ∈ V−B

⇐⇒ ∀B > 0 ∃A > 0 : x < −A =⇒ f(x) < −B

Exemplo 1.8 Dada a função f definida por f(x) =1

x, tem-se:

limx→+∞

f(x) = 0 , limx→−∞

f(x) = 0 .

Quando x tende para zero, a imagem de f(x) não se aproxima de nenhum elemento de R pelo que

não existe limx→0

f(x). Isto ocorre pois quando x tende para zero e x é positivo, f(x) é arbitrariarmente

grande positivo, mas se x é negativo, f(x) é arbitrariarmente grande negativo.

1.4 Limites laterais

Considere-se a função f definida por

f(x) =

2x+ 1 se x � 1

2x− 3 se x < 1

.

8

Observando o gráfico da função concluimos que:

• Não existe limx→1

f(x).

• Se em vez de trabalharmos com x ∈ ]1− ε, 1 + ε[ , considerarmos apenas os valores de x superiores

a 1, isto é x ∈ ]1, 1 + ε[ , então f(x) aproxima-se de 3, diremos que o limite da função à direita de 1 é 3.

Escreve-se :

limx→1+

f(x) = 3.

• Se em vez de trabalharmos com Vε(1), considerarmos apenas os valores de x inferiores a 1, isto é,

x ∈ ]1− ε, 1[ , verificamos que f(x) tende para −1, diremos que o limite de f à esquerda de 1 é igual a

−1. Escreve-se:limx→1−

f(x) = −1.

Definição 1.1 Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio de f .

Diz-se que b é o limite de f à esquerda (resp. direita) de a se para todo ε > 0 existir um δ > 0 tal que

x ∈ Vδ(a) ∧ x < a ( resp. x > a) =⇒ f(x) ∈ Vε(b),

( com as devidas alterações caso b seja infinito).

Teorema 1.1 Seja f uma função real de variável real e a um ponto de acumulação do domínio.Para

b ∈ R ,limx→a

f(x) = b⇐⇒ limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = b.

Observação: Resulta deste teorema que se limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) então não existe limx→a

f(x).

Exemplo 1.9 Observe-se o seguinte gráfico de uma função f .

9

• Tem-se:

limx→−1−

f(x) = 1 , limx→−1+

f(x) = 2,

pelo que não existe limx→−1

f(x).

Note-se que −1 não é ponto do domínio mas é um ponto de acumulação do domínio.

• Tem-se:

limx→3−

f(x) = 0 e limx→3+

f(x) = 0,

pelo que limx→3

f(x) = 0.

Note-se que 3 não é ponto do domínio mas é um ponto de acumulação do domínio.

• Finalmente limx→4

f(x) = −2. ( justifique)

Exercício 1.4 Seja t a função definida por t(x) =

x2 + 1 se x > 0

−1− x2 se x < 0

.

a) O ponto 0 é ponto de acumulação de Dt? Justifique.

b) Esboce o gráfico da função.

c) Graficamente, determine limx→0+

t(x) e limx→0−

t(x).

d) Existe limx→0

t(x)? Justifique.

Observação: Se a função está definida apenas à direita (resp. esquerda) de a, então o valor do limite

de f quando x tende para a coincide com o limite à direita (resp. esquerda) de a.

Exemplo 1.10 Considere-se a função definida por f(x) =√x− 2 cujo gráfico é o seguinte:

Verifica-se que:

• O domínio de f é Df = [2,+∞[ .

10

• O número 2 é ponto de acumulação do domínio mas só podemos considerar valores de x superiores

a 2. Então:

limx→2

f(x) = limx→2+

f(x) = 0.

1.5 Propriedades dos limites de funções

As propriedades dos limites vão permitir-nos calcular limites sem recorrer à definição.

P1. Unicidade do limite

Se existir o limite de f quando x tende para a ∈ R , este será único.

Demonstração:

Suponhamos que

limx→a

f(x) = b e limx→a

f(x) = c

com b, c ∈ R (caso b ou c sejam infinitos o raciocínio é semelhante) .

Seja ε > 0 arbitrário. Então existem δ1 e δ2 tais que

x ∈ Vδ1(a) \ {a} ⇒ f(x) ∈ Vε(b)e

x ∈ Vδ2(a) \ {a} ⇒ f(x) ∈ Vε(c).

Considere-se δ = min {δ1, δ1} . Então para

x ∈ Vδ(a) \ {a} ,

tem-se

f(x) ∈ Vε(b) ∩ Vε(c),

quer dizer ,

|f(x)− b| < ε e |f(x)− c| < ε.

Tem-se pelas propriedades dos módulos,

|b− c| = |b− f(x) + f(x)− c|

|b− c| = |b− f(x) + f(x)− c|≤ |f(x)− b|+ |f(x)− c|≤ 2ε.

11

Sendo ε arbitrário resulta que |b− c| = 0, isto é, b = c. Consequentemente limx→a

f(x) é único.

P2. Limite de uma constante

Se f é uma constante então o limite de f quando x tende para a ∈ R é a própria constante.

Exercício 1.5 Determine :

a) limx→3

5 b) limx→+∞

(−4) c) limx→−∞

0.

P3. Limite de uma soma

Se f e g tendem para b e c, elementos de R, quando x tende para a ∈ R, (exceptuando o caso emque b e c são ambos infinitos de sinais contrários) então a função f + g tende para b+ c quando x tende

para a.

Observação: O caso em que b e c são infinitos de sinais contrários, chama-se indeterminação∞−∞,e tem que ser analisado caso a caso.

Exemplo 1.11 Calcule limx→2

(x+ 3) .

Resolução: Atendendo às propriedades dos limites e ao exemplo da página 5 vem

limx→2

(x+ 3) = limx→2

x+ limx→2

3 = 2 + 3 = 5.

Exercício 1.6 Determine :

a) limx→1

(x+ 2) ;

b) limx→+∞

(3− x) ;

c) b) limx→−∞

(x+ 5) ;

d) limx→−∞

(2− x) .

12

P4. Limite de um produto

Se limx→a

f(x) = b e limx→a

g(x) = c, com b, c ∈ R , exceptuando-se o caso b = ∞ e c = 0 (ou b = 0 e

c =∞), entãolimx→a

(f.g) (x) = b.c

Exercício 1.7 Utilize esta propriedade para justificar que:

a) limx→a

[k.f(x)] = k. limx→a

f(x) (k constante) ;

b) limx→a

[f(x)]2=[limx→a

f(x)]2, mais geralmente lim

x→a[f(x)]

n=[limx→a

f(x)]n).

Exemplo 1.12 Calcule limx→1

(4x2 + 2x+ 1

).

Resolução:

limx→1

(4x2 + 2x+ 1

)= 4lim

x→1x2 + 2lim

x→1x+ lim

x→11

= 4(limx→1

x)2+ 2× 1 + 1

= 4× 12 + 2 + 1 = 7.

Exercício 1.8 Determine:

a) limx→−2

(x2 + 3x+ 2

);

b) limx→+∞

(3x2 + 4

);

c) limx→−∞

(2x3 + 7) .

P5. Limite de um quociente

Suponhamos que f e g tendem para b e c respectivamente quando x tende para a , exceptuando os

casos de ambos serem nulos ou ambos infinitos, entãof

gtende para

b

cquando x tende para a.

Exemplo 1.13 Determine limx→2

x

x+ 1.

Resolução:

limx→2

x

x+ 1=

limx→2

x

limx→2

(x+ 1)=

2

2 + 1=2

3.

13

Exercício 1.9 Determine:

a) limx→+∞

5

x2;

b) limx→−∞

2− 1

xx2

;

c) limx→0

x2 + 3

x− 1 ;

d) limx→−1−

x

x+ 1.

P6. Limite de uma raiz

Se limx→a

f(x) = b e p ∈ N então limx→a

p√f(x) = p

√b, admitindo no caso de p ser par, que f(x) � 0

∀x ∈ Df .

Observação: Caso b seja infinito, p√b também será infinito.

Exemplo 1.14 Calcule limx→8−

5x

6−√5x− 4 .

Resolução:

limx→8−

5x

6−√5x− 4 =

limx→8−

5x

limx→8−

(6−

√5x− 4

)

=40

6−√limx→8−

(5x− 4)

=40

0+= +∞

Exercícios 1.10 1) Determine:

a) limx→−2

3√10 + 5x− x3;

b) limx→0

(3x2 + x

);

c) limx→−1+

4x− 3x+ 1

;

d) limx→−1−

4x− 3x+ 1

;

e) limx→−3−

x2

x− 3 .

2) Seja a função h definida, em R, por

h(x) =

2x se x � 3

x2 − 3 se x < 3

.

14

a) Calcule limx→5

h(x) e limx→−∞

h(x).

b) Investigue se existe limx→3

h(x) , calculando limx→3+

h(x) e limx→3−

h(x).

3) Considere, em R , as funções f e g definidas por:

f(x) =

x2 − x+ 2 se x � 0

2x+ 1 se x < 0

e g(x) =

−x2 se x � 0

1− x se x < 0

.

a) Mostrar que não existem limx→0

f(x) nem limx→0

g(x).

b) Definir, em R , a função f + g e calcular, se existir, limx→0

(f + g) (x) .

c) Calcular limx→+∞

(f + g) (x) e limx→−∞

(f + g) (x) .

4) Considere as funções reais , de variável real, definidas por:

f(x) =2

x2 + 1e g(x) = 1− 3

x.

a) Calcule limx→+∞

f(x) e limx→+∞

g(x).

b) Determine limx→+∞

f(x)

g(x)e lim

x→+∞

g(x)

f(x).

5) É dada a função t definida, em R , por:

t(x) =

−2x se x < −1

x2 + 1 se −1 ≤ x < 23x− 2 se x > 2

.

Investigue se existe:

a) limx→−1

t(x);

b) limx→2

t(x).

1.6 Indeterminações

Nas situações em que a aplicação das propriedades não permite chegar a um resultado, estamos em

presença de operações não definidas em R, a que chamamos indeterminações.

A resolução destas indeterminações deve ser feita caso a caso.

15

Vamos aqui ver métodos de resolução para as indeterminações ∞−∞, 0×∞, 00e∞∞ .

1) Consideremos em primeiro lugar que x tende para a ( finito).

Vamos verificar que todas as indeterminações se podem reduzir à indeterminação0

0.

Exemplos 1.15

1) limx→1

x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2

Resolução: Aplicando o teorema do limite do quociente obtemos0

0, o que mostra que 1 anula os

termos da fracção. Efectuando a divisão por, x− 1 pela regra de Ruffini vem:

1 −3 4 −21 1 −2 2

1 −2 2 0

1 −3 2

1 1 −2

1 −2 0

.

Então:

limx→1

x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2 = lim

x→1

(x− 1)(x2 − 2x+ 2

)

(x− 1) (x− 2) .

Como o limite se calcula quando x tende para 1 por valores diferentes de 1, vem x − 1 = 0,e conse-

quentemente

limx→1

x3 − 3x2 + 4x− 2x2 − 3x+ 2 = lim

x→1

x2 − 2x+ 2x− 2 = −1.

2) limx→9

√x− 3x− 9 .

Resolução: Aplicando os teoremas sobre limites obtemos0

0. Vamos multiplicar ambos os termos da

fracção por√x+ 3, vem:

limx→9

√x− 3x− 9 = lim

x→9

(√x− 3) (√x+ 3)

(x− 9) (√x+ 3)

= limx→9

x− 9(x− 9) (√x+ 3)

= limx→9

1√x+ 3

=1

6.

3) limx→2+

[x2 − 4x

× 3x+ 1

(x− 2)2

]

.

Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo 0×∞ (porquê?) , mas se efectuarmos a multi-

plicação vem

limx→2+

(x2 − 4

)(3x+ 1)

x (x− 2)2,

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que é uma indeterminação do tipo0

0. Tem-se sucessivamente:

limx→2+

[x2 − 4x

× 3x+ 1

(x− 2)2

]

= limx→2+

(x2 − 4

)(3x+ 1)

x (x− 2)2

= limx→2+

(x− 2) (x+ 2) (3x+ 1)x (x− 2)2

= limx→2+

(x+ 2) (3x+ 1)

x (x− 2)

=4× 72× 0+ = +∞

4) limx→−2+

2x

x2 − 45

x+ 2

.

Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo∞∞ . Se efectuarmos previamente as operações

indicadas obtém-se uma indeterminação do tipo0

0.

Vem:

limx→−2+

2x

x2 − 45

x+ 2

= limx→−2+

2x (x+ 2)

5 (x2 − 4)

= limx→−2+

2x (x+ 2)

5 (x− 2) (x+ 2)

= limx→−2+

2x

5 (x− 2) =1

5.

5) limx→−1+

(1

x2 − 1 +1

x+ 1

).

Resolução: Trata-se de uma indeterminação do tipo ∞−∞. Efectuando a adição vem:

limx→−1+

(1

x2 − 1 +1

x+ 1

)= lim

x→−1+

[1

(x+ 1) (x− 1) +1

x+ 1

]

= limx→−1+

1 + (x− 1)(x+ 1) (x− 1)

= limx→−1+

x

(x+ 1) (x− 1)

=−10−

= +∞

2) Em segundo lugar vamos estudar os casos em que x tende para +∞ ou −∞.

De um modo geral as indeterminações reduzem-se ao tipo∞∞ .

1) limx→+∞

6x2 + 7x+ 3

8x2 + 6x+ 1

(∞∞).

17

Resolução: Dividindo ambos os termos da fracção por x2, vem:

limx→+∞

6x2 + 7x+ 3

8x2 + 6x+ 1= lim

x→+∞

6 +7

x+3

x2

8 +6

x+1

x2

=6 + 0 + 0

8 + 0 + 0=3

4.

2) limx→−∞

1

2x

√x2 + 1 (0×∞)

Resolução: Dividindo ambos os termos por da fracção por |x| , vem:

limx→−∞

1

2x

√x2 + 1 = lim

x→−∞

√x2 + 1

2x

= limx→−∞

√1 + 1

x2

2x

|x|

=

√1 + 0

−2 = −12.

3) limx→−∞

4x

x2 + 1x2

2x4 + 1

(0

0

).

Resolução:

limx→−∞

4x

x2 + 1x2

2x4 + 1

= limx→−∞

4x(2x4 + 1

)

(x2 + 1)x2

(∞∞)

= limx→−∞

8x5 + 4x

x4 + x2.

Dividindo ambos os termos da fracção por x5, vem:

limx→−∞

8x5 + 4x

x4 + x2= lim

x→−∞

8 +4

x41

x+1

x3

=8 + 0

0−= −∞

4) limx→+∞

(x3 − 3x+ 2

)(∞−∞) .

18

Resolução:

limx→+∞

(x3 − 3x+ 2

)= lim

x→+∞

[x3(1− 3

x2+2

x3

)]= +∞

5) limx→+∞

(√x2 + x−

√x2 + 1

)(∞−∞) .

Resolução: Multiplicando e dividindo ambos os termos da fracção por√x2 + x+

√x2 + 1, vem:

limx→+∞

(√x2 + x−

√x2 + 1

)= lim

x→+∞

(√x2 + x−

√x2 + 1

) (√x2 + x+

√x2 + 1

)√x2 + x+

√x2 + 1

= limx→+∞

(√x2 + x

)2 −(√x2 + 1

)2√x2 + x+

√x2 + 1

= limx→+∞

x2 + x−(x2 + 1

)√x2 + x+

√x2 + 1

= limx→+∞

x− 1√x2 + x+

√x2 + 1

(∞∞).

Dividindo ambos os termos da fracção por x, vem:

limx→+∞

x− 1√x2 + x+

√x2 + 1

=1− 1

x√1 +

1

x+

√1 +

1

x2

=1

2.

Exercícios 1.11 Calcule cada um dos seguintes limites:

a) limx→ 1

2

2x2 − 3x+ 12x2 − 5x+ 2

(R :

1

3

);

b) limx→2

x3 − 5x2 + 8x− 4x3 − 3x2 + 4

(R :

2

3

);

c) limx→−1

x3 + 1

x+ 1(R : 3) ;

d) limx→1+

x3 − 6x2 + 11x− 6x3 + x2 − 5x+ 3 (R : +∞) ;

e) limx→0

x√x

(R : 0) ;

f) limx→1

x− 1√x− 1 (R : 2) ;

g) limx→0+

x−√xx3 − x2 (R : +∞) ;

19

h) limx→−3

1−√x+ 4

x+ 3

(R : − 1

2

);

i) limx→1

[(x2 − 1

) 3x+ 2x− 1

](R : 10) ;

j) limx→0

[x24x+ 3

x2 + 3x

](R : 0) ;

k) limx→−3−

[(x+ 3)

5

9 + x2 + 6x

](R : −∞) ;

l) limx→0

1

x2x+ 1

x2

(R : 10) ;

m) limx→1

x

1− xx+ 2

x2 − 1

(R : − 2

3

);

n) limx→0+

(1

x− 1

x2

)(R : −∞) ;

o) limx→−2+

(1

4− x2 −1

x+ 2

)(R : −∞) ;

p) limx→+∞

3 + 7x

2− x (R : − 7) ;

q) limx→−∞

2x2 + 5x

x2 + 3x+ 2(R : 2) ;

r) limx→−∞

x3 + 5x

7x2 − 3 (R : −∞) ;

s) limx→+∞

x2

x3 + 9(R : 0) ;

t) limx→+∞

[x

x2 + 1(x+ 3)

](R : 1) ;

u) limx→−∞

(x2

3x2 + 1

1

x

) (R :

1

3

);

v) limx→−∞

(x3 − x

)(R : −∞) ;

w) limx→−∞

(x4 − 3x+ 1

)(R : +∞) ;

20

x) limx→+∞

(√x+ 3−√x

)(R : 0) ;

y) limx→−∞

(√1− x+ x

)(R : −∞) .

2 Continuidade de funções reais de variável real.

2.1 Função contínua e função descontínua num ponto

Considerem-se as funções f , g, h e m reais de variável real definidas pelos seus gráficos.

Intuitivamente podemos afirmar que a função f é a única que é contínua em todos os pontos do seu

domínio pois é a única cujo gráfico se pode desenhar sem levantar o lápis do papel.

A função h não é contínua no ponto x = 2, ela seria contínua se a imagem do ponto 2 fosse 1, de

modo que o seu gráfico fosse uma parábola completa. Observe-se que limx→2

h(x) = 1 mas h(2) = 0, daí a

descontinuidade no ponto x = 2.

21

A função g não é contínua no ponto no ponto x = 0. Tem-se:

limx→0+

g(x) = 1 e limx→0−

g(x) = 2 = g(0).

Diremos que g é contínua à esquerda em x = 0 pois se restringíssemos o domínio de g a ]−∞, 0] , afunção obtida seria contínua em x = 0.

A função m não é contínua em x = 1, nem à esquerda nem à direita. De facto não existe limx→1

m(x)

uma vez que os limites laterais são diferentes e além disso diferem ambos de m(1) que é igual a −2.

Definição 2.1 Seja a um ponto de acumulação do domínio de uma função real de variável real f . Diz-se

que f é contínua no ponto a se e só se existe limx→a

f(x) e

limx→a

f(x) = f(a).

Caso não exista limx→a

f(x) ou este seja diferente de f(a), diremos que f é descontinua em x = a.

Diz-se que f é contínua à direita ( resp. esquerda ) de a se e só se

limx→a+

f(x) = f(a) ( resp. limx→a−

f(x) = f(a)).

Observações:

Não faz qualquer sentido falar em continuidade ou em descontinuidade de uma função f num ponto

a que não pertença ao domínio ( não existiria f(a)) ou num ponto isolado do domínio ( não faria sentido

falar em limx→a

f(x)).

Exemplos 2.1 Considere os seguintes casos:

1) Averiguar se a função f é contínua no ponto x = 1, sendo

f(x) =

x+ 1 se x � 1

x2 se x < 1.

Resolução:

f é contínua em x = 1 se e só se existir limx→1

f(x) e limx→1

f(x) = f(1).

22

Como à direita e à esquerda de 1 a função está definida por expressões diferentes, vamos determinar

os limites laterais. Tem-se:

limx→1+

f(x) = limx→1+

(x+ 1) = 2

limx→1−

f(x) = limx→1−

x2 = 1.

Como os limites laterais são diferentes, não existe limx→1

f(x) e consequentemente f não é contínua em

x = 1.

Observação: Como limx→1+

f(x) = f(1), f é contínua à direita em x = 1.

2) Seja g a função definida por

g(x) =

x2 − 1 se x > −2

1 se x = −2

x+ 5 se x < −2.

Vamos estudar a continuidade de g no ponto x = −2.

Resolução:

Tem-se:

limx→−2+

g(x) = limx→−2+

(x2 − 1

)= 3

limx→−2−

g(x) = limx→−2−

(x+ 5) = 3.

Assim limx→−2

g(x) = 3.

Por outro lado, g(−2) = 1, pelo que limx→−2

g(x) = g(−2) e a função g não é contínua no ponto x = −2.

3) Seja h a função definida em R, por

h(x) =

x3 − 5x+ 2 se x � 0

x+ 2 se x < 0.

Vamos estudar a continuidade de h no ponto x = 0.

Resolução:

Tem-se:

limx→0+

h(x) = limx→0+

(x3 − 5x+ 2

)= 2

limx→0−

h(x) = limx→0−

(x+ 2) = 2.

Como h(0) = 2 resulta que limx→0

h(x) = h(0) e a função h é contínua em x = 0.

23

Exercícios 2.1 Resolva cada um dos seguintes exercícios :

1) Observe os seguintes gráficos e complete.

a)

• limx→2

f(x) = .......

• f(2) = ..........

• f é contínua no ponto ......

b)

•

limx→1+

f(x) = ......

limx→1−

f(x) = ......

=⇒ não existe limx→1

f(x).

• f não é .............. no ponto x = 1.

c)

24

• limx→1

f(x) = .......

• f(1) = ..........

• f não é ..............

2) Considere a função real, de variável real, m definida por :

m(x) =

x2 + 1 se x � 3

1− 3x se x < 3.

.

Estude a continuidade em x = 3.

3) Seja t a função definida, em R, por:

t(x) =

x2 − 3x+ 1 se x > 0

2 se x = 0

x+ 1 se x < 0.

Averigue se é contínua em x = 0.

4) Seja g uma função real, de variável real, em que

g(x) = |x− 3|+ x.

a) Escreva a expressão designatória da função sem utilizar o símbolo de módulo.

b) Averigue se é contínua no ponto x = 3.

5) Considere a função real, de variável real, t definida por :

t(x) =

x

|x+ 1| se x = −1

0 se x = −1.

Mostre que t não é contínua para x = −1.

6) Prove que é contínua à esquerda de 0 a função real, de variável real, definida por:

m(x) =

x+ |x|x

se x = 0

0 se x = 0.

25

2.2 Propriedades das funções contínuas num ponto

Propriedade 1

Sejam f e g funções contínuas num ponto a pertencente a Df ∩Dg e ponto de acumulação de Df ∩Dg.Então:

f + g, f − g, f.g ef

g( g (a) = 0 ) ,

são contínuas no ponto a.

Demonstração:

As demonstrações resultam imediatamente das propriedades dos limites e da definição de continuidade.

Vejamos apenas o caso f + g, deixando os outros como exercício.

Sendo f e g contínuas em a tem-se:

limx→a

(f + g) (x) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

= f(a) + g(a)

= (f + g) (a) .

Assim:

limx→a

(f + g) (x) = (f + g) (a) ,

o que prova que f + g é contínua no ponto a.

Propriedade 2

Se p ∈ N e f é uma função contínua no ponto a, também são contínuas em a as funções fp e p√f

( excepto se p par e f(x) < 0) .

2.3 Continuidade num intervalo

• Uma função f diz-se contínua se e só se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

• Uma função f diz-se contínua em ]a, b[ se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

• Uma função f diz-se contínua em [a, b] se for contínua em ]a, b[, à direita de a e à esquerda de b.

26

Exemplos 2.2 Considere os seguintes exemplos:

a) Uma função constante é contínua. De facto se f(x) = k (k constante) ∀x ∈ Df ,

limx→a

f(x) = f(a) = k.

b) A função identidade é contínua.

Se f(x) = x, vem

limx→a

f(x) = f(a) , ∀a ∈ IR.

c) A função definida por y = x2 é contínua pois é o produto de duas funções contínuas, sendo estas

f(x) = x e g(x) = x.

d) Uma função polinomial f é contínua. Seja :

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + ...+ an.

Verifica-se que f é a soma de produtos de funções contínuas.

e) Uma função racional ( quociente de funções polinomiais ) é contínua no seu domínio.

f) Estude a continuidade da função f real, de variável real, definida por:

f(x) =

x2 − 1 se x > 2

3 se x = 2

7 se x < 2.

Resolução: Para x > 2 a função é definida por um polinómio, então f é contínua no intervalo

]2,+∞[ . Como para x < 2 f é constante, é contínua no intervalo ]−∞, 2[ . Resta estudar a continuidadede f no ponto x = 2. Como:

limx→2+

f(x) = limx→2+

(x2 − 1

)= 3

e

limx→2−

f(x) = limx→2−

7 = 7,

27

não existe limx→2

f(x) e consequentemente f não é contínua em x = 2. Então f é contínua em R\ {2} .g) Para cada número real k a expressão seguinte representa uma função real, de variável real :

g(x) =

2x2 se x < 2

k se x = 2

−x+ 3 se x > 2.

i) Mostrar que para qualquer valor de k a função tem um ponto de descontinuidade.

ii) Qual deve ser o valor de k de modo que a função g seja contínua à direita de 2?

iii) Indique os valores de k de modo que a função seja descontinua à esquerda e à direita no ponto

x = 2 ( descontinuidade bilateral).

Resolução:

i) A função é contínua em ]−∞, 2[ e ]2,+∞[ por ser representada por polinómios. Em x = 2, tem-se:

limx→2+

g(x) = limx→2+

(−x+ 3) = 1

e

limx→2−

g(x) = limx→2−

(2x2

)= 8,

pelo que não existe limx→2

g(x). Assim, o valor do limite não existe independentemente do valor de k, o que

significa que a função é sempre descontínua no ponto x = 2, qualquer que seja k.

ii) A função será contínua à direita de 2 se limx→2+

g(x) = g(2), ou seja k = 1.

iii) Para termos uma descontinuidade bilateral, temos que ter :

k = 1 (descontinuidade à direita)

e

k = 8 (descontinuidade à esquerda) .

Logo k ∈ R\ {1, 8} .

2.4 Continuidade da função composta

Teorema 2.1 Seja f uma função contínua num ponto a do seu domínio e g uma função contínua em

b = f(a) então gof é contínua em a.

28

Observação:

Pelo resultado anterior,

limx→a

(gof) (x) = (gof) (a)

ou seja

limx→a

g [f(x)] = g [f(a)]

ou ainda

limx→a

g [f(x)] = g[limx→a

f(x)].

Quer dizer, nas condições referidas, são permutáveis o sinal limx→a

e o sinal da função g.

29