Funções de varias variáveis ou Funções reais de variável vetorial ) x ,.., x , F(x w ) x ,..., x , (x : 3 2 1 n 2 1 R R F n n R S F Dom ) ( S é um subconjunto de R n Exemplo 1: Seja F tal que 1 w y) (x, : 2 2 2 y x R R F Identifique o domínio e a imagem de F
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Funções de varias variáveis ou Funções reais de variável vetorial
)x,..,x,F(xw )x,...,x,(x
:
321n21
RRF n
nRSFDom )( S é um subconjunto de Rn
Exemplo 1: Seja F tal que
1w y)(x,
:
22
2
yx
RRF
Identifique o domínio e a imagem de F
Exemplos
221 yxz Gráfico de função
Exemplos
Domínio f : semi-plano superior a y=x Imagem f : toda reta real.
Observações importantes Disco aberto, disco fechado
Identifique o domínio e a imagem de F
Seja : z = f(x,y), logo G(f)={(x,y,f(x,y)) C R3 } superfície Curva nível = { (x,y,c) C R3 , c=f(x,y)} curvas
Seja : w = f(x,y,z), logo G(f)={(x,y,z,f(x,y,z) )C R4 } hiper-superf. Curva nível = { (x,y,z,c) C R4 , c=f(x,y,z)} superfícies
Exemplo 4. verifique se a função e continua no ponto (1,1/4)
2),( xyyxf
Limite e continuidade: exercícios
Exercício 1.- Analise a continuidade da função z= f(x,y) = ln(x2+y2+1) no ponto (0,0); Reposta: a função f(x,y) é continua no ponto (0,0).
Exercício 2.- Em que ponto do espaço R3 a função é continua? Resposta: em qualquer lugar exceto no cilindro x2+y2=1
1
1),,(
22
yxzyxh
Exercícios
1.- Identifique o domínio e a imagem da função w = w(x,y) definida assim 2.-Desenhe a superfície definida pela equação
122 yxw
41
22 yxz
3.- encontre as curvas de nível da equação z=16-x2-y2
3.-Calcule se a) b)
),(lim )0,0(),( yxfyx
yx
yyxyxf
2
22
),(22
),(yx
xyxf
4.- A função z=f(x,y) esta definida como quando para (x,y)≠(0,0), e seria 0 para (x,y)=(0,0). Mostre se ela não é continua no ponto (x,y)=(0,0). 5.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que não existe, sendo
Coef. angular das retas tangentes as curvas vermelhas
)1ln( 22 yxf
)1(
222
yx
y
y
fh
)1(
222
yx
x
x
fg
Derivada parcial como taxa de variação.
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
),( 00 yxx
f
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
),( 00 yxy
f
Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da função em relação a cada variável, quando as outras estão fixadas.
Derivada parcial de segunda ordem.
xyyxyyxx fxy
ff
yx
ff
y
ff
x
f
22
2
2
2
2
;; ;
)();( 22
y
f
xf
yx
f
x
f
yf
xy
fyxxy
notação
yx fy
ff
x
f
;Notação
Teorema das derivadas mistas. Se f(x,y) e suas derivadas parciais fx,fy,fxy
forem definidas em uma região contendo o ponto (a,b) e todas forem contínuas em (a,b) então
),(
2
),(
2
|| babaxy
f
yx
f
Exemplo 1.- Seja a função z=f(x,y)= ex+2y , verifique que o teorema anterior se verifica.
Diferenciabilidade de uma função z=f(x,y). A função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se fx, fy sejam definidas em uma região que contenha o ponto (x0,y0) e que
),(),( 0000 yxfyyxxfz
yxyyxfxyxfz yx 210000 ),(),(
satisfaz
Na qual quando 0,0 21 0,0 yx
Continuidade de derivadas parciais implica Diferenciabilidade. Dada a função e , z=f(x,y) se fx, fy existirem e são contínuas no domínio D, então f é diferenciável nesta ponto (x,y). Diferenciabilidade implica continuidade
Importante: Dada a função diferenciável
f(x,y) , logo a diferencial de f, em (x,y), relativa aos acrescimos dx, dy é indicada por dz ou df
Exemplo: análise a diferenciabilidade da função z = f(x,y) =y x2+y2
, : 2 RRDf Dyx ),(
dyyxfdxyxfdz yx ),(),( 0000
Plano tangente a uma superfície no espaço R3
Plano tangente a uma superfície.
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe. Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) RRAf 2:
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto (x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)
0)0.(1)()(00 00 zzfyyfxx yx
),( 000yx
x
ff x
),( 000
yxy
ff y
Plano tangente a uma superfície.
A interseção do plano e a curva z=f(x,y) é justamente o ponto (x0,y0), que é o ponto de intercepto das duas superfícies. O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) só é definida se a função f(x,y) for diferenciável neste ponto. Casso a função for diferenciável o plano conterá todas as retas tangentes ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0). Se não for diferenciável em (x0,y0) , mas admitir derivadas parciais neste ponto, então o plano existirá mas não será plano tangente.
• Determine a equação do plano tangente á superfície
, no ponto Q=(1,2,6). Determine também a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto Q.
• Determine a equação do plano tangente à superfície S definida pela equação z = ln(y-x) , no ponto Q=(1,2,0). Encontre também um vetor unitário perpendicular a dita superfície S no mesmo ponto.
1),( 22 yxyxfw
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis independes Dada a função w=f(x,y), e se fx, fy são contínuas e se x=g(t), y=h(t) forem funções diferenciáveis de t então a função composta w(t)=f(g(t),h(t)) será uma função diferençável de t, logo
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
df..
Exemplo 1: Seja f(x,y)= x2 y; e seja x= cos(t), y= t, determine
dt
df
dt
df é chamada de derivada total
,
dt
df Esta derivada total indica como esta variando a função f ao longo da curva r(t) = (cos(t),t, cos(t)2 t) que descansa na superfície z=f(x,y)
Taxa de variação da função z=f(x,y) ao longo da curva r(t) = (cos(t), t, cos(t)2 t)
dt
df
Determine ao longo da curva r(t)=(-t, 2 t ). A curva r(t) = (-t , 2 t, ln(3 t)) que descansa na superfície z = f(x,y)= ln (y-x) se observa na figura anterior. A derivada solicitada daria a taxa de variação de f conforme nos movimentamos Alo longo da curva horizontal r(t)=(-t,2t).
Exemplo 2
Regra da cadeia
,...
...
ds
dz
z
f
ds
dy
y
f
ds
dx
x
f
s
f
t
f
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
t
f
,
Regra da cadeia:funções de 3 variáveis independes Dada a função w=f(x,y,z), e se fx, fy , fz são contínuas e se x=g(t,s), y=h(t,s),z=k(t,s) forem funções diferenciáveis de t e s então a função composta w(t,s) = f(h(t,s),h(t,s),k(t,s)) será uma função diferençável de t e s, logo
Exemplos
1.- Seja a função z= f(u,v) = sin(u v) + cos (u v) , e considere as seguinte parametrizações. u= x - c t, e v= x +ct. Sendo c uma constante, a) Determine
b) Determine , 2.- seja a função w= x2+ 2 y2+z , e consideremos as parametrizações x= t+s, y = t-s, z= t s; a) Determine as derivadas parciais
b) Determine a diferencial total da função w(x,y,z), “dw”.
x
f
t
f
,
s
w
t
w
,
ttft
f
2
2
xxfx
f
2
2
Derivada implícita O teorema da função implícita afirma que se F(x,y) é definida num disco aberto contento o ponto (a,b), onde F(a,b)=0, Fy (a,b) ≠ 0, Fx, Fy são funções continuas então dy/dx esta definida.
yF
Fx
dx
dyyxF ,0),(
Exemplo: Seja x3+y3 = 6xy, calcular dy/dx
Exercícios
1.- Dados a) f(x,y)= x2y + 2y, b) f(x,y,z) = cos(x+y)z+ zy determine fx, fxx, fy, fyy , fxz, fzzy
2.- Seja determine fxy e fyx em que parte do domínio são iguais.
3.- Mostrar a diferenciabilidade de f(x,y) = y2 + 4x em qualquer ponto do seu domínio. 4.- calcular a diferencial de a) z= x3y, b) sin(x y) 5.- determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por a) f(x,y)= x2+4y2+1, b) ln(x2-y) c) f(x,y)= 5x/(x2 + y2 + 1) nos
pontos (x,y,z)=(1,1,6), (x,y,z)=(2,3,0), (x,y,z)=(1,1,5/3) respectivamente.
yx
xyxf
),(
Exercícios
6) Uma caixa em forma de paralelepípedo de lados x y e z estão variando de volume, de tal forma que num instante dado esses 3 lados medem x0=1m, y0=2m, z0=3m respectivamente. No mesmo instante a taxa de variação dos lados x, y e z em relação ao tempo é respectivamente 1, 1 e -3. Determine a taxa de variação do volume e da superfície total da caixa em relação ao tempo no mesmo instante.
7) Seja f uma função duas vezes diferençável na reta real ; seja u(x, t) = a f(x+c t) + b f(x-c t) sendo a, b, c constantes reais e c ≠ 0. Mostre que