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Transcript
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1. La Matematica nascosta in natura La Bellezza: ricerca di una definizione «tecnica»
Il rapporto aureo e la successione di Fibonacci
2. La Matematica di base Rispetto delle regole
Precisione nei numeri
Condizionamento mentale
Concetto di funzione
La radice quadrata
Lo spazio ad n dimensioni
Paradosso del mentitore
Due docenti che hanno saputo
trasmettere l’entusiasmo per le
scienze applicate coniugandolo
magnificamente con il rispetto
per gli studenti e la rigorosità
del metodo scientifico.
In ricordo di due docenti particolarmente cari: 1. Al liceo «Don Bosco» (Valencia, Venezuela): Prof. Pedro J. Mujica (1958 – 1965)
2. Alla facoltà d’ingegneria di Napoli (Federico II): Prof. Luigi Napolitano (1975-1976)
4
La Matematica nascosta in natura
La Bellezza: alla ricerca di una definizione «tecnica»
Il rapporto aureo e la successione di Fibonacci
1. Il disegno è molto bello per chi vi scrive, in quanto gli ricorda un evento piacevole: l’omaggio spontaneo fattogli da un bambino di 6 anni (suo nipote) mentre, pochi giorni fa, lo attendeva per giocare.
2. La bellezza del disegno non risiede solo in esso, ma nelle sensazioni piacevoli scaturenti da un suo confronto con il mio vissuto.
3. Lo stesso disegno non genera le medesime sensazioni in una persona estranea, per l’assenza di ricordi collegati ad esso.
5. Quando si nasce non si ha memoria. Essa comincia a formarsi a partire dalle prime sensazioni derivanti dal soddisfacimento dei bisogni primari.
4. Per poter «sentire» bello un evento, è necessario infatti metterlo a confronto con altri simili del nostro vissuto.
Il «bello» individuale
Queste foto probabilmente evocano sensazioni piacevoli in più persone per la presenza di più fattori gradevoli :
la presenza di bambini in tenera età
la simpatia dei loro sguardi complici ed accattivanti.
la visione di un elemento gradevole di pasticceria
Il gesto birichino di inserire il dito nella crema.
Per poter condividere la «bellezza» di un evento, è necessaria la presenza di eventi similari all’interno di un archivio comune (la memoria) con cui metterlo a confronto.
Il «bello» condiviso
Tutte insieme queste sensazioni rendono «bella» la visione delle immagini
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza
Un quadro impressionista (ma anche una melodia, un profumo, un oggetto morbido, un alimento) visto (udito, odorato, toccato o gustato) per la prima volta può essere percepito come «molto bello». Esso, ad una successiva osservazione, fatta dopo aver acquisito maggiori informazioni sulla tecnica pittorica dell’autore, può risultare ancora più bello se si scoprono nuovi particolari, che generano sensazioni piacevoli («nuove informazioni»), non rilevate la volta precedente.
La «bellezza» percepita di un piacevole evento può accrescersi con il ripetersi dell’evento, quando da esso si riescono a rilevare nuove informazioni, che generano piacevoli sensazioni o rinnovate emozioni.
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza
Un arcobaleno che si vede per la prima volta può essere percepito (e acquisito in memoria) come «molto bello» in quanto evento nuovo. In seguito, rivedendolo altre volte, la percezione della sua bellezza si affievolisce. Vengono notate solo le diversità rispetto al primo arcobaleno e, dopo averlo visto molte volte ancora, pur riconoscendolo come un evento «bello», la percezione di bellezza di quell’evento si dissolve. Non acquisiamo più nuove informazioni da esso.
Un doppio arcobaleno visto per la prima volta viene percepito come «molto bello» in quanto fornisce nuove informazioni. Una ripetuta visione di arcobaleni simili, produce assuefazione a quell’evento, affievolendo la percezione di bellezza.
La «bellezza» di un evento piacevole si affievolisce con il ripetersi dell’evento, se da esso non si ricavano nuove piacevoli sensazioni.
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza
Un individuo che nasce sano in una società libera e sicura si abitua a vivere in questo stato di benessere, al punto di non accorgersi di quanto queste qualità siano preziose e, perciò, «belle», se non dopo che qualcuna di esse sia venuta meno.
Un profugo che ha sempre vissuto con la sua famiglia in condizioni di pericolo, miseria o sottomissione, quando, finalmente, riesce a raggiungere un paese che lo accoglie ed ospita in condizioni di sicurezza, rispetto e libertà, considererà estremamente bella la sensazione che lo avvolge di vivere in libertà e sicurezza.
In una persona il sensore che rileva la «Bellezza» si attiva ogni volta che vengono acquisite informazioni piacevoli da un evento. La misura dell’intensità di tale bellezza è tanto più grande quanto maggiore è la quantità delle informazioni gradevoli acquisite durante l’evento.
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza
Un evento risulta tanto «più bello» quanto maggiore è il numero di nuove informazioni positive che esso rilascia nella persona. Un evento che, per la sua prolungata ripetitività, ha smesso di dare nuove piacevoli sensazioni, non appare più spontaneamente «bello».
Le vignette mostrano chiaramente l’azione della pubblicità sulle persone. Viene messo in risalto un prodotto inserendolo in un processo «bello», ma estraneo al prodotto. Durante l’evento viene distratta l’attenzione dell’utente ed inculcata l’idea che il prodotto pubblicizzato sia bello, utile e, assolutamente da comprare. Il risultato è quello che si vede qui in basso.
Nel 1977 si introdusse la TV a colori in Italia. Negli anni immediatamente seguenti si rilevò una evidente riduzione delle capacità di attenzione negli studenti delle scuole medie inferiori. Oggi un pericolo analogo si avverte con gli smartphone relativamente alla socializzazione e interrelazione tra i giovani.
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza.
Il naturale desiderio di distinguersi o di far piacere (o di non far dispiacere) al potente di turno o al capo religioso può produrre nelle persone aberrazioni come quelle che vediamo in queste foto.
Non sono da meno ancora oggi, tra l’altro, la circoncisione,
l’infibulazione e la brutale mutilazione dei genitali femminili.
… alla ricerca di una definizione «tecnica» della Bellezza.
1. Non esistono certezze assolute per individuare se un evento è bello. 2. La Bellezza scaturisce da un vissuto, da un confronto conscio o inconscio con quanto
conserviamo in memoria. 3. Essa comincia a formarsi con il soddisfacimento dei bisogni primari, a partire dalla nascita. 4. La capacità di meravigliarsi, la bontà, le virtù fanno parte della bellezza naturale dell’uomo 5. La Bellezza è mutevole nel tempo e nello spazio, perché la memoria si aggiorna e modifica. 6. La Bellezza condivisa o imposta necessita di un supporto culturale o ambientale dettato dalla
consuetudine sociale o da una condivisione di valori. 7. La Bellezza è soggettiva, personale ed esclusiva. 8. Un evento è tanto più bello quanto maggiore è il numero e la qualità delle informazioni
piacevoli che vengono da esso rilasciate. La «bellezza» di un evento si accresce o affievolisce naturalmente, in base alle informazioni che vengono acquisite (o non acquisite) dall’evento.
9. Un evento molto ripetitivo che non fornisce più nuove informazioni perde la sua bellezza. 10. L’individuo riapprezza la bellezza nel momento in cui essa viene a mancare.
b
h Φ
b h b
h b h
b
h . b
b
h
h
. b h
b h
b h
b
h
Nelle figure riportate si può vedere che nell’individuo vi sono molte misure (indicate con «b») che sono in rapporto costante con altre (indicate con «h») .Tale rapporto è detto «aureo» Φ di valore 1,618...
E’ spontaneo che un individuo venga apprezzato per le simmetrie, armonie e proporzioni delle sue parti anatomiche. Queste, infatti, sono le immagini a noi più familiari che abbiamo in maggior quantità in memoria che vengono continuamente aggiornate e convalidate.
Proporzioni perfette
Proporzioni non
armoniose
La Gioconda modificata nelle sue proporzioni
La Bellezza come armonia delle proporzioni La
Gio
cond
a (M
onna
Lisa
) di L
eona
rdo
da V
inci
Un’opera d’arte, se inserita in un contesto «naturale» (ossia se rispettosa delle proporzioni tra le parti), è più vicina allo stereotipo che abbiamo in memoria e perciò sembrerà più «bella».
La Pietà di Michelangelo
La Pietà modificata nelle sue proporzioni
1. La La Matematica nascosta in natura Bellezza: ricerca di una definizione «tecnica»
Il rapporto aureo e la successione di Fibonacci
(nella crescita naturale, ottimale e con il minimo dispendio di energia)
La Fisica-Matematica: l’altra faccia della Bellezza.
b=1,618
Il rapporto aureo φ :
h=1
b=1
La matematica nascosta in natura
h=0,618 Φ = 1,618… 1/Φ = 0,618…
Rettangoli aurei: i lati sono in rapporto aureo se: b/h = 1,618.. oppure h/b = 0,618….
1 Φ
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Matematico italiano : Leonardo Pisano detto Leonardo Fibonacci, perché filius del Bonacci (Pisa 1170-1240 circa).
La matematica nascosta in natura.
A partire da 0 e 1 ogni altro numero è la somma dei due numeri che lo precedono
Il rapporto tra un numero ed il suo precedente, al crescere dei numeri tende al numero aureo Φ
0 1 1/0 = **
1 1/1 = 1,000 2 2/1 = 2,000 3 3/2 = 1,500 5 5/3 = 1,667 8 8/5 = 1,600 13 13/8 = 1,625 21 21/13 = 1,615 34 34/21 = 1,619 55 55/34 = 1,617 89 89/55 = 1,618 144 144/89 = 1,618 233 233/144 = 1,618
A
B C
A
B C
A
B
C
AB=arco di cerchio; C=centro
«Spirale aurea» o «spirale di Fibonacci»
La matematica nascosta in natura
Il pentagono regolare ha il rapporto tra una diagonale DB ed il lato DC pari a Φ
A
B C
°
° °
Φ
A
B
C
°
° °
Φ
L’unione dei punti «A» nei due versi formano due «spirali» di Fibonacci ricavate da un pentagono regolare.
B
D C
A1 A2
A3
A4
La matematica nascosta in natura.
Φ
A
B
C
°
°
° A °
B ° C °
A °
B °
C °
A ° B °
C °
A °
B ° C °
AB = arco di cerchio di centro C. Come per il pentagono unendo i punti «A» si forma una «spirali» di Fibonacci da un triangolo di un pentagono regolare.
La matematica nascosta in natura
Ogni quadrato è ruotato rispetto a quello immediatamente più grande di uno stesso angolo α
α=5° α=25° α=40° α=85°
α
α=105°
La matematica nascosta in natura.
Nella corolla della rosa gli angoli che definiscono le posizioni dei petali sono multipli di Φ. Tale disposizione permette la maggior densità possibile di petali rispetto al volume della rosa.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Girasole
La matematica nascosta in natura
In un seme di girasole vi sono due ordini di spirali: quelle che si avvolgono in senso orario e quelle che si svolgono nello stesso senso . Il numero di queste è di 34 e 21 rispettivamente. Nella pigna come nell’ananas ,vi sono 8 spirali che si avvolgono e 13 che si svolgono.
La “spirale aurea”, evidenzia come lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di svilupparsi secondo natura, in maniera ottimale (e meno dispendiosa possibile).
La matematica nascosta in natura.
1
2 3
5 6
7 8
9
4
Un essere vivente che si sviluppa in modo armonico, ottimale, “secondo natura” e con il minor dispendio di energia possibile lo fa eseguendo la successione di Fibonacci.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
La matematica nascosta in natura
Se un arbusto in natura è programmato per emettere 8 foglie, queste, nel crescere, si posizioneranno sfasate uniformemente di un angolo (225 gradi), in modo da ottimizzare l’esposizione al sole ed all’acqua piovana
Il numero di giri attorno allo stelo per una pianta che al termine della crescita presenta 8 foglie è di 5 giri.
5 foglie -- 3 giri. 8 foglie -- 5 giri.
Partenone
Arco di Costantino Roma Pantheon Roma Notre-Dame
Castel del Monte
La matematica nascosta nei monumenti.
ΦΦ
Studi fatti prima di realizzare l’opera per dimensionare e posizionare i volti, le braccia ed ogni parte del corpo nel rapporto per noi più naturale: quello aureo.
La matematica nascosta nelle opere d’arte
= Gemma (ramo, figlio)
= Tronco (adulto) 1
1
3
5
8
2
0
In una crescita «naturale» di un essere vivente (vegetale o animale) senza cioè eventi nefasti che ne arrestino o
riducano la crescita il numero di individui in una comunità cresce secondo l’ordine della successione di Fibonacci.
La gemma «A» diventa tronco (adulta) in «B1». Nella fase successiva il tronco B1 genera una nuova gemma «C». In questa fase vi sono due elementi: B2 e C.
Nel successivo periodo l’adulto B2 continua a generare (D) mentre la gemma C diventa adulta in C1. In questa fase vi sono 3 elementi: C1, D e B3.
Successivamente gli adulti C1 e B3 generano due gemme E ed F che si aggiungono a quelle esistente mentre la gemma D diventa adulta in D1. Vi sono 5 elementi. Ecc.
Crescita “secondo natura” in maniera ottimale (e meno dispendiosa possibile).
1
1
3
5
8
2
0
G = Gemma (immaturo)
T
G
T = Tronco (Adulto)
G+T
T+T+G
T+G+G+T+T
1. La Matematica nascosta in natura La Bellezza: ricerca di una definizione «tecnica» Il rapporto aureo e la successione di Fibonacci
2. La Matematica di base Rispetto delle regole
Precisione nei numeri
Condizionamento mentale
Concetto di funzione
La radice quadrata
Lo spazio ad n dimensioni
Il paradosso del mentitore
r=ρ
x
y
θ ρ
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In questa seconda parte avrei voluto parlarvi della bellezza «nella» Matematica pura ed in quella che viene applicata nelle varie branche della Fisica ma, mentre maturavo cosa proporvi, mi sono convinto che è molto difficile trasmettere anche solo alcune tra le tante fantastiche proprietà che sono nascoste in questa disciplina in così poco tempo. Ciò in quanto, come in ogni sapere, per poterne «vedere» ed apprezzare la bellezza in essa nascosta è necessario raggiungere con gradualità un elevato livello di conoscenza specifica che richiede molto tempo.
Penso all’equazione fondamentale della dinamica che in dinamica individua l’esatto moto di un piccolo proiettile come di un grande pianeta, oppure alle equazioni differenziali ordinarie e quelle alle derivate parziali che descrivono, ad esempio, le prime, il comportamento dinamico di un ponte sospeso durante un terremoto e le seconde i fenomeni fisici ondulatori come quelli acustici, ottici, elettrici, magnetici o gravitazionali oppure, ancora, alla matematica moderna dei potentissimi calcolatori che ha fatto grandissimi progressi nel campo dell’elettronica ed in particolare della robotica.
D’altronde già G.W.F. Hegel affermava che un individuo conquista la scienza solo dopo aver fatto un percorso di vita che gli permetta di consolidare i concetti maturati e di raggiungere, attraverso l’esperienza, un grado di consapevolezza tale da consentirgli di riconoscere la bellezza di quanto ha acquisito.
Ho ritenuto opportuno, perciò, rinviare ad un altro eventuale incontro per una nuova chiacchierata su questi argomenti. Oggi continuerò la mia conversazione col parlarvi della matematica «di base» o matematica «scolastica». Ho sempre privilegiato nella mia vita la didattica della matematica con la quale voi studenti avete a che fare quotidianamente nei vostri studi, mettendo in evidenza alcune carenze, contraddizioni e difficoltà ma anche meraviglie che avete già riscontrato o riscontrerete durante il vostro percorso di studi.
Ipotesi Assioma Postulato Si parte con delle affermazioni che
sono supposte vere:
Si sviluppa ogni forma di ragionamento (‘inferenza’) che dimostra, attraverso idee tra loro connesse, coerenti e conseguenziali, il logico conseguire di una verità da un’altra.
Concreta Fisica - Matematica applicata
Astratta Assurda Si perviene ad una
conclusione:
Una disciplina mentale - Un linguaggio - Uno strumento per ragionare
(Una filosofia)
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Ipotesi: affermazioni di verità non ancora accertate ma che si prevedono possibili Postulato: verità che, senza essere evidente, né dimostrata, si assume alla base di una dimostrazione. Assioma: verità che si ammette senza discussione, ma è evidente di per sé.
La matematica di base.
Ipotesi: a - b = c
(a- b)(a-b) = c(a-b)
a2 -2a b + b2 = ca-cb
a2 -ab-ab-ac = -b2 -bc
a (a-b-c) = b(a-b-c)
a=b (2=3, 2=4, 2=5)
a 0 = b 0 (prima uguali dopo diversi)
x = x+1
(prima diversi dopo uguali) 0x = 0(x+1)
f(x) : x/(x+1) = 1 x
(x+1) = 1 (x-3)
x2 - 3x = x2 - 2x – 3 x = 3
2x02xx2x
2 =⇒=−−
0f(x)0g(x)f(x)
=⇒= mai0x1
)2(x2x
2xx2x
2 ⇒==−
−=
−−
x
≠=⇒=⇒= 0)g(x
xx0f(x)0g(x)f(x)
0
0
(x-3)
0 * x/(x+1) = 0 * 1 x/(x+1) = 1
x(x-3) = (x+1)(x-3)
NO!
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NB: Semplificare per (a-b-c) che è pari a zero (dall’ipotesi) equivale a dividere per essa. La divisione per zero non è lecita.
NB: La soluzione x=3 non appartiene all’equazione di partenza, ma è stata inserita nel momento in cui si sono moltiplicati per x-3 entrambi i membri.
NB: Il valore che annulla il numeratore non deve annullare pure il denominatore, altrimenti la forma diventa indeterminata e può assumere qualsiasi valore.
La matematica di base.
20,12,1 ≠1,0
2,12,12,12,12,1
2,1
1,11,11,11,11,1
2,1
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
±
=
= 01,0
20,120,120,120,120,1
20,1
19,119,119,119,119,1
20,1
4
3
2
1
0
9
8
7
6
5
±
=
=
..2.1,414213562 = ( ) 22 99996,11,4142 =
:a(bc)(ab)c ≠
( ) 222
≠
( )
765,522.1)000(,523.1765,522.1000.1*523,1
234.1*234,1000.1*522,1)000.1*234,1(*234,1000.1*1,234*1,234
765
≠=
==
( ) 12 988,11,41 =
( ) 92 999999998,121,41421356 =
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La matematica di base
NB: il numero 1,2 garantisce il decimo, ma non il centesimo. Esso può essere 1,15 ma anche 1,24. Può esserci, cioè, uno scarto di quasi un decimo (9 centesimi). Il numero 1,20 analogamente rappresenta un valore con uno scarto di 9 millesimi. Lo zero dopo la virgola è rappresentativo della precisione della misura.
NB: Un numero irrazionale, quando lo si rappresenta in forma decimale, deve necessariamente essere approssimato e perciò va incontro ai problemi di precisione prima esposti.
NB: Con l’approssimazione potrebbe non valere la proprietà associativa del prodotto.
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NB: Se ci si è esercitati su uno stesso tipo di esercizio (come questo) si può essere tratti in errore se esso, pur apparendo uguale, è in realtà differente.
NB: Questo esercizio apparentemente è simile al primo; osservandolo bene presenta, però, delle differenze rilevanti messe in evidenza, che danno la chiave di lettura della soluzione. (Soluzione: 4) Per prepararsi alle prove di ammissione alle
facoltà occorre esercitarsi su problemi diversi.
La matematica di base
V1 =120 Km/h
L=120 Km
t1 = 𝐿𝐿𝑉𝑉𝑉
= 𝑉20𝑉20
= 1 ℎ
In formule: Vm = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠
= 2𝐿𝐿𝑡𝑡𝑉+𝑡𝑡2
= 2𝐿𝐿𝐿𝐿𝑉𝑉𝑉+
𝐿𝐿𝑉𝑉𝑉
= 2∗𝑉𝑉𝑉∗𝑉𝑉2𝑉𝑉𝑉+𝑉𝑉2
= 2∗𝑉20∗40𝑉20+40
= 60
V2 =40 Km/h t2 =
𝐿𝐿𝑉𝑉2
= 𝑉2040
= 3 ℎ
Andata
Ritorno
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La matematica di base
Problema: qual è il valore medio della velocità del veicolo che ha percorso 120 km con una velocità all’andata di 120 km/h ed al ritorno di 40 km/h?
Avendo imparato che il valore medio è pari alla semisomma dei valori dati, è molto probabile essere tratti in inganno e rispondere Vm = (V1 + V2) / 2 = (120+40) / 2 = 80 Km/h sbagliando.
Ricordando, infatti, la definizione di velocità media di un moto come il valore (fittizio) della velocità di un moto uniforme che descrive lo stesso spazio NELLO STESSO TEMPO si conclude che, avendo l’auto impiegato complessivamente 4 ore (1 ora all’andata e 3 al ritorno) per percorrere 240 km essa ha viaggiato a 60 km/h.
2 1 4 5 3
7 6 9 8 10
Peso = 10 Peso = 11
Peso = 100 + (10+90)+(20+80)+(30+70)+(40+60+6)+50 =556 40
La matematica di base.
Un problema interessante e molto particolare: con una sola pesata si chiede di individuare il gruppo delle dieci monete di natura diverse dalle altre (nella figura indicate in modo diverso nel gruppo 6). Risposta: si preleva una moneta dal gruppo 1, due dal gruppo n.2, ecc. Il numero totale di monete è di 55. Se il gruppo anomalo è il primo risulterà un peso di 550 + 1 =551; se è il secondo il peso totale sarà di 550 + 2 =552, ecc. . Nel caso indicato dal disegno il peso totale risulterà di 556. Il gruppo anomalo è il n.6
Faccio notare che la definizione di «funzione» universalmente adottata nel linguaggio scientifico è quella definita come «funzione ad un sol valore».
TRECCANI - MATEMATICA Definizione di funzione «Una quantità y si dice funzione di una quantità x variabile in un certo insieme X, se esiste una legge determinata che a ogni valore di X assegnato alla variabile x associa uno o più valori della variabile y»;
http://www.treccani.it/enciclopedia/funzione/
Y X
y1 x1
Con un diagramma di VENN possiamo così rappresentarla:
La matematica di base, ora cominciano i pasticci.
x2
x3
x4
y2 y3
y6
y5
y4
L’enciclopedia aggiunge: Funzione ad un solo valore. Si chiama funzione ad un valore una f. tale che, per ogni scelta della variabile indipendente X nel campo di definizione, dia un solo valore per la variabile dipendente Y
Y X
y1 x1
x2
x3
x4
y2
y3
x5
. . .
Definizione di funzione: Un legame tra le quantità «x» ed «y» prende il nome di «funzione» solo se esso costituisce una corrispondenza UNIVOCA tra le due variabili. Vale a dire che ad un valore della variabile «x» deve corrispondere un solo valore della variabile «y». Per contro, una relazione che ad un valore della «x» faccia corrispondere due o più valori della y (ma anche infiniti) nel linguaggio scolastico e scientifico universalmente adoperato NON è una funzione.
La matematica su un concetto di base
Le «funzioni» che nell’enciclopedia TRECCANI sono definite a più valori vengono universalmente indicate nella letteratura scientifica come «relazioni», «connessioni», «associazioni», «legami», «corrispondenze» ed altro ancora. Ad esse non viene mai dato il nome di «funzione».
X
y
X2
X3
X1
Y X1= - 2
y1=0
X
In questo grafico ai 3 valori di x pari a: x1 = - 2, x2=0 ed x3=2 corrisponde un unico valore di y pari a y1=0.
)2)(2(y +−= xxx
X3=2
X2=0
La matematica di base sul concetto di «funzione»
)r( 222 =+ yx
X
Y Y
X Y
X
NB: Questi tre grafici derivano da una semplice trasposizione delle funzioni y=x^2 e y=sin(x) nonché del grafico della circonferenza di equazione implicita: x^2+y^2=r^2.
Y X
Dal primo e terzo grafico si evince che ad un valore della «x» corrispondono DUE valori della «y», mentre, per quanto riguarda il secondo, ad ogni «x» corrisponde un numero infinito di valori di «y» (il grafico è stato troncato in alto ed in basso).
NB: Questi grafici vengono definiti dall’enciclopedia Treccani come «funzioni» (la prima e terza a due valori, la seconda ad infiniti valori) mentre, nel linguaggio scientifico corrente, esse NON sono indicate come «funzioni», ma come «connessioni», «corrispondenze», «associazioni», etc. NON FUNZIONI.
Grafico invertito di y=sin(x)
Grafico invertito di y=x^2
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La matematica di base sul concetto di funzione
2y x=
Y
X
Y
X
x1y =
3y x=
Y
X
)sin(y x=)tan(y x=
Y
X
Y
X
Per ogni valore della variabile indipendente «x» (presa nel suo insieme di definizione) esiste UNO ed UN SOL VALORE della variabile dipendente «y».
La matematica di base: un utile artifizio
1. Ruotare la figura 1 di 180 gradi attorno all’asse y. Si ottiene la figura 2.
2. Ruotare la figura 2 di 90 gradi in senso orario sul piano del foglio. Si ottiene la figura 3.
3. Il grafico inverso è già rappresentato in figura 3. Conviene, però, scambiare i nomi delle variabili: X con la nuova variabile Y* ed Y con X* (figura 4)
Figura 1 Figura 2
Figura 3
Figura 4
)(X 1 Yf −= *)(Y* Xg=
NB: Il grafico di partenza (fig.1) se è una funzione, si potrà dire «invertibile» se il grafico inverso così costruito (fig.4) risulterà essere anch’esso una funzione, che prenderà il nome di «funzione inversa di quella data».
La matematica di base sbagliata
Dall’enciclopedia Treccani . http://www.treccani.it/enciclopedia/funzione/ Funzione a un valore, a più valori, a infiniti valori: si chiama funzione a più valori una f. tale che, per ogni scelta della variabile indipendente X nel campo di definizione, dia due o più valori (in numero però finito) per la variabile dipendente Y; Per es. Y=+√‾‾X
In questo esempio viene ribadito dalla prestigiosa enciclopedia il diverso linguaggio universalmente adoperato nella letteratura scientifica scolastica creando confusione nel lettore!
L’equazione Y=+√‾‾X è una funzione ,ossia una corrispondenza ad un sol valore che associa, perciò, ad un valore di X uno ed un solo valore della Y.
Infatti: la radice quadrata si ottiene dall’inversione della funzione y=x^2 (parabola di fig.1). Abbiamo visto prima come si inverte un grafico, che in questo caso è anche una funzione: rotazione di 180 gradi attorno ad Y (fig.2), di 90 gradi attorno a z (ortogonale al foglio,) in senso orario e scambio degli assi (fig.3). Si ottiene il grafico invertito di y=x^2 che però non è una funzione in quanto ad una x corrispondono due Y.
X
Y
x?y =
Fig.1 Fig.2
Fig.3
La matematica di base: che confusione.
xy +=X
Y Y
X
xy −=Il grafico invertito di figura1 è, secondo la Treccani, una funzione a due valori nel senso che ad un valore di «x» corrispondono due valori di «y».
X
Y
x?y =
Fig.1
Fig.2
xy −=
Fig.3
Il grafico di figura 1 secondo la letteratura scientifica delle scuole superiori (e non solo per queste scuole, consultabile su qualsiasi testo specifico) NON E’ UNA FUNZIONE. Esso è
formato da due distinte funzioni di equazioni Y1=+√‾‾X ed Y2= -√‾‾X corrispondenti, rispettivamente, ai grafici di fig.2 e fig.3. La funzione Y=+√‾‾X (di fig. 2), così come quella
Y=-√‾‾X (di fig.3) sono funzioni monodrome (ad un solo valore).
Da Wikipedia [https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata]: In matematica, la radice quadrata di un numero x è un numero y tale che il suo quadrato sia x, ovvero tale che y^2=x. Questa definizione è errata!
La matematica scolastica improvvisata che fa impazzire.
Ancora: Ogni numero reale non negativo ha un'unica radice quadrata non negativa, detta radice quadrata principale. Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto. Questa affermazione è sbagliata e contraddittoria!
Dall’enciclopedia TRECCANI: http://www.treccani.it/vocabolario/radice/ Si dice radice quadrata di un numero reale p ogni numero reale il cui quadrato sia uguale a p. Secondo questa definizione, la radice del numero 16 avrebbe due valori: x1=+4 e x2= - 4. Questa definizione è errata!
Ancora da TRECCANI: http://www.treccani.it/enciclopedia/radice_%28Enciclopedia-Italiana%29/ RADICE (di Giulio Vivanti): - Matematica. - In algebra la parola "radice" ha due significati distinti (benché di origine comune) che importa considerare separatamente: "numero che elevato a una certa potenza riproduce un numero dato" e "soluzione di un'equazione". Questa definizione è errata e fornisce due definizioni che confondono il lettore!
Poveri noi, stiamo nel caos più totale !
Da questa definizione discende che la radice quadrata del numero di 16 vale 4 (più quattro): 16 = 4. Essa non vale mai – 4.
𝐱𝐱𝐱𝐱 = + 𝐱𝐱𝟔𝟔 = +4 x2 = 16 ↔ 𝐱𝐱𝐱𝐱 = − 𝐱𝐱𝟔𝟔 = - 4
Definizione: la radice quadrata di un numero reale «x» è un altro numero reale positivo y tale che il suo quadrato sia x, ovvero tale che sia y2 = x.
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xy =
La VERA matematica scolastica
In formalismo matematico:
2y x=
Diverso (molto diverso!) è il problema che chiede di conoscere le soluzioni dell’equazione x2 = 16. Qui viene chiesto quali sono i numeri reali «x» il cui quadrato rende il valore pari a 16. La soluzione è doppia ed i valori sono x1=+4 ed x2= - 4.
Non è complicato. Bastava spiegarlo correttamente!
La matematica un po’ meno scolastica.
Scelto un origine di riferimento ed una terna di assi cartesiani, per individuare la posizione di un punto (matematico) è necessario conoscere tre numeri in sequenza, rappresentanti l’ascissa, l’ordinata e la quota. Nel mondo pratico dell’ingegneria si usa parlare di «punto ingegneristico», intendendo con ciò un «box» di ‘piccole’ dimensioni (si immagini una ripresa effettuata sul piccolo scatolo mentre ci si allontana indefinitamente da esso) capace di contenere al suo interno altre proprietà individuate ancora da numeri. Se le proprietà indipendenti in esso contenute sono «N» lo spazio si dirà ad «N+3» dimensioni.
Chiariamoci: una lampadina (vista da lontano tanto da farla immaginare come un «punto») è individuata nello spazio a tre dimensioni dalle coordinate cartesiane del suo baricentro, ad esempio, x=3, y=4 e z=5. Se a queste coordinate ne aggiungiamo un’altra, che può assumere valore 0 (lampada spenta) o un valore pari alla frequenza emessa dalla sua luce polarizzata, potremmo sapere anche di che colore è la luce emessa. Aggiungendo un quinto parametro, ad esempio il valore del tempo per il quale è stata utilizzata, potremmo sapere quando sostituirla prima che si esaurisca. Si parla di «spazio» a 4 («R4») oppure a 5 dimensioni («R5»). Aggiungendo altri parametri può crescere a dismisura la dimensione dello spazio che stiamo osservando.
Una sestupla di valori ordinati, quali, ad esempio, (41.89475, 12.49331, 0, 1.000, 20, 35, indica un luogo ben preciso con le caratteristiche cui siamo interessati: chiesa di S. Pietro a Roma, posto nient’affatto pericoloso, benestante, con temperatura media di 20 gradi centigradi e 35 cm di media di pioggia annuale.
Ancora: con i valori della latitudine «lat» e longitudine «lon» riusciamo con lo smartphone ad individuare in «R2» un «punto» della superficie terrestre (ad es. una intera zona vista da molto lontano). Interrogando lo smartphone possiamo conoscere se la zona è pericolosa attraverso un nuovo parametro «per» [0=tranquilla, 1000= molto pericolosa], ricca «ric» [0=povera 1000= benestante], la temperatura media durante l’anno «tem», la quantità media di pioggia caduta in un anno: «pio», etc. La conoscenza di questi 6 parametri indica che stiamo «muovendoci» in uno spazio a 6 dimensioni. Si usa scrivere : P=P(lat, lon, per, ric, tem, pio). Il «box» P è «funzione» dei 6 parametri. Stiamo, quindi, in «R6».
L’iperpiano (come qualsiasi forma algebrica in uno spazio maggiore di 3) non è una figura né può essere geometricamente rappresentato. Può esserlo, invece, il piano derivante dall’attribuzione di un valore preciso alle variabili che eccedono le prime tre. Per ogni valore che verrà assegnato alla quarta variabile ed a tutte le successive si otterrà un piano diverso, che si può parzialmente rappresentare, disegnare o realizzare in R3.
x + y − 3 = 0 Retta (in R2) x + y + z − 3 = 0 Piano (in R3) x + y + z + u − 3 = 0 Iperpiano in R4 x + y + z + u + w − 3 = 0 Iperpiano in R5
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 1 = 0 irconferenza (in 𝑅𝑅2) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 1 = 0 Sfera (in 𝑅𝑅3) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 + 𝑤𝑤2 − 1 = 0 Ipersfera in 𝑅𝑅4 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 + 𝑢𝑢2 + 𝑤𝑤2 − 1 = 0 Ipersfera in 𝑅𝑅5
La matematica un po’ meno scolastica.
Allo stesso modo una equazione quadratica (di secondo grado in almeno una variabile) del tipo: x^2+y^2=1 rappresenta un cerchio in R2 mentre x^2+y^2+z^2=1 in R3 rappresenta una sfera. Analogamente l’equazione x^2+y^2+z^2+u^2+w^2=1 in R5 rappresenta un oggetto, non rappresentabile geometricamente, detto «ipersfera» nello spazio a 5 dimensioni. Anche in questo caso, interpretando tale equazione come una sfera con due parametri (ad es. «u» e «w»), si può rappresentare una delle infinite possibili sfere individuate da due arbitrari valori dati alle variabili «u» e «w», intesi come parametri. In sintesi, si può scrivere:
In R2 (spazio a 2 dimensioni) una equazione lineare (dove, cioè, le variabili x ed y sono elevate alla prima potenza) quale ad es: 2x+3y+4=0 rappresenta una retta. Un’analoga equazione lineare in R3 quale ad es: 2x+3y+4z+5=0, in cui, cioè, è presente anche la variabile z, rappresenta un piano. Aggiungendo una ulteriore variabile w, l’equazione lineare: 2x+3y+4z+5w+6=0 esprime un «oggetto» in R4, non più rappresentabile geometricamente, denominato «iperpiano in R4». Anche una equazione lineare con, ad esempio, 7 parametri viene chiamata «iperpiano», precisando che è tale nello spazio a 7 dimensioni (in «R7»).
Equazioni lineari Equazioni quadratiche
Nello spazio R2 (piano x-y) è rappresentato un quadrato di lato 2. Si è scelto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O, x, y) con l’origine O coincidente con l’intersezione degli assi di simmetria del quadrato e gli assi paralleli ai lati. Esso si può rappresentare semplicemente unendo opportunamente i 4 spigoli dalle coordinate: A1(-1,-1), A2(1,-1), A3(-1,1); A4(1,1).
In R3 (spazio x, y e z) un cubo di lato 2 può essere rappresentato con un sistema di riferimento analogo a quello del quadrato, unendo opportunamente i vertici A1(-1,-1,-1); A2(-1,1,-1); A3(1,-1,-1); A4(1,1,-1) e B1(-1,-1,1); B2(-1,1,1); B3(1,-1,1); B4(1,1,1).
Nel web sono mostrati diversi disegni, figure o filmati denominati ipercubi (uno di questi disegni è mostrato qui di fianco) ma nessuno di essi può rappresentare non solo l’ipercubo ma nemmeno un semplice punto di esso in R3 dato che ha 4 coordinate.
La matematica un po’ meno scolastica, cominciano i problemi di comprensione.
Analogamente in R4, un oggetto algebrico che presenta dei punti (detti ancora «vertici») rappresentati ognuno da quattro diverse coordinate, che verranno «collegati» opportunamente (ma solo algebricamente e non in modo geometrico o figurativo), che non può essere in nessun modo rappresentato, disegnato né immaginato, è detto ipercubo. Se una delle 4 variabili si assumesse come parametro, assegnando ad esso uno degli infiniti valori si avrà, per ogni valore del parametro un diverso cubo.
1 Non è una forma geometrica ,ma soltanto algebrica. 2 Non è ‘regolare’ in quanto nei punti che vengono indicati come ‘spigoli’ non esiste la derivata. 3 E’ un modo improprio per dire che appartiene ad uno spazio di quattro o più dimensioni. 4 Non esiste alcuna figura, né tantomeno vertici o facce, siano essi bi o tridimensionali. 5 ‘Facce tridimensionali cubiche’ sono parole prive di senso, sia nel linguaggio corrente che in
quello scientifico. Avrebbero avuto senso se vi fosse stata una preventiva definizione e, in ogni caso, dovevano essere virgolettate, per evidenziare che il significato vero è diverso dalla comune accezione.
6 Le ‘facce tridimensionali cubiche’ (enunciato di difficile interpretazione) probabilmente sono i cubi che deriverebbero nell’assegnare ad ognuna delle quattro variabili assunte come parametro (e ad una per volta) i due valori (+1 e -1) della semiampiezza del lato del cubo
7 Le ‘facce bidimensionali quadrate’ (enunciato di difficile interpretazione) probabilmente sono i quadrati prodotti nell’assegnazione a ciascuna delle due variabili (assunte arbitrariamente come parametri), i due valori (+1 e -1) della semiampiezza del lato del cubo [sarebbero, perciò, 4 coppie di valori:(1,1);(1,-1);(-1,1) e (-1,-1) per ogni coppia di parametri scelti]. Etc.
Wikipedia: Ipercubo https://it.wikipedia.org/wiki/Ipercubo L'ipercubo (o n-cubo) è una forma geometrica(1) regolare(2) immersa(3) in uno spazio di quattro o più dimensioni. Il prefisso "iper", usato per indicare una generalizzazione in dimensioni superiori a 3, è usato anche per altre figure geometriche, come l’ipersfera e l’iperpiano. In dimensione 4, l'ipercubo è chiamato tesseratto, con riferimento ai quattro spigoli che si dipartono da ogni vertice della figura(4)): è costituito da 8 facce tridimensionali cubiche(5) (6) e da 24 facce bidimensionali quadrate(7).
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Terribile! Il numero di imprecisioni e superficialità si sprecano. Impossibile è la sua comprensione:
Questo NON è matematica ma improvvisazione
TRECCANI: ipercubo http://www.treccani.it/enciclopedia/ipercubo/
Figura(1) geometrica(2) definita in uno spazio quadridimensionale (iperspazio), che può essere considerata un’estensione del cubo, così come questo è un’estensione del quadrato (figura bidimensionale) in uno spazio tridimensionale. Un ipercubo è il volume quadridimensionale(3) spazzato(4) da un cubo orientato secondo una terna di assi cartesiani e spostato lungo il quarto asse(5) di una lunghezza pari al suo lato; le ‘facce’ dell’ipercubo sono cubi, in numero di otto(6), ossia due per ciascuna delle quattro dimensioni.
1. Non è una figura. 2. Non è una figura geometrica. 3. La dizione ‘Volume quadridimensionale’ necessita di una definizione e del virgolettato. Essa ha un senso solo per chi sa di cosa si sta parlando e perciò è inutile riportarla in una enciclopedia. 4. Spazzato? Un modo improprio di parlare del niente. 5. ‘Un cubo spostato lungo il quarto asse’ ? …..
Qualche «pietoso» commento:
La matematica che non da risposte
(Dispiace)
Paradosso: Un cretese (Epimenide) afferma: «Tutti i cretesi sono bugiardi»
Analizziamo i vari passaggi logici, tenendo conto che l’affermazione è stata fatta, per ipotesi, da un cretese.
1. Affermazione: «Tutti i cretesi sono bugiardi». 2. Deduzione: Essendo colui che parla un cretese , ne consegue che è un bugiardo. 3. Deduzione: Essendo un bugiardo, ne consegue che ha detto il falso. Cioè: quanto ha affermato è falso. 4. Interpretazione: Il falso di «Tutti i cretesi sono bugiardi» è: «Tutti i cretesi dicono il VERO» 5. Deduzione: Dato che tutti i cretesi dicono il vero, essendo il nostro soggetto cretese, ne consegue che quanto ha affermato è vero. 6. Deduzione: Ossia è vera l’affermazione che tutti i cretesi sono bugiardi e, quindi, anche il nostro
cretese è un bugiardo 7. Deduzione: Siamo tornati al punto di partenza (punto 3) e si ricomincia daccapo, senza un risultato
Il punto delicato è l’interpretazione 4. Infatti:
Paradosso matematico: una verità matematica così stupefacente da risultare incredibile anche dopo la verifica di ogni singolo passaggio della dimostrazione. Inganno matematico: asserti ugualmente stupefacenti , le cui dimostrazioni contengono sottili errori.
Ho proposto per ultimo questo paradosso, perché contiene dei ragionamenti strettamente logici e concatenati, seguendo i quali si perviene ad una conclusione contraddittoria rispetto all’assunto iniziale. Sembrerebbe, quindi, una dimostrazione per assurdo, ma non lo è. Infatti, ripartendo dalla conclusione raggiunta ed applicando rigorosamente gli stessi ragionamenti, si perviene alla negazione di quanto prima si era dimostrato errato, ritornando, così, al punto di partenza. Il punto di partenza risulta essere vero e falso, contemporaneamente. Perciò il «paradosso». Lo ritengo un interessante esercizio didattico di logica.
1. Affermazione: Un cretese afferma: TUTTI i cretesi sono bugiardi. 2. Deduzione: Essendo lui cretese ne consegue che è un bugiardo. 3. Deduzione: Essendo bugiardo ne consegue che ha detto il falso. 4. Interpretazione: Il falso di «TUTTI i cretesi sono bugiardi» è: NON TUTTI i cretesi sono bugiardi 5. Deduzione: Se non tutti i cretesi sono bugiardi ne consegue che vi è almeno uno che dice il vero 6. Esplicitazione Il cretese che ha parlato (punto 2.) è un bugiardo, ma non tutti i cretesi sono bugiardi, cioè vi è qualche cretese che dice la verità, anche se non sono tutti a dire la verità. Infatti almeno quel cretese che ha fatto l’affermazione iniziale è sicuramente un bugiardo. 6. Deduzione finale: Se fosse stato dedotto che tutti i cretesi dicevano la verità questo avrebbe coinvolto anche il bugiardo dell’affermazione, attivando così il paradosso mentre ora, dato che non sono tutti a dire il vero, se ne deduce che vi sarà qualcuno, come il titolare dell’affermazione ,che mente e altri, invece, che dicono la verità…
… ed il paradosso non è più tale!
Sono tutti «rossi» NON sono tutti «rossi»
NON sono tutti «gialli») sono tutti «gialli»)
Sono tutti «bugiardi»
NON sono tutti «bugiardi»
sono tutti «veritieri»)
Nessuno è «rosso»
NON sono tutti «veritieri»)
Nessuno è «bugiardo»
(Equivalente a (Equivalente a
(Equivalente a (Equivalente a
Spesso l’uso di similitudini o confronti con problemi più familiari può essere d’aiuto alla comprensione dei passaggi logici meno immediati. Qui di seguito, l’analogia: rosso = bugiardo e giallo = veritiero può aiutare a comprendere meglio l’interpretazione fatta al punto 4 che ha stravolto il paradosso. Notare come dire che «non sono tutti rossi» comprende sia il caso che ci sia qualche giallo che siano tutti gialli. Cioè dichiarare che non sono tutti bugiardi comprende sia il caso che c’è qualcuno che dice il vero sia quello che sono tutti veritieri.
Chi volesse approfondire questo ragionamento da altri punti di vista può consultare il sito «https://sites.google.com/site/epimenidecreteseclub/».
Raggiunto, finalmente, il traguardo prefissomi tengo a fare un’ ultima precisazione: Tutto quanto ho detto scaturisce dall’esperienza personale acquisita nei lunghi anni di insegnamento. Qualche osservazione «critica» non intende assolutamente denigrare qualcuno o qualcosa, ma semplicemente mettere in evidenza le diverse modalità di trasmissione di uno stesso concetto, forse giustificabili in un’alta scuola di specializzazione universitaria, ma non certo nell’ambito dell’insegnamento della matematica di base. Un giovane studente liceale, ha infatti bisogno di concetti chiari e concreti, immediatamente comprensibili, senza essere costretto ad arrovellarsi per districarsi tra concetti malamente o solo diversamente esposti. Le esercitazioni, il dialogo, il confronto degli studenti tra loro e con il docente sono fondamentali, come pure la disponibilità di quest’ultimo a rispondere ad ogni quesito posto dai suoi allievi. A tal riguardo, come ho sempre fatto nella mia veste di docente anch’io sono a vostra disposizione per eventuali chiarimenti all’indirizzo email: [email protected] . Rispondo sempre a tutti. Un ringraziamento al prof. Cosato, alla prof.ssa Calabrese, al Preside prof. Ferrante ed ai numerosi partecipanti al Convegno per la cortese accoglienza. Buon anno e buon lavoro a tutti (studenti, professori e collaboratori) Giuseppe Moscariello
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